摘要:本文在经典的Matkowitz投资组合策略选择的框架下,用CVaR代替了方差作为风险测度,在模型下,用几何布朗运动来刻画股票价格过程,得出均值-CVaR模型下的动态最优策略和有效前沿边界。
关键词:CVaR模型自融资策略动态组合最优
一、引言
Matkowitz投资组合理论是现代金融的开端,均值-方差模型形成了金融风险管理的框架。从理论的观点来看,均值-方差模型存在两个亟须改进的问题:
1、风险测度。方差作为风险测度最大的缺点就是把高于均值的部分纳入了风险,显然:这一部分真是我们所需要的。在此基础上,很多学者提出了下偏风险理论。VaR就是基于下偏风险提出来的,同时还是近些年来提出的也是最重要的风险测度。但是VaR存在一些缺点,尤其体现在资产分布存在尖峰厚尾性上,同时VaR还不满足次可加性,次可加性是一致性风险的重要性质。本文针对VaR的这两个缺点,提出了CVaR(Conditional Value at Risk),也被成为尾部VaR,平均超值损失和平均不足量。
2、时间模型。传统的投资组合策略选择采用单期模型,很明显这与现实存在很大差异,然而,动态的均值-方差模型存在很多的困难,直到2000年,动态的均值-方差模型最优策略才被研究出来。
本文采用连续时间的动态模型,在期权定价的背景下,假定股票价格服从带有漂移项的几何布朗运动,用CVaR做为风险测度研究投资计划期[0, T]下的最优投资策略。
二、市场模型
考虑这样的资产市场,有n种风险资产和1种无风险资产。
表示第i种风险资产在时刻t的价格,,
,表示无风险资产在时刻t的价格。由模型得出的资产价格的微分方程为:
这里,r表示无风险利率,表示一个标准的n维的布朗运动,表示风险资产的期望收益率向量, 表示风险资产的波动率矩阵,
表示σ的第i行向量。并假定波动率矩阵满足非退化(non-degeneracy)条件
其中为给定常数,I为n×n单位矩阵。
由于风险和收益相匹配原理,我们可以一般性的假设:
。
在这篇文章里,我们全部使用自融资的投资策略,即:除了初始资本投资外,不会追加资本投资,而且保持投资比例不变。也就是说:
= ,。为一个不变的投资组合,其中表示投资于风险资产i上的财富比例。用 表示当投资者采取允许投资组合时的财富过程,那么它遵循如下微分方程
其中1n表示分量全为1的n维列向量,x表示投资者的初始资本。
应用Wick-Ito积分,解微分方程(1)得到:.
同时也可以得到: (3)
对给定的置信度,我们用表示标准正态分布对应置信度α的分位数。因为我们主要关注下偏风险,所以我们限定 ,这样有。
命题1 对应置信水平α财富过程的分位数 的表达式为
证明:设=
易得: ~
的对应置信水平α的分位数为:
由于是一个严格单调函数,所以有:
所以:
命题2
的含义是“条件在险价值”,是指损失超出的条件均值,也称平均超值损失。
三、最优策略
本文定义的最优投资策略是根据Matkowitz的均值-方差模型,指在以给定的风险值下,对期望终端财富最大化模型,用数学模型表示为:
四、有效前沿
通过上述最优策略的研究得知,满足最优策略的条件有两个:
这个方程所对应的图像就是均值- 的有效前沿边界。
五、结论
本文使用了 作为风险测度,代替了 ,体现出了 的优点,本文的研究结果似乎也很令人高兴,然而现实中资产分布并没有完全像几何布朗运动刻画的那样,很多研究表明:除了尖峰厚尾性的分布外,股票价格还具有自相似性和长相依性,所以,本文需要完善的地方还有很多,现在已有分式几何布朗运动作为模型的改进,同时风险测度的方法也有很多,我认为研究的空间还是很大的。
参考文献:
[1]王春峰 金融市场风险管理[M].天津:天津大学出版社. 2001
[2]Merton, R.C.: Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model. J. Econ. Theory3, 373-413 (1971)
[3]Artzner, P., Delbaen, F., Eber J.-M., Heath, D.: Coherent Measures of Risk.Mathematical Finance. 9, 203-228 (1999)
[4]Jorion, P.: Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk. McGraw-Hill, New York(1997)
[5]Li, D., Ng,W.L.: Optimal dynamic portfolio selection: multiperiod mean-variance formulation. Math.Finance 10, 387-406 (2000)
[6]Emmer S, Klüppelberg C, Korn R. Optimal portfolio with bounded capital at risk[J]. Mathematical Finance, 2001, 11: 365-384.
