M.重力加速度的测量.05

实验名称 重力加速度的测量

一、前言

地球表面附近的物体，在仅受重力作用时具有的加速度叫做重力加速度，也叫自由落体加速度，用g表示。重力加速度g值得准确测定对于计量学、精密物理计量、地球物理学、地震预报、重力探矿和空间科学都具有重要意义。地球上各地区重力加速度的大小是不同的，与该地区的地理纬度、海拔高度、地理环境都有关系。测量重力加速度的方法很多，本实验采用复摆法和单摆法来测量本地区的重力加速度。

二、教学目标

1、了解复摆和单摆的物理特性，认识简谐运动的规律。 2、分析复摆的振动，研究振动周期与质心到支点距离的关系。 3、掌握用复摆测定重力加速度和回转半径的方法。 4、学会用作图法研究问题及处理数据。

三、教学重点

1、理解复摆测量重力加速度的原理和方法。 2、秒表的使用及摆动周期的选择和记时。

四、教学难点

1、安装调试复摆。 2、游标卡尺的读数方法。

五、实验原理

1、复摆法测重力加速度

用复摆法测定重力加速度,主要是通过研究复摆周期与重心到悬点距离的关系来实现的。复摆是一刚体绕固定水平轴在重力作用下作微小摆动的动力运动体系。如图1,刚体绕固定轴O在竖直平面内摆动，G为质心，与轴O的距离为h，为摆动角度。

若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，则有

Mmghsin

 又据转动定律，该复摆又有MI

（1） （2）

其中I为该物体转动惯量，由（1）和（2）可得

2sin 

其中2mghI。若很小时（在5°以内）近似有

（3）

2 

（4）

此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆振动周期为

T2（5）

设IG为转轴过质心且与O轴平行时的转动惯量，那么根据平行轴定律可知

IIGmh2

（6）

代入上式得

T2设（6）式中的IGmk2，代入（7）式，得

（7）

T22（8）

其中k为复摆对G（质心）轴的回转半径,h为质心到转轴的距离。对（8）式平方得

T2h42k2g42h2g 设yT2h,xh2，则（9）式改写成

（9）

42242

ykx

gg

（10）

（10）式为直线方程，实验中(实验前摆锤A和B已经取下) 测出n组(x,y)值，用作图法求直线的截距A和斜率B，由于A42k2g,B42g，所以

42g,k

B （11）

由（11）式可求得重力加速度g和回转半径k。

2、单摆法测重力加速度

在一根细长线的下端，悬挂一质量为m的金属小球，忽略细线的质量和伸长量，球的直径比细线的长度也小得多，把小球略微移动后，小球就可以在铅直平面内来

回摆动，这种装置称为单摆（又称数学摆），如图2所示。 图2单摆摆动周期原理图

在图2中，摆线的铅垂位置是摆线的平衡位置，设摆长为L，摆球的质量为m,当摆动到角时，摆球上指向平衡位置的回复力是重力mg的切向分力fmgsin。当摆角很小时(5)，圆弧可以近似看成直线，设小球的质量为m，其质心到摆的支点的距离为L（摆长），小球位移为x，则

sinxL （11）

fmgsinmgxL，由fma

可知agxL （12）

由公式（12）可知，单摆在摆角很小时，质点的运动可以近似地看作简谐振动。简谐振动的动力学方程为

d2x

2x0 2dt

即a2x

比较式（12）和式（13）可得单摆简谐振动的圆频率为

（13）



g L

于是单摆的运动周期为

T

2



2

L g

L T2

由此可得g42

（14）

由实验测出单摆的周期T和摆长L，可由（14）式计算出本地区的重力加速度。

六、实验仪器

复摆实验仪、单摆实验仪、秒表、游标卡尺、卷尺。

1、秒表简介

秒表是测量时间间隔的常用仪表，如图3所示。其特点是随时可 停，随时可走。秒表的表盘上有两根针，长的为秒针，短的为分针。秒针转一周为30s，分针转一格为0.5min，其分度值为0.1s。秒表上端的柄头，用来旋紧发条和控制秒表走动或停止。使用前先上发条。测量时，手握秒表，大拇指按在柄头上，稍用力按下，秒表立即走动，随即放手任其自行弹回。当需要停止时，可再按一下。第三次再按时，秒针、分针都弹回零点。

