切线证明法
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．
【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．
思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．
证明：连接OC，BC．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º． ∵∠CAB＝30º，∴BC＝∵BD＝OB，∴BC＝
1
AB＝OB． 2
图1
1
OD．∴∠OCD＝90º． 2
∴DC是⊙O的切线．
【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．
思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可．
证明：连接OD．
∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
图2
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º． ∴DC是⊙O的切线．
【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．
思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．
证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD． ∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2． ∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC平分∠DAB．
【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．
【例4】 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？ 解：AC是⊙O的切线． 理由：连接OC， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠B．
∵∠COD是△BOC的外角， ∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B． ∵∠ACD=2∠B， ∴∠ACD=∠COD． ∵CD⊥AB 于D， ∴∠DCO+∠COD=90°． ∴∠DCO+∠ACD=90°． 即OC⊥AC．
∵C为 ⊙O上的点，
∴AC是⊙O的切线．
【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．
图3
证明：连接OC，则OA=OC， ∴∠CAO=∠ACO， ∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ， ∴AE∥CO， 又AE⊥DE， ∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径
【例6】 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D． 证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E． ∵AB=AC,OB=OC．
∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO ∵⊙O与AB相切于点D， ∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO ∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．
∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径． ∴⊙O与AC 边相切．
【例7】 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4.
⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2.
⌒
又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径，
∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=90.
∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线，
⌒ ⌒
∴BE=CE，
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵OB=OD， ∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切
证明二：连结OD，AD.
∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC,
∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，
∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD⊥DM. ∴DM是⊙O的切线
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.
【例10】 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.
求证：DC是⊙O的切线 证明：连结OC、BC. ∵OA=OC， ∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600
.
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD， ∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC是⊙O的切线.
说明：此题解法颇多，但这种方法较好.
【例12】 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 证明：连结OC
∵OA2=OD·OP，OA=OC， ∴OC2=OD·OP，
OCOP
. ODOC
又∵∠1=∠1， ∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB， ∴∠OCP=900. ∴PC是⊙O的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
【例13】 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.
求证：CE与△CFG的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.
证明：取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，△CFG是Rt△ ∵O是FG的中点， ∴O是Rt△CFG的外心. ∵OC=OG， ∴∠3=∠G， ∵AD∥BC， ∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
∠ADE=∠CDE=450， ∴△ADE≌△CDE（SAS）
∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 【例14】 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切.
证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足. ∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB. ∵DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.
又∵BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS） ∴DF=DE.
∴F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切线
证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB与⊙D相切， ∴DE⊥AB.
∵AB=AC，BD=CD， ∴∠1=∠2.
∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∴F在⊙D上. ∴AC与⊙D相切.
说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.
【例15】 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线.
证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.
∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB，
∴△AOF≌△BOD（AAS） ∴OF=OD. ∵∠COD=900， ∴CF=CD，∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.
切线证明法
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．
【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．
思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．
证明：连接OC，BC．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º． ∵∠CAB＝30º，∴BC＝∵BD＝OB，∴BC＝
1
AB＝OB． 2
图1
1
OD．∴∠OCD＝90º． 2
∴DC是⊙O的切线．
【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．
思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可．
证明：连接OD．
∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
图2
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º． ∴DC是⊙O的切线．
【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．
思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．
证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD． ∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2． ∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC平分∠DAB．
【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．
【例4】 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？ 解：AC是⊙O的切线． 理由：连接OC， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠B．
∵∠COD是△BOC的外角， ∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B． ∵∠ACD=2∠B， ∴∠ACD=∠COD． ∵CD⊥AB 于D， ∴∠DCO+∠COD=90°． ∴∠DCO+∠ACD=90°． 即OC⊥AC．
∵C为 ⊙O上的点，
∴AC是⊙O的切线．
【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．
图3
证明：连接OC，则OA=OC， ∴∠CAO=∠ACO， ∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ， ∴AE∥CO， 又AE⊥DE， ∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径
【例6】 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D． 证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E． ∵AB=AC,OB=OC．
∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO ∵⊙O与AB相切于点D， ∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO ∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．
∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径． ∴⊙O与AC 边相切．
【例7】 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4.
⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2.
⌒
又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径，
∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=90.
∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线，
⌒ ⌒
∴BE=CE，
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵OB=OD， ∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切
证明二：连结OD，AD.
∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC,
∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，
∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD⊥DM. ∴DM是⊙O的切线
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.
【例10】 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.
求证：DC是⊙O的切线 证明：连结OC、BC. ∵OA=OC， ∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600
.
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD， ∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC是⊙O的切线.
说明：此题解法颇多，但这种方法较好.
【例12】 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 证明：连结OC
∵OA2=OD·OP，OA=OC， ∴OC2=OD·OP，
OCOP
. ODOC
又∵∠1=∠1， ∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB， ∴∠OCP=900. ∴PC是⊙O的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
【例13】 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.
求证：CE与△CFG的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.
证明：取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，△CFG是Rt△ ∵O是FG的中点， ∴O是Rt△CFG的外心. ∵OC=OG， ∴∠3=∠G， ∵AD∥BC， ∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
∠ADE=∠CDE=450， ∴△ADE≌△CDE（SAS）
∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 【例14】 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切.
证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足. ∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB. ∵DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.
又∵BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS） ∴DF=DE.
∴F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切线
证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB与⊙D相切， ∴DE⊥AB.
∵AB=AC，BD=CD， ∴∠1=∠2.
∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∴F在⊙D上. ∴AC与⊙D相切.
说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.
【例15】 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线.
证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.
∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB，
∴△AOF≌△BOD（AAS） ∴OF=OD. ∵∠COD=900， ∴CF=CD，∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.