2009福建数学试题（文史类） 第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A ={x |x >0. }B ={x |x
A ．{x |x
解法2（验证法）去X=1验证. 由交集的定义，可知元素1在A 中，也在集合B 中，故选B. 2.
下列函数中，与函数y =
C. {x |x >4} D R
有相同定义域的是 1x C. f (x ) =|x | D.f (x ) =e x
A .f (x ) =ln x B.f (x ) =解析
由y =
1可得定义域是x >0. f (x ) =ln x 的定义域x >0；f (x ) =的定义域是x
x x
≠0；f (x ) =|x |的定义域是x ∈R ; f (x ) =e 定义域是x ∈R 。故选A.
3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表
则样本数据落在(10,40)上的频率为
A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64
解析 由题意可知频数在(10,40]的有：13+24+15=52，由频率=频数÷总数可得0.52. 故选C.
x 2y 2
4. 若双曲线2-2=1(a >o )的离心率为2，则a 等于
a 3
C.
3
D. 1 2
x 2y 2c 解析
由2-=1可知虚轴e===2，解得a=1或a=3，参
a 3a 照选项知而应选D.
5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为是
1
。则该集合体的俯视图可以2
解析 解法1 由题意可知当俯视图是A 时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是
1
，知其是立方体的一半，可知选C. 2
解法2 当俯视图是A 时，正方体的体积是1；当俯视图是B 时，该几何体是圆柱，底面积
π⎛1⎫π是S =π⨯ ⎪=，高为1，则体积是；当俯视是C 时，该几何是直三棱柱，故体444⎝2⎭
π
2
积是V =
11
⨯1⨯1⨯1=，当俯视图是D 时，该几何是圆柱切割而成，其体积是22
1π
V =π⨯12⨯1=. 故选C.
44
6. 阅读图6所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A ．-1 B. 2 C. 3 D. 4
解析当n =1, S =2代入程序中运行第一次是S =-1，然后赋值此时
n =2；返回运行第二次可得S =
返回运行第三次可得S =
11
=，然后赋值n =3；再
1-(-1) 2
11-12
=2，然后赋值n =4，判断可知此时
S =2，故输出n =4，故选D 。
7. 已知锐角∆
ABC 的面积为BC =4, CA =3，则角C 的大小为 A. 75° B. 60° B. 45° D.30° 解析
由正弦定理得S =
11，注意到BC ·CA ·sin C ⇒=⨯4⨯3⨯sin C ⇒sin C =
222
其是锐角三角形，故C=60°，选B
8. 定义在R 上的偶函数f (x )的部分图像如右图所示，则在(-2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是 A ．y =x 2+1 B. y =|x |+1
⎧2x +1, x ≥0
C. y =⎨3
⎩x +1, x
x ⎧⎪e , x ≥o
D ．y =⎨-x
⎪⎩e , x
解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在(-2,0)上单调递减，注意到要与f (x )的单调性不同，故所求的函数在(-2,0)上应单调递增。而函数y =x 2+1在(-∞,1]上递减；函数y =x +1在(-∞,0]时单调递减；函数
2
⎧2x +1, x 0
在y =⎨3
x +1, x 0
（-∞, 0]上单调递减，理由如下y ’=3x>0(x
x ⎧⎪e , x ≥0-x y =⎨-x ，有y ’=-e
⎪⎩e , x 0
C 。
⎧x +y -1≥0
⎪
9. 在平面直角坐标系中，若不等式组⎨x -1≤0（α为常数）所表示的平面区域内的
⎪ax -y +1≥0⎩
面积等于2，则a 的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
解析 如图可得黄色即为满足x -1≤0与x +y -1≥0的可行域，而ax -y +1=0的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是当a=3时，面积恰好为2，故选D.
