城市勘测
撕年
５
文章编号：１６７２—８２６２（２００７）０５—４８一０３中图分类号：０２ｌｌ文献标识码：Ｂ
理论平均值公式的建立及有关的理论基础
姜德国‘，周勇，跆；玲菊
（浙江玉环县城建测量队．浙江玉环３１７６００）
摘要：建立了母体参数（弘，盯２）的坐标参考系；论证了随机变量的数学期望是永恒存在的，不必设定收敛条件；推导出了理论平均值公式．它的解位于算术平均值和中位值构成的解域之内。实验验证：理论平均值套式就是随机变量取值的数学期望（估计）计算公式。
关键词：母体坐标参考系；理论平均值；密虚权
ｌ前言
长期以来，人们总是将概率论中的数学期望（预测）的观念直接搬人到数理统计巾，用于数理统计的参数估计。自１８５９年数学家卡・弗・高斯创立的最小二乘法和极大似然估计（实为算术平均值）一直沿用至今。又由契贝雪夫大数定律的推论
ｔ
ｎ
Ⅲ０有ｙ～Ⅳ（Ｏ，１）
由于ｘ与ｙ同分布，因此有灿＝ｏ，（ｒ２＝ｌ
（３）
（灿＝ｏ，一２＝１）就是确定母体空间位置的坐标参考系。如果我们把母体（肛，口２）比作“物”，那么“物”的空间位置就是ｐ；“物“的大小就是口２。母体可大到宇宙空
闽口２一＊；也可小至一个质点口２—如，囚此常以ｏ＜，
＜＊来描述口２的取值。
１
ｌｉｍＰ（［Ｉ÷三ｚ，一ｐＩ≥Ｐ］）＝ｏ
“
得到：实用上，往往用算术平均值ｘ＝÷蓦ｚ．，来作为真
值口的近似值。
随着计算技术的自动化进程，人们已经发现了最小二乘估计受污染的脱测数据的严重影响，甚至导致估值的歪曲；于是创立了ＲＯＢｕｓＴＥｓⅡＭＡＴＩｏＮ（抗差估计）研究体系。然而由ｆ抗差估计并未脱胎于最小二乘法，因此，无法彻底解决抗差问题。
本文从研究概率论中的数学期望（预测）与数理统计中的数学期望（估计）具有不同本质的事实出发，首先建立了母体参数的坐标参考系；并论证随机变量的数学期望的永恒存在，导出了理沧平均值；的公式，；总是位于算术平均值；和中位值ｉ之间，从而解决了对具有异常子样的估计问题。
３随机变量工的数学期望Ｅ（ｘ）（或Ｅ（＊））总
是存在的，不受收敛条件的限制。
（１）离散型随机变量的数学期望总是存在的。证明如下：
Ｅ（ｘ）＝三ｔ。ｐｉ
由于∑Ｐｉ＝ｌ，又由于≈来自母体，因此：
Ｅ（置）＝层（三。护，）＝Ｅ（Ⅳ）三Ｐ，＝Ｅ（ｘ）（２）连续型随机变量的数学期望总是存在的。证明如下：
Ｅ（互）２
，＋∞
∞
∞
（４）
Ｊ。。《“ｘ）出童墼，善ｚｉ“毛）／．；弘ｗ－）
（５）（６）
令ｐ，＝，（ｚ．）／∑以屯）且∑Ｐ。＝１
２母体参数的坐标参考系
不管随机变量ｘ是服从什么分布，记为盖一ｘ（“，盯２）
由中心极限定律知，它的极限分布是正态分布
ｌｉｌｎ｛ｘ～盖（ｐ，∥２）｝；互～＾ｒ（芦，口２）作变量代换ｙ＝生二世
（２）
离；
（１）
因此Ｆ（ｘ）＝Ｅ三％‘ｐ．＝层（ｘ）三Ｐ；＝Ｅ（ｘ）
４概率论中随机变量ｘ的数学期望是对母体中
心在ｆ０，１）坐标参考系的空间位置的预测Ｅ（ｘ）＝肚一０——表示母体中心离坐标原点的距
・收稿日期：２０∞—ＯＩ—２５
