关于椭圆的最值问题
1．定义法
例1。P(-2,
和最小值。 x2y2+=1的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF︱的最大值),F2为椭圆25162分析：欲求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 ︱MF2︱=2a-︱MF1︱, F1为椭圆的左焦点。 解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1延长PF1
交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知
–︱PF1︱≤︱MP︱-︱MF1︱≤︱PF1︱当且仅当M与M1
22a=10, ︱PF1︱=2所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12, （︱MP︱+︱MF2︱）min=8
x2y2
结论1：设椭圆2+2=1的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意ab
一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱,最小值为2a–︱PF1︱。
x2y2
+=1的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF︱的最大值和例2：P(-2,6),F2为椭圆25162
最小值。
分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使︱MP︱+︱MF2︱值最小，求最大值方法同例1。 解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时︱MP︱-︱MF1︱取最大值︱PF1︱。∴︱MP︱+︱MF2︱最大值是10+37，最小值是41。
x2y2
结论2：设椭圆2+2=1的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，ab
则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱，最小值为PF2。
2.二次函数法
x2y2
例3．求定点A(a,0)到椭圆2+2=1上的点之间的最短距离。 ab
分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱PA︱，转化为x,y的函数，求最小值。
解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱PA︱=(x-a)+y =(x-a)+1-222211x=(x-2a)2+1-a由椭圆方2222程知x的取值范围是[-2,2]
（1） 若︱a︱≤22,则x=2a时︱PA︱min=-a2
（2） 若a>22,则x=2时︱PA︱min=︱a－2︱
（3） 若a
x2y2
结论3：椭圆2+2=1上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式ab
表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。
3.三角函数法
x2
2例4：椭圆2+y=1上的点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离记为d,求d的最值。 4
分析：若按例3那样d=
的参数方程，即三角换元。 x+2y-4转化为x或y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆
解：d=x+2y-4= ∵x2+y2=124 ∴令⎧x=2coθs(θ∈R)⎨y=siθn⎩ 则d=2cosθ+2sinθ-45
+22sin(θ+π4)-2 当sin(θπ
4)=1时,dmin=π4-24+2, 当sin(θ+)=﹣1时,dmax= 455
结论x2y24：若椭圆2+2=1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，ab
统一变量转化为三角函数求最值。
4.判别式法
例4的解决还可以用下面方法
把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。
解。令直线m：x+2y+c=0 将x=﹣2y﹣c代入椭圆方程整理得8y2+4cy+c2-4=0，由△=0解得c=±2c=-22, 2 时直线m：x+2y-22=0与椭圆切于点P,则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行
45-2 5直线m与l的距离，所以dmin=
c=22时直线m：x+2y+22=0与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行
直线m与l的距离，所以dmax=4 2。 5
结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。
说明：有些题目可以用几种不同的方法去解决，我们必须清楚它们的最优解法，以便提高做题速度及准确率。
关于椭圆的最值问题
1．定义法
例1。P(-2,
和最小值。 x2y2+=1的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF︱的最大值),F2为椭圆25162分析：欲求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 ︱MF2︱=2a-︱MF1︱, F1为椭圆的左焦点。 解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1延长PF1
交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知
–︱PF1︱≤︱MP︱-︱MF1︱≤︱PF1︱当且仅当M与M1
22a=10, ︱PF1︱=2所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12, （︱MP︱+︱MF2︱）min=8
x2y2
结论1：设椭圆2+2=1的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意ab
一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱,最小值为2a–︱PF1︱。
x2y2
+=1的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF︱的最大值和例2：P(-2,6),F2为椭圆25162
最小值。
分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使︱MP︱+︱MF2︱值最小，求最大值方法同例1。 解：︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时︱MP︱-︱MF1︱取最大值︱PF1︱。∴︱MP︱+︱MF2︱最大值是10+37，最小值是41。
x2y2
结论2：设椭圆2+2=1的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，ab
则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱，最小值为PF2。
2.二次函数法
x2y2
例3．求定点A(a,0)到椭圆2+2=1上的点之间的最短距离。 ab
分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱PA︱，转化为x,y的函数，求最小值。
解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱PA︱=(x-a)+y =(x-a)+1-222211x=(x-2a)2+1-a由椭圆方2222程知x的取值范围是[-2,2]
（1） 若︱a︱≤22,则x=2a时︱PA︱min=-a2
（2） 若a>22,则x=2时︱PA︱min=︱a－2︱
（3） 若a
x2y2
结论3：椭圆2+2=1上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式ab
表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。
3.三角函数法
x2
2例4：椭圆2+y=1上的点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离记为d,求d的最值。 4
分析：若按例3那样d=
的参数方程，即三角换元。 x+2y-4转化为x或y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆
解：d=x+2y-4= ∵x2+y2=124 ∴令⎧x=2coθs(θ∈R)⎨y=siθn⎩ 则d=2cosθ+2sinθ-45
+22sin(θ+π4)-2 当sin(θπ
4)=1时,dmin=π4-24+2, 当sin(θ+)=﹣1时,dmax= 455
结论x2y24：若椭圆2+2=1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，ab
统一变量转化为三角函数求最值。
4.判别式法
例4的解决还可以用下面方法
把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。
解。令直线m：x+2y+c=0 将x=﹣2y﹣c代入椭圆方程整理得8y2+4cy+c2-4=0，由△=0解得c=±2c=-22, 2 时直线m：x+2y-22=0与椭圆切于点P,则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行
45-2 5直线m与l的距离，所以dmin=
c=22时直线m：x+2y+22=0与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行
直线m与l的距离，所以dmax=4 2。 5
结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。
说明：有些题目可以用几种不同的方法去解决，我们必须清楚它们的最优解法，以便提高做题速度及准确率。