[导数及其应用]知识点总结

《导数及其应用》知识点总结

一. 导数的几何意义:

函数f (x ) 在x =x 0处的导数就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率。由此,可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步:

(1)求出y =f (x ) 在x 0处的导数,即为曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) 。 二、导数的运算

1. 常见函数的导数:

(1)(kx +b ) '=k (k , b 为常数) ; (3)(x ) '=1;

(2)C '=0(C 为常数) ; (4)(x 2) '=2x ; (6)() '=-2;

x x

(8)(x α) '=αx α-1(α为常数);

(10)(loga x ) '=log a e =(a >0, a ≠1) ;

x x ln a (12)(lnx ) '=; x (14)(cosx ) '=-sin x 。

(5)(x 3) '=3x 2; (7

)'=;

(9)(a x ) '=a x ln a (a >0, a ≠1) ; (11)(e x ) '=e x ;

(13)(sinx ) '=cos x ;

2. 函数的和、差、积、商的导数: (1)[f (x ) ±g (x )]'=f '(x ) ±g '(x ) ; (2)[Cf (x )]'=Cf '(x ) (C 为常数);

(3)[f (x ) g (x )]'=f '(x ) g (x ) +f (x ) g '(x ) ;

f (x ) f '(x ) g (x ) -f (x ) g '(x )

]'=(g (x ) ≠0) 。 (4)[

g (x ) g 2(x )

三、导数的应用

1. 求函数的单调性:

①求函数y =f (x ) 的定义域;②求导数f '(x ) ;

③解不等式f '(x ) >0,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f '(x )

设函数y =f (x ) 在x 0及其附近有定义,如果对x 0附近的所有的点都有f (x ) >f (x 0) (或

f (x )

可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是: (1)确定函数f (x ) 的定义域;(2)求导数f '(x ) ;(3)求方程f '(x ) =0的全部实根,x 1

变化情况:

(4)检查f '(x ) 的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值:

如果函数f (x ) 在定义域I 内存在x 0,使得对任意的x ∈I ,总有f (x ) ≤f (x 0) ,则称f (x 0) 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一,但在定义域内的最值是唯一的。

求函数f (x ) 在区间[a , b ]上的最大值和最小值的步骤: (1)求f (x ) 在区间(a , b ) 上的极值;

(2)将第一步中求得的极值与f (a ), f (b ) 比较,得到f (x ) 在区间[a , b ]上的最大值与最小值。

3.函数y =x 3+x 的递增区间是( )

A .(0, +∞) B .(-∞, 1) C .(-∞, +∞) D .(1, +∞)

4.f (x ) =ax 3+3x 2+2, 若f ' (-1) =4, 则a 的值等于( )

A .

1916

B . 331310 D . 33

C .

5.函数y =f (x ) 在一点的导数值为0是函数y =f (x ) 在这点取极值的( )

A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .必要非充分条件

6.函数y =x -4x +3在区间[-2,3]上的最小值为( )

4

A .72 B .36 C .12 D .0

1.函数y =x -3x -9x (-2

3

2

A .极大值5,极小值-27 B .极大值5,极小值-11 C .极大值5,无极小值 D .极小值-27,无极大值 4.下列求导数运算正确的是

A .(x +) '=1+

B .(lgx ) '=

( )

1

x 1

2x 1

x ln 10

C .(ln3x ) ' =3xlog 3e

D .(x 2cos x ) '=-2x sin x

( )

7.函数f (x ) =x 3-ax 2-bx +a 2在x =1处有极值10, 则点(a , b ) 为 A .(3, -3)

B .(-4, 11) D .不存在

C .(3, -3) 或(-4, 11)

3

2

8.函数y =2x -3x -12x +5在[0,3]上的最大值和最小值分别是

A .5,15

B .5,-4

C .5,-15

D .5,-16

( )

二、填空题

1.若f (x ) =x 3, f ' (x 0) =3,则x 0的值为_________________; 2.曲线y =x 3-4x 在点(1,-3) 处的切线倾斜角为__________; 3.函数y =

sin x

的导数为_________________; x

4.曲线y =ln x 在点M (e ,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________; 5.函数y =x +x -5x -5的单调递增区间是___________________________。 2.函数f (x ) =x +4x +5的图像在x =1处的切线在x 轴上的截距为________________。 3.函数y =x -x 的单调增区间为,单调减区间为___________________。

322

4.函数f (x ) =x +ax +bx +a , 在x =1时有极值10,那么a , b 的值分别为________。

3

32

23

5. 曲线y =x -4x 在点(1,-3) 处的切线倾斜角为__________.