作者简介：姜德国（１９７４～），男，工程师。从事测绘生产及质量管理工作。
万方数据
第５期姜德国等．理论平均值公式的建立厦有关的理论基础
Ｄ（置）＝ｌ×口２——表示母体的大小。
现在举一些常见的概率分布随机变量数学期掣和方差”Ｊ进行分析。
（１）二项分机的数学期望和方差
ｐ（＊＝ｅ）的数学期望：印表示为ｐ的琊一项的空间位置；
Ｄ（置）＝口２＝哪，表示相应的大小。
分析：数学期望印，表示若在ｎ次试行中，出现ｐ项的事件的最大可能性是叩。
若ｎ一＊，则可以完全确定ｐ值，因为盥詈＝ｐ，Ｉ『ｌｊ
这时口２＝，ｗ一＊。这就是说，若取口２一ｍ空问，则可
用试验的方法唯一地确定二项分布的ｐ和ｑ。
对于质量均匀的硬币，由于正面与反面的概率为÷，因此，我们可以预测：如果将硬币投掷ｎ次，则出现
正面的最大可能性为÷‰
（２）均匀分布的数学期望和方差
Ｅ（ｘ）＝！ｉ芒——空间位置
Ｄ（ｘ）：口ｚ：掣——母体大小
分析：如果在［。，６］Ⅸ间取连续值ｘ，期望值为
Ｆ（ｚ）＝笔尘；它表示对＃取具体值屯（ｉ＝１，２，…，ｎ）
的最大可能性的预测。
（３）正态分布的数学期望和方差
Ｅ（ｘ）＝弘——空间位置Ｄ（ｘ）＝∥２——母体大小
分析：若在一∞＜ｇ＜＋ｍ取连续值鼍（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ，…），且ｚ．可正可负，又由契贝雪夫大数定律知
Ｅ（ｚ）２嬲情孕・ｊ～
（７）
如果不能取连续值＊；（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ），Ｗ，独立，那么母
体中心最可能的空间位置是算术平均值。
１
“
一吉，；屯
（４）柯西分布㈨的数学期犟
由于柯西分布的Ｅ（ｘ）＝ｆ％“＊）出不收敛，无
法求出数学期望，文献口１用推理的方法得出它的数学期望是中位值ｉ（严格的证明见（１２）式）
Ｅ（Ⅳ）＝叠
（８）
分析：若在一∞＜＃＜斗∞取连续的＃＝（ｘＩ，ｘ２，…，ｘ。，
万方数据
…），则有（８）式。如果ｚ＝（ｘ，，ｘ：，…，ｚ。），则服从柯西分布的母体中心的空间位置最有可能是巾位值ｉ。
综卜所述，慨率沦的数学期犟（预测）的本质是埘未来事件可能发生的预测。已知参数弘和一２，对取龃ｚ进行预测。作为常用的预测指标是算术平均值＊和中位值；。
５数理统计中随机变量ｘ的数学期望是对母体
中心在（０，１）坐标参考系空间位置的估计
所谓预测，是对未来事件可能发生，可能不发生，发生的几率有多大的预测。反映在概率沧中的数学期望（预测）。由于每个事件置（ｉ＝１，２，…，ｎ，…）发生的机会是相等的，如：
ａ＜』＜６
均匀分布
一∞＜ｇ＜＋＊
正态分布，柯西分布，
所以用算术平均值ｚ或中位值ｉ作为预测值将是最可
靠的。
数理统计中随机变量ｘ的数学期望（估汁）是对已发生事件可信度的评估”１。事件已经发生了，＊．（ｉ＝１，２，…，ｎ）已经实现了，在这种情况下，冉片ｊ算术平均值；或中位值ｉ对母体参数进行估计就不正确了。从而导致本文前言所阐述的弊端。应该用理论平均值；来取代算术平均值＊和中位值ｉ。这就是说：首先须对独立的每一个ｚ．（ｆ＝１，２，・～，ｎ）事件进行可靠性评定，然后计算它们的数学期望（估计）值。