10. 设m , n 是平面α内的两条不同直线；l 1, l 2是平面β内的两条相交
直线，则α//β的一个充分而不必要条件是
A. m //β且l 1//α B. m //l 1且n //l 2 C. m //β且n //β D. m //β且n //l 2 解析 要得到α//β, 必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行。若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面。对于选项A ，不是同一平面的两直线，显既不充分也不必要；对于选项B ，由于l 1与l 2时相交直线，而且由于l 1//m可得l 2//α，故可得α//β, ，充分性成立，而α//β不一定能得到l 1//m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B. 对于选项C ，由于m,n 不一定的相交直线，故是必要非充分条件. 对于选项D ，由n //l 2可转化为C ，故不符合题意。综上选B.
11. 若函数f (x )的零点与g (x )=4+2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25， 则f (x )
x
3
；2
可以是
A. f (x )=4x -1 B. f (x )=(x -1)
2
C. f (x )=e -1 D. f (x )=In x -
x
⎛⎝1⎫⎪ 2⎭
解析 f (x )=4x -1的零点为x=零点为x=0, f (x )=In x -点，因为g(0)= -1,g(
12x
, f (x )=(x -1) 的零点为x=1, f (x )=e -1的4
⎛⎝31⎫x
的零点为x=. 现在我们来估算g (x )=4+2x -2的零⎪22⎭
11
)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, ), 又函数f (x )的零点与22
g (x )=4x +2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f (x )=4x -1的零点适合，故
选A 。
12. 设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
a ⊥c ∣a ∣=∣c ∣, 则∣b •c ∣的值一定等于
→
→
A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以b ，c 为两边的三角形面积 C ．a ，b 为两边的三角形面积 D. 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积
解析 假设a 与b 的夹角为θ，∣b •c ∣=︱b ︱·︱c ︱·∣cos∣=︱b
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
→
︱·︱a ︱•∣cos(90±θ) ∣=︱b ︱·︱a ︱•sin θ, 即为以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选A 。
→→→→
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。 13. 复数i (1+i)的实部是
2
解析 i (1+i)=-1-I,所以实部是-1。
2
14. 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，
则劣弧AB 的长度小于1的概率为 。
解析 如图可设AB =1, 则AB =1, 根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是
2。 3
15. 若曲线f (x )=ax +Inx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是2
1
。因为存在垂直于y 轴的切x
1'
线，故此时斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f (x )=2ax +存在零点。
x
1
解法1 （图像法）再将之转化为g (x )=-2ax 与h (x )=存在交点。当a =0不符合
x
解析 由题意该函数的定义域x >0，由f
'
(x )=2ax +
题意，当a >0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当a
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程2ax +
1
=0在(0, +∞)内有解，显然可得x
a =-
1
∈(-∞,0) 22x
16. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1. 第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 。
解析 这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列. 寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力. 首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.
这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987„„分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0„„由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8. 在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次 17．(本小题满分12分）
