椭圆.双曲线的离心率取值范围求解方法[2]

椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法

一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）

x2y2

例1：双曲线221a0,b0的两个焦点为F1,F2，若P为其上一点，且PF12PF2，

ab

则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)

B.1,3 C.(3,+) D.3,

【解析】PF12PF2，PF1PF22a，PF1PF2FF1，F2三点共线等号成立）12（当且仅当P，F

6a2ce

c

3,又e1e1,3,选B a

x2y2

例2、如果椭圆221ab0上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦

ab

点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A

．1] B

C

．1]

D

．1,1)

．

1,1)

[解析]设PF2m，由题意及椭圆第二定义可知PF1mePF1PF2m(e1)2am

mme2c，把mPF2PF1，F2三点共线等号成立）1F1F2（当且仅当P，F

2a

e1

2a

代入化简e1

可得

2a

1e

2ce22e10e1又e1

e1,1,选B e1



二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系

x2y2

例1：双曲线221(a0,b0)的两个焦点为F1,F2，若P为其上一点，且PF12PF2，

ab

(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,) Ｄ．[3,) 则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．

【解析】设PF2m，F1PF2(0)，当P点在右顶点处，

2c

e11,e(1,3]．

2a三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系

x2y2

例1：双曲线221a0,b0的两个焦点为F1,F2，若P为其上一点，且PF12PF2，

ab

则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)

B.1,3 C.(3,+) D.3,

解：PF1PF22a,PF22a,即在双曲线右支上恒存在点P使得PF可知22a

AFP2

OAc，a2ca3ae

c

3又e1e1,3,选B a

x2y2

例2．已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一

ab

点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。

解：由题意得

因为，所以

，从而 ，

。又因为P在右支上，所以。。

。

x2y2

例3．椭圆221(ab)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点

ab

P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A

）





（B）

11

1,1 （D）,1 0, （C）

22

解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的

a2b2b2

距离相等而|FA|＝c |PF|∈[a－c,a＋c] 于是∈[a－c,a＋c]即ac－

ccc

c

1accaca1

c2≤b2≤ac＋c2∴22又e∈(0,1)故e∈,1 答案：D 22acaccc1或c1

a2a

2

2

2

x2y2

例4、已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)．若双曲线上

ab

sinPF1F2a

存在点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

sinPF2F1c

PFsinPF1F2PF2a1

（由正弦定理得），2，ePF2PF1． 

sinPF2F1PF1PF1ce

2a

又PF1PF22a(e1)，(e1)PF22a，PF2，由双曲线性质知PF2ca，

e1

2a2ca，即e1，得e22e10，又

e1，得e(11)． e1e1【解析】

x2y2

例5、设椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠

ab

F1PF2=90，求离心率e的取值范围。

解析：∵P点满足∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径的圆上又∵P是椭圆上一点，∴以F1F2

为直径的圆与椭圆有公共点，∵F1、F2是椭圆

x2y2

21(ab0)的焦点∴以F1F2为直径的圆的半径r2ab

满足：

r=c≥b，两边平方，得

由此可得e[

2

，1）

2

c2≥b2 即c2≥a2-c2

四、利用圆锥曲线中x、y的范围建立不等关系

x2y2

例1、双曲线221(a0,b0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则

ab

双曲线离心率的取值范围是（

）Ａ．

Ｂ．)

Ｃ．1]

Ｄ．1,)

a2a2a2

【解析】ex0ax0(e1)x0a x0a,a(e

1)a,

ccc

a1

e111e22e101e1而双曲线的离心率e

1，

ce

e(11],

x2y2

例2、设点P在双曲线221(a0,b0)的左支上，双曲线两焦点为F1、F2，已知|PF1|

ab

是点P到左准线l的距离d和|PF2|的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。

2

解析：由题设|PF1|d|PF2|得：

|PF|PF|PF2|1|1|e得：。由双曲线第二定义

dd|PF|1

|PF2|aex(1e)a

e，则x2a，即e22e10，解得e，由焦半径公式得：

aexee|PF1|1e1。

归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P在双

x2y2x2y2

曲线221的左支上则xa；若点p在双曲线221的右支上则xa。

abab

x2y2

例2． 设椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠

ab

F1PF2=90，求离心率e的取值范围。 解析1：设P（x，y），又知

，则

将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

解析2：由焦半径公式得

x2y2

例3已知椭圆22=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，如果椭圆上存在点P，使得

ab

∠APB=1200，求椭圆的离心率e的取值范围．

解：设P（x0，y0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x0＜a, 0＜y0≤b．∵A（a，0），B（a，0），∴kPA=

