复合泊松过程及其应用_段会

第21卷第2期（2005）河西学院学报 Vol.21 No.2（2005）

复合泊松过程及其应用

段会

赵珍

康殿统

（1,3.河西学院数学系；2.张掖医学高等专科学校，甘肃张掖 734000）

摘要：利用齐次泊松过程的再生性，研究了保险公司的总索赔次数和总索赔额，得到各类索赔的总索赔次数之和构成一齐次泊松过程；而各类索赔的总索赔额之和构成一复合泊松过程．同时考虑了齐次泊松过程与复合泊松过程在保险业风险管理中的应用．

关键词：齐次泊松过程；再生性；复合泊松过程；总索赔过程；总索赔额

中图分类号：O212.2 文献标识码：A 文章编号：1672－0520（2005）02－0007－03

1 引言

定义1 设X为一取非负整数值的随机变量，其概率分布为

[1]

次数；在时间间隔(0, t]内到达服务台的顾客人数；在时间间隔(0, t]内到达保险公司的索赔者的人数，都构成齐次泊松过程．齐次泊松过程具有再

－λ

, k＝0,1,2,…,k!

其中λ>0是常数,则称X服从参数为λ的泊松分布.

P{X＝k}＝

例如，在单位时间间隔内某一地区发生交通事故的次数；在单位时间间隔内到达服务台的顾客人数等都可以用泊松随机变量来描述．

众所周知，泊松分布具有再生性．

若X服从参数为λ的泊松分布，则E[X], Var[X]均为λ. X的矩母函数为Φ(u)＝exp{λ(e－1)}.泊松分布是概率论中一种重要的分布.

定义2 如果在任意一个长度为t >0的时间间隔内某事件发生的次数N(t)都服从参数为λt 的泊松分布，则称{N(t), t>0}为齐次泊松随机过程，简称为泊松过程.

即对任意给定的t >0，有

[2]

生性，它是研究排队论的重要工具，在工程技术与经济学中有着广泛的应用．

定义3 设{Yi, i＝1,2,…}是一组独立同分布的随机变量，{N(t), t≥0}是一泊松过程，且过程{N(t),t≥0}与{Yi}(i＝1,2,…)是独立的.若对t≥0,

N(t)

[2]

有 ≥为一复X(t)＝Yi,则称随机过程{X(t), t 0}合泊松过程．

容易验证

E[X(t)]＝λtE(Y), Var[X(t)]＝λtE(Y),

以及X(t)的矩母函数Φt(u)＝exp{λt(ΦY(u)－1)}，其中ΦY(u)＝E[e]为{Yi, i＝1,2,…}共同的矩母函数．

假定某一险种的被保险人按参数为λt的泊松过程到保险公司索赔，又假设各被保险人的索赔额形

∑

i＝1

(t)

n＝0,1,2,…,n!

且E[N(t)]＝λt, Var[N(t)]＝λt,以及N(t)的矩母函数

P{N(t)＝n}＝e－λt

成一组独立同分布的随机变量．以X(t)记到时刻t为止到此保险公司索赔者的索赔总额，则{X(t), t≥0}构成一复合泊松过程．

事实上，保险公司开设的险种有很多种，相应

Φ(u)＝exp{λt(e－1)}.

例如，在时间间隔(0, t]内发生的意外事故的

———————————————收稿日期：2004-03-05

作者简介：段会（1980—），女，甘肃民勤人，河西学院数学系01级（1）班学生．

段会，赵珍，康殿统：复合泊松过程及其应用

的保户的索赔次数与索赔额也分为若干类．每一类的索赔次数构成一齐次泊松过程，由齐次泊松过程的再生性得到各类型的索赔次数之和，即总索赔次数构成一齐次泊松过程；每一类的索赔额构成一个复合泊松过程，得到各险种的索赔额之和，即总索赔额构成一个复合泊松过程．在下面的第二节中，我们考虑了总索赔次数与总索赔额的分布，在第三节中考虑了齐次泊松过程与复合泊松过程在保险业风险管理中的一个应用．2 复合泊松过程的再生性