等比数列{a n }中，已知a 1=2, a 4=16 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若a 3, a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n 。
解：（Ⅰ）设{a n }的公比为q
由已知得16=2q 3，解得q =2
（Ⅱ）由（I ）得a 2=8，a 5=32，则b 3=8，b 5=32 设{b n }的公差为d ，则有⎨
⎧b 1+2d =8⎧b 1=-16
解得⎨
⎩d =12⎩b 1+4d =32
从而b n =-16+12(n -1) =12n -28 所以数列{b n }的前n 项和S n =18．（本小题满分12分）
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球
（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。 解：（Ⅰ）一共有8种不同的结果，列举如下：
（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、
（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）
（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A
事件A 包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A
包含的基本事件数为3
由（I ）可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为P (A ) =19．（本小题满分12分）
已知函数f (x ) =sin(ωx +ϕ), 其中ω>0，|ϕ|
n (-16+12n -28)
=6n 2-22n
2
3 8
π 2
π
4
cos, ϕ-sin
3π
sin ϕ=0, 求ϕ的值； 4
（Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数f (x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
π，3
求函数f (x ) 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x ) 的图像象左平移m 个单位所对
应的函数是偶函数。
解法一： （I ）由cos 即cos(
π
4
cos ϕ-sin
3πππ
sin ϕ=0得cos cos ϕ-sin sin ϕ=0 444
π
4
+ϕ) =0又|ϕ|
π
2
, ∴ϕ=
π
4
（Ⅱ）由（I ）得，f (x ) =sin(ωx + 依题意， 又T =
π
4
)
T π
= 23
2π
, 故ω=3, ∴f (x ) =sin(3x +) ω4
π
函数f (x ) 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为
g (x ) =sin ⎢3(x +m ) +
⎡⎣
π⎤
⎥4⎦
g (x ) 是偶函数当且仅当3m +
π
4
=k π+
π
2
(k ∈Z )
k ππ
+(k ∈Z ) 312
π
从而，最小正实数m =
12
即m =解法二： （Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）由（I ）得，f (x ) =sin(ωx + 依题意，又T =
π
4
)
T π= 23
2π
ω
，故ω=3, ∴f (x ) =sin(3x +
π
4
)
函数f (x ) 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x ) =sin ⎢3(x +m ) +
⎡⎣
π⎤
⎥4⎦
g (x ) 是偶函数当且仅当g (-x ) =g (x ) 对x ∈R 恒成立
亦即sin(-3x +3m +
π
) =sin(3x +3m +) 对x ∈R 恒成立。
44
π
∴sin(-3x )cos(3m +) +cos(-3x )sin(3m +) 44=sin 3x cos(3m +) +cos3x sin(3m +) 44
ππ
ππ
即2sin 3x cos(3m +
π
4
) =0对x ∈R 恒成立。
∴cos(3m +) =0
4
故3m +
π
π
4
=k π+
π
2
(k ∈Z )
∴m =
k ππ
+(k ∈Z ) 312
π
从而，最小正实数m =
12
20．（本小题满分12分）
如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60，AB =2, AD =4将∆CBD 沿BD 折起到∆EBD 的位置，使平面EDB ⊥平面ABD （Ⅰ）求证：AB ⊥DE
（Ⅱ）求三棱锥E -ABD 的侧面积。
（Ⅰ）证明：在∆ABD 中， AB =2, AD =4, ∠DAB =60︒
︒
∴BD ==∴AB +BD =AD , ∴AB ⊥DE
2
2
2
又 平面EBD ⊥平面ABD
平面EBD 平面ABD =BD , AB ⊂平面ABD ∴AB ⊥平面EBD
DF ⊂平面EBD , ∴AB ⊥DE
（Ⅱ）解：由（I ）知AB ⊥BD , CD //AB , ∴CD ⊥BD , 从而DE ⊥D 在Rt ∆
DBE 中， DB =DE =DC =AB =2
∴S ∆ABE =
1
DB ⋅DE =2
又 AB ⊥平面EBD , BE ⊂平面EBD , ∴AB ⊥BE BE =BC =AD =4, ∴S ∆ABE =
1
AB ⋅BE =4 2
DE ⊥BD , 平面EBD ⊥平面ABD ∴ED ⊥，平面ABD
而AD ⊂平面ABD , ∴ED ⊥AD , ∴S ∆ADE =
1
AD ⋅DE =4 2
综上，三棱锥E -
ABD 的侧面积，S =8+21．（本小题满分12分）
已知函数f (x ) =
13