设随机变量置的取值（样本）ｘ，一ｍ＜＃＜＋＊则△～ｘ—Ｅ（ｘ）或写为△＝≈一ｐ（９）
△是真误差，△具有偶然误差性质，Ｅ（△）＝Ｏ且△一Ⅳ（Ｏ，一）有
，＋∞
，十∞
Ｅ（△）＝ｏ＝ｆ△＾△）ｄ△＝Ｊ
（ｘ—ｐ），（＊一肛）也
彗疆龇王（＊；一ｐ≯厂（并．一肛）／Ｅ厂（ｘ．一ｐ）
∞
＊
三量ｔ。一壶（”∥／主ｅ一壶（一∥
得到ｐ：塞卵一扫一∥／萎ｅ一拇彬
（１０）
由于ｏ＜盯２＜＋∞，当盯２＿÷∞，则（Ｉｏ）式为
，ｌ
“
１
ｐ２璺｛音，善。ｔ｝２Ｅ（＊）
（１１）
这是正态分布的情况，当口２—＋０，则只有＊。＝肛的密度
权
ｌｉｍｅ一壶（ｒｐ）２＝ｌｉｍｅ一寺（ｏ）２：１
一—＋ｏ
一＿０
其余的札（％≮￡）的密度权为零。于是由（１０）式得到柯西分布的数学期望是中位值ｉ，即
５０
城市勘测
砌年
ｘ＝３６３．４．矿＝±８０３．１
ｐ
２｝嚣正。Ｅ（ｚ）
（１２）
（１３）
取ｐ．＝ｅ寿‘一∥／ｉ垂１ｅ一壶‘一∥
式中Ｐ．为ｘ，的概率。于是（１０）式为
∞
未＝６３．７．孑＝±８７０．２五＝４．６．孑＝±８９７．７
可以看出，ｘ偏高；“偏低，而；适中。
为ｒ榆验（１４）式的正确性。我们用文献Ｈ１的算例进行检验。
例２设Ｈ挺钢筋的抗拉指标分别为
１１０，１２０，１２０，１２５，】２５，１２５，１３０，１３０，１３５，１４０
肛２．；ｘ－ｐ－：Ｅ（ｘ）
与（４）式同。我们称（１０）式为理论平均值。数理统计中，已知条件是＊．（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ），待估计的最是ｐ和∥２。这与概率论中的已知条件和所求条件正好相反的。下面推导求ｐ、一的公式：因为
按（１４）式求得平均抗拉指标为；＝１２６与文献“３用数
一２，暑音（妒ｐｒ
顾及（１０）式，得到求肛和口２的公式：
学期单公式１ｌｏ×击＋１２０×孟＋１２５×斋＋１３０ｘ孟
＋１３５。南＋１４０。南“２６相同。
（１６）式适用于自由子样一＊＜Ⅳ＜＋＊的理论平均值；对于约束子样肛一孑＜＊‘ｐ＋≥，其中吾为先验标准差。由于母体大小为孑２已知，所以得到约束子样的理论平均值公式为：
ｐ：芝叩一拇训”三ｅ一知一”ａ２。善音（＂ｐ）２
又由于ｘ．（江１，２，…，Ｈ），所以将｝：式改写为实用形
式：
五：±叩一扫一肼／主。一赤慨埘２
（１６）
五：兰ｚ．ｅ一南ｃ一二，２／圭ｅ一赤“；一二”
冉击弘书：
；］，简写成五Ｅ［ｉ，；］，称为估计域。且
ｌｉｍ茹＝１ｉｍ；＝ｌｉｍ未＝“
‘１４’
参考文献
用（１６）式可彻底解决因受污染影响的抗差估计问题。
迭代求解。求得的五以；表示，刚五＝；。不难看出，
由于Ｏ＜盯２＜∞，而Ｏ＜扩＜∞，而＊是矿２－十∞的解，
［１］刘蒂秦，张克仁．概率论与数理统计．上海：上海科学技术文献出版社．１９９Ｉ：Ｐｊ７４．
即五＝ｘ；ｉ是口２枷的解，即正＝ｉ；罔此必有五∈［ｉ，；，
（１５）