定理1 设计数过程{N1(t),t≥0},{N2(t), t≥0}均为齐次泊松过程．令N(t)＝N1(t)＋N2(t)，则{N(t),t≥0}仍为一个齐次泊松过程．

证明证明是平凡的，这里不再赘述．定理2 设点过程{X1(t),t≥0},{X2(t), t≥0}均为复合泊松过程．令X(t)＝X1(t)＋X2(t),则{N(t), t≥0}仍为一复合泊松过程．

N1(t)

N2(t)

定理3 设随机过程{Xi(t), t≥0}, i＝1, 2,…, n,

Xi(t),则{X(t), tX(t)＝均为复合泊松过程．令

i＝1

∑

≥0}也是一复合泊松过程，且有

ni＝1

E[X(t)]＝∑ λ itE[Yi],Var[X(t)]＝∑ λ itE[Y2i]. ■

3 复合泊松过程的一个应用

假设某保险公司开设有n个险种，与之对应的有n类索赔．若第i个险种的索赔者的人数服从参数为λit, i＝1,2,…,n的泊松过程．又假设各类索赔的个体索赔额依次为Yi1,Yi2,…, Yi1,Yi2,…为一族独立同分布的随机变量．以Xi(t)记到时刻t,第i类索赔的总

X(t)＝Xi(t)记到时刻t各类索赔的总索索赔额，

i＝1

∑

赔额．由定理3可知此过程是一个复合泊松过程．平均索赔额和索赔额的方差分别为

ni＝1

[4]

E[X(t)]＝∑ λ itE[Yi],Var[X(t)]＝∑ λ itE[Y2i]. ■

总索赔额X(t)的方差Var[X(t)]可以作为保险公司风险的度量，它反映了保险公司风险管理的难易程度．Var[X(t)]越小，风险越好管理，则破产概率

X1(t)＝Y1i, X2(t)＝Y2i,其中证明设

i＝1

∑ ∑

越小．在收取的保费一定的条件下，E[X(t)]越大，平均索赔额越高，破产概率就越大．

而当时间t一定时，各类型的索赔额Xi(t)是由个体索赔额Xi1(t), Xi2(t),…与过程{Ni(t), t≥0}所决定的．我们在前面已假定{Ni(t), t≥0}是泊松过程，则个体索赔次数服从参数为λit的泊松分布．那么各类型的索赔额Xi(t)取决于其个体的索赔额，

{N1(t), t≥0},{N2(t), t≥0}分别服从参数为λ1t,λ2t的泊松过程且相互独立，{Y1i,i＝1,2,…},{Y2i,i＝1,2,…}是两组分别独立同分布的随机变量，且对任意的Y1i, Y2i相互独立．过程{N1(t), t≥0}与{Y1i,i＝1,2,…}是独立的,过程{N2(t),t≥0}与{Y2i,i＝1,2,…}是独立的．

又设 ΦY(u)＝E[e],ΦY(u)＝E[e].不

uY1uY2所以可以通过研究个体的索赔额来讨论各类型的索赔额，从而讨论该保险公司的总索赔额以及与之相关的一些问题，如平均索赔额，总索赔额的方差等，这样保险公司就能在风险管理方面具有一定的前瞻性．

以Yij表示第i类第j个保单的个体索赔额，则有Yij

＝IijBij，其中

[3]

妨设 ΦY(u)＝ΦY(u)＝Φ(y).则X(t)的矩母函

数为

Φ(u)＝E[exp{uX(t)}]＝E[exp{u(X1(t)＋X2(t))}] ＝E[exp{uX1(t)}]E[exp{uX2(t)}] ＝exp{(λ1＋λ2)t(ΦY(u)－1)}.

