斜轴墨卡托投影方法在郑西客专中的应用研究

26测绘信息与工程　Journal of G eomatics Feb. 2009; 34(1)

中图分类号:P282　　　文献标志码:B

文章编号:100723817(2009) 0120026203

吕慧玲

(中铁第一勘察设计院集团有限公司, 西安市西影路2号,710043)

摘　要　介绍了斜轴墨卡托投影, 分析了其具体实现过程, 实现了在郑西客运专线精密控制测量的应用, 有效地解决了东西走向线路投影差对工程影响较大的问题。关键词　地图投影; 斜轴墨卡托投影; 客运专线; 投影差　　根据《客运专线无碴轨道铁路工程测量技术暂行规定》的技术要求, 客运专线无碴轨道铁路工程测量平面坐标系采用工程独立坐标系统, 坐标系的设计应满足如下要求[1]:边长投影在对应的线路设计平均高程面上(轨面高程) ; 投影长度的变形值不大于10mm/km 。对于东西走向的铁路, 如果采用高斯投影分带设计,

就需要划分多个投影带才能满足投影长度变形的要求; 如果采用斜轴墨卡托投影, 将圆柱面与铁路中心线相切, 便能有效地解决投影差改正的问题。

O ′为原点的坐标系中的坐标为(X , Y , Z +S ) , 可建立方程:

R =[X 2+Y 2+(Z +S ) 2]1/2

根据沿线两个以上点就可以通过最小二乘拟合的方法求S 和R 。设S 和R 的初始值为S 0和R 0, 沿线各点的半径近似值为R 0=[X 2+Y 2+(Z +S 0) 2]1/2, :

v i d R -(Z +S 0) /R +(R 0-R i )

1　斜轴墨卡托投影方法

∑(-1n

(Z +S 0) /R i )

(Z +S 0) /R i ) 2

d d =

[2]

。∑(-1

(Z +S 0) /R i )

∑(-1

影面, 将圆柱面展成平面而成。, 根据位置的不同, 分为正圆柱、横圆柱、斜圆柱三种。圆柱投影示意图如图1所示, 其中图1

(

a ) 为正圆柱, 图1(b ) 为横圆柱, 图1(c ) 为斜圆柱。

∑(R

-R i )

-1

(Z +S 0) /R i (R 0-R i 可求得S 和R 的改正数d S 和d R , 计算出参考圆球体的半径

R 和参考圆球体相对于国家参考椭球的球体中心偏移量S 。

2) 确定点位于参考圆球体上的大地坐标。参考圆球体

和国家参考椭球的定向原理一致, 计算位于参考圆球体上的

) , 即大地坐标(B ′, L ′, H ′

图1　圆柱投影示意图

L ′=arctan (Y/X )

B ′=arctan [(Z +S ) /[(X 2+Y 2) 1/2]H ′=[X 2+Y 2+(Z +S ) 2]1/2-R

正轴圆柱投影适用于低纬度地区或沿纬度线扩展的区域, 假如投影区域是沿除赤道圈以外的某一大圆方向, 或沿经线方向伸展的地区, 则可考虑采用斜轴或横轴圆柱投影, 以改善投影条件, 从而使变形减小。斜轴圆柱投影中, 通常将地球椭球体视为半径等于R 的圆球体, 斜轴投影与半径R 的圆球体相切的大圆称投影中线, 投影前后其长度保持不便。离开投影中线的点会产生长度变形, 其变形性质与高斯投影类似。斜轴墨卡托投影的具体实现方法如下:

1) 选择参考圆球体。选择的参考圆球体需满足以下两

参考圆球体与地面越吻合, 则相对圆球体的大地高H ′越小。

3) 基于参考圆球体相对于斜轴的大地坐标计算。斜轴

投影大地坐标计算示意图如图2所示, 其中图2(a ) 为点的球面极坐标计算示意图, 图2(b ) 为斜轴圆球的大地坐标计算示

个基本条件:①定位:参考圆球体的中心位于国家坐标系中空间直角坐标系的X 轴上。②定向:参考圆球体三维坐标系的Z 轴, 与国家坐标系中空间直角坐标系的Z 轴重合, X 轴和Y 轴则与空间直角坐标系的X 轴和

