维普资讯 http://www.cqvip.com２０ 年第 ６ ０８ 期 数 学教 学 一 Ｊ ７反思 《 解直 角三 角形 的应 用》的教学 ２ ４５ 上海市彭浦第三中学 孙晔菁 ０３ ０ 近年来 的中考题 中有不少具有应 用背景的 解直角三角形的试题， 如测量大 型物体 的高度， 测量河宽， 求航 海中的距 离问题 等， 这提示 我们 教学时要借助同学 比较熟悉 的实际情境， 将现实 数学化， 培养学生的观察能力和转化能力， 以及 利用数学知识解决实际问题 的能力． 下面我们通过几道典型的中考试题， 了解解 直 角 三角 形 的 应 用． （） １ 求所测之处江的宽度； （） （） ２ 除 １的测量方案外， 请你再设计一种测 量江宽 的方案， 在图 ２２ 中画 出图形． 并 （） Ｂ 一 、 一 、 、一 、阜 、一 、一 一 一 ，＼，～ 一 一一一＼ － ｌ ， 一 －＼， 一 ｌ ～一＼一一 Ａ Ｇ （） １ 特殊角、特定角三角 函数 的计算、求值 例 １ （０ ５ ２ ０ 年上海市学业考试题） 如图 １在 ， Ｒ ＡＡ ｔ ＢＣ中， Ｃ ０ ， ＝９ 。 ＣＤ 上 Ｂ于 Ｄ， Ｃ ＝ ２Ｂ ＝ ３ ， ．设 Ｄ ＝ ， 么下列各式 中， 那 正确 的是 … … … … … … … … … … … … 一（ ） （） １ 图 ２ （） ２ 解： １在 Ｒ △Ｂ （） ｔ 中， ’Ｂ ＝６ 。 ８， ．． Ｂ ＝ Ａ Ｃ ． ａ ８ ≈ １ ０ Ｘ ２４ ＝ ２ ８ ｔ ｎ６ 。 ０ ．８ ４ （ 。 米） 答： 所测之处江的宽度约为 ２ ８ ４ 米．（）ｉｆ ； Ａｓｌ ｎ ＝吾Ｕ （）ｏ ＝吾 Ｂ ｃｓ ； Ｕ ９ ９ （）ａ ＝寻 Ｃ ｔｎ ；答案： （ ） 选 Ｃ， （） ｏ Ｄ ｃｔ ＝三 ． （） ２ 从所画 出的 图形 中可以看 出是利用三角 形全等、三角形相似、 解直角三角形的知识来解 决 问题的， 只要 正确即可得分． 说 明： 这是用解直角三角形来解决简单实际 问题 的最基本模 型， 过定 义即刻 可 以求 出答 通 案． 此题虽然简单， 但它告诉 我们一种算出两点 间距离的实用方法： 如江宽较大而难 以直接丈量 Ｂ 图 １ 出 、 Ｂ两点间距离时， 可先间接测量某些角， 再 通过计算而求得结果． 说 明： 利用三角 函数的定义来求值 时， 当所 涉及的这个角不在某一个直角三角形 中不便于 直接求时， 可利用 已知条件进行转换， 这里， 因为 Ａ Ｄ ＝ Ａ ＢＣ， 以， ＣＳ 所 求 Ｏ 就快而容 易了． （） ２ 建立解直角三角形模型来解决实际问题 例２ （０ ７ 湖北省潜江 中考试题） ２０年 经过江 汉平 原的沪蓉 （ 上 成都） 高速铁路 即将动工． 例 ３ （０３ ２０ 年上海市学业考试题） 如图３柳 ， 明所住 的楼房在一个不高的斜坡 Ｅ Ｆ上． 楼房旁 边 不 远 处 有 一棵 笔 直 而 垂 直 于水 平 地 面 ＢＥ 的 大 树 日Ｄ．柳 明想要测量这棵大树 日Ｄ的高度． 