证明毕达哥拉斯定理

证明毕达哥拉斯定理 制作：有丘直方

证明毕达哥拉斯定理

制作：有丘直方

毕达哥拉斯定理

AB2AC2BC2

或者可以这么说：

直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——是不是很烦？

中国人称这条定理为“勾股定理”，他们把直角三角形的两条直边的长度分别叫做“勾”和“股”，斜边就叫“弦”。这就简单多了：

直角三角形中的勾乘自己得到的积和股乘自己得到的积相加的和等于弦乘自己得到的积。

甚至可以更简单，因为如果用“勾”、“股”和“弦”的话，就不用画图了。这又是因为“勾”、“股”和“弦”只在直角三角形中出现。

勾2股2弦2

简单不？中国人就是聪明，因为勾股定理比毕达哥拉斯定理早发现好多年，而且更简单。

证明毕达哥拉斯定理

首先，我们画一幅图：

1

证明毕达哥拉斯定理 制作：有丘直方

啊，真乱。让我们先把重要的部分先择出来。

我们现在需要证明图中用蓝色的线表示的□ABCD□JAHI□HDEG（因为□ABCD是AD2、□JAHI是AH2、□HDEG是HD2）。其中，用蓝色的粗线表示的形状就是我们图中最最重要的部分——直角三角形。图中用绿色的线表示的诸线段是辅助线，用绿色的虚线表示的线段都是很少时候才用到的辅助线。

根据定理，我们只要证明□ABCD□XDEF且□JAHI□HXFG就能证明□ABCD□JAHI□HDEG，因为□XDEF□HXFG□HDEG（这是肯定的）。

我们先不看JH、ID、AG和HF，这些线段暂时用不到。我们先证明□ABCD□XDEF。

2

证明毕达哥拉斯定理 制作：有丘直方

11因为△BCDABCD且△DEFXDFE，所以我们只要证明出22

1△DEF△BCD就可以推出□ABCD□XDEF。这又是因为等号两边同时缩小2

倍，这个等式还是成立。

现在，让我们先岔开一下，看看两个角——你会知道为什么我们要提到它们的。这两个角是：∠CDH和∠ADE。先看∠CDH，它被AD分成了两个角：∠CDA和∠ADH；再看∠ADE，它被HD分成了两个角：∠HDE和∠ADH。所以，∠CDH∠ADH90（∠CDA是直角，所以用90代替）且∠ADE∠ADH90（∠HDE是直角，所以用90代替）。看看这两条等式，你会发现其实∠CDH∠ADE！这很重要！

让我们再看看两个三角形——你会知道为什么我们要提到它们的。这两个三角形是：△CDH和△ADE。先看△CDH，它的两条蓝色的边的长度分别是AD和HD（AD其实是CD的长度，因为他们标了全等标记，所以CD可以用AD表示）；再看△ADE，它的两条蓝色的边的长度分别是AD和HD（HD其实是DE的长度，因为他们标了全等标记，所以HD可以用DE表示）。比较一下△CDH和△ADE，它们有两条对应的邻边相等！因为当两个三角形中有两条对应的边相等且这两条边之间的夹角相等则这两个三角形全等，所以△CDH≌△ADE（因为它们之间的夹角∠CDH∠ADE）。

我们接下来先看看△CDH与△BCD之间的关系。你发现了没？它们的面积是相等的！因为两个三角形，如果它们的底和高相等，那么它们的面积相等。如果它们的底的长度都是CD，那么高的长度就都是BC（因为平行线之间的线段长度相等

BH∥CD又是因为BH和CD都垂直于BC）且BH∥CD，。再看看△ADE与△DEF

之间的关系。它们的面积也是相等的！因为它们的底和高相等。如果它们的底的长度都是DE，那么高的长度就都是FE（因为平行线之间的线段长度相等且AF∥DE，AF∥DE又是因为AF和DE都垂直于FE）。

那么现在„„△CDH△ADE且△CDH△BCD且△ADE△DEF。通过这

1三条等式我们就可以推出△DEF△BCD！那么让它们都被除，就能得到2

□ABCD□XDEF了！

接下来我们不看BD、CH、AE和DF，看JH、ID、AG和HF。现在我们就可以开始证明□JAHI□HXFG了，其过程是完全一样的。但是我们这次用简练的数学语言来表述：

