第6章 数值积分 --------学习小结
姓名 班级 学号 一、 本章学习体会
本章通过从定积分的几何意义来引入数值积分的定义、一般形式等。主要介绍了插值型求积公式、复化求积公式以及Gauss 型求积公式，并且在这几种积分形式下又针对各自的缺点提出了代数精度更高的求积类型。
最大的收获是学习了数值积分的一些常用的方法。例如牛顿-柯特斯公式是在等距节点的情形下的插值求积公式，其简单的如梯形公式，辛普森公式等。再有是复化求积公式是改善求积公式精度的一种有效的方法，对于复化梯形公式、复化辛普森公式很常用。而高斯求积公式是一种高精度的求积公式，在节点数相等的情况下，高斯型求积公式可以获得更高的积分近似值，缺点是要确定高斯点。 本章的内容虽然不是很多，但是在本章的学习过程中也遇到不少问题，比如公式多，在做题时容易混淆，其次对在处理实际一个问题时，选取哪一种求积公式，来达到最精确的结果。
二、 本章知识梳理
三、 本章思考题
插值型求积公式有何特点？
答：插值型求积公式主要用于计算定积分的值。数学推导中用拉格朗日插值函数代替被积函数，其表现形式是有限个函数值的线性组合，而组合系数恰好是拉格朗日插值基函数的定积分。(n+1)个结点的插值型求积公式的代数精度一般不超过n 。用数值求积公式计算定积分可以克服牛顿—莱布尼兹公式的弱点，但是数值计算结果带有误差。在用数值求积公式设计算法时，一般要考虑到误差估计，还应该使所求的数据结果的误差得到控制。
四、 本章测验题
利用正交多项式构造计算积分 积公式．
解：设所求公式的形式为⎰1
-1
⎰
1
-1
f (x ) dx 的具有两个节点的
Gauss 型求
f (x ) dx ≈A 0f (x 0) +A 1f (x 1).
已知Legendre 多项式是[-1, 1]上带权ρ(x ) =1的正交多项式，故可选二次式
P 2(x ) =
1
(3x 2-1) 的零点作为其Gauss 点。 2
令 P 2(x ) =1(3x 2-1) =0
2
得零点 x 0=- 则有
1
3 , x 1=
33
⎡3⎤⎡⎤ f (x ) dx ≈A f -+A f ⎢⎥⎥01⎢⎰-1
33⎣⎦⎣⎦
3
1(x -x ) 1
dx =11
A 0=⎰=⎰-1(x -x ) -1
301
--
33
3x +1(x -x ) 1
=10
A 1=⎰=⎰-1(x -x ) -1
3310
+33
x -
故可得
⎰
1
-1
f (x ) dx ≈f [-
33]+f [] 33
第6章 数值积分 --------学习小结
姓名 班级 学号 一、 本章学习体会
本章通过从定积分的几何意义来引入数值积分的定义、一般形式等。主要介绍了插值型求积公式、复化求积公式以及Gauss 型求积公式，并且在这几种积分形式下又针对各自的缺点提出了代数精度更高的求积类型。
最大的收获是学习了数值积分的一些常用的方法。例如牛顿-柯特斯公式是在等距节点的情形下的插值求积公式，其简单的如梯形公式，辛普森公式等。再有是复化求积公式是改善求积公式精度的一种有效的方法，对于复化梯形公式、复化辛普森公式很常用。而高斯求积公式是一种高精度的求积公式，在节点数相等的情况下，高斯型求积公式可以获得更高的积分近似值，缺点是要确定高斯点。 本章的内容虽然不是很多，但是在本章的学习过程中也遇到不少问题，比如公式多，在做题时容易混淆，其次对在处理实际一个问题时，选取哪一种求积公式，来达到最精确的结果。
二、 本章知识梳理
三、 本章思考题
插值型求积公式有何特点？
答：插值型求积公式主要用于计算定积分的值。数学推导中用拉格朗日插值函数代替被积函数，其表现形式是有限个函数值的线性组合，而组合系数恰好是拉格朗日插值基函数的定积分。(n+1)个结点的插值型求积公式的代数精度一般不超过n 。用数值求积公式计算定积分可以克服牛顿—莱布尼兹公式的弱点，但是数值计算结果带有误差。在用数值求积公式设计算法时，一般要考虑到误差估计，还应该使所求的数据结果的误差得到控制。
四、 本章测验题
利用正交多项式构造计算积分 积公式．
解：设所求公式的形式为⎰1
-1
⎰
1
-1
f (x ) dx 的具有两个节点的
Gauss 型求
f (x ) dx ≈A 0f (x 0) +A 1f (x 1).
已知Legendre 多项式是[-1, 1]上带权ρ(x ) =1的正交多项式，故可选二次式
P 2(x ) =
1
(3x 2-1) 的零点作为其Gauss 点。 2
令 P 2(x ) =1(3x 2-1) =0
2
得零点 x 0=- 则有
1
3 , x 1=
33
⎡3⎤⎡⎤ f (x ) dx ≈A f -+A f ⎢⎥⎥01⎢⎰-1
33⎣⎦⎣⎦
3
1(x -x ) 1
dx =11
A 0=⎰=⎰-1(x -x ) -1
301
--
33
3x +1(x -x ) 1
=10
A 1=⎰=⎰-1(x -x ) -1
3310
+33
x -
故可得
⎰
1
-1
f (x ) dx ≈f [-
33]+f [] 33