Y 轴相平行。

已知沿线各地面观测点在国家坐标系中的大地坐标(B ,

L , H ) 、空间直角坐标(X , Y , Z ) 。假设参考圆球体中心O ′位

图2　斜轴投影大地坐标计算示意图

意图。假设AB 为线路走向上的两个观测点。现在球面上建立以A 点为极点、以B 为极轴的球面坐标系, 计算出线路上各点(B 及其他各点) 的极坐标(α, D ) , 根据球面三角公式推导, 得

于国家参考椭球中心O 下方, O ′O

长度为S , 沿线各点在以

测绘信息与工程　Journal of G eomatics Feb. 2009; 34(1)

α=cos L ′) /(sin L ′tan -0-B ′0cos L ′0sin (B ′

) ) cos L ′coscos (B ′0sin L ′0-B ′

) cos D =sin L ′+cos L ′cos (B ′0sin L ′0cos L ′0-B ′

) 为其中, (B ′, L ′0, L ′0) 为极点A 在正圆球上的经纬度, (B ′

线自豫、陕两省交界处至咸阳西段的勘测设计, 境内客专正线全长165. 826km , 线路为东西走向。郑西客运专线控制点点位分布图如图3所示,Start 2End 为线路中线, 测量控制点分布在线路中心线两侧。

所求点在正圆球上的经纬度, (α, D ) 为所求点的极坐标。

确定斜轴圆球。以过A B 的大圆弧为中央子午线, 沿线各点在斜轴圆球上以A 为极点、A B 为极轴的极坐标:

α′=α-αD ′=D B , 　

即待求点的α值减去B 点的α坐标, 而边长D 坐标不变。

计算点在斜轴圆球上的大地坐标。在斜轴圆球上, 根据球面三角公式可得极坐标计算大地坐标的计算公式, 即

cos L ″=sin L ″+cos L ″cos a ′0cos D ′0sin D ′

图3　郑西客运专线控制点点位分布图

为了保证投影归化变形小于1/10万, 采用任意高程面, 任意中央子午线高斯投影分带计算的方法[5], 根据高斯地图投影变形和高差投影变形的基本原理综合考虑, 一方面, 为了保证高差投影变形小于1/10万, 根据测量控制点的高程和线路的设计轨面标高, 对沿线分带选取不同投影面高, 使所处带中的点与投影面高差不大于60m ; 另一方面, 为了保证高斯投影变形小于1/10万, 不大于56, 则选取30(大约跨度为55km ) , , 将整个区域分成4, , 将频繁的进行投影换带, 。

为了避免该类问题发生, 保证变形精度不大于1/10万, 采用斜轴墨卡托投影方法, 建立斜轴投影坐标系, 即将地球假设为一个圆球体, 将铁路线路走廊带的中心线作为投影中心线, 在圆柱投影时将圆柱面与线路的中心线相切, 使线路范围内点到投影中心线的距离小于28km , 达到地图投影变形的要求; 同时, 通过参考圆球的半径选择, 使圆球表面与测区表面大致吻合, 同样可控制测区高差投影变形的影响。

在斜轴投影坐标系中, 选取Start 2End 作为中央子午线, 在此线路范围内, 距离投影中线最远的点仅为11km , 其高斯投影长度变形仅达到1. 5mm/km , 远远小于10mm/km , 符合设计要求。通过采用C #. N ET 对计算过程进行程序实现, 对郑西客运专线的所有CPI 点进行计算, 最差的长度变

形相对精度也达到1/105861, 计算结果如表1所示, 均满足精度要求。

在采用斜轴墨卡托投影方法时, 为使整个路线轨迹范围

(1)