所以{X(t), t≥0}仍是一个复合泊松过程．因此，复合泊松过程具有再生性，且有

Iij1,若第i个险种的第j个保单发生索赔,

0,若第i个险种的第j个保单不发生索赔.

E[X(t)]＝λ1tE[Y1]＋λ2tE[Y2],

Var[X(t)]＝λ1tE[Y21]＋λ2tE[Y2]. ■

表示第i类的第j个保单发生的索赔次数，Bij表示在索赔发生的条件下个体索赔量.设Iij, Bij, j＝1,2,…,m相互独立．对于每一个保单，Bij是一定的．假设

由定理2，容易得到下面的定理．

河西学院学报 2005年第2期

索赔发生次数Iij服从参数为λij的泊松分布．则E[Iij]＝λij, Var[Iij]＝λij，所以E[Iij]＝λijBij．因此有

ni＝1

mj＝1

参考文献：

[1]王梓坤．随机过程论[M]．北京：科学出版社，1965．113~119．

[2]伏见正则[日]，著．李明哲，译．概率论和随机过

E[X(t)]＝∑ λit∑ λijBij,

ni＝1

2ij

j＝1

Var[X(t)]＝∑ λit∑ λij(1＋λijB).

据此保险公司可以更精确地估计赔付额，有效

地进行风险管理，使保险公司的效益和利润最大化.

程[M]. 北京:世界图书出版公司, 1997.96~97, 106~109.[3]王晓军，江星，刘文卿．保险精算学[M]．北京：中国人民大学出版社，1999．301~302，342~346．[4]Ross, S. M. Stochastic Processes, John Wiley. 1983.

Compound Poisson Processes and Its Applications

DUAN Hui ZHAO Zhen KANG Dian-tong

(1,3. Department of Mathematics, Hexi University; 2. Zhangye Medical College. Zhangye, Gansu 734000, China)

Abstract: The amount and times of total compensations for a insurance company are studied by making use of regenerative property of a homogeneous Poisson process, we obtained that the sum of times of all kinds of the total compensations constitutes a homogeneous Poisson process; whereas that the total amount of all kinds of the total compensations constitutes a compound Poisson process. At the same time, we investigated some applications of the homogeneous Poisson process and the compound Poisson process in insurance.

Key words: homogeneous Poisson processes; regenerative properties; compound Poisson processes; compensation processes; total amount of compensations

［责任编辑晏兴学］

（上接第6页）

∈C，令f (x)＝∫0Φ(t)dt (x∈R)，因为f (x)在R上严格递增，故无⇔是连续的，且Φ(x)≥0,Φ(x)＝0 x

极值点，而f '(x)＝Φ(x)，故{x: f '(x)＝0}＝C．

参考文献：

[1][4][5]A.C.M Vanrooij and W.H.Schikhof A Second Course on real Functions[M]. Cambridge University Press, 1982. 44, 50, 99~100.

[2]E.H.Karlstromberg. Real And Abstract Analysis[M]. Springer-verlag Berlin Heidelberg, New York, 1978. 133.[3]J.J.Benedtto. Real Variable and Integration[M]. B.G.Teubner Stutt-gart, 1976. 22~23.

Cantor Set, Cantor Function and its Applications

LIU Ren-yi

（Department of Mathematics, Longdong University, Qingyang, Gansu 745000, China）

Abstract: Based on discussions on three definitions and characteristics of the Cantor set, the paper has framed four definitions of Cantor function, proved their equivalence, and illustraed with examples of the applications of Cantor set and Cantor function in structrue counter examples.