x +ax 2+bx , 且f '(-1) =0 3
（Ⅰ）试用含a 的代数式表示b ；
（Ⅱ）求f (x ) 的单调区间；
（Ⅲ）令a =-1，设函数f (x ) 在x 1, x 2(x 1
M (x 1, f (x 1)), N (x 2, f (x 2)) ，证明：线段MN 与曲线f (x ) 存在异于M 、N 的公共点；
解法一：
（Ⅰ）依题意，得f '(x ) =x 2+2ax +b 由f '(-1) =1-2a +b =0得b =2a -1 （Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x ) =
13
x +ax 2+(2a -1) x 3
故f '(x ) =x 2+2ax +2a -1=(x +1)(x +2a -1) 令f '*(x ) =0，则x =-1或x =1-2a ①当a >1时，1-2a
当x 变化时，f '(x ) 与f (x ) 的变化情况如下表：
由此得，函数f (x ) 的单调增区间为(-∞,1-2a ) 和(-1, +∞) ，单调减区间为(1-2a , -1) ②由a =1时，1-2a =-1，此时，f '(x ) ≥0恒成立，且仅在x =-1处f '(x ) =0，故函数
f (x ) 的单调区间为R
③当a -1，同理可得函数f (x ) 的单调增区间为(-∞, -1) 和(1-2a , +∞) ，单调减区间为(-1,1-2a )
综上：
当a >1时，函数f (x ) 的单调增区间为(-∞,1-2a ) 和(-1, +∞) ，单调减区间为(1-2a , -1) ； 当a =1时，函数f (x ) 的单调增区间为R ；
当a
313x -x 2-3x 3 由f '(x ) =x -2x -3=0，得x 1=-1, x 2=3
由（Ⅱ）得f (x ) 的单调增区间为(-∞, -1) 和(3,+∞) ，单调减区间为(-1,3) 所以函数f (x ) 在x 1=-1. x 2=3处取得极值。
故M (-1, ). N (3,-9)
所以直线MN 的方程为y =-538x -1 3
12⎧2y =x -x -3x ⎪⎪332 由⎨得x -3x -x +3=0
⎪y =-8x -1⎪3⎩
令F (x ) =x -3x -x +3
易得F (0)=3>0, F (2)=-3
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）同解法一。
（Ⅲ）当a =-1时，得f (x ) =3213x -x 2-3x ，由f ' (x =) 2x -2x -3=，0得3x
x 1=-1, x 2=3
由（Ⅱ）得f (x ) 的单调增区间为(-∞, -1) 和(3,+∞) ，单调减区间为(-1,3) ，所以函数f (x )
在x 1=-1, x 2=3处取得极值， 故M (-1, ), N (3,-9)
所以直线MN 的方程为y =-538x -1 3
13⎧2y =x -x -3x ⎪⎪332由⎨得x -3x -x +3=0
⎪y =-8x -1⎪3⎩
解得x 1=-1, x 2=1. x 3=3
⎧x 1=-1⎧x 2=1⎧x 3=3⎪⎪ ∴⎨5⎨11⎨y 1=, ⎪y 2=-, ⎩y 3=-9⎪3⎩3⎩
所以线段MN 与曲线f (x ) 有异于M , N 的公共点(1,-
22．（本小题满分14分） 11) 3
=已知直线x -2y +20经过椭圆
x 2y 2
C :2+2=1(a >b >0) 的左顶点A 和上顶点a b
D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 和椭圆C 上位于x
轴上方的动点，直线，AS , BS 与直线l :x =
别交于M , N 两点。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这
样的点T ，使得∆TSB 的面积为
解法一：
（Ⅰ）由已知得，椭圆C 的左顶点为A (-2,0), 上顶点为D (0,1),∴a =2, b =1 10分31？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由 5
x 2
+y 2=1 故椭圆C 的方程为4
（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为y =k (x +2) ，从而M (1016k , ) 33
⎧y =k (x +2) ⎪2222由⎨x 2得(1+4k ) x +16k x +16k -4=0 2⎪+y =1⎩4
4k 16k 2-42-8k 2
y =x =设S (x 1, y 1), 则(-2), x 1=得，从而 111+4k 21+4k 21+4k 2
2-8k 24k , ), 又B (2,0) 即S (221+4k 1+4k
110⎧⎧y =-(x -2) x =⎪⎪⎪⎪4k 3由⎨得⎨
⎪x =10⎪y =-1
⎪⎪33k ⎩⎩101∴N (, -) 33k
故|MN |=16k 1
+33k
又k >0, ∴|MN |=
当且仅当16k 18+≥= 33k 3116k 1=，即k =时等号成立 433k
18∴k =时，线段MN 的长度取最小值 43
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN 取最小值时，k =1 4
|BS |= 此时BS
的方程为x +y -2=0, s (, ), ∴64
55 5
1，只须T 到直线BS
的距离等于5 要使椭圆C 上存在点T ，使得∆TSB 的面积等于
，所以T 在平行于BS 且与BS
距离等于的直线l 上。 44
设直线l ':x +y +1=0
35=解得t =-或t =- 22
2009福建数学试题（文史类） 第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A ={x |x >0. }B ={x |x
A ．{x |x
解法2（验证法）去X=1验证. 由交集的定义，可知元素1在A 中，也在集合B 中，故选B. 2.