二、填空题(每小题5分,共20分)

11、已知f (x ) =ax 3+3x 2+2且f '(-1) =4,则实数a 的值等于_________;

x

12、曲线y =e (e 为自然对数的底)在点(0,1)处的切线方程为

3

13、过点P (-1,2)且与曲线y =3x 2-4x +2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是______

14、已知函数f (x ) =x -12x +8在区间[-3, 3]上的最大值与最小值分别为M , m ,则

3

M -m =三、解答题(本大题共2小题,满分共30分)

1.已知函数y =x ln x .(1)求这个函数的导数;(2)求这个函数在点x =1处的切线的方程. 2.求垂直于直线2x -6y +1=0并且与曲线y =x 3+3x 2-5相切的直线方程。

3.求垂直于直线2x -6y +1=0并且与曲线y =x 3+3x 2-5相切的直线方程

2.求函数y =(x -a )(x -b )(x -c ) 的导数。

3.求函数f (x ) =x 5+5x 4+5x 3+1在区间[-1, 4]上的最大值与最小值。

4.已知函数y =ax +bx ,当x =1时,有极大值3; (1)求a , b 的值;(2)求函数y 的极小值。

5. 已知f (x ) =ax 4+bx 2+c 的图象经过点(0,1),且在x =1处的切线方程是y =x -2 (1)求y =f (x ) 的解析式;(2)求y =f (x ) 的单调递增区间。

3

2

1

6

.平面向量a =-1), b =(,若存在不同时为0的实数k 和t ,使

2 2

x =a +(t -3) b , y =-ka +tb , 且x ⊥y ,试确定函数k =f (t ) 的单调区间。

32

3.已知函数f (x ) =x +ax +bx +c 在x =-

2

与x =1时都取得极值 3

(1)求a , b 的值与函数f (x ) 的单调区间

42

17.已知f (x ) =ax +bx +c 的图象经过点(0,1),且在x =1处的切线方程是y =x -2,

(1)求y =f (x ) 的解析式; (2)求y =f (x ) 的单调递增区间。

《导数及其应用》知识点总结

一. 导数的几何意义:

函数f (x ) 在x =x 0处的导数就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率。由此,可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步:

(1)求出y =f (x ) 在x 0处的导数,即为曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) 。 二、导数的运算

1. 常见函数的导数:

(1)(kx +b ) '=k (k , b 为常数) ; (3)(x ) '=1;

(2)C '=0(C 为常数) ; (4)(x 2) '=2x ; (6)() '=-2;

x x

(8)(x α) '=αx α-1(α为常数);

(10)(loga x ) '=log a e =(a >0, a ≠1) ;

x x ln a (12)(lnx ) '=; x (14)(cosx ) '=-sin x 。

(5)(x 3) '=3x 2; (7

)'=;

(9)(a x ) '=a x ln a (a >0, a ≠1) ; (11)(e x ) '=e x ;

(13)(sinx ) '=cos x ;

2. 函数的和、差、积、商的导数: (1)[f (x ) ±g (x )]'=f '(x ) ±g '(x ) ; (2)[Cf (x )]'=Cf '(x ) (C 为常数);

(3)[f (x ) g (x )]'=f '(x ) g (x ) +f (x ) g '(x ) ;

f (x ) f '(x ) g (x ) -f (x ) g '(x )

]'=(g (x ) ≠0) 。 (4)[

g (x ) g 2(x )

三、导数的应用

1. 求函数的单调性:

①求函数y =f (x ) 的定义域;②求导数f '(x ) ;

③解不等式f '(x ) >0,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f '(x )

设函数y =f (x ) 在x 0及其附近有定义,如果对x 0附近的所有的点都有f (x ) >f (x 0) (或

f (x )

可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是: (1)确定函数f (x ) 的定义域;(2)求导数f '(x ) ;(3)求方程f '(x ) =0的全部实根,x 1

变化情况:

(4)检查f '(x ) 的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值:

如果函数f (x ) 在定义域I 内存在x 0,使得对任意的x ∈I ,总有f (x ) ≤f (x 0) ,则称f (x 0) 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一,但在定义域内的最值是唯一的。

求函数f (x ) 在区间[a , b ]上的最大值和最小值的步骤: (1)求f (x ) 在区间(a , b ) 上的极值;

(2)将第一步中求得的极值与f (a ), f (b ) 比较,得到f (x ) 在区间[a , b ]上的最大值与最小值。

3.函数y =x 3+x 的递增区间是( )

A .(0, +∞) B .(-∞, 1) C .(-∞, +∞) D .(1, +∞)

4.f (x ) =ax 3+3x 2+2, 若f ' (-1) =4, 则a 的值等于( )

A .