Key words: Cantor set; Cantor function; dense subset

［责任编辑晏兴学］

第21卷第2期（2005）河西学院学报 Vol.21 No.2（2005）

复合泊松过程及其应用

段会

赵珍

康殿统

（1,3.河西学院数学系；2.张掖医学高等专科学校，甘肃张掖 734000）

关键词：齐次泊松过程；再生性；复合泊松过程；总索赔过程；总索赔额

中图分类号：O212.2 文献标识码：A 文章编号：1672－0520（2005）02－0007－03

1 引言

定义1 设X为一取非负整数值的随机变量，其概率分布为

[1]

次数；在时间间隔(0, t]内到达服务台的顾客人数；在时间间隔(0, t]内到达保险公司的索赔者的人数，都构成齐次泊松过程．齐次泊松过程具有再

－λ

, k＝0,1,2,…,k!

其中λ>0是常数,则称X服从参数为λ的泊松分布.

P{X＝k}＝

例如，在单位时间间隔内某一地区发生交通事故的次数；在单位时间间隔内到达服务台的顾客人数等都可以用泊松随机变量来描述．

众所周知，泊松分布具有再生性．

若X服从参数为λ的泊松分布，则E[X], Var[X]均为λ. X的矩母函数为Φ(u)＝exp{λ(e－1)}.泊松分布是概率论中一种重要的分布.

定义2 如果在任意一个长度为t >0的时间间隔内某事件发生的次数N(t)都服从参数为λt 的泊松分布，则称{N(t), t>0}为齐次泊松随机过程，简称为泊松过程.

即对任意给定的t >0，有

[2]

生性，它是研究排队论的重要工具，在工程技术与经济学中有着广泛的应用．

定义3 设{Yi, i＝1,2,…}是一组独立同分布的随机变量，{N(t), t≥0}是一泊松过程，且过程{N(t),t≥0}与{Yi}(i＝1,2,…)是独立的.若对t≥0,

N(t)

[2]

有 ≥为一复X(t)＝Yi,则称随机过程{X(t), t 0}合泊松过程．

容易验证

E[X(t)]＝λtE(Y), Var[X(t)]＝λtE(Y),

以及X(t)的矩母函数Φt(u)＝exp{λt(ΦY(u)－1)}，其中ΦY(u)＝E[e]为{Yi, i＝1,2,…}共同的矩母函数．

假定某一险种的被保险人按参数为λt的泊松过程到保险公司索赔，又假设各被保险人的索赔额形

∑

i＝1

(t)

n＝0,1,2,…,n!

且E[N(t)]＝λt, Var[N(t)]＝λt,以及N(t)的矩母函数

P{N(t)＝n}＝e－λt

成一组独立同分布的随机变量．以X(t)记到时刻t为止到此保险公司索赔者的索赔总额，则{X(t), t≥0}构成一复合泊松过程．

事实上，保险公司开设的险种有很多种，相应

Φ(u)＝exp{λt(e－1)}.

例如，在时间间隔(0, t]内发生的意外事故的

———————————————收稿日期：2004-03-05

作者简介：段会（1980—），女，甘肃民勤人，河西学院数学系01级（1）班学生．

段会，赵珍，康殿统：复合泊松过程及其应用

定理1 设计数过程{N1(t),t≥0},{N2(t), t≥0}均为齐次泊松过程．令N(t)＝N1(t)＋N2(t)，则{N(t),t≥0}仍为一个齐次泊松过程．

证明证明是平凡的，这里不再赘述．定理2 设点过程{X1(t),t≥0},{X2(t), t≥0}均为复合泊松过程．令X(t)＝X1(t)＋X2(t),则{N(t), t≥0}仍为一复合泊松过程．

N1(t)

N2(t)

定理3 设随机过程{Xi(t), t≥0}, i＝1, 2,…, n,

Xi(t),则{X(t), tX(t)＝均为复合泊松过程．令

i＝1

∑

≥0}也是一复合泊松过程，且有

ni＝1

E[X(t)]＝∑ λ itE[Yi],Var[X(t)]＝∑ λ itE[Y2i]. ■

3 复合泊松过程的一个应用

X(t)＝Xi(t)记到时刻t各类索赔的总索索赔额，

i＝1

∑

赔额．由定理3可知此过程是一个复合泊松过程．平均索赔额和索赔额的方差分别为

ni＝1

[4]