在下午 的某个时刻， 他观察到这棵大树树梢 日的 影子落在楼房的外墙 面上的点 Ｇ处． 同时， 他又 观察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地 面 Ｂ 的木柱 Ａ 它在水平地面 ＢＥ上的影子 ， Ｊ Ｅ ｝ 也清晰可见． 柳明通过测量得到以下一些数据： Ｂ ＝ １ Ａ ． ６ 米， ＢＣ＝ ３ 米， ． ２ ＤＥ ＝ ７２ ＥＦ＝２６ 斜 ．米， ．米， 坡 Ｆ的坡 度 ｉ １： ． Ｆ ＝ １ 米．试求大 ＝ ２ ，Ｇ ４ ． ６工程需要测量汉 江某一段的宽度． 图２１， 如 （） 一 测量员在 江岸边 的 处测得对岸岸边 的一根标 杆 Ｂ在它的正北方 向， 测量员从 点开始沿岸边 向正东方向前进 １０ ０ 米到达点 处， 测得 Ｚ Ｂ ＡＣ ＝６ ０ ８ ． 维普资讯 http://www.cqvip.com６８ — 树 日Ｄ 的高 数 学教学 ２０ 年第 ６ ０８ 期 一ｂ 。 ． ．（ Ｕ 二Ｅ 一Ｂ （ ｔ 二 ）Ｅ Ｎ 图 ５ 图３ 图４ 解： Ｇ 上 日Ｄ， 足为点 ．又作 ＦⅣ 作 垂上ＤＥ， 垂足为点Ⅳ （ ） 图４． 在 Ｒ ＡＥＦＮ 中，． ｔ 。 。ＥＦ ＝ ２６ ， ．米 解： 作 Ｄ 上 ＡＢ于 点 Ｄ， 设 Ｄ ＝ 海 且 里， 则 。 ． ． ・Ｄ ＝ ， ＢＣＤ ＝ ， Ｚ 斜坡 Ｅ Ｆ的坡度 ｉ １ ２ ， ＝ ： ． ４ＥＮ ＝ ２４ Ｎ ． ．Ｆ ‘ｓ ＝ ＇ ｔ 昙Ｏ ： ． ． ａ ： Ｓ＝． 。 ， ｎ＝， 。 ． ． ｏ 毒 ３ Ｃ Ｕ ．。Ｄ ＝ ・ ａ ， Ｄ ＝ ・ ａ ． ｔｎ Ｂ ｔｎ ４ ・ ｓ ｎ ： ｉ 。 ａｎ ・．‘ Ｅ Ⅳ ＋ Ｆ Ⅳ ＝ Ｅ Ｆ ，・１ ５’ ‘ ・ ８ ｃｏｓ ’ ・ ． ．（． ２４ ＋Ｆ ＦＮ） Ⅳ ＝２ ．， ６ ＦⅣ ＝ １ ， 米 ＥⅣ ＝ ２４ ． ．米 ‘ ．’ Ｄ ＝ ＡＢ ＋ Ｂ Ｄ， Ｂ ＝ １ ， 且 ３ ． ・。． ．‘ ．ｔｎ ＝ １ ａ ３＋ ・ ａ ， ｔｎ ＝。 ．‘ＤＥ ＝ ７２ ， ．米 ． ・ ． ． ｏ 。１＋ ３ 芸， ｏ ．Ｇ ＝ Ｄ Ｎ ＝ ７２＋ ２４＝ ９６ ． ． ． ．米 ‘．． ＝２， ４ 即 Ｄ ＝ ２ ． ４ Ｒ ‘ △ 日 Ｇ ∽ △ Ｂ ， Ｈ Ｍ Ｍ Ｇ — ＡＢ — ＢＣ ‘ ‘．‘ ． ． Ｃ ＝ ＣＤ ÷ Ｃ Ｓ ＝ ２ Ｏ ４÷ ＝ ５， １ ３ 上， ＢＣ ＝ ＣＤ ÷ Ｃ Ｓ ＝ ２ Ｏ ４÷ ＝ ４ ． ０ ０ ‘ ．． ’ ． ＡＢ ＝ １６ ， ．米 ＢＣ ＝ ３２ ， ．米 ＨＭ ．＋ ＢＣ ＝ ５ １＋ ４ ＝ ９ ． ０ １ “ １６ ・．． 日 ： ４８ ． ．米 — ３ ２’一 “ 一 ： ．．‘． 巡逻快艇每小时行驶 ３ 海里， ０ ‘．。ＦＧ ＝ １６ ， ．米 ．‘ ． ．９ ÷３ １ ０＝３ （ 小时） ． ‘．月 Ｄ ＝ Ｈ Ｍ ＋ Ｇ Ｆ ＋ ＦＮ ＝４８＋ １６＋ １＝ ７４ ． ． ． ．