图3机械秒表

七、实验内容与步骤

1、将复摆悬挂于支架刀口上,调节复摆底座的两个旋钮，使复摆与立柱对正且平行,以使圆孔上沿能与支架上的刀口密合。

2、轻轻启动复摆，测摆30个周期的时间.共测7个悬挂点，依次是:6cm、8cm、10cm、12cm、14cm、16cm、18cm处。每个点连测两次，再测时不需重启复摆。

3、用卷尺测摆线长L。测量时让单摆静止于平衡位置，共测5次。 4、用游标卡尺测摆球直径d，共测5次。

5、调整单摆仪的底座螺钉，使单摆在平衡位置时，摆线能对准标尺中央平面镜中的刻线。

6、检查秒表零点，记下零点读数。

7、测量单摆摆动30次所用的时间T30，重复测5次。 8、实验完毕，整理仪器，处理数据。

八、数据表格及数据处理

1、数据表格

表格一 复摆的测量数据 已知荆州地区重力加速度：g9.781s2

h(cm)

6 46.0 45.9 1.532 2.346 36 14.08

8 41.3 41.5 1.380 1.904 64 15.24

10 38.5 38.6 1.285 1.651 100 16.51

12 37.1 37.1 1.237 1.529 144 18.35

14 36.4 36.6 1.217 1.480 196 20.72

16 35.9 35.8 1.195 1.428 256 22.85

18 35.7 35.6 1.188 1.412 324 25.42

T30(s) (s) T30

T(s)

T2(s)

h2(cm2) T2h(s2cm)

T表格二(s) 单摆的测量数据 已知荆州地区重力加速度：g9.781s2 测量次数

L(cm) d(mm)

1 101.0 19.92 60.4

2 101.1 19.92 60.5

3 101.1 19.90 60.5

4 101.2 19.92 60.4

5 101.1 19.92 60.4

平均值 101.1 19.916 60.44

T30(s)

2、用复摆法求得重力加速度及其相对误差。 (1) 作图法

图4 h2T2h直线拟合图

从图4中用作图法求得斜率B0.04和截距A12.67。 (2) 最小二乘法

设有直线方程yABx，其中xh2;yT2h，根据所测数据可用最小二乘法求出该直线的斜率B、截距A

160;

19.02;3417.48;25600;x235008

2

斜率B



2

x

2

0.04；截距AB12.67

42L重力加速度：g复

29.870ms2；回转半径：kT17.80cm 相对误差：复

g复gg

100%0.91%

3、用单摆法求得重力加速度及其相对误差。

通过计算表格二的数据可得：摆长L1.021m，周期T2.015s

gg42L

重力加速度：g单29.927s2 相对误差：单单100%1.50%

Tg

九、指导要点及注意事项

1、启动复摆测量时，摆角不能过大(5),摆幅约为立柱的宽度。复摆每次改变高度悬挂时,圆孔必须套在刀口的相同位置上。

2、复摆启动后只能摆动,不能扭动。如发现扭动,必须重新启动。

3、测量时单摆的摆幅不要太大，摆幅的水平位移不能大于5，可从仪器的标尺上读出此数值。

4、单摆在摆动时，摆球不得旋动，支架不得震动。

十、实验管理和成绩记载

1、实验管理

（1）预习检查：检查学生的学生证，检查学生预习报告并签字，随机提问（约占实验学生的四分之一）检查学生的预习情况。无预习报告或预习检查不合格的学生取消当堂课实验资格，重新预约该实验。

（2）操作管理：巡回检查学生的实验操作和实验数据记录情况，及时发现、指导、解决学生在实验操作中遇到的问题，检查完成实验学生的数据记录并签字；对在1小时左右完成实验的学生进行认真的检查并要求其完成实验的选做内容。

（3）实验报告批改：要求学生认真作好实验报告，并于实验后一周内交给任课教师 (地点：主教学楼1楼走廊信箱) ；及时批改学生的实验报告，作好成绩记载并及时发还给学生。

2、成绩记载

平时成绩：实验操作60%；实验报告40%；及时在实验预约单上记载平时成绩。 综合成绩：平时成绩60%；考试成绩40%。

十一、实验思考题

1、设想在复摆的某一位置上加一配重时，其振动周期将如何变化（增大、缩短、不变）？

不确定，当在下方挂重物时，周期增大；当在上方挂重物时，周期减少。

2、比较用单摆法和复摆法测量重力加速度的精确度，说明其精确度高低的原因？

单摆的周期为T2g42l2。由此测量公式可知，测量摆长l时

需测绳的长度和球的半径，测量时产生的误差较大。

而复摆的周期为T2，

可得gk2h242T2h 。此公式中，h为质心到转轴的距离，数据从复摆上直接读取，因此大大减少了误差，所以复摆法精确度高。

十二、教学后记

1、使用秒表时要注意：上发条不要过紧，以免损坏发条；检查零点，记下零点读，以待修正测量值；要特别注意防止摔碰，以免震坏；使用完毕，应让秒表继续走动，使发条完全放松。