y0y0

，kPB=． x0ax0a

∵∠APB=1200，∴tan∠APB=-3，又tan∠APB=

2ay0kPBkPA

=2，∴22

1kPBkPAx0y0a

2ay0

=222

x0y0a

222222

，……① 而点P在椭圆上，∴bx0+ay0=ab……②由①、②得

y0=

2ab23(ab)

2

2

．∵0＜y0≤b，∴0＜

2ab2(ab)

2

2

≤b．

∵a＞b＞0，∴2ab≤（a2-b2），即4 a2b2≤3 c4，整理得，3e4+4e2-4≥0．考虑0＜e＜1，可解得

≤e＜1． 3

四、利用判别式建立不等关系

x2y2

例1、设椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠

ab

F1PF2=90，求离心率e的取值范围。 解：由椭圆定义知

x2

例2、已知双曲线2y21(a0)与直线l：xy1交于P、Q两个不同的点，求双曲线离

a

心率的取值范围。

解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x得：(1a2)y22y1a20,1a20时，直线与双曲线有两个不同的交点则0，44(1a2)24a2(2a2)0，即a22且a1，

c2136所以e212，即e且e2。

22aa

2

五、利用均值不等式建立不等关系

4(a2c2)

∴由余弦定理，得m+n-mn=4c．② ①②联解，得mn＝

3

2

2

2

mn214(a2c2)2

)＝a， ∴ 又∵mn≤(≤a2，化简整理，得a2＜4c2，解之得≤e＜1 223

x2y2

例2、已知点P在双曲线221(a0,b0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，

ab

2

|PF1|最小值是8a，则双曲线离心率的取值范围 。 |PF2|

2

|PF(|PF2|2a)24a21|由均值定理知：当且仅当|PF2|2a|PF2|4a8a，|PF2||PF2||PF2|

时取得最小值8a，又|PF2|ca所以2aca，则1e3。

x2y2

例3、设椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠

ab

F1PF2=90，则离心率e的取值范围

。

解析：由椭圆定义，有

平方后得

六、利用二次函数的性质建立不等关系

x2y2

设a

1，则双曲线21的离心率e的取值范围是（ ） 2

a(a

1)

Ａ．

Ｂ． Ｃ．(2,5) Ｄ．

【解析】ee

七、利用非负数性质

1

．1a1,01，根据二次函数值域可

得

ax2y2

例 已知过双曲线221(a0,b0)左焦点F1的直线l交双曲线

ab

于P、Q两点，且OPOQ（O为原点），则双曲线离心率的取值范围 。

解析：设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，过左焦点F1的直线l方程：xtyc，代入双曲线方程得：

2b2tc

， (bta)y2btcyb0，由韦达定理得：y1y222

bta2

22

2

2

2

4

b422

y1y222,xx(tyc)(tyc)tyyct(yy)c，由121212122

bta

OP⊥OQ得

b4(t21)2b2t2c2b4a2c222

22c0，解得：t，因为t20，所x1x2y1y20，即：22

2222

btabtaab

以b4a2c20，则a43a2c2c40,e43e210,e2

31

，所以e。 22

练习

1、设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取

值范围是（ A ） A．

[

，1) B.