下列函数中，与函数y =
C. {x |x >4} D R
有相同定义域的是 1x C. f (x ) =|x | D.f (x ) =e x
A .f (x ) =ln x B.f (x ) =解析
由y =
1可得定义域是x >0. f (x ) =ln x 的定义域x >0；f (x ) =的定义域是x
x x
≠0；f (x ) =|x |的定义域是x ∈R ; f (x ) =e 定义域是x ∈R 。故选A.
3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表
则样本数据落在(10,40)上的频率为
A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64
解析 由题意可知频数在(10,40]的有：13+24+15=52，由频率=频数÷总数可得0.52. 故选C.
x 2y 2
4. 若双曲线2-2=1(a >o )的离心率为2，则a 等于
a 3
C.
3
D. 1 2
x 2y 2c 解析
由2-=1可知虚轴e===2，解得a=1或a=3，参
a 3a 照选项知而应选D.
5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为是
1
。则该集合体的俯视图可以2
解析 解法1 由题意可知当俯视图是A 时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是
1
，知其是立方体的一半，可知选C. 2
解法2 当俯视图是A 时，正方体的体积是1；当俯视图是B 时，该几何体是圆柱，底面积
π⎛1⎫π是S =π⨯ ⎪=，高为1，则体积是；当俯视是C 时，该几何是直三棱柱，故体444⎝2⎭
π
2
积是V =
11
⨯1⨯1⨯1=，当俯视图是D 时，该几何是圆柱切割而成，其体积是22
1π
V =π⨯12⨯1=. 故选C.
44
6. 阅读图6所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A ．-1 B. 2 C. 3 D. 4
解析当n =1, S =2代入程序中运行第一次是S =-1，然后赋值此时
n =2；返回运行第二次可得S =
返回运行第三次可得S =
11
=，然后赋值n =3；再
1-(-1) 2
11-12
=2，然后赋值n =4，判断可知此时
S =2，故输出n =4，故选D 。
7. 已知锐角∆
ABC 的面积为BC =4, CA =3，则角C 的大小为 A. 75° B. 60° B. 45° D.30° 解析
由正弦定理得S =
11，注意到BC ·CA ·sin C ⇒=⨯4⨯3⨯sin C ⇒sin C =
222
其是锐角三角形，故C=60°，选B
8. 定义在R 上的偶函数f (x )的部分图像如右图所示，则在(-2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是 A ．y =x 2+1 B. y =|x |+1
⎧2x +1, x ≥0
C. y =⎨3
⎩x +1, x
x ⎧⎪e , x ≥o
D ．y =⎨-x
⎪⎩e , x
解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在(-2,0)上单调递减，注意到要与f (x )的单调性不同，故所求的函数在(-2,0)上应单调递增。而函数y =x 2+1在(-∞,1]上递减；函数y =x +1在(-∞,0]时单调递减；函数
2
⎧2x +1, x 0
在y =⎨3
x +1, x 0
（-∞, 0]上单调递减，理由如下y ’=3x>0(x
x ⎧⎪e , x ≥0-x y =⎨-x ，有y ’=-e
⎪⎩e , x 0
C 。
⎧x +y -1≥0
⎪
9. 在平面直角坐标系中，若不等式组⎨x -1≤0（α为常数）所表示的平面区域内的
⎪ax -y +1≥0⎩
面积等于2，则a 的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
解析 如图可得黄色即为满足x -1≤0与x +y -1≥0的可行域，而ax -y +1=0的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是当a=3时，面积恰好为2，故选D.