1916

B . 331310 D . 33

C .

5.函数y =f (x ) 在一点的导数值为0是函数y =f (x ) 在这点取极值的( )

A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .必要非充分条件

6.函数y =x -4x +3在区间[-2,3]上的最小值为( )

4

A .72 B .36 C .12 D .0

1.函数y =x -3x -9x (-2

3

2

A .极大值5,极小值-27 B .极大值5,极小值-11 C .极大值5,无极小值 D .极小值-27,无极大值 4.下列求导数运算正确的是

A .(x +) '=1+

B .(lgx ) '=

( )

1

x 1

2x 1

x ln 10

C .(ln3x ) ' =3xlog 3e

D .(x 2cos x ) '=-2x sin x

( )

7.函数f (x ) =x 3-ax 2-bx +a 2在x =1处有极值10, 则点(a , b ) 为 A .(3, -3)

B .(-4, 11) D .不存在

C .(3, -3) 或(-4, 11)

3

2

8.函数y =2x -3x -12x +5在[0,3]上的最大值和最小值分别是

A .5,15

B .5,-4

C .5,-15

D .5,-16

( )

二、填空题

1.若f (x ) =x 3, f ' (x 0) =3,则x 0的值为_________________; 2.曲线y =x 3-4x 在点(1,-3) 处的切线倾斜角为__________; 3.函数y =

sin x

的导数为_________________; x

4.曲线y =ln x 在点M (e ,1) 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________; 5.函数y =x +x -5x -5的单调递增区间是___________________________。 2.函数f (x ) =x +4x +5的图像在x =1处的切线在x 轴上的截距为________________。 3.函数y =x -x 的单调增区间为,单调减区间为___________________。

322

4.函数f (x ) =x +ax +bx +a , 在x =1时有极值10,那么a , b 的值分别为________。

3

32

23

5. 曲线y =x -4x 在点(1,-3) 处的切线倾斜角为__________.

二、填空题(每小题5分,共20分)

11、已知f (x ) =ax 3+3x 2+2且f '(-1) =4,则实数a 的值等于_________;

x

12、曲线y =e (e 为自然对数的底)在点(0,1)处的切线方程为

3

13、过点P (-1,2)且与曲线y =3x 2-4x +2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是______

14、已知函数f (x ) =x -12x +8在区间[-3, 3]上的最大值与最小值分别为M , m ,则

3

M -m =三、解答题(本大题共2小题,满分共30分)

1.已知函数y =x ln x .(1)求这个函数的导数;(2)求这个函数在点x =1处的切线的方程. 2.求垂直于直线2x -6y +1=0并且与曲线y =x 3+3x 2-5相切的直线方程。

3.求垂直于直线2x -6y +1=0并且与曲线y =x 3+3x 2-5相切的直线方程

2.求函数y =(x -a )(x -b )(x -c ) 的导数。

3.求函数f (x ) =x 5+5x 4+5x 3+1在区间[-1, 4]上的最大值与最小值。

4.已知函数y =ax +bx ,当x =1时,有极大值3; (1)求a , b 的值;(2)求函数y 的极小值。

5. 已知f (x ) =ax 4+bx 2+c 的图象经过点(0,1),且在x =1处的切线方程是y =x -2 (1)求y =f (x ) 的解析式;(2)求y =f (x ) 的单调递增区间。

3

2

1

6

.平面向量a =-1), b =(,若存在不同时为0的实数k 和t ,使

2 2

x =a +(t -3) b , y =-ka +tb , 且x ⊥y ,试确定函数k =f (t ) 的单调区间。

32

3.已知函数f (x ) =x +ax +bx +c 在x =-

2

与x =1时都取得极值 3

(1)求a , b 的值与函数f (x ) 的单调区间

42

17.已知f (x ) =ax +bx +c 的图象经过点(0,1),且在x =1处的切线方程是y =x -2,

(1)求y =f (x ) 的解析式; (2)求y =f (x ) 的单调递增区间。


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