（1) C.(0

，

] 解：设，P（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．

4c23a2(aex1)2(aex1)24c22

在△PF1F2中，由余弦定理得 cos120°＝，解得 x1＝． ∵

e22(aex1)(aex1)

x12∈（0，a2]，

∴4c2-3a2≥0．且e2＜1 ∴e∈

[

x2y2

2、设F1、F2分别是椭圆221(ab0)的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，使线

ab

段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（

）Ａ．

Ｂ．

Ｄ． Ｃ．1a2

【解析】设若P为右准线与x轴的交点，可知c2c，即e2，又P在右准线上可知

3c

a2c

2c，所以离心率的取值范围为． c3

x2y2

3、椭圆221的焦点为F1,F2，两条准线与x轴的交点分别为M,N．若 MN2F1F2，

ab

，1) 2

11(0,]

Ｂ．[,1)

则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0, Ｃ．222

Ｄ．

2a22a2

4c，即a2

2c2，所以【解析】因为两准线距离为，又因为F1F22c，所以有

cc

e1． 2

x2y2

4、已知双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲

ab

线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,2]

Ｂ．(1,2) Ｃ．[2,) Ｄ．(2,)

【解析】如图l1与l2分别为与双曲线

xy

1的渐近线平行的两条直线，直22ab

线l为过F且倾斜角为60的直线，要使l与双曲线的右支有且只有一

b个交点，则应使tan60

．e2．

a22

x2y2

5、设点P在双曲线221(a0,b0)的右支上，双曲线两焦点F1、F2，|PF1|4|PF2|，

ab

求双曲线离心率的取值范围。

解析1：由双曲线第一定义得：|PF1||PF2|2a，与已知|PF1|4|PF2|联立解得：

82825

|PF1|a,|PF2|a，aa2c1e由三角形性质|PF解得：。 ||PF||FF|1212

33333

82

解析2： |PF1|a,|PF2|a，点P在双曲线右支上由图1可

33

82aca,aca，两式相加知：|PF，，即|ca|PF|ca12

33

55得：ac，解得：1e。

33

x2y2

6、已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)．若双曲线上存在

ab

sinPF1F2a

点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

sinPF2F1c

PF2PF1ac



PF1211，即【解析】因为在PF1F2中，由正弦定理得sinPF1F2sinPF2F1则由已知，得PF

aPF1cPF2，且知点P在双曲线的右支上，设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1aex0,PF2ex0a则a(aex0)c(ex0a)解得

x0a则

a(e1)

a

e(e1)，整理得

x0

a(ca)a(e1)



e(ca)e(e1)由双曲线的几何

性质知

e22e1

0,解得1e1，又

e(1,)，故椭圆的离心率e(11)

x27、若点O和点F(2,0)分别是双曲线2y21(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的

a



任意一点,则OPFP的取值范围为 ( )

77

A. 

) B. [3) C. [-,) D. [,)

44

解析: 因为F(2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a214，即a23，所以双曲线方程为

x02x02x2222

y1，设点P(x0,y

0)，则有y01(x0

，解得y01(x0，因为333



FP(x02,y0)O

0(P

2

，



OP(x0,y0)

，所以

2x024x02(x02)=0x0F2)1xxxy01，此二次函数对应的抛物线的对称0

33



34

轴为x0

，因为x0

x0时，OPFP取得最小值3

1343



故OPFP的取值范围是[3)，选B。

x2y2

7、已知F1、F2分别是双曲线221a0,b0的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线

ab

交双曲线于A、B两点，若ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是（ A ）

A

．1,1 B

．1

C.1 D

．

1



8、已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且

BF2FD，则C的离心率为。

【解析】

如图，|BF|a,作DD1y轴于点D1,则由2，得

33|OF||BF|2

,所以|DD1||OF|c,

22|DD1||BD|3

3ca23c3c2

即xD,由椭圆的第二定义得|FD|e()a

2c22a

3c2

又由|BF|2|FD|,得c2a,整理得3c22a2ac0. 两边都除以a2,得3e2e20,

a

解得e1(舍去)，或e

2. 3

x2y29、已知椭圆C:221(a＞b＞

0)过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C

ab

相交于A、B两点．若AF3FB，则k（ ）（A）1 （B

） （C

）

（D）2

【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为

垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由

，得

，

∴

即

B.