αtan (B ″-B ″′sin D ′/(cos L ″-0) =sin 0cos D ′

) sin L ″cos a ′0sin D ′

) 为所求点在斜轴圆球上的经纬度, (B ″其中, (B ″, L ″0, L ″0) 为

极点A 在斜轴圆球上的经纬度。

4) 基于参考圆球体的投影正算。投影正算就是根据投

影条件, 将参考球面上的大地坐标换算成投影面上的平面坐标(x , y ) , 投影变换条件主要包括等距离变换、等角度变换和等面积变换。基于斜轴圆球体的投影正算计算过程与高斯投影正算过程类似而毋需再推演, 具体如下:

246

x =a 0+a 2L ″+a 4L ″+a 6y =a 1L ″+a 3L ″+a 1=R cos B a 2=R sin B ″cos B ″/2) /12a 3=R (cos B ″+cos3B ″) /96a 4=R (4sin2B ″+3sin B ″

) /240a 5=R (2cos B ″+5cos3B ″+3cos5B ″) /2a 6=R (17sin2B ″+30sin4B ″+15sin6B ″(B ″) 为所求点在斜轴圆球上的经纬度, R 为地球半径。, L ″

2　斜轴墨卡托投影的应用

距离投影长度综合变形主要由高差投影变形和高斯地图投影变形两部分组成[3, 4], 即

1) 将实际测量真实长度归化至国家统一的椭球面上,

会产生高差投影变形, 应加改正数:

Δs 1=-H m /R a ・S

程面相对于椭球面的高差, S 为实际测量的水平距离。

2) 将椭球面上的长度投影到高斯平面上, 会产生地图

内不可避免的投影长度变形值不大于10mm/km , 铁路线路至选定作中心投影的大地线的最大横向距离控制在28km 内。如果不能维持最大横向距离, 则规定若干投影区段, 每个区段包含足够的重叠部分(至少包含高一级固定基准点矩形区域的3个点, 约6km ) 。投影分段示意图如图4所示, 其

式中, R a 为长度所在方向的椭球曲率半径, H m 为长度所在高

投影变形, 应加改正数:

Δs 2=+y 2S m /2R ・

(2)

式中, R 为测区中点的平均曲率半径, y m 为距离的两端点横坐标平均值。

由式(1) 可知, 要使高差投影变形小于1/10万, 则线路的高程至归化高程面的距离不宜大于

60m ; 由式(2) 可知, 要使高斯投影变形值不大于1/10万, 应将投影带边缘至中央子午线的距离控制在28km 以内, 即投影带东西向的宽度应不大于56km 。

中铁第一勘察设计院承担新建铁路郑州至西安客运专

图4　投影分段示意图

中虚线为铁路的线路中心线,AB 、CD 为分带投影中线。

28测绘信息与工程　Journal of G eomatics Feb. 2009; 34(1)

表1　CPI 控制点平差计算结果

点名

Start PI04PI10PI34PI51PI55PI61PI87PI95

X 坐标/m

Y 坐标/m

高差投影变形精度

(1/万)

[***********][***********][***********]563755

0. 000163801. 856151983. 985109197. 42480520. 78474269. 62765272. 84824114. 0769401. 637

20000. 00021384. 71519070. 38620864. 51715086. 73617920. 99722955. 46622715. 01121920. 964

地图投影变形精度

(1/万) 无

[***********][***********][***********]0422487336

长度变形的相对精度

(1/万)

[***********][***********][***********]1578252

…

End

…

152604. 860

…

20000. 000

…

489776…无

2007(3) :12214

…　489776

3　结束语

本文通过对斜轴墨卡托投影的研究, 对计算过程进行程序实现, 在郑西客运专线无碴轨道铁路工程测量进行了应用, 可知:

1) 对于东西走向的线路, 采用斜轴墨卡托投影能很好

[2]赵俊生, 刘雁春. 关于高斯投影长度变形的探讨[J].海洋测绘, [3]范一中, 王继刚, 赵丽华. 抵偿投影面的最佳选取问题[J].测绘

通报,2000(2) :20221

[4]陈顺宝, 任建春. 抵偿任意带高斯投影平面坐标系选择的研究

[J].测绘通报,2005(7) :22224

[5]许娅娅, . [J].公路,

(3) ]. 地解决长距离地图投影误差的问题。相对高斯投影计算, 可避免频繁换带的计算过程。

2) ].测绘信息与工程,2005,30(3) :40241

], 宫辉立, 赵文吉, 等. 基于J ava 的GIS 地图投影系统的设

即可使球体表面与实现地面接近, 响。地图投影差。参考文献

[1]铁道第二勘察设计院. 客运专线无碴轨道铁路工程测量技术暂

计与实现[J].测绘信息与工程,2004,29(3) :628　收稿日期:2008209211。

作者简介:吕慧玲, 高级工程师, 现研究铁道测量。E 2m ail :renxcne@163. com

行规定[M ].北京:中国铁道出版社,2006

APPLICATION OF OBLIQUE MERCATOR PROJ ECTION METHOD TO

ZHENGXI SPECI AL PASSENGER TRANSPORT LI NE

L ΒHuiling

(China Railway First Survey and Design I nstitute G roup Ltd. , 2X iY ing Road , X i ’an 710043, China )

ABS TRACT 　Oblique Mercator Projection is introduced , and the specific realization process is

analyzed in detail. The proposed method is applied in Precision Control Survey of Zhengxi Spe 2cial Passenger Transport Line and the effects of projection difference on the engineering project of eastwest trend railway is reduced greatly with the method.

KEYWORDS 　map projection ;oblique mercator projection ; special passenger transport line ;

projection difference

浙江省省级基础地理信息系统通过验收

　　浙江省省级基础地理信息系统正式通过了验收。其将

4000多幅覆盖全省陆域面积的地形图电子化后建成一个数

三亚出版三维仿真导游图

　　由国家测绘局海南测绘资料信息中心编制的《三亚市三维仿真导游图》正式出版发行。三亚市三维仿真导游图采用模拟实景方式将三亚市区建筑及亚龙湾、大东海、三亚湾等景点展现出来, 图中穿插了大量景点、自驾、公交、住宿、餐饮、航班、购物等信息, 方便了游人获取三亚旅游信息, 是来三亚旅游者的忠实向导。

据库, 用一张图涵盖全省10. 18万平方公里陆域地表信息, 不仅查询便捷, 而且比纸质地图信息量丰富很多。全省各地以及交通、水利、建设等部门都可以通过该系统快速获取浙江陆域地表信息。该系统将免费对外开放, 由省测绘局每年更新相关信息。

26测绘信息与工程　Journal of G eomatics Feb. 2009; 34(1)

中图分类号:P282　　　文献标志码:B

文章编号:100723817(2009) 0120026203

斜轴墨卡托投影方法在郑西客专中的应用研究

吕慧玲

(中铁第一勘察设计院集团有限公司, 西安市西影路2号,710043)

就需要划分多个投影带才能满足投影长度变形的要求; 如果采用斜轴墨卡托投影, 将圆柱面与铁路中心线相切, 便能有效地解决投影差改正的问题。

O ′为原点的坐标系中的坐标为(X , Y , Z +S ) , 可建立方程:

R =[X 2+Y 2+(Z +S ) 2]1/2

根据沿线两个以上点就可以通过最小二乘拟合的方法求S 和R 。设S 和R 的初始值为S 0和R 0, 沿线各点的半径近似值为R 0=[X 2+Y 2+(Z +S 0) 2]1/2, :

v i d R -(Z +S 0) /R +(R 0-R i )

1　斜轴墨卡托投影方法

∑(-1n

(Z +S 0) /R i )

(Z +S 0) /R i ) 2

d d =

[2]

。∑(-1

(Z +S 0) /R i )

∑(-1

影面, 将圆柱面展成平面而成。, 根据位置的不同, 分为正圆柱、横圆柱、斜圆柱三种。圆柱投影示意图如图1所示, 其中图1

(

a ) 为正圆柱, 图1(b ) 为横圆柱, 图1(c ) 为斜圆柱。

∑(R

-R i )