10. 设m , n 是平面α内的两条不同直线；l 1, l 2是平面β内的两条相交
直线，则α//β的一个充分而不必要条件是
A. m //β且l 1//α B. m //l 1且n //l 2 C. m //β且n //β D. m //β且n //l 2 解析 要得到α//β, 必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行。若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面。对于选项A ，不是同一平面的两直线，显既不充分也不必要；对于选项B ，由于l 1与l 2时相交直线，而且由于l 1//m可得l 2//α，故可得α//β, ，充分性成立，而α//β不一定能得到l 1//m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B. 对于选项C ，由于m,n 不一定的相交直线，故是必要非充分条件. 对于选项D ，由n //l 2可转化为C ，故不符合题意。综上选B.
11. 若函数f (x )的零点与g (x )=4+2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25， 则f (x )
x
3
；2
可以是
A. f (x )=4x -1 B. f (x )=(x -1)
2
C. f (x )=e -1 D. f (x )=In x -
x
⎛⎝1⎫⎪ 2⎭
解析 f (x )=4x -1的零点为x=零点为x=0, f (x )=In x -点，因为g(0)= -1,g(
12x
, f (x )=(x -1) 的零点为x=1, f (x )=e -1的4
⎛⎝31⎫x
的零点为x=. 现在我们来估算g (x )=4+2x -2的零⎪22⎭
11
)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, ), 又函数f (x )的零点与22
g (x )=4x +2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f (x )=4x -1的零点适合，故
选A 。
12. 设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
a ⊥c ∣a ∣=∣c ∣, 则∣b •c ∣的值一定等于
→
→
A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以b ，c 为两边的三角形面积 C ．a ，b 为两边的三角形面积 D. 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积
解析 假设a 与b 的夹角为θ，∣b •c ∣=︱b ︱·︱c ︱·∣cos∣=︱b
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
→
︱·︱a ︱•∣cos(90±θ) ∣=︱b ︱·︱a ︱•sin θ, 即为以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选A 。
→→→→
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。 13. 复数i (1+i)的实部是
2
解析 i (1+i)=-1-I,所以实部是-1。
2
14. 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，
则劣弧AB 的长度小于1的概率为 。
解析 如图可设AB =1, 则AB =1, 根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是
2。 3
15. 若曲线f (x )=ax +Inx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是2
1
。因为存在垂直于y 轴的切x
1'
线，故此时斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f (x )=2ax +存在零点。
x
1
解法1 （图像法）再将之转化为g (x )=-2ax 与h (x )=存在交点。当a =0不符合
x
解析 由题意该函数的定义域x >0，由f
'
(x )=2ax +
题意，当a >0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当a
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程2ax +
1
=0在(0, +∞)内有解，显然可得x
a =-
1
∈(-∞,0) 22x
16. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1. 第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 。
解析 这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列. 寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力. 首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.
这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987„„分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0„„由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8. 在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次 17．(本小题满分12分）