【解析】：A（x1，y1），B（x2，y2），AF3FB，∴y1=-3y2， ∵e

＝

＝2t，c＝3t，b=t， ∴x2+4y2-4t2=0，直线AB方程为x＝sy+t代入消去x，得 (s2+4)y2+23sty−t2＝0，

∴y1+y2＝− ，y1y2＝− ，−2y2＝− s2＝

1

k= 故选B 2

椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法

一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）

x2y2

例1：双曲线221a0,b0的两个焦点为F1,F2，若P为其上一点，且PF12PF2，

ab

则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)

B.1,3 C.(3,+) D.3,

【解析】PF12PF2，PF1PF22a，PF1PF2FF1，F2三点共线等号成立）12（当且仅当P，F

6a2ce

c

3,又e1e1,3,选B a

x2y2

例2、如果椭圆221ab0上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦

ab

点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A

．1] B

C

．1]

D

．1,1)

．

1,1)

[解析]设PF2m，由题意及椭圆第二定义可知PF1mePF1PF2m(e1)2am

mme2c，把mPF2PF1，F2三点共线等号成立）1F1F2（当且仅当P，F

2a

e1

2a

代入化简e1

可得

2a

1e

2ce22e10e1又e1

e1,1,选B e1



二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系

x2y2

例1：双曲线221(a0,b0)的两个焦点为F1,F2，若P为其上一点，且PF12PF2，

ab

(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,) Ｄ．[3,) 则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．

【解析】设PF2m，F1PF2(0)，当P点在右顶点处，

2c

e11,e(1,3]．

2a三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系

x2y2

例1：双曲线221a0,b0的两个焦点为F1,F2，若P为其上一点，且PF12PF2，

ab

则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)

B.1,3 C.(3,+) D.3,

解：PF1PF22a,PF22a,即在双曲线右支上恒存在点P使得PF可知22a

AFP2

OAc，a2ca3ae

c

3又e1e1,3,选B a

x2y2

例2．已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一

ab

点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。

解：由题意得

因为，所以

，从而 ，

。又因为P在右支上，所以。。

。

x2y2

例3．椭圆221(ab)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点

ab

P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A

）





（B）

11

1,1 （D）,1 0, （C）

22

解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的

a2b2b2

距离相等而|FA|＝c |PF|∈[a－c,a＋c] 于是∈[a－c,a＋c]即ac－

ccc

c

1accaca1

c2≤b2≤ac＋c2∴22又e∈(0,1)故e∈,1 答案：D 22acaccc1或c1

a2a

2

2

2

x2y2

例4、已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)．若双曲线上

ab

sinPF1F2a

存在点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

sinPF2F1c

PFsinPF1F2PF2a1

（由正弦定理得），2，ePF2PF1． 

sinPF2F1PF1PF1ce

2a

又PF1PF22a(e1)，(e1)PF22a，PF2，由双曲线性质知PF2ca，

e1

2a2ca，即e1，得e22e10，又

e1，得e(11)． e1e1【解析】

x2y2

例5、设椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠

ab

F1PF2=90，求离心率e的取值范围。

解析：∵P点满足∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径的圆上又∵P是椭圆上一点，∴以F1F2

为直径的圆与椭圆有公共点，∵F1、F2是椭圆

x2y2

21(ab0)的焦点∴以F1F2为直径的圆的半径r2ab

满足：

r=c≥b，两边平方，得

由此可得e[

2

，1）

2

c2≥b2 即c2≥a2-c2

四、利用圆锥曲线中x、y的范围建立不等关系

x2y2

例1、双曲线221(a0,b0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则

ab

双曲线离心率的取值范围是（

）Ａ．

Ｂ．)

Ｃ．1]

Ｄ．1,)

a2a2a2

【解析】ex0ax0(e1)x0a x0a,a(e

1)a,

ccc

a1

e111e22e101e1而双曲线的离心率e

1，

ce

e(11],

x2y2

例2、设点P在双曲线221(a0,b0)的左支上，双曲线两焦点为F1、F2，已知|PF1|

ab

是点P到左准线l的距离d和|PF2|的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。

2

解析：由题设|PF1|d|PF2|得：

|PF|PF|PF2|1|1|e得：。由双曲线第二定义

dd|PF|1

|PF2|aex(1e)a

e，则x2a，即e22e10，解得e，由焦半径公式得：

aexee|PF1|1e1。

归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P在双

x2y2x2y2

曲线221的左支上则xa；若点p在双曲线221的右支上则xa。

abab

x2y2

例2． 设椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠

ab

F1PF2=90，求离心率e的取值范围。 解析1：设P（x，y），又知

，则

将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

解析2：由焦半径公式得

x2y2

例3已知椭圆22=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，如果椭圆上存在点P，使得

ab

∠APB=1200，求椭圆的离心率e的取值范围．

解：设P（x0，y0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x0＜a, 0＜y0≤b．∵A（a，0），B（a，0），∴kPA=