［２］陈希孺．概率论与数理统计．合肥：中国科学技术戈学出版社．１９９２
［３］黄杰权的公理化定艾厦其应用．测绘通报，１９９７（４）：２
，４．
例ｌ设有子样值
￥＝（３．１。５．２。４．６，４．２，ｌ８００．Ｏ）
［４］王福保，李炳纠．概率论与数理统计．上海：同济大学出
版社，１９９４：Ｐｆ３８
分别求；，；，ｉ，得
Ｔｈｅ
ＥｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔｏｆｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌＡｖｅｒａｇｅＶａｌｕｅ
Ｆｏｒｍｕｌａ
ａｎｄＲｅｌａｔｅｄＲａｔｉｏｎａｌｅ
ＪｉａｎｇＤｅＧｕｏ，ｚｈｏｕＹｏ“ｇ，ＣｈｅｎＬｉｎｇＪ“
（ｕｒｂａⅡｃｏｎｓｔｍｃｔｉｏｎ
ｓｕｒｖｅｙｉｎｇｇｒｏｕｐ
ｏｆｌ‰Ｈｕａｎ
ｃｏｕｎｔｙ，Ｙｕｈｕａｎ
３１７６００，ｃｈｉｎａ）
ｏｎｌｙｐｒｏＶｅｓｔ１１ａｔｒａｎｄｏｍ
ｄｅｄｕｃｅｓｍｅｏｒｅｔｉ。
Ａｂｓｔｒａｄ：Ｔｈｅｐａｓｓａｇｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｔｈｅｍａｔｒ—ｐａｒａ而ｅｔｅｆｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｒｅｆｂｒｅｎｃｅ８ｙｓｔｅｍ；Ｉｔ
ｖ８ｒｊａｂｌｅ童ｍａｔｈｍａｔｉｃａｎ廿ｃｉｐａｔｉｏｎａｌｗ８ｙｓｅ“ｓｔａｎｄｍｕｓｔｎｔｃｏｎ矗ｇＩｌｍｔｈｅｃｏｎｓｔＩｊｎｇｅｎｃｙｃａＩａｖ。ｒａｇｅｖａｌｕｅ
ｏｕｔ
ｎｏｔ
ｃｏｎ肌ｉｏｎ，ｂｕｔ出ｓｏ
Ｖ“ａ１）ｌｅ．
ｆ０硼ｕＩａ
ｗｈｏｓｅｖａｌｕｅｉｓｉｎｔｈｅｒａ“ｇｅｂｅｔｗｅｅｎａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ
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ｎｌｅｄｉａｌｌ．Ｔｈｅｅｌｐｅ订ｍｅｎｔｔｕｍｓ
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ｏｆｒ出ｌｄｏｍ
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ｗｅｉｇｈｔ
万方数据
城市勘测
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５
文章编号：１６７２—８２６２（２００７）０５—４８一０３中图分类号：０２ｌｌ文献标识码：Ｂ
理论平均值公式的建立及有关的理论基础
姜德国‘，周勇，跆；玲菊
（浙江玉环县城建测量队．浙江玉环３１７６００）
摘要：建立了母体参数（弘，盯２）的坐标参考系；论证了随机变量的数学期望是永恒存在的，不必设定收敛条件；推导出了理论平均值公式．它的解位于算术平均值和中位值构成的解域之内。实验验证：理论平均值套式就是随机变量取值的数学期望（估计）计算公式。