3

证明毕达哥拉斯定理 制作：有丘直方

11△JIHJAHI且△HGFHXFG22

△JIH△HGF可以推出□JAHI□HXFG

∠IHD∠AHD90且∠AHG∠AHD90

∠IHD∠AHG

△IHD≌△AHG

同底同高

△JIH△IHD且△HGF△AHG

△IHD△AHG

△JIH△HGF

□JAHI□HXFG

定理成立

简单吗？

结论

这有什么好说的？搞了半天，结论很简单：

直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——这句话是真理。

简单吗？

4

证明毕达哥拉斯定理 制作：有丘直方

证明毕达哥拉斯定理

制作：有丘直方

毕达哥拉斯定理

AB2AC2BC2

或者可以这么说：

直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——是不是很烦？

中国人称这条定理为“勾股定理”，他们把直角三角形的两条直边的长度分别叫做“勾”和“股”，斜边就叫“弦”。这就简单多了：

直角三角形中的勾乘自己得到的积和股乘自己得到的积相加的和等于弦乘自己得到的积。

甚至可以更简单，因为如果用“勾”、“股”和“弦”的话，就不用画图了。这又是因为“勾”、“股”和“弦”只在直角三角形中出现。

勾2股2弦2

简单不？中国人就是聪明，因为勾股定理比毕达哥拉斯定理早发现好多年，而且更简单。

证明毕达哥拉斯定理

首先，我们画一幅图：

1

证明毕达哥拉斯定理 制作：有丘直方

啊，真乱。让我们先把重要的部分先择出来。

我们现在需要证明图中用蓝色的线表示的□ABCD□JAHI□HDEG（因为□ABCD是AD2、□JAHI是AH2、□HDEG是HD2）。其中，用蓝色的粗线表示的形状就是我们图中最最重要的部分——直角三角形。图中用绿色的线表示的诸线段是辅助线，用绿色的虚线表示的线段都是很少时候才用到的辅助线。

根据定理，我们只要证明□ABCD□XDEF且□JAHI□HXFG就能证明□ABCD□JAHI□HDEG，因为□XDEF□HXFG□HDEG（这是肯定的）。

我们先不看JH、ID、AG和HF，这些线段暂时用不到。我们先证明□ABCD□XDEF。

2

证明毕达哥拉斯定理 制作：有丘直方

11因为△BCDABCD且△DEFXDFE，所以我们只要证明出22

1△DEF△BCD就可以推出□ABCD□XDEF。这又是因为等号两边同时缩小2

倍，这个等式还是成立。

现在，让我们先岔开一下，看看两个角——你会知道为什么我们要提到它们的。这两个角是：∠CDH和∠ADE。先看∠CDH，它被AD分成了两个角：∠CDA和∠ADH；再看∠ADE，它被HD分成了两个角：∠HDE和∠ADH。所以，∠CDH∠ADH90（∠CDA是直角，所以用90代替）且∠ADE∠ADH90（∠HDE是直角，所以用90代替）。看看这两条等式，你会发现其实∠CDH∠ADE！这很重要！

让我们再看看两个三角形——你会知道为什么我们要提到它们的。这两个三角形是：△CDH和△ADE。先看△CDH，它的两条蓝色的边的长度分别是AD和HD（AD其实是CD的长度，因为他们标了全等标记，所以CD可以用AD表示）；再看△ADE，它的两条蓝色的边的长度分别是AD和HD（HD其实是DE的长度，因为他们标了全等标记，所以HD可以用DE表示）。比较一下△CDH和△ADE，它们有两条对应的邻边相等！因为当两个三角形中有两条对应的边相等且这两条边之间的夹角相等则这两个三角形全等，所以△CDH≌△ADE（因为它们之间的夹角∠CDH∠ADE）。

我们接下来先看看△CDH与△BCD之间的关系。你发现了没？它们的面积是相等的！因为两个三角形，如果它们的底和高相等，那么它们的面积相等。如果它们的底的长度都是CD，那么高的长度就都是BC（因为平行线之间的线段长度相等

BH∥CD又是因为BH和CD都垂直于BC）且BH∥CD，。再看看△ADE与△DEF

之间的关系。它们的面积也是相等的！因为它们的底和高相等。如果它们的底的长度都是DE，那么高的长度就都是FE（因为平行线之间的线段长度相等且AF∥DE，AF∥DE又是因为AF和DE都垂直于FE）。

那么现在„„△CDH△ADE且△CDH△BCD且△ADE△DEF。通过这

1三条等式我们就可以推出△DEF△BCD！那么让它们都被除，就能得到2

□ABCD□XDEF了！

接下来我们不看BD、CH、AE和DF，看JH、ID、AG和HF。现在我们就可以开始证明□JAHI□HXFG了，其过程是完全一样的。但是我们这次用简练的数学语言来表述：

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证明毕达哥拉斯定理 制作：有丘直方

11△JIHJAHI且△HGFHXFG22

△JIH△HGF可以推出□JAHI□HXFG

∠IHD∠AHD90且∠AHG∠AHD90

∠IHD∠AHG

△IHD≌△AHG

同底同高

△JIH△IHD且△HGF△AHG

△IHD△AHG

△JIH△HGF

□JAHI□HXFG

定理成立

简单吗？

结论

这有什么好说的？搞了半天，结论很简单：

直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——这句话是真理。

简单吗？

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