米 说明： 初三升学考试 中这类题 目还不少， 多 数只是换 了一下情景， 或仅增 加了一点复杂性， 并没有什么本质上的改变， 目中出现的是一个 题 非直角三角形 的问题， 解决这类题 目的一般方法 就是通过作辅 助线将非 直角三角形转化为直角 三 角形 ． 说明： 实际问题 的情景新 ， 图示较复杂， 求解 时有一点难度， 解决 问题的基本方法还是转化： 先将实际问题数学化， 再将数学化后的图形通过 作辅 助线转化为两个基本 的相似直角三角形进 行求解． 例４ （ ０年上海市闸北区学业考试题） ２ ４ ０ 如 图５ 一艘海岸巡逻快艇在上海黄浦江 口的基地 ， 的正东方向， 且距 地 １ 海里的Ｂ处巡逻． ３ 突 （）自主设计测量方 案 ３ 例 ５ （０２ ２０ 年重庆市 中考试题） 如图６ 、 ， Ｂ是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物， Ｂ楼不能到达， 由于建筑物密集， 在 的周围没有 开阔地带， 了测量 Ｂ的高度只能充分利用 楼 为然接到基地 命令， 要该快艇前往 岛， 接送一 名病危的渔民到基地 的医院求治． 已知 岛在 的空 间， 的各层楼都 可到达且能看见 Ｂ， 现仅 有的测量工具为皮尺和 测角器 （ 皮尺可用于测量 长度， 测角器可以测量仰角、 角或两视线间的 俯 夹角） ． 基地 的南偏东 （ 的方 向， 度） 且在 Ｂ处的南偏 东 （ 的方 向， 度） 巡逻快艇从 Ｂ处出发， 平均每小 时行驶３ 海里， ０ 需要多少时间才能把患病渔 民送 （） １ 请你设计一个测量Ｂ楼高度的方法， 要 求写 出测量步骤 和必 须 的测量数据 （ 字母表 用到 地 的 院ｆ 知 ｔ 芸， 菩？ 基 医 已 ： ｎ＝ ｓ ＝ ） ａ ｉ ｎ 示）并 画出测量图形； ， 维普资讯 http://www.cqvip.com２０ 年第 ６ ０８ 期 算 Ｂ楼高度的表达式． Ｂ Ｂ 数 学教 学 答． 一９ （） 你测 量的数据 （ ２用 用字母表示） 写出计 ，二 图 ６ 图 ７ ‘ ． ． 图８ 图９ 解：１联结 Ｃ Ｃ 则 ＣＢｆ 轴， （） Ｂ、 Ｏ， ｆ ｙＣ Ｂ ０ ＝ ９ 。 ０．解：１设 ＡＣ表示 楼， （） ＢＤ表示 Ｂ楼．测 量步 骤 为 ： 设 （ 为 由 （、 Ｃ三 点 所 确 定 圆 的 圆心， ＝ ） ＝ Ｂ、 ） 则 ＯＣ为 ｏ（ 的直径 ． ＝ ） 由 已知得 ，＝ ＝ ６ＣＢ ＝ ８ （Ｂ ） ， ， 由勾股定理得，＝ ＝ ｘ ２ １ ． （Ｃ ） ／ ＋６ ＝ ０ ８ ①用测角器在 楼的顶端 点测量到 Ｂ楼 底端的俯角 ； ② 用测角器 在点 测量到 Ｂ楼楼顶的仰角 ， 半径 ＯＯ ＝５ Ｓ ， ｒ ２ ２７＝ ７ ． ， ｏＯ ＝７５ ＝ ５ｒ ８ ． ・ ５（） 图９ 过 点 作 ＡＤ 上 轴于点 Ｄ， ２如 ， 则 ③用皮尺从 楼顶放下， 测量点 到地面的 （Ｄ ＝ ４ 。 ＺＢ ＡＤ ＝ ３ 。 ＝ ） ５， ０， Ｂ Ｄ ＝ ９ 。一 ３ 。 ＝ ６ 。 Ｏ ０ ０．高为 ａ ． （） ２ 如图７ 在 Ｒ △ ＣＤ 中， ， ｔ ＣＤ ＝ ａ ・ ａ ＺＤ ＡＣ ＝ ａ ・ ｏ ． ｔｎ ｃｔ 在 Ｒ △Ａ ｔ ＢＤ 中， ＢＤ ＝ 则 Ａ ＝２ ， 设 ， Ｂ ｘ ・ ．． ｔ ｎ６ ａ ， 在 Ｒ ＡＡ Ｂ 中， ｔ Ｅ ＢＥ ＝ＡＥ・ａ ， ｔｎ ’ ．・．．Ａ Ｄ ＝ － ａ ０ ｔ ｎ６ 。＝ 、 ／ ， ’ Ｅ ＝ ＣＤ ． ．在 Ｒｔ △ （Ｄ 中， ＝ ） （ Ｄ ＝ Ｏ Ｂ ＋ Ｂ Ｄ ＝ ６＋ Ｘ． ＝ ） ・ ．’ ．ＢＥ ＝ ａ・ ｏ －ａ ， ｃｔ ｔｎ ‘ ． ．楼高ＢＤ ＝ ＢＥ＋ＥＤ ＝ ＢＥ＋ Ｃ ． ｔ ｎ ４ 。＝ ａ ５， ＝ ａ－ ｏ －ａ ｃｔ ｔ ｎ ＋ ａ ．’．Ａ ＝ｔｎ ５ （ ） Ｄ ａ ・６＋ ． ４ 、 ／ ＝＝ａ１ ｏ ・ａ ） （ ＋ｃｔ ｔｎ ． 说明： 本题是 一个全开放性 试题， 解题方法 很多， 表达式也是多种多样 的， 需要一定 的数学 应用能力和独创能力． ・．．＝ ６＋ ， 志 ≈． －． ３ ８７ 一２ ．’ ０ ￣１ ７ ９ Ｂ ＝ ２ × ８ １ ７ ≈ １ ．． ．９ ６ ４ ‘ ． ． （） ４ 三角函数与其它知识 的综合 例 ６ （０５ 山西 省实验 区中考试题） ２０ 年 在某 张航海 图上， 明了三个观测点 的坐标， 图８ 标 如 ， Ｏ（，）Ｂ（，）Ｃ（，） ００、 ６０、 ６８，由三个 观测点确定的 圆形区域是海洋生物保护 区． 或ＡＢ＝２× ＝６、３ ） ６ ． （／＋１ ≈１． ／ ４（） ３ 解法一： 过点 作ＡＧ上 Ｙ 轴于点 Ｇ 过 ．点（ 作 Ｏ 上 Ｏ ＝ ） Ｅ Ｂ点Ｅ， 延长ＥＯ 交 Ａ 并 Ｇ于点 Ｆ．由（） Ｏ０ ＝５ 由垂径定理得 １知， ，Ｏ Ｅ ＝ Ｂ Ｅ ＝ １‘ ． ．× ６ ＝ ３ ．（） １求圆形 区域的面积 （ 取 ３１） ７ ． ； ｒ ４ （） ２某时刻海面上出现一渔船 ， 在观测点 （ ＝ ） 测得 位于北偏东 ４ 。 同时在观测 点Ｂ测得 ５， 位于北偏东 ３ 。 求观测 点 Ｂ到 船的距离 （／ ０， 、３ ／ ≈１ ３ ， 留三 个有效数字） ． ２保 ７ ； （） ３ 当渔船 由 （） ２ 中位置 向正西方 向航行 时， 否会进 入海洋生物保 护区？ 通过计算 回 是 在 Ｒ ＡＯＯ Ｅ中， ｔ 由勾股定理得 （ ＝ 、５ ＝Ｅ ） ／ ２—３ ／ ２＝ ４ ．‘．‘四边形 ＦＥ ＤＡ为矩形， ．ＥＦ ＝ ＤＡ． 而 Ｄ ＝ 、３ ／ ＝Ｖ３×８１７≈ １ ． ／ ． ９ ４， ２‘．．（ ＝ １ ． ＝Ｆ ） ４ ２— ４＝ １ ． ＞ ５ ０２ ．（ 转 第 ６４ 下 — ８页） 维普资讯 http://www.cqvip.com６４ －８一数 学教 学 — — 一 １。 — — — — 一 ２０ 年第 ６ ０８ 期 ｎ（ ６ 一ｃ ） ６ ．