关键词：母体坐标参考系；理论平均值；密虚权
ｌ前言
长期以来，人们总是将概率论中的数学期望（预测）的观念直接搬人到数理统计巾，用于数理统计的参数估计。自１８５９年数学家卡・弗・高斯创立的最小二乘法和极大似然估计（实为算术平均值）一直沿用至今。又由契贝雪夫大数定律的推论
ｔ
ｎ
Ⅲ０有ｙ～Ⅳ（Ｏ，１）
由于ｘ与ｙ同分布，因此有灿＝ｏ，（ｒ２＝ｌ
（３）
（灿＝ｏ，一２＝１）就是确定母体空间位置的坐标参考系。如果我们把母体（肛，口２）比作“物”，那么“物”的空间位置就是ｐ；“物“的大小就是口２。母体可大到宇宙空
闽口２一＊；也可小至一个质点口２—如，囚此常以ｏ＜，
＜＊来描述口２的取值。
１
ｌｉｍＰ（［Ｉ÷三ｚ，一ｐＩ≥Ｐ］）＝ｏ
“
得到：实用上，往往用算术平均值ｘ＝÷蓦ｚ．，来作为真
值口的近似值。
随着计算技术的自动化进程，人们已经发现了最小二乘估计受污染的脱测数据的严重影响，甚至导致估值的歪曲；于是创立了ＲＯＢｕｓＴＥｓⅡＭＡＴＩｏＮ（抗差估计）研究体系。然而由ｆ抗差估计并未脱胎于最小二乘法，因此，无法彻底解决抗差问题。
本文从研究概率论中的数学期望（预测）与数理统计中的数学期望（估计）具有不同本质的事实出发，首先建立了母体参数的坐标参考系；并论证随机变量的数学期望的永恒存在，导出了理沧平均值；的公式，；总是位于算术平均值；和中位值ｉ之间，从而解决了对具有异常子样的估计问题。
３随机变量工的数学期望Ｅ（ｘ）（或Ｅ（＊））总
是存在的，不受收敛条件的限制。
（１）离散型随机变量的数学期望总是存在的。证明如下：
Ｅ（ｘ）＝三ｔ。ｐｉ
由于∑Ｐｉ＝ｌ，又由于≈来自母体，因此：
Ｅ（置）＝层（三。护，）＝Ｅ（Ⅳ）三Ｐ，＝Ｅ（ｘ）（２）连续型随机变量的数学期望总是存在的。证明如下：
Ｅ（互）２
，＋∞
∞
∞
（４）
Ｊ。。《“ｘ）出童墼，善ｚｉ“毛）／．；弘ｗ－）
（５）（６）
令ｐ，＝，（ｚ．）／∑以屯）且∑Ｐ。＝１
２母体参数的坐标参考系
不管随机变量ｘ是服从什么分布，记为盖一ｘ（“，盯２）
由中心极限定律知，它的极限分布是正态分布
ｌｉｌｎ｛ｘ～盖（ｐ，∥２）｝；互～＾ｒ（芦，口２）作变量代换ｙ＝生二世
（２）
离；
（１）
因此Ｆ（ｘ）＝Ｅ三％‘ｐ．＝层（ｘ）三Ｐ；＝Ｅ（ｘ）
４概率论中随机变量ｘ的数学期望是对母体中
心在ｆ０，１）坐标参考系的空间位置的预测Ｅ（ｘ）＝肚一０——表示母体中心离坐标原点的距
・收稿日期：２０∞—ＯＩ—２５
作者简介：姜德国（１９７４～），男，工程师。从事测绘生产及质量管理工作。
万方数据
第５期姜德国等．理论平均值公式的建立厦有关的理论基础
Ｄ（置）＝ｌ×口２——表示母体的大小。
现在举一些常见的概率分布随机变量数学期掣和方差”Ｊ进行分析。
（１）二项分机的数学期望和方差
ｐ（＊＝ｅ）的数学期望：印表示为ｐ的琊一项的空间位置；
Ｄ（置）＝口２＝哪，表示相应的大小。
分析：数学期望印，表示若在ｎ次试行中，出现ｐ项的事件的最大可能性是叩。