(作者单位:南京财经大学)
摘要:本文在经典的Matkowitz投资组合策略选择的框架下,用CVaR代替了方差作为风险测度,在模型下,用几何布朗运动来刻画股票价格过程,得出均值-CVaR模型下的动态最优策略和有效前沿边界。
关键词:CVaR模型自融资策略动态组合最优
一、引言
Matkowitz投资组合理论是现代金融的开端,均值-方差模型形成了金融风险管理的框架。从理论的观点来看,均值-方差模型存在两个亟须改进的问题:
1、风险测度。方差作为风险测度最大的缺点就是把高于均值的部分纳入了风险,显然:这一部分真是我们所需要的。在此基础上,很多学者提出了下偏风险理论。VaR就是基于下偏风险提出来的,同时还是近些年来提出的也是最重要的风险测度。但是VaR存在一些缺点,尤其体现在资产分布存在尖峰厚尾性上,同时VaR还不满足次可加性,次可加性是一致性风险的重要性质。本文针对VaR的这两个缺点,提出了CVaR(Conditional Value at Risk),也被成为尾部VaR,平均超值损失和平均不足量。
2、时间模型。传统的投资组合策略选择采用单期模型,很明显这与现实存在很大差异,然而,动态的均值-方差模型存在很多的困难,直到2000年,动态的均值-方差模型最优策略才被研究出来。
本文采用连续时间的动态模型,在期权定价的背景下,假定股票价格服从带有漂移项的几何布朗运动,用CVaR做为风险测度研究投资计划期[0, T]下的最优投资策略。
二、市场模型
考虑这样的资产市场,有n种风险资产和1种无风险资产。
表示第i种风险资产在时刻t的价格,,
,表示无风险资产在时刻t的价格。由模型得出的资产价格的微分方程为:
这里,r表示无风险利率,表示一个标准的n维的布朗运动,表示风险资产的期望收益率向量, 表示风险资产的波动率矩阵,
表示σ的第i行向量。并假定波动率矩阵满足非退化(non-degeneracy)条件
其中为给定常数,I为n×n单位矩阵。
由于风险和收益相匹配原理,我们可以一般性的假设:
。
在这篇文章里,我们全部使用自融资的投资策略,即:除了初始资本投资外,不会追加资本投资,而且保持投资比例不变。也就是说:
= ,。为一个不变的投资组合,其中表示投资于风险资产i上的财富比例。用 表示当投资者采取允许投资组合时的财富过程,那么它遵循如下微分方程
其中1n表示分量全为1的n维列向量,x表示投资者的初始资本。
应用Wick-Ito积分,解微分方程(1)得到:.
同时也可以得到: (3)
对给定的置信度,我们用表示标准正态分布对应置信度α的分位数。因为我们主要关注下偏风险,所以我们限定 ,这样有。
命题1 对应置信水平α财富过程的分位数 的表达式为
证明:设=
易得: ~
的对应置信水平α的分位数为:
由于是一个严格单调函数,所以有:
所以:
命题2
的含义是“条件在险价值”,是指损失超出的条件均值,也称平均超值损失。
三、最优策略
本文定义的最优投资策略是根据Matkowitz的均值-方差模型,指在以给定的风险值下,对期望终端财富最大化模型,用数学模型表示为:
四、有效前沿
通过上述最优策略的研究得知,满足最优策略的条件有两个:
这个方程所对应的图像就是均值- 的有效前沿边界。
五、结论
本文使用了 作为风险测度,代替了 ,体现出了 的优点,本文的研究结果似乎也很令人高兴,然而现实中资产分布并没有完全像几何布朗运动刻画的那样,很多研究表明:除了尖峰厚尾性的分布外,股票价格还具有自相似性和长相依性,所以,本文需要完善的地方还有很多,现在已有分式几何布朗运动作为模型的改进,同时风险测度的方法也有很多,我认为研究的空间还是很大的。
参考文献:
[1]王春峰 金融市场风险管理[M].天津:天津大学出版社. 2001
[2]Merton, R.C.: Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model. J. Econ. Theory3, 373-413 (1971)
[3]Artzner, P., Delbaen, F., Eber J.-M., Heath, D.: Coherent Measures of Risk.Mathematical Finance. 9, 203-228 (1999)
[4]Jorion, P.: Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk. McGraw-Hill, New York(1997)
[5]Li, D., Ng,W.L.: Optimal dynamic portfolio selection: multiperiod mean-variance formulation. Math.Finance 10, 387-406 (2000)
[6]Emmer S, Klüppelberg C, Korn R. Optimal portfolio with bounded capital at risk[J]. Mathematical Finance, 2001, 11: 365-384.
(作者单位:南京财经大学)