2、测量完毕,将复摆从支架上取下,放到桌面上。

十三、实验成绩评定标准

1 2 3 4 5 6 7 8

实验操作要求 预 习 充 分 目 的 明 确 原 理 清 楚 步 骤 正 确 操 作 规 范 数 据 正 确 遵 守 纪 律 整 理 仪 器

实验报告要求 格 式 规 范 书 写 整 洁 作 图 完 美 表 达 完 整 结 果 分 析 实 验 体 会 见 解 创 新 习 题 正 确

等 级

A：达到要求 B：基本达到要求 C：达不到要求 D：不及格

各档对应分数

A(100) A(95) A(90) B(85) B(80) B(75)

C(70) C(65) C(60)

1、实验有新发现，有创新或独到见解，实验成绩评定后，提高一档。 2、迟到，成绩降一档。

3、缺席，该次实验成绩为零分。 4、无故迟交报告，成绩降一档。 5、篡改实验数据，成绩降一档。

6、抄袭实验报告或数据，该实验成绩为零分。

十四、教材和教学参考书

教材：杨长铭，等．大学物理实验教程．武汉：武汉大学出版社，2012． 教学参考书：

1、杨述武．普通物理实验．北京：高等教育出版社，2000．

2、漆安慎，杜婵英．普通物理学教程．北京：高等教育出版社，2001． 3、李天应．物理实验．武汉：武汉大学出版社，2002． 4、周殿清．大学物理实验．武汉：武汉大学出版社，2002． 5、杨长铭，等．大学物理实验．武汉：武汉大学出版社，2003． 6、熊永红，等．大学物理实验．武汉：华中科技大学出版社，2004． 7、熊永红，张昆实，等．大学物理实验．北京：科学出版社，2008．

实验名称 重力加速度的测量

一、前言

地球表面附近的物体，在仅受重力作用时具有的加速度叫做重力加速度，也叫自由落体加速度，用g表示。重力加速度g值得准确测定对于计量学、精密物理计量、地球物理学、地震预报、重力探矿和空间科学都具有重要意义。地球上各地区重力加速度的大小是不同的，与该地区的地理纬度、海拔高度、地理环境都有关系。测量重力加速度的方法很多，本实验采用复摆法和单摆法来测量本地区的重力加速度。

二、教学目标

1、了解复摆和单摆的物理特性，认识简谐运动的规律。 2、分析复摆的振动，研究振动周期与质心到支点距离的关系。 3、掌握用复摆测定重力加速度和回转半径的方法。 4、学会用作图法研究问题及处理数据。

三、教学重点

1、理解复摆测量重力加速度的原理和方法。 2、秒表的使用及摆动周期的选择和记时。

四、教学难点

1、安装调试复摆。 2、游标卡尺的读数方法。

五、实验原理

1、复摆法测重力加速度

用复摆法测定重力加速度,主要是通过研究复摆周期与重心到悬点距离的关系来实现的。复摆是一刚体绕固定水平轴在重力作用下作微小摆动的动力运动体系。如图1,刚体绕固定轴O在竖直平面内摆动，G为质心，与轴O的距离为h，为摆动角度。