若ｎ一＊，则可以完全确定ｐ值，因为盥詈＝ｐ，Ｉ『ｌｊ
这时口２＝，ｗ一＊。这就是说，若取口２一ｍ空问，则可
用试验的方法唯一地确定二项分布的ｐ和ｑ。
对于质量均匀的硬币，由于正面与反面的概率为÷，因此，我们可以预测：如果将硬币投掷ｎ次，则出现
正面的最大可能性为÷‰
（２）均匀分布的数学期望和方差
Ｅ（ｘ）＝！ｉ芒——空间位置
Ｄ（ｘ）：口ｚ：掣——母体大小
分析：如果在［。，６］Ⅸ间取连续值ｘ，期望值为
Ｆ（ｚ）＝笔尘；它表示对＃取具体值屯（ｉ＝１，２，…，ｎ）
的最大可能性的预测。
（３）正态分布的数学期望和方差
Ｅ（ｘ）＝弘——空间位置Ｄ（ｘ）＝∥２——母体大小
分析：若在一∞＜ｇ＜＋ｍ取连续值鼍（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ，…），且ｚ．可正可负，又由契贝雪夫大数定律知
Ｅ（ｚ）２嬲情孕・ｊ～
（７）
如果不能取连续值＊；（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ），Ｗ，独立，那么母
体中心最可能的空间位置是算术平均值。
１
“
一吉，；屯
（４）柯西分布㈨的数学期犟
由于柯西分布的Ｅ（ｘ）＝ｆ％“＊）出不收敛，无
法求出数学期望，文献口１用推理的方法得出它的数学期望是中位值ｉ（严格的证明见（１２）式）
Ｅ（Ⅳ）＝叠
（８）
分析：若在一∞＜＃＜斗∞取连续的＃＝（ｘＩ，ｘ２，…，ｘ。，
万方数据
…），则有（８）式。如果ｚ＝（ｘ，，ｘ：，…，ｚ。），则服从柯西分布的母体中心的空间位置最有可能是巾位值ｉ。
综卜所述，慨率沦的数学期犟（预测）的本质是埘未来事件可能发生的预测。已知参数弘和一２，对取龃ｚ进行预测。作为常用的预测指标是算术平均值＊和中位值；。
５数理统计中随机变量ｘ的数学期望是对母体
中心在（０，１）坐标参考系空间位置的估计
所谓预测，是对未来事件可能发生，可能不发生，发生的几率有多大的预测。反映在概率沧中的数学期望（预测）。由于每个事件置（ｉ＝１，２，…，ｎ，…）发生的机会是相等的，如：
ａ＜』＜６
均匀分布
一∞＜ｇ＜＋＊
正态分布，柯西分布，
所以用算术平均值ｚ或中位值ｉ作为预测值将是最可
靠的。
数理统计中随机变量ｘ的数学期望（估汁）是对已发生事件可信度的评估”１。事件已经发生了，＊．（ｉ＝１，２，…，ｎ）已经实现了，在这种情况下，冉片ｊ算术平均值；或中位值ｉ对母体参数进行估计就不正确了。从而导致本文前言所阐述的弊端。应该用理论平均值；来取代算术平均值＊和中位值ｉ。这就是说：首先须对独立的每一个ｚ．（ｆ＝１，２，・～，ｎ）事件进行可靠性评定，然后计算它们的数学期望（估计）值。
设随机变量置的取值（样本）ｘ，一ｍ＜＃＜＋＊则△～ｘ—Ｅ（ｘ）或写为△＝≈一ｐ（９）
△是真误差，△具有偶然误差性质，Ｅ（△）＝Ｏ且△一Ⅳ（Ｏ，一）有
，＋∞
，十∞
Ｅ（△）＝ｏ＝ｆ△＾△）ｄ△＝Ｊ
（ｘ—ｐ），（＊一肛）也
彗疆龇王（＊；一ｐ≯厂（并．一肛）／Ｅ厂（ｘ．一ｐ）
∞
＊
三量ｔ。一壶（”∥／主ｅ一壶（一∥
