2015年吉林数学理科高考试题及答案解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝, 则A∩B=（ ）
（A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0, ，1，2｝
【答案】A
【解析】由已知得B =x -2
{}
B ={-1,0}，故选A
（2）若a 为实数且（2+ai）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答案】B 【解析】
（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是(
)
（A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现
（C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D
【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．
（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+a 3+a 5 =21，则a 3+a 5+a 7= ( )
（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 【答案】B 【解析】
（5）设函数f (x ) =⎨
⎧1+log 2(2-x ), x
x -1
, f (-2) +f (log212) =( )
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】C
【解析】由已知得
f (-2) =1+log 24=3，又l o 2g >1，2所1以
f (log212) =2log 212-1=2log 26=6，故 f (-2) +f (log212) =9．
（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
（A ）
1111
（B ） （C ） （D ） 8765
【答案】D
【解析】由三视图得，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A -A 1B 1D 1，如图所示，，
1511313
⨯a =a ，故剩余几何体体积为a 3-a 3=a 3，
66326
1
所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．
5
设正方体棱长为a ，则V A -A 1B 1D 1=
1
A A
（7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =
（A ）2 （B ）8 （C
）46 （D ）10
【答案】C 【解析】
（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的―更相减损术‖。执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18，则输出的a=
A.0 B.2 C.4 D.14 【答案】B
【解析】程序在执行过程中，a ，b 的值依次为a =14，b =18；b =4；a =10；a =6；a =2；b =2，此时a =b =2程序结束，输出a 的值为2，故选B ．
（9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为 A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C
【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O -ABC 的体积最
大，设球O 的半径为R ，此时V O -ABC =V C -AOB =球O 的表面积为
1121
⨯R ⨯R =R 3=36，故R =6，则326
S =4πR 2=144π，故选C ．
10. 如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA
运动，记∠BOP=x．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则
f （
x ）的图像大致为
【答案】B 【解析】
的运动过程可以看出，轨迹关于直线x =
π
2
对称，且f () >f () ，且轨迹非线型，故选
ππ
42
B ．
（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为
（A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2
【答案】D 【解析】
（12）设函数f’(x)是奇函数f (x )(x ∈R ) 的导函数，（f -1）=0，当x >0时，xf ' (x ) -f (x ) 0成立的x 的取值范围是 （A ）
（B ）
（C ）【答案】A 【解析】
（D ）
f (x ) xf ' (x ) -f (x ) ' '
x >0记函数g (x ) =，则g (x ) =，因为当时，xf (x ) -f (x )
x x
故当x >0时，g ' (x )
00，则f (x ) >0；当x 0，综上所
述，使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是
(-∞, -1) (0,1)，故选A ．
二、填空题
（13）设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=_________． 【答案】
1 2
⎧λ=k ，
【解析】因为向量λa +b 与a +2b 平行，所以λa +b =（，则⎨所以k a +2b ）
1=2k , ⎩
λ=
1
． 2
⎧x -y +1≥0，⎪
（14）若x ，y 满足约束条件⎨x -2y ≤0, ，则z =x +y 的最大值为____________．
⎪x +2y -2≤0, ⎩
【答案】
3 2
（15）(a +x )(1+x ) 4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3
【解析】由已知得(1+x ) 4=1+4x +6x 2+4x 3+x 4，故(a +x ) (1+x )
4
的展开式中x 的奇数
335次幂项分别为4ax ，4ax ，x ，6x ，x ，其系数之和为4a +4a +1+6+1=32，解得a =3．
（16）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=-1，a n +1=S n S n +1，则S n =________． 【答案】-
1
n
【解析】由已知得a n +1=S n +1-S n =S n +1⋅S n ，两边同时除以S n +1⋅S n ，得
11-=-1，
S n +
1S n
故数列⎨
⎧1⎫1
-1-1是以为首项，为公差的等差数列，则=-1-(n -1) =-n ，所以⎬
S n
⎩S n ⎭
S n =-
1． n
三．解答题
（17）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
记时间C ：―A地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级‖。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率
19．（12分）
如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F。过带你E ，F 的平面a 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求直线AF 与平面a 所成角的正弦值
20. 已知椭圆C ：
两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.
(Ⅰ) 证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点（
）, 延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边行？若能，
，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有
求此时l 的斜率，若不能，说明理由. 21. 设函数f(x)=emx +x2-mx.
(Ⅰ) 证明：f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x 1, x2∈[-1,1],都有｜f(x1)- f(x2) ｜≤e-1, 求m 的取值范围
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
（22） （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC 的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，且与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点.
（1）证明：EF 平行于BC
（2） 若AG 等于圆O 的半径，且AE=MN=
, 求四边形EBCF 的面积。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 （23）在直角坐标系xOy 中，曲线
极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：（1）. 求与（2）. 若与
交点的直角坐标 相交于点A ，与
相交于点B ，求
的最大值
，曲线：
，在以O 为
.