-1

(Z +S 0) /R i (R 0-R i 可求得S 和R 的改正数d S 和d R , 计算出参考圆球体的半径

R 和参考圆球体相对于国家参考椭球的球体中心偏移量S 。

2) 确定点位于参考圆球体上的大地坐标。参考圆球体

和国家参考椭球的定向原理一致, 计算位于参考圆球体上的

) , 即大地坐标(B ′, L ′, H ′

图1　圆柱投影示意图

L ′=arctan (Y/X )

B ′=arctan [(Z +S ) /[(X 2+Y 2) 1/2]H ′=[X 2+Y 2+(Z +S ) 2]1/2-R

1) 选择参考圆球体。选择的参考圆球体需满足以下两

参考圆球体与地面越吻合, 则相对圆球体的大地高H ′越小。

3) 基于参考圆球体相对于斜轴的大地坐标计算。斜轴

投影大地坐标计算示意图如图2所示, 其中图2(a ) 为点的球面极坐标计算示意图, 图2(b ) 为斜轴圆球的大地坐标计算示

Y 轴相平行。

已知沿线各地面观测点在国家坐标系中的大地坐标(B ,

L , H ) 、空间直角坐标(X , Y , Z ) 。假设参考圆球体中心O ′位

图2　斜轴投影大地坐标计算示意图

于国家参考椭球中心O 下方, O ′O

长度为S , 沿线各点在以

测绘信息与工程　Journal of G eomatics Feb. 2009; 34(1)

α=cos L ′) /(sin L ′tan -0-B ′0cos L ′0sin (B ′

) ) cos L ′coscos (B ′0sin L ′0-B ′

) cos D =sin L ′+cos L ′cos (B ′0sin L ′0cos L ′0-B ′

) 为其中, (B ′, L ′0, L ′0) 为极点A 在正圆球上的经纬度, (B ′

所求点在正圆球上的经纬度, (α, D ) 为所求点的极坐标。

确定斜轴圆球。以过A B 的大圆弧为中央子午线, 沿线各点在斜轴圆球上以A 为极点、A B 为极轴的极坐标:

α′=α-αD ′=D B , 　

即待求点的α值减去B 点的α坐标, 而边长D 坐标不变。

计算点在斜轴圆球上的大地坐标。在斜轴圆球上, 根据球面三角公式可得极坐标计算大地坐标的计算公式, 即

cos L ″=sin L ″+cos L ″cos a ′0cos D ′0sin D ′

图3　郑西客运专线控制点点位分布图

形相对精度也达到1/105861, 计算结果如表1所示, 均满足精度要求。

在采用斜轴墨卡托投影方法时, 为使整个路线轨迹范围

(1)

αtan (B ″-B ″′sin D ′/(cos L ″-0) =sin 0cos D ′

) sin L ″cos a ′0sin D ′

) 为所求点在斜轴圆球上的经纬度, (B ″其中, (B ″, L ″0, L ″0) 为

极点A 在斜轴圆球上的经纬度。

4) 基于参考圆球体的投影正算。投影正算就是根据投

246

x =a 0+a 2L ″+a 4L ″+a 6y =a 1L ″+a 3L ″+a 1=R cos B a 2=R sin B ″cos B ″/2) /12a 3=R (cos B ″+cos3B ″) /96a 4=R (4sin2B ″+3sin B ″

) /240a 5=R (2cos B ″+5cos3B ″+3cos5B ″) /2a 6=R (17sin2B ″+30sin4B ″+15sin6B ″(B ″) 为所求点在斜轴圆球上的经纬度, R 为地球半径。, L ″

2　斜轴墨卡托投影的应用

距离投影长度综合变形主要由高差投影变形和高斯地图投影变形两部分组成[3, 4], 即

1) 将实际测量真实长度归化至国家统一的椭球面上,

会产生高差投影变形, 应加改正数:

Δs 1=-H m /R a ・S

程面相对于椭球面的高差, S 为实际测量的水平距离。

2) 将椭球面上的长度投影到高斯平面上, 会产生地图

式中, R a 为长度所在方向的椭球曲率半径, H m 为长度所在高

投影变形, 应加改正数:

Δs 2=+y 2S m /2R ・

(2)

式中, R 为测区中点的平均曲率半径, y m 为距离的两端点横坐标平均值。

由式(1) 可知, 要使高差投影变形小于1/10万, 则线路的高程至归化高程面的距离不宜大于

60m ; 由式(2) 可知, 要使高斯投影变形值不大于1/10万, 应将投影带边缘至中央子午线的距离控制在28km 以内, 即投影带东西向的宽度应不大于56km 。

中铁第一勘察设计院承担新建铁路郑州至西安客运专

图4　投影分段示意图

中虚线为铁路的线路中心线,AB 、CD 为分带投影中线。

28测绘信息与工程　Journal of G eomatics Feb. 2009; 34(1)

表1　CPI 控制点平差计算结果

点名

Start PI04PI10PI34PI51PI55PI61PI87PI95

X 坐标/m

Y 坐标/m

高差投影变形精度

(1/万)

[***********][***********][***********]563755

0. 000163801. 856151983. 985109197. 42480520. 78474269. 62765272. 84824114. 0769401. 637

20000. 00021384. 71519070. 38620864. 51715086. 73617920. 99722955. 46622715. 01121920. 964

地图投影变形精度

(1/万) 无

[***********][***********][***********]0422487336

长度变形的相对精度

(1/万)

[***********][***********][***********]1578252

…

End

…

152604. 860

…

20000. 000

…

489776…无

2007(3) :12214

…　489776

3　结束语

本文通过对斜轴墨卡托投影的研究, 对计算过程进行程序实现, 在郑西客运专线无碴轨道铁路工程测量进行了应用, 可知:

1) 对于东西走向的线路, 采用斜轴墨卡托投影能很好

[2]赵俊生, 刘雁春. 关于高斯投影长度变形的探讨[J].海洋测绘, [3]范一中, 王继刚, 赵丽华. 抵偿投影面的最佳选取问题[J].测绘

通报,2000(2) :20221

[4]陈顺宝, 任建春. 抵偿任意带高斯投影平面坐标系选择的研究

[J].测绘通报,2005(7) :22224

[5]许娅娅, . [J].公路,

(3) ]. 地解决长距离地图投影误差的问题。相对高斯投影计算, 可避免频繁换带的计算过程。

2) ].测绘信息与工程,2005,30(3) :40241

], 宫辉立, 赵文吉, 等. 基于J ava 的GIS 地图投影系统的设

即可使球体表面与实现地面接近, 响。地图投影差。参考文献

[1]铁道第二勘察设计院. 客运专线无碴轨道铁路工程测量技术暂

计与实现[J].测绘信息与工程,2004,29(3) :628　收稿日期:2008209211。

作者简介:吕慧玲, 高级工程师, 现研究铁道测量。E 2m ail :renxcne@163. com

行规定[M ].北京:中国铁道出版社,2006

APPLICATION OF OBLIQUE MERCATOR PROJ ECTION METHOD TO

ZHENGXI SPECI AL PASSENGER TRANSPORT LI NE

L ΒHuiling

(China Railway First Survey and Design I nstitute G roup Ltd. , 2X iY ing Road , X i ’an 710043, China )

ABS TRACT 　Oblique Mercator Projection is introduced , and the specific realization process is

KEYWORDS 　map projection ;oblique mercator projection ; special passenger transport line ;

projection difference

浙江省省级基础地理信息系统通过验收

　　浙江省省级基础地理信息系统正式通过了验收。其将

4000多幅覆盖全省陆域面积的地形图电子化后建成一个数

三亚出版三维仿真导游图

斜轴墨卡托投影方法在郑西客专中的应用研究

相关文章