全等三角形的判定及角平分线的判定

全等三角形的判定及角平分线的判定、性质

目标：1.掌握全等三角形的判定定理三、四、五以及它们的综合运用。

2.角平分线的判定以及性质。

重点：全等三角形的判定定理的综合运用。

角平分线的判定以及性质。

难点：全等三角形的判定定理的综合运用。

内容：

一、判定定理三：两角及(夹边对应相等)，那么两个三角形全等。（ASA)

例1.阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．

答：△AOD≌△COB．

证明：在△AOD和△COB中，

图4－4

AC(已知), OAOB(已知),

AODCOB(对顶角相等),

∴ △AOD≌△COB （ASA）．

问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？

在我们证明的过程中，一定要看清楚，判定定理要求的条件，比如在上题中我们看到，已知OA=OB,角A=角B，那我们知道一条边以及它的邻角，要证它们全等的话，第一种方法是证OC=OD,这种方法是SAS，第二种方法是证明角A=角B,这种方法是ASA, 第三种方法是证明OC=OD,AD=BC 这种方法是SSS.

最后我们的结论是：不全等。在三角形AOD 和三角形COB 中，

角A=角C, OA=OB, 角AOD=角COB 因为OB 不是角C和角BOC 的夹边。所以不符合ASA的判定条件因此两个三角形不全等。

通过这一题，我们知道了在判定三角形全等的时候，若已知一边与一角，可以证明已知角的另一边相等，这时用的是SAS.

或者证明一角相等，用AAS,ASA. 如果学生能明白的话，就分情况说明。

如果是一边及其邻角的话，可以证明这边的另外一角。ASA. 也可以证明第三个角相等，用的是AAS. 如果是一边及其对角的话，可以证明剩下两角中任意一角相等，用的是AAS.

如果已知两角相等，可以证明它们的夹边相等，用的是ASA

也可以证明剩下的任意两边中的一边相等，用的是AAS.

）全等三角形判定方法4——“角角边” （即______）指的是______AAS

______________________________________________________________________\ 例2.

．已知：如图4－5，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．

求证：AD＝AC

．

解析：（1）有垂直我们想到有直角，即是角CAD等于90度，角BAE等于90度。角E=角B,DE=CB 我们知道这一角一边之间是什么关系？即是一边及其邻角。

一直一边及其邻角的话，我们用的是什么方法？我们可以找这边的另一个邻角。用的是ASA. 或者用这边的对角相等。用的是AAS. 由题意知道，第一种方法不容易证明。我们用第二种方法。

解：因为有两个垂直

所以角CAD=角BAE=90度

所以角CAD+角DAB=角BAE+角DAB 即角CAB=DAE

在三角形BAC 和三角形DAE中；

角B=角E

角CAB=角DAE

DE=CB

所以两个三角形全等。

练习

这个题是去年洛阳市的期末考试题。

二、斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“ ”或“ ”）HL

例3.、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？

解析：在这个题里面，我们看到AC=AD，有两个直角。所以我C

们考虑第一方法是HL，有一条公共边AB所以我们用HL 就可以判定。

练习、如图2，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥

BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.

答：AB平行于CD

理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）

∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）

∵BE=CF，∴BF=CE

在Rt△ 和Rt△ 中

∵_______________∴ ≌

________________ （）

∴ = （）

∴ （内错角相等，两直线平行）

三、角平分线的性质

四、如果一条射线把一个角分成相等的两部分，那么这条直线就叫做这个角的角平分线。尺规作图：

以O为圆心，以适当长为半径画弧，交 OA于E,交OB于F

以E,F为圆心，大于1/2ef长为半径画弧，两狐在角AOB的内部交于C

画射线OC

则射线OC 就是我们要求的角平分线。

角平分线的性质：角平分线上的点（到角两边的距离）相等。

例4.

如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．

证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．

因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．

所以PD=PE．

同理PE=PF．

所以PD=PE=PF．

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

例5.已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．

证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），

∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共边）

QD=QE

∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）

∴ ∠ QOD＝∠QOE

∴点Q在∠AOB的平分线上。

练习：

如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。

D C

总结：我们复习了全等三角形的判定方法以及在什么情况下用合适的判定定理。最后角的平分线的性质，以及角的平分线的判定。这部分内容比较重要。因此在小题、大题中都会出现。