一、长期均衡关系与协整
二、协整检验
三、误差修正模型第三节协整与误差修正模型
1
2一、长期均衡关系与协整
0、问题的提出
•经典回归模型（classical regression model）是建立在稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。
•由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。
•但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。
•例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中：
因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能，其原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration）。
3
1、长期均衡
经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。
假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述
Yt=α0+α1Xt+μt
式中:μt是随机扰动项。
该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为 α0+α1X。
4
在t-1期末，存在下述三种情形之一：
（1）Y等于它的均衡值：Yt-1= α0+α1Xt；
（2）Y小于它的均衡值：Yt-1
（3）Y大于它的均衡值：Yt-1>α0+α1Xt；
在时期t，假设X有一个变化量ΔXt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出:
ΔYt=α1ΔXt+vt
式中，vt=μt-μt-1。
5
实际情况往往并非如此
如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化ΔYt大一些；
反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小于第一种情形下的ΔYt。
可见，如果Yt=α0+α1Xt+μt正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。
因此，一个重要的假设就是:随机扰动项μt必须是平稳序列。
显然，如果μt有随机性趋势（上升或下降），则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。
6
式Yt=α0+α1Xt+μt中的随机扰动项也被称为非均衡误差（disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合：
μt=Yt−α0−α1Xt(*)
因此，如果Yt=α0+α1Xt+μt式所示的X与Y间的长期均衡关系正确的话，（*）式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。从这里已看到，非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。
例如：假设Yt=α0+α1Xt+μt式中的X与Y是I(1)序列，如果该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由非均衡误差（*）式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称变量X与Y是协整的（cointegrated）。
7
⒉协整
如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量
α=(α1,α2,…,αk)，使得
Zt= αXT ~ I(d-b)
其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，α为协整向量（cointegratedvector）。
在中国居民人均消费与人均GDP的例中，该两序列都是2阶单整序列，而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列为0阶单整序列，于是认为该两序列是(2,2)阶协整。
由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。
8
三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。
例如，如果存在：
Wt~I(1),Vt~I(2),Ut~I(2)
并且
Pt=aVt+bUt~I(1)
Qt=cWt+ePt~I(0)
那么认为：
Vt,Ut~CI(2,1)
Wt,Pt~CI(1,1)
9
从协整的定义可以看出:
（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。
例如：前面提到的中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整，并且将会看到，它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型
CPCt=α0+α1GDPPCt+μt
变量选择是合理的，随机误差项一定是“白噪声”（即均值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经济解释。
这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用
10经典的回归分析方法建立回归模型的原因。
•从这里，我们已经初步认识到：检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。
而且，从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的。
11
二、协整检验
12
1、两变量的Engle-Granger检验
为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。
第一步，用OLS方法估计方程Yt=α0+α1Xt+μt并计算非均衡误差，得到：
ˆ=αˆ0+αˆ1XtYt
ˆˆ=Y−Ye
t
t
t
称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression)。
一、长期均衡关系与协整
二、协整检验
三、误差修正模型第三节协整与误差修正模型
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2一、长期均衡关系与协整
0、问题的提出
•经典回归模型（classical regression model）是建立在稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。
•由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。
•但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。
•例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中：
因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能，其原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration）。
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1、长期均衡
经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。
假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述
Yt=α0+α1Xt+μt
式中:μt是随机扰动项。
该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为 α0+α1X。
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在t-1期末，存在下述三种情形之一：
（1）Y等于它的均衡值：Yt-1= α0+α1Xt；
（2）Y小于它的均衡值：Yt-1
（3）Y大于它的均衡值：Yt-1>α0+α1Xt；
在时期t，假设X有一个变化量ΔXt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出:
ΔYt=α1ΔXt+vt
式中，vt=μt-μt-1。
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实际情况往往并非如此
如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化ΔYt大一些；
反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小于第一种情形下的ΔYt。
可见，如果Yt=α0+α1Xt+μt正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。
因此，一个重要的假设就是:随机扰动项μt必须是平稳序列。
显然，如果μt有随机性趋势（上升或下降），则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。
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式Yt=α0+α1Xt+μt中的随机扰动项也被称为非均衡误差（disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合：
μt=Yt−α0−α1Xt(*)
因此，如果Yt=α0+α1Xt+μt式所示的X与Y间的长期均衡关系正确的话，（*）式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。从这里已看到，非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。
例如：假设Yt=α0+α1Xt+μt式中的X与Y是I(1)序列，如果该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由非均衡误差（*）式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称变量X与Y是协整的（cointegrated）。
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⒉协整
如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量
α=(α1,α2,…,αk)，使得
Zt= αXT ~ I(d-b)
其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，α为协整向量（cointegratedvector）。
在中国居民人均消费与人均GDP的例中，该两序列都是2阶单整序列，而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列为0阶单整序列，于是认为该两序列是(2,2)阶协整。
由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。
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三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。
例如，如果存在：
Wt~I(1),Vt~I(2),Ut~I(2)
并且
Pt=aVt+bUt~I(1)
Qt=cWt+ePt~I(0)
那么认为：
Vt,Ut~CI(2,1)
Wt,Pt~CI(1,1)
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从协整的定义可以看出:
（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。
例如：前面提到的中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整，并且将会看到，它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型
CPCt=α0+α1GDPPCt+μt
变量选择是合理的，随机误差项一定是“白噪声”（即均值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经济解释。
这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用
10经典的回归分析方法建立回归模型的原因。
•从这里，我们已经初步认识到：检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。
而且，从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的。
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二、协整检验
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1、两变量的Engle-Granger检验
为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。
第一步，用OLS方法估计方程Yt=α0+α1Xt+μt并计算非均衡误差，得到：
ˆ=αˆ0+αˆ1XtYt
ˆˆ=Y−Ye
t
t
t
称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression)。