若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，则有

Mmghsin

 又据转动定律，该复摆又有MI

（1） （2）

其中I为该物体转动惯量，由（1）和（2）可得

2sin 

其中2mghI。若很小时（在5°以内）近似有

（3）

2 

（4）

此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆振动周期为

T2（5）

设IG为转轴过质心且与O轴平行时的转动惯量，那么根据平行轴定律可知

IIGmh2

（6）

代入上式得

T2设（6）式中的IGmk2，代入（7）式，得

（7）

T22（8）

其中k为复摆对G（质心）轴的回转半径,h为质心到转轴的距离。对（8）式平方得

T2h42k2g42h2g 设yT2h,xh2，则（9）式改写成

（9）

42242

ykx

gg

（10）

（10）式为直线方程，实验中(实验前摆锤A和B已经取下) 测出n组(x,y)值，用作图法求直线的截距A和斜率B，由于A42k2g,B42g，所以

42g,k

B （11）

由（11）式可求得重力加速度g和回转半径k。

2、单摆法测重力加速度

在一根细长线的下端，悬挂一质量为m的金属小球，忽略细线的质量和伸长量，球的直径比细线的长度也小得多，把小球略微移动后，小球就可以在铅直平面内来

回摆动，这种装置称为单摆（又称数学摆），如图2所示。 图2单摆摆动周期原理图

在图2中，摆线的铅垂位置是摆线的平衡位置，设摆长为L，摆球的质量为m,当摆动到角时，摆球上指向平衡位置的回复力是重力mg的切向分力fmgsin。当摆角很小时(5)，圆弧可以近似看成直线，设小球的质量为m，其质心到摆的支点的距离为L（摆长），小球位移为x，则

sinxL （11）

fmgsinmgxL，由fma

可知agxL （12）

由公式（12）可知，单摆在摆角很小时，质点的运动可以近似地看作简谐振动。简谐振动的动力学方程为

d2x

2x0 2dt

即a2x

比较式（12）和式（13）可得单摆简谐振动的圆频率为

（13）



g L

于是单摆的运动周期为

T

2



2

L g

L T2

由此可得g42

（14）

由实验测出单摆的周期T和摆长L，可由（14）式计算出本地区的重力加速度。

六、实验仪器

复摆实验仪、单摆实验仪、秒表、游标卡尺、卷尺。

1、秒表简介

秒表是测量时间间隔的常用仪表，如图3所示。其特点是随时可 停，随时可走。秒表的表盘上有两根针，长的为秒针，短的为分针。秒针转一周为30s，分针转一格为0.5min，其分度值为0.1s。秒表上端的柄头，用来旋紧发条和控制秒表走动或停止。使用前先上发条。测量时，手握秒表，大拇指按在柄头上，稍用力按下，秒表立即走动，随即放手任其自行弹回。当需要停止时，可再按一下。第三次再按时，秒针、分针都弹回零点。

图3机械秒表

七、实验内容与步骤

1、将复摆悬挂于支架刀口上,调节复摆底座的两个旋钮，使复摆与立柱对正且平行,以使圆孔上沿能与支架上的刀口密合。

2、轻轻启动复摆，测摆30个周期的时间.共测7个悬挂点，依次是:6cm、8cm、10cm、12cm、14cm、16cm、18cm处。每个点连测两次，再测时不需重启复摆。

3、用卷尺测摆线长L。测量时让单摆静止于平衡位置，共测5次。 4、用游标卡尺测摆球直径d，共测5次。

5、调整单摆仪的底座螺钉，使单摆在平衡位置时，摆线能对准标尺中央平面镜中的刻线。

6、检查秒表零点，记下零点读数。

7、测量单摆摆动30次所用的时间T30，重复测5次。 8、实验完毕，整理仪器，处理数据。

八、数据表格及数据处理

1、数据表格

表格一 复摆的测量数据 已知荆州地区重力加速度：g9.781s2

h(cm)

6 46.0 45.9 1.532 2.346 36 14.08

8 41.3 41.5 1.380 1.904 64 15.24

10 38.5 38.6 1.285 1.651 100 16.51

12 37.1 37.1 1.237 1.529 144 18.35

14 36.4 36.6 1.217 1.480 196 20.72

16 35.9 35.8 1.195 1.428 256 22.85

18 35.7 35.6 1.188 1.412 324 25.42

T30(s) (s) T30

T(s)

T2(s)

h2(cm2) T2h(s2cm)

T表格二(s) 单摆的测量数据 已知荆州地区重力加速度：g9.781s2 测量次数

L(cm) d(mm)

1 101.0 19.92 60.4

2 101.1 19.92 60.5

3 101.1 19.90 60.5

4 101.2 19.92 60.4

5 101.1 19.92 60.4

平均值 101.1 19.916 60.44

T30(s)

2、用复摆法求得重力加速度及其相对误差。 (1) 作图法

图4 h2T2h直线拟合图

从图4中用作图法求得斜率B0.04和截距A12.67。 (2) 最小二乘法

设有直线方程yABx，其中xh2;yT2h，根据所测数据可用最小二乘法求出该直线的斜率B、截距A

160;