E[X(t)]＝∑ λ itE[Yi],Var[X(t)]＝∑ λ itE[Y2i]. ■

总索赔额X(t)的方差Var[X(t)]可以作为保险公司风险的度量，它反映了保险公司风险管理的难易程度．Var[X(t)]越小，风险越好管理，则破产概率

X1(t)＝Y1i, X2(t)＝Y2i,其中证明设

i＝1

∑ ∑

越小．在收取的保费一定的条件下，E[X(t)]越大，平均索赔额越高，破产概率就越大．

又设 ΦY(u)＝E[e],ΦY(u)＝E[e].不

以Yij表示第i类第j个保单的个体索赔额，则有Yij

＝IijBij，其中

[3]

妨设 ΦY(u)＝ΦY(u)＝Φ(y).则X(t)的矩母函

数为

Φ(u)＝E[exp{uX(t)}]＝E[exp{u(X1(t)＋X2(t))}] ＝E[exp{uX1(t)}]E[exp{uX2(t)}] ＝exp{(λ1＋λ2)t(ΦY(u)－1)}.

所以{X(t), t≥0}仍是一个复合泊松过程．因此，复合泊松过程具有再生性，且有

Iij1,若第i个险种的第j个保单发生索赔,

0,若第i个险种的第j个保单不发生索赔.

E[X(t)]＝λ1tE[Y1]＋λ2tE[Y2],

Var[X(t)]＝λ1tE[Y21]＋λ2tE[Y2]. ■

表示第i类的第j个保单发生的索赔次数，Bij表示在索赔发生的条件下个体索赔量.设Iij, Bij, j＝1,2,…,m相互独立．对于每一个保单，Bij是一定的．假设

由定理2，容易得到下面的定理．

河西学院学报 2005年第2期

索赔发生次数Iij服从参数为λij的泊松分布．则E[Iij]＝λij, Var[Iij]＝λij，所以E[Iij]＝λijBij．因此有

ni＝1

mj＝1

参考文献：

[1]王梓坤．随机过程论[M]．北京：科学出版社，1965．113~119．

[2]伏见正则[日]，著．李明哲，译．概率论和随机过

E[X(t)]＝∑ λit∑ λijBij,

ni＝1

2ij

j＝1

Var[X(t)]＝∑ λit∑ λij(1＋λijB).

据此保险公司可以更精确地估计赔付额，有效

地进行风险管理，使保险公司的效益和利润最大化.

Compound Poisson Processes and Its Applications

DUAN Hui ZHAO Zhen KANG Dian-tong

(1,3. Department of Mathematics, Hexi University; 2. Zhangye Medical College. Zhangye, Gansu 734000, China)

Key words: homogeneous Poisson processes; regenerative properties; compound Poisson processes; compensation processes; total amount of compensations

［责任编辑晏兴学］

（上接第6页）

∈C，令f (x)＝∫0Φ(t)dt (x∈R)，因为f (x)在R上严格递增，故无⇔是连续的，且Φ(x)≥0,Φ(x)＝0 x

极值点，而f '(x)＝Φ(x)，故{x: f '(x)＝0}＝C．

参考文献：

[1][4][5]A.C.M Vanrooij and W.H.Schikhof A Second Course on real Functions[M]. Cambridge University Press, 1982. 44, 50, 99~100.

[2]E.H.Karlstromberg. Real And Abstract Analysis[M]. Springer-verlag Berlin Heidelberg, New York, 1978. 133.[3]J.J.Benedtto. Real Variable and Integration[M]. B.G.Teubner Stutt-gart, 1976. 22~23.

Cantor Set, Cantor Function and its Applications

LIU Ren-yi

（Department of Mathematics, Longdong University, Qingyang, Gansu 745000, China）

Key words: Cantor set; Cantor function; dense subset

［责任编辑晏兴学］

复合泊松过程及其应用_段会

相关文章