y0y0

，kPB=． x0ax0a

∵∠APB=1200，∴tan∠APB=-3，又tan∠APB=

2ay0kPBkPA

=2，∴22

1kPBkPAx0y0a

2ay0

=222

x0y0a

222222

，……① 而点P在椭圆上，∴bx0+ay0=ab……②由①、②得

y0=

2ab23(ab)

2

2

．∵0＜y0≤b，∴0＜

2ab2(ab)

2

2

≤b．

∵a＞b＞0，∴2ab≤（a2-b2），即4 a2b2≤3 c4，整理得，3e4+4e2-4≥0．考虑0＜e＜1，可解得

≤e＜1． 3

四、利用判别式建立不等关系

x2y2

例1、设椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠

ab

F1PF2=90，求离心率e的取值范围。 解：由椭圆定义知

x2

例2、已知双曲线2y21(a0)与直线l：xy1交于P、Q两个不同的点，求双曲线离

a

心率的取值范围。

解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x得：(1a2)y22y1a20,1a20时，直线与双曲线有两个不同的交点则0，44(1a2)24a2(2a2)0，即a22且a1，

c2136所以e212，即e且e2。

22aa

2

五、利用均值不等式建立不等关系

4(a2c2)

∴由余弦定理，得m+n-mn=4c．② ①②联解，得mn＝

3

2

2

2

mn214(a2c2)2

)＝a， ∴ 又∵mn≤(≤a2，化简整理，得a2＜4c2，解之得≤e＜1 223

x2y2

例2、已知点P在双曲线221(a0,b0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，

ab

2

|PF1|最小值是8a，则双曲线离心率的取值范围 。 |PF2|

2

|PF(|PF2|2a)24a21|由均值定理知：当且仅当|PF2|2a|PF2|4a8a，|PF2||PF2||PF2|

时取得最小值8a，又|PF2|ca所以2aca，则1e3。

x2y2

例3、设椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠

ab

F1PF2=90，则离心率e的取值范围

。

解析：由椭圆定义，有

平方后得

六、利用二次函数的性质建立不等关系

x2y2

设a

1，则双曲线21的离心率e的取值范围是（ ） 2

a(a

1)

Ａ．

Ｂ． Ｃ．(2,5) Ｄ．

【解析】ee

七、利用非负数性质

1

．1a1,01，根据二次函数值域可

得

ax2y2

例 已知过双曲线221(a0,b0)左焦点F1的直线l交双曲线

ab

于P、Q两点，且OPOQ（O为原点），则双曲线离心率的取值范围 。

解析：设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，过左焦点F1的直线l方程：xtyc，代入双曲线方程得：

2b2tc

， (bta)y2btcyb0，由韦达定理得：y1y222

bta2

22

2

2

2

4

b422

y1y222,xx(tyc)(tyc)tyyct(yy)c，由121212122

bta

OP⊥OQ得

b4(t21)2b2t2c2b4a2c222

22c0，解得：t，因为t20，所x1x2y1y20，即：22

2222

btabtaab

以b4a2c20，则a43a2c2c40,e43e210,e2

31

，所以e。 22

练习

1、设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取

值范围是（ A ） A．

[

，1) B.