等比数列{a n }中，已知a 1=2, a 4=16 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若a 3, a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n 。
解：（Ⅰ）设{a n }的公比为q
由已知得16=2q 3，解得q =2
（Ⅱ）由（I ）得a 2=8，a 5=32，则b 3=8，b 5=32 设{b n }的公差为d ，则有⎨
⎧b 1+2d =8⎧b 1=-16
解得⎨
⎩d =12⎩b 1+4d =32
从而b n =-16+12(n -1) =12n -28 所以数列{b n }的前n 项和S n =18．（本小题满分12分）
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球
（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。 解：（Ⅰ）一共有8种不同的结果，列举如下：
（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、
（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）
（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A
事件A 包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A
包含的基本事件数为3
由（I ）可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为P (A ) =19．（本小题满分12分）
已知函数f (x ) =sin(ωx +ϕ), 其中ω>0，|ϕ|
n (-16+12n -28)
=6n 2-22n
2
3 8
π 2
π
4
cos, ϕ-sin
3π
sin ϕ=0, 求ϕ的值； 4
（Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数f (x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
π，3
求函数f (x ) 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x ) 的图像象左平移m 个单位所对
应的函数是偶函数。
解法一： （I ）由cos 即cos(
π
4
cos ϕ-sin
3πππ
sin ϕ=0得cos cos ϕ-sin sin ϕ=0 444
π
4
+ϕ) =0又|ϕ|
π
2
, ∴ϕ=
π
4
（Ⅱ）由（I ）得，f (x ) =sin(ωx + 依题意， 又T =
π
4
)
T π
= 23
2π
, 故ω=3, ∴f (x ) =sin(3x +) ω4
π
函数f (x ) 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为
g (x ) =sin ⎢3(x +m ) +
⎡⎣
π⎤
⎥4⎦
g (x ) 是偶函数当且仅当3m +
π
4
=k π+
π
2
(k ∈Z )
k ππ
+(k ∈Z ) 312
π
从而，最小正实数m =
12
即m =解法二： （Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）由（I ）得，f (x ) =sin(ωx + 依题意，又T =
π
4
)
T π= 23
2π
ω
，故ω=3, ∴f (x ) =sin(3x +
π
4
)
函数f (x ) 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x ) =sin ⎢3(x +m ) +
⎡⎣
π⎤
⎥4⎦
g (x ) 是偶函数当且仅当g (-x ) =g (x ) 对x ∈R 恒成立
亦即sin(-3x +3m +
π
) =sin(3x +3m +) 对x ∈R 恒成立。
44
π
∴sin(-3x )cos(3m +) +cos(-3x )sin(3m +) 44=sin 3x cos(3m +) +cos3x sin(3m +) 44
ππ
ππ
即2sin 3x cos(3m +
π
4
) =0对x ∈R 恒成立。
∴cos(3m +) =0
4
故3m +
π
π
4
=k π+
π
2
(k ∈Z )
∴m =
k ππ
+(k ∈Z ) 312
π
从而，最小正实数m =
12
20．（本小题满分12分）
如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60，AB =2, AD =4将∆CBD 沿BD 折起到∆EBD 的位置，使平面EDB ⊥平面ABD （Ⅰ）求证：AB ⊥DE
（Ⅱ）求三棱锥E -ABD 的侧面积。
（Ⅰ）证明：在∆ABD 中， AB =2, AD =4, ∠DAB =60︒
︒
∴BD ==∴AB +BD =AD , ∴AB ⊥DE
2
2
2
又 平面EBD ⊥平面ABD
平面EBD 平面ABD =BD , AB ⊂平面ABD ∴AB ⊥平面EBD
DF ⊂平面EBD , ∴AB ⊥DE
（Ⅱ）解：由（I ）知AB ⊥BD , CD //AB , ∴CD ⊥BD , 从而DE ⊥D 在Rt ∆
DBE 中， DB =DE =DC =AB =2
∴S ∆ABE =
1
DB ⋅DE =2
又 AB ⊥平面EBD , BE ⊂平面EBD , ∴AB ⊥BE BE =BC =AD =4, ∴S ∆ABE =
1
AB ⋅BE =4 2
DE ⊥BD , 平面EBD ⊥平面ABD ∴ED ⊥，平面ABD