６（ —ｎ ＋ ｃ 一ｎ ） ｃ —ｂ ＋ — — —ｃ（ ｎ 一ｂ ） ｎ —ｃ＋ 卞——— ■一 ．（ 江苏 徐 道 陆燕平供题） ７ ７ 已知正数 ａ 、ｃ ３． 、ｂ Ａ足 ａ ＋Ｃ ， ＋ｂ ＝３ 求 ± 一 ＿ ± ！ ± ２２ ６ ） 。２２ ｃ ） 。２２ ｎ ） ａ＋（＋ｃ ｂ＋（＋ｎ Ｃ＋（＋６ 的 最大 值 ． ＝ －（＋ｂ＋１ ＋ ） ｃ＋ｃ 等 （ｂ ａ ａｚ一（ 黑龙江侯典峰供题） 菩 学． ＝ ２ ０ 年 第 ６ 问题 ０８ 期． 一 ７ ８ 已知正实数 ａ 、 、 满足ａ ＋ ｃ＋ ３． 、ｂ Ｃ ｄ ６＋ ，１ 求 证一 ． ．而 ＋ 南． 一一上１ 、４ — —＋ ｃ１ 。 （ ＋ｎ ＋ｂ）， ３ （ ＋ｄ ＋ｎ ） ｄ １ ２ ／ ‘ （ 黑龙江 杜 山供题） ７６已知直角梯形 Ａ Ｄ 中， Ｂ／ ３． ＢＣ Ａ ／ ＣＤ， 且 ＤＢ ＝ Ａ Ｂ， ＡＡＢ 外接 圆的 直径 ＢＧ与 Ｄ ＡＡ ＢＤ的高 ＤＥ交 于Ｆ， Ｈ是 ＡＢＣＤ的内心， 求 证 ： △Ｂ Ｓ ＨＦ＝ Ｓ Ｂ ＡＥ Ｇ．７９ 、 、 ２正实数， ３． 设ｎ ｂ ｃ 试求满足 ÷ ＋干 ≥ｉ４—２最 ＋ ｛ ≥ ａ－－ 的大 ｂ 一－ ４ — ２ｃ ｖ － — ｂ一 ２值． （ 江苏 张７０ 已知 ｒ：— １ ４． Ｖ５ －一俊供题） ，对所有实数 ， ， 定义 Ｇ Ａ＝ｍａ ｛， ｌ ＋ １ Ｂ＝ｍａ ｛， ｌ ］ ｘ １ｌ ， ］ ｌ Ｉ ， ｘ １ｌ ， １ ｌ－ ，证明： ≥ｒ 并给出一个使得等号成立的条件． Ａ Ｂ， （ 国试题 上海 周 元供题） 法 图４ （ 本栏 目责任编辑李大元 汪纯 中） （ 上接 第 ６ ９页） — 部分 内容的基础， 因此要紧紧抓住不放． 这不仅 仅意味着要记住 它的形式定义， 更要抓住它的本 质． 在初 中阶段， 由于三角函数把直角三角形中 的边与角有机地结合起来， 因而可用它有效地解 决一些解直角三角形和一些简单的非直角三角 形 的问题． 这里， 抓住基本图形和顺利地将非基 本 图形转化为基本 图形是非常重要 的． ２ 转化是解直角三角形 的一个重要思想， ． 它 包括两 方面： 一是将 实际问题转化为数学问题， 二是将复杂问题转化为简单 问题， 将组合问题转 化为基本 问题．因此， 在复 习与解题过程中， 应 注意体会与运用．当你做了若干道这方面的题 目后， 你将发现这 许许多多的实际问题转化为数 直 线 Ｇ与 ｏ（ 相 离， 船 不会进入 海 二 ） 洋生物保护区． ’ ． ．解法二： Ｄ ＝ 、 ＝ ４ （／ ＋ １ ＝ ／ ／ ３ ５ Ｘ３、３ ） ／ ９ ４． ＋３ ５ 设直线 （ Ｆ交 ｏ（ 于点 Ｐ， 二 ） 二 ） ＰＥ ＝ ５＋４ ＝ ９ ＋３ ， Ｅ ＜Ａ ＜９ ４５ 即Ｐ Ｄ．由矩 形 ＦＥＤ 可 得 ＦＥ ＝ Ｄ， ’ ． ．ＰＥ ＜ Ｆ Ｅ ． 所以， 船不会进入海洋 生物 区． 说明： 将解直角三角形和圆置于综合题 中进 行考查， 其重点、难点通常不是解直 角三角形或 者圆， 而是其它的代数或几何方面的知识与思想 方法．