得到ｐ：塞卵一扫一∥／萎ｅ一拇彬
（１０）
由于ｏ＜盯２＜＋∞，当盯２＿÷∞，则（Ｉｏ）式为
，ｌ
“
１
ｐ２璺｛音，善。ｔ｝２Ｅ（＊）
（１１）
这是正态分布的情况，当口２—＋０，则只有＊。＝肛的密度
权
ｌｉｍｅ一壶（ｒｐ）２＝ｌｉｍｅ一寺（ｏ）２：１
一—＋ｏ
一＿０
其余的札（％≮￡）的密度权为零。于是由（１０）式得到柯西分布的数学期望是中位值ｉ，即
５０
城市勘测
砌年
ｘ＝３６３．４．矿＝±８０３．１
ｐ
２｝嚣正。Ｅ（ｚ）
（１２）
（１３）
取ｐ．＝ｅ寿‘一∥／ｉ垂１ｅ一壶‘一∥
式中Ｐ．为ｘ，的概率。于是（１０）式为
∞
未＝６３．７．孑＝±８７０．２五＝４．６．孑＝±８９７．７
可以看出，ｘ偏高；“偏低，而；适中。
为ｒ榆验（１４）式的正确性。我们用文献Ｈ１的算例进行检验。
例２设Ｈ挺钢筋的抗拉指标分别为
１１０，１２０，１２０，１２５，】２５，１２５，１３０，１３０，１３５，１４０
肛２．；ｘ－ｐ－：Ｅ（ｘ）
与（４）式同。我们称（１０）式为理论平均值。数理统计中，已知条件是＊．（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ），待估计的最是ｐ和∥２。这与概率论中的已知条件和所求条件正好相反的。下面推导求ｐ、一的公式：因为
按（１４）式求得平均抗拉指标为；＝１２６与文献“３用数
一２，暑音（妒ｐｒ
顾及（１０）式，得到求肛和口２的公式：
学期单公式１ｌｏ×击＋１２０×孟＋１２５×斋＋１３０ｘ孟
＋１３５。南＋１４０。南“２６相同。
（１６）式适用于自由子样一＊＜Ⅳ＜＋＊的理论平均值；对于约束子样肛一孑＜＊‘ｐ＋≥，其中吾为先验标准差。由于母体大小为孑２已知，所以得到约束子样的理论平均值公式为：
ｐ：芝叩一拇训”三ｅ一知一”ａ２。善音（＂ｐ）２
又由于ｘ．（江１，２，…，Ｈ），所以将｝：式改写为实用形
式：
五：±叩一扫一肼／主。一赤慨埘２
（１６）
五：兰ｚ．ｅ一南ｃ一二，２／圭ｅ一赤“；一二”
冉击弘书：
；］，简写成五Ｅ［ｉ，；］，称为估计域。且
ｌｉｍ茹＝１ｉｍ；＝ｌｉｍ未＝“
‘１４’
参考文献
用（１６）式可彻底解决因受污染影响的抗差估计问题。
迭代求解。求得的五以；表示，刚五＝；。不难看出，
由于Ｏ＜盯２＜∞，而Ｏ＜扩＜∞，而＊是矿２－十∞的解，
［１］刘蒂秦，张克仁．概率论与数理统计．上海：上海科学技术文献出版社．１９９Ｉ：Ｐｊ７４．
即五＝ｘ；ｉ是口２枷的解，即正＝ｉ；罔此必有五∈［ｉ，；，
（１５）
［２］陈希孺．概率论与数理统计．合肥：中国科学技术戈学出版社．１９９２
［３］黄杰权的公理化定艾厦其应用．测绘通报，１９９７（４）：２
，４．
例ｌ设有子样值
￥＝（３．１。５．２。４．６，４．２，ｌ８００．Ｏ）
［４］王福保，李炳纠．概率论与数理统计．上海：同济大学出
版社，１９９４：Ｐｆ３８
分别求；，；，ｉ，得
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