而AD ⊂平面ABD , ∴ED ⊥AD , ∴S ∆ADE =
1
AD ⋅DE =4 2
综上，三棱锥E -
ABD 的侧面积，S =8+21．（本小题满分12分）
已知函数f (x ) =
13
x +ax 2+bx , 且f '(-1) =0 3
（Ⅰ）试用含a 的代数式表示b ；
（Ⅱ）求f (x ) 的单调区间；
（Ⅲ）令a =-1，设函数f (x ) 在x 1, x 2(x 1
M (x 1, f (x 1)), N (x 2, f (x 2)) ，证明：线段MN 与曲线f (x ) 存在异于M 、N 的公共点；
解法一：
（Ⅰ）依题意，得f '(x ) =x 2+2ax +b 由f '(-1) =1-2a +b =0得b =2a -1 （Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x ) =
13
x +ax 2+(2a -1) x 3
故f '(x ) =x 2+2ax +2a -1=(x +1)(x +2a -1) 令f '*(x ) =0，则x =-1或x =1-2a ①当a >1时，1-2a
当x 变化时，f '(x ) 与f (x ) 的变化情况如下表：
由此得，函数f (x ) 的单调增区间为(-∞,1-2a ) 和(-1, +∞) ，单调减区间为(1-2a , -1) ②由a =1时，1-2a =-1，此时，f '(x ) ≥0恒成立，且仅在x =-1处f '(x ) =0，故函数
f (x ) 的单调区间为R
③当a -1，同理可得函数f (x ) 的单调增区间为(-∞, -1) 和(1-2a , +∞) ，单调减区间为(-1,1-2a )
综上：
当a >1时，函数f (x ) 的单调增区间为(-∞,1-2a ) 和(-1, +∞) ，单调减区间为(1-2a , -1) ； 当a =1时，函数f (x ) 的单调增区间为R ；
当a
313x -x 2-3x 3 由f '(x ) =x -2x -3=0，得x 1=-1, x 2=3
由（Ⅱ）得f (x ) 的单调增区间为(-∞, -1) 和(3,+∞) ，单调减区间为(-1,3) 所以函数f (x ) 在x 1=-1. x 2=3处取得极值。
故M (-1, ). N (3,-9)
所以直线MN 的方程为y =-538x -1 3
12⎧2y =x -x -3x ⎪⎪332 由⎨得x -3x -x +3=0
⎪y =-8x -1⎪3⎩
令F (x ) =x -3x -x +3
易得F (0)=3>0, F (2)=-3
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）同解法一。
（Ⅲ）当a =-1时，得f (x ) =3213x -x 2-3x ，由f ' (x =) 2x -2x -3=，0得3x
x 1=-1, x 2=3
由（Ⅱ）得f (x ) 的单调增区间为(-∞, -1) 和(3,+∞) ，单调减区间为(-1,3) ，所以函数f (x )
在x 1=-1, x 2=3处取得极值， 故M (-1, ), N (3,-9)
所以直线MN 的方程为y =-538x -1 3
13⎧2y =x -x -3x ⎪⎪332由⎨得x -3x -x +3=0
⎪y =-8x -1⎪3⎩
解得x 1=-1, x 2=1. x 3=3
⎧x 1=-1⎧x 2=1⎧x 3=3⎪⎪ ∴⎨5⎨11⎨y 1=, ⎪y 2=-, ⎩y 3=-9⎪3⎩3⎩
所以线段MN 与曲线f (x ) 有异于M , N 的公共点(1,-
22．（本小题满分14分） 11) 3
=已知直线x -2y +20经过椭圆
x 2y 2
C :2+2=1(a >b >0) 的左顶点A 和上顶点a b
D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 和椭圆C 上位于x
轴上方的动点，直线，AS , BS 与直线l :x =
别交于M , N 两点。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这
样的点T ，使得∆TSB 的面积为
解法一：
（Ⅰ）由已知得，椭圆C 的左顶点为A (-2,0), 上顶点为D (0,1),∴a =2, b =1 10分31？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由 5
x 2
+y 2=1 故椭圆C 的方程为4
（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为y =k (x +2) ，从而M (1016k , ) 33
⎧y =k (x +2) ⎪2222由⎨x 2得(1+4k ) x +16k x +16k -4=0 2⎪+y =1⎩4
4k 16k 2-42-8k 2
y =x =设S (x 1, y 1), 则(-2), x 1=得，从而 111+4k 21+4k 21+4k 2
2-8k 24k , ), 又B (2,0) 即S (221+4k 1+4k
110⎧⎧y =-(x -2) x =⎪⎪⎪⎪4k 3由⎨得⎨
⎪x =10⎪y =-1
⎪⎪33k ⎩⎩101∴N (, -) 33k
故|MN |=16k 1
+33k
又k >0, ∴|MN |=
当且仅当16k 18+≥= 33k 3116k 1=，即k =时等号成立 433k
18∴k =时，线段MN 的长度取最小值 43
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN 取最小值时，k =1 4
|BS |= 此时BS
的方程为x +y -2=0, s (, ), ∴64
55 5
1，只须T 到直线BS
的距离等于5 要使椭圆C 上存在点T ，使得∆TSB 的面积等于
，所以T 在平行于BS 且与BS
距离等于的直线l 上。 44
设直线l ':x +y +1=0
35=解得t =-或t =- 22