（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a 、b 、c 、d 均为正数，且a+b=c+d,证明：
2015年吉林数学理科高考试题及答案解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝, 则A∩B=（ ）
（A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0, ，1，2｝
【答案】A
【解析】由已知得B =x -2
{}
B ={-1,0}，故选A
（2）若a 为实数且（2+ai）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答案】B 【解析】
（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是(
)
（A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现
（C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D
【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．
（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+a 3+a 5 =21，则a 3+a 5+a 7= ( )
（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 【答案】B 【解析】
（5）设函数f (x ) =⎨
⎧1+log 2(2-x ), x
x -1
, f (-2) +f (log212) =( )
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】C
【解析】由已知得
f (-2) =1+log 24=3，又l o 2g >1，2所1以
f (log212) =2log 212-1=2log 26=6，故 f (-2) +f (log212) =9．
（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
（A ）
1111
（B ） （C ） （D ） 8765
【答案】D
【解析】由三视图得，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A -A 1B 1D 1，如图所示，，
1511313
⨯a =a ，故剩余几何体体积为a 3-a 3=a 3，
66326
1
所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．
5
设正方体棱长为a ，则V A -A 1B 1D 1=
1
A A
（7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =
（A ）2 （B ）8 （C
）46 （D ）10
【答案】C 【解析】
（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的―更相减损术‖。执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18，则输出的a=
A.0 B.2 C.4 D.14 【答案】B
【解析】程序在执行过程中，a ，b 的值依次为a =14，b =18；b =4；a =10；a =6；a =2；b =2，此时a =b =2程序结束，输出a 的值为2，故选B ．
（9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为 A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C
【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O -ABC 的体积最
大，设球O 的半径为R ，此时V O -ABC =V C -AOB =球O 的表面积为
1121
⨯R ⨯R =R 3=36，故R =6，则326
S =4πR 2=144π，故选C ．
10. 如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA
运动，记∠BOP=x．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则
f （
x ）的图像大致为
【答案】B 【解析】
的运动过程可以看出，轨迹关于直线x =
π
2
对称，且f () >f () ，且轨迹非线型，故选
ππ
42
B ．
（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为
（A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2
【答案】D 【解析】
（12）设函数f’(x)是奇函数f (x )(x ∈R ) 的导函数，（f -1）=0，当x >0时，xf ' (x ) -f (x ) 0成立的x 的取值范围是 （A ）
（B ）
（C ）【答案】A 【解析】
（D ）
f (x ) xf ' (x ) -f (x ) ' '
x >0记函数g (x ) =，则g (x ) =，因为当时，xf (x ) -f (x )
x x
故当x >0时，g ' (x )
00，则f (x ) >0；当x 0，综上所
述，使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是
(-∞, -1) (0,1)，故选A ．
二、填空题
（13）设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=_________． 【答案】
1 2
⎧λ=k ，
【解析】因为向量λa +b 与a +2b 平行，所以λa +b =（，则⎨所以k a +2b ）
1=2k , ⎩
λ=
1
． 2
⎧x -y +1≥0，⎪
（14）若x ，y 满足约束条件⎨x -2y ≤0, ，则z =x +y 的最大值为____________．
⎪x +2y -2≤0, ⎩
【答案】
3 2
（15）(a +x )(1+x ) 4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3
【解析】由已知得(1+x ) 4=1+4x +6x 2+4x 3+x 4，故(a +x ) (1+x )
4
的展开式中x 的奇数
335次幂项分别为4ax ，4ax ，x ，6x ，x ，其系数之和为4a +4a +1+6+1=32，解得a =3．
（16）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=-1，a n +1=S n S n +1，则S n =________． 【答案】-
1
n
【解析】由已知得a n +1=S n +1-S n =S n +1⋅S n ，两边同时除以S n +1⋅S n ，得
11-=-1，
S n +
1S n
故数列⎨
⎧1⎫1
-1-1是以为首项，为公差的等差数列，则=-1-(n -1) =-n ，所以⎬
S n
⎩S n ⎭
S n =-
1． n
三．解答题
（17）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
记时间C ：―A地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级‖。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率
19．（12分）
如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F。过带你E ，F 的平面a 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求直线AF 与平面a 所成角的正弦值
20. 已知椭圆C ：
两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.
(Ⅰ) 证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点（
）, 延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边行？若能，
，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有
求此时l 的斜率，若不能，说明理由. 21. 设函数f(x)=emx +x2-mx.
(Ⅰ) 证明：f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x 1, x2∈[-1,1],都有｜f(x1)- f(x2) ｜≤e-1, 求m 的取值范围
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
（22） （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC 的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，且与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点.
（1）证明：EF 平行于BC
（2） 若AG 等于圆O 的半径，且AE=MN=
, 求四边形EBCF 的面积。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 （23）在直角坐标系xOy 中，曲线
极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：（1）. 求与（2）. 若与
交点的直角坐标 相交于点A ，与
相交于点B ，求
的最大值
，曲线：
，在以O 为
.
（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a 、b 、c 、d 均为正数，且a+b=c+d,证明：