（1) C.(0

，

] 解：设，P（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．

4c23a2(aex1)2(aex1)24c22

在△PF1F2中，由余弦定理得 cos120°＝，解得 x1＝． ∵

e22(aex1)(aex1)

x12∈（0，a2]，

∴4c2-3a2≥0．且e2＜1 ∴e∈

[

x2y2

2、设F1、F2分别是椭圆221(ab0)的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，使线

ab

段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（

）Ａ．

Ｂ．

Ｄ． Ｃ．1a2

【解析】设若P为右准线与x轴的交点，可知c2c，即e2，又P在右准线上可知

3c

a2c

2c，所以离心率的取值范围为． c3

x2y2

3、椭圆221的焦点为F1,F2，两条准线与x轴的交点分别为M,N．若 MN2F1F2，

ab

，1) 2

11(0,]

Ｂ．[,1)

则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0, Ｃ．222

Ｄ．

2a22a2

4c，即a2

2c2，所以【解析】因为两准线距离为，又因为F1F22c，所以有

cc

e1． 2

x2y2

4、已知双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲

ab

线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,2]

Ｂ．(1,2) Ｃ．[2,) Ｄ．(2,)

【解析】如图l1与l2分别为与双曲线

xy

1的渐近线平行的两条直线，直22ab

线l为过F且倾斜角为60的直线，要使l与双曲线的右支有且只有一

b个交点，则应使tan60

．e2．

a22

x2y2

5、设点P在双曲线221(a0,b0)的右支上，双曲线两焦点F1、F2，|PF1|4|PF2|，

ab

求双曲线离心率的取值范围。

解析1：由双曲线第一定义得：|PF1||PF2|2a，与已知|PF1|4|PF2|联立解得：

82825

|PF1|a,|PF2|a，aa2c1e由三角形性质|PF解得：。 ||PF||FF|1212

33333

82

解析2： |PF1|a,|PF2|a，点P在双曲线右支上由图1可

33

82aca,aca，两式相加知：|PF，，即|ca|PF|ca12

33

55得：ac，解得：1e。

33

x2y2

6、已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)．若双曲线上存在

ab

sinPF1F2a

点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

sinPF2F1c

PF2PF1ac



PF1211，即【解析】因为在PF1F2中，由正弦定理得sinPF1F2sinPF2F1则由已知，得PF

aPF1cPF2，且知点P在双曲线的右支上，设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1aex0,PF2ex0a则a(aex0)c(ex0a)解得

x0a则

a(e1)

a

e(e1)，整理得

x0

a(ca)a(e1)



e(ca)e(e1)由双曲线的几何

性质知

e22e1

0,解得1e1，又

e(1,)，故椭圆的离心率e(11)

x27、若点O和点F(2,0)分别是双曲线2y21(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的

a



任意一点,则OPFP的取值范围为 ( )

77

A. 

) B. [3) C. [-,) D. [,)

44

解析: 因为F(2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a214，即a23，所以双曲线方程为

x02x02x2222

y1，设点P(x0,y

0)，则有y01(x0

，解得y01(x0，因为333



FP(x02,y0)O

0(P

2

，



OP(x0,y0)

，所以

2x024x02(x02)=0x0F2)1xxxy01，此二次函数对应的抛物线的对称0

33



34

轴为x0

，因为x0

x0时，OPFP取得最小值3

1343



故OPFP的取值范围是[3)，选B。

x2y2

7、已知F1、F2分别是双曲线221a0,b0的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线

ab

交双曲线于A、B两点，若ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是（ A ）

A

．1,1 B

．1

C.1 D

．

1



8、已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且

BF2FD，则C的离心率为。

【解析】

如图，|BF|a,作DD1y轴于点D1,则由2，得

33|OF||BF|2

,所以|DD1||OF|c,

22|DD1||BD|3

3ca23c3c2

即xD,由椭圆的第二定义得|FD|e()a

2c22a

3c2

又由|BF|2|FD|,得c2a,整理得3c22a2ac0. 两边都除以a2,得3e2e20,

a

解得e1(舍去)，或e

2. 3

x2y29、已知椭圆C:221(a＞b＞

0)过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C

ab

相交于A、B两点．若AF3FB，则k（ ）（A）1 （B

） （C

）

（D）2

【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为

垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由

，得

，

∴

即

B.

【解析】：A（x1，y1），B（x2，y2），AF3FB，∴y1=-3y2， ∵e

＝

＝2t，c＝3t，b=t， ∴x2+4y2-4t2=0，直线AB方程为x＝sy+t代入消去x，得 (s2+4)y2+23sty−t2＝0，

∴y1+y2＝− ，y1y2＝− ，−2y2＝− s2＝

1

k= 故选B 2