19.02;3417.48;25600;x235008

2

斜率B



2

x

2

0.04；截距AB12.67

42L重力加速度：g复

29.870ms2；回转半径：kT17.80cm 相对误差：复

g复gg

100%0.91%

3、用单摆法求得重力加速度及其相对误差。

通过计算表格二的数据可得：摆长L1.021m，周期T2.015s

gg42L

重力加速度：g单29.927s2 相对误差：单单100%1.50%

Tg

九、指导要点及注意事项

1、启动复摆测量时，摆角不能过大(5),摆幅约为立柱的宽度。复摆每次改变高度悬挂时,圆孔必须套在刀口的相同位置上。

2、复摆启动后只能摆动,不能扭动。如发现扭动,必须重新启动。

3、测量时单摆的摆幅不要太大，摆幅的水平位移不能大于5，可从仪器的标尺上读出此数值。

4、单摆在摆动时，摆球不得旋动，支架不得震动。

十、实验管理和成绩记载

1、实验管理

（1）预习检查：检查学生的学生证，检查学生预习报告并签字，随机提问（约占实验学生的四分之一）检查学生的预习情况。无预习报告或预习检查不合格的学生取消当堂课实验资格，重新预约该实验。

（2）操作管理：巡回检查学生的实验操作和实验数据记录情况，及时发现、指导、解决学生在实验操作中遇到的问题，检查完成实验学生的数据记录并签字；对在1小时左右完成实验的学生进行认真的检查并要求其完成实验的选做内容。

（3）实验报告批改：要求学生认真作好实验报告，并于实验后一周内交给任课教师 (地点：主教学楼1楼走廊信箱) ；及时批改学生的实验报告，作好成绩记载并及时发还给学生。

2、成绩记载

平时成绩：实验操作60%；实验报告40%；及时在实验预约单上记载平时成绩。 综合成绩：平时成绩60%；考试成绩40%。

十一、实验思考题

1、设想在复摆的某一位置上加一配重时，其振动周期将如何变化（增大、缩短、不变）？

不确定，当在下方挂重物时，周期增大；当在上方挂重物时，周期减少。

2、比较用单摆法和复摆法测量重力加速度的精确度，说明其精确度高低的原因？

单摆的周期为T2g42l2。由此测量公式可知，测量摆长l时

需测绳的长度和球的半径，测量时产生的误差较大。

而复摆的周期为T2，

可得gk2h242T2h 。此公式中，h为质心到转轴的距离，数据从复摆上直接读取，因此大大减少了误差，所以复摆法精确度高。

十二、教学后记

1、使用秒表时要注意：上发条不要过紧，以免损坏发条；检查零点，记下零点读，以待修正测量值；要特别注意防止摔碰，以免震坏；使用完毕，应让秒表继续走动，使发条完全放松。

2、测量完毕,将复摆从支架上取下,放到桌面上。

十三、实验成绩评定标准

1 2 3 4 5 6 7 8

实验操作要求 预 习 充 分 目 的 明 确 原 理 清 楚 步 骤 正 确 操 作 规 范 数 据 正 确 遵 守 纪 律 整 理 仪 器

实验报告要求 格 式 规 范 书 写 整 洁 作 图 完 美 表 达 完 整 结 果 分 析 实 验 体 会 见 解 创 新 习 题 正 确

等 级

A：达到要求 B：基本达到要求 C：达不到要求 D：不及格

各档对应分数

A(100) A(95) A(90) B(85) B(80) B(75)

C(70) C(65) C(60)

1、实验有新发现，有创新或独到见解，实验成绩评定后，提高一档。 2、迟到，成绩降一档。

3、缺席，该次实验成绩为零分。 4、无故迟交报告，成绩降一档。 5、篡改实验数据，成绩降一档。

6、抄袭实验报告或数据，该实验成绩为零分。

十四、教材和教学参考书

教材：杨长铭，等．大学物理实验教程．武汉：武汉大学出版社，2012． 教学参考书：

1、杨述武．普通物理实验．北京：高等教育出版社，2000．

2、漆安慎，杜婵英．普通物理学教程．北京：高等教育出版社，2001． 3、李天应．物理实验．武汉：武汉大学出版社，2002． 4、周殿清．大学物理实验．武汉：武汉大学出版社，2002． 5、杨长铭，等．大学物理实验．武汉：武汉大学出版社，2003． 6、熊永红，等．大学物理实验．武汉：华中科技大学出版社，2004． 7、熊永红，张昆实，等．大学物理实验．北京：科学出版社，2008．