这 时， 若涉及到 圆， 通常可从 圆的基本知 识入手进行考虑 ， 本题就是需要利用直线与圆的 位置关系来解决 问题． 通过上面的实例， 以看到解直角三角形这 可 部分 内容 的中考试题的主要特点， 因此， 习这 复 部分 内容 时应注意如下几点： １ 三角函数 的定义是 整个解直角三 角形这 ．学问题后， 通常就那么几种模型． 当你对此得心 应手后， 你将感 觉到 数学魅力无穷． ３ 应养成解题时认真审题， ． 解题后认真反思 的好 习惯．认真 审题， 可克服盲 目粗心出错； 通 过反 思， 总结解题经验， 可 从有差异的题 目中发 现共性．这样， 既提高 了解决问题的正确性， 又 提高了解题 的能力和数学素养．
维普资讯 http://www.cqvip.com２０ 年第 ６ ０８ 期 数 学教 学 一 Ｊ ７反思 《 解直 角三 角形 的应 用》的教学 ２ ４５ 上海市彭浦第三中学 孙晔菁 ０３ ０ 近年来 的中考题 中有不少具有应 用背景的 解直角三角形的试题， 如测量大 型物体 的高度， 测量河宽， 求航 海中的距 离问题 等， 这提示 我们 教学时要借助同学 比较熟悉 的实际情境， 将现实 数学化， 培养学生的观察能力和转化能力， 以及 利用数学知识解决实际问题 的能力． 下面我们通过几道典型的中考试题， 了解解 直 角 三角 形 的 应 用． （） １ 求所测之处江的宽度； （） （） ２ 除 １的测量方案外， 请你再设计一种测 量江宽 的方案， 在图 ２２ 中画 出图形． 并 （） Ｂ 一 、 一 、 、一 、阜 、一 、一 一 一 ，＼，～ 一 一一一＼ － ｌ ， 一 －＼， 一 ｌ ～一＼一一 Ａ Ｇ （） １ 特殊角、特定角三角 函数 的计算、求值 例 １ （０ ５ ２ ０ 年上海市学业考试题） 如图 １在 ， Ｒ ＡＡ ｔ ＢＣ中， Ｃ ０ ， ＝９ 。 ＣＤ 上 Ｂ于 Ｄ， Ｃ ＝ ２Ｂ ＝ ３ ， ．设 Ｄ ＝ ， 么下列各式 中， 那 正确 的是 … … … … … … … … … … … … 一（ ） （） １ 图 ２ （） ２ 解： １在 Ｒ △Ｂ （） ｔ 中， ’Ｂ ＝６ 。 ８， ．． Ｂ ＝ Ａ Ｃ ． ａ ８ ≈ １ ０ Ｘ ２４ ＝ ２ ８ ｔ ｎ６ 。 ０ ．８ ４ （ 。 米） 答： 所测之处江的宽度约为 ２ ８ ４ 米．（）ｉｆ ； Ａｓｌ ｎ ＝吾Ｕ （）ｏ ＝吾 Ｂ ｃｓ ； Ｕ ９ ９ （）ａ ＝寻 Ｃ ｔｎ ；答案： （ ） 选 Ｃ， （） ｏ Ｄ ｃｔ ＝三 ． （） ２ 从所画 出的 图形 中可以看 出是利用三角 形全等、三角形相似、 解直角三角形的知识来解 决 问题的， 只要 正确即可得分． 说 明： 这是用解直角三角形来解决简单实际 问题 的最基本模 型， 过定 义即刻 可 以求 出答 通 案． 此题虽然简单， 但它告诉 我们一种算出两点 间距离的实用方法： 如江宽较大而难 以直接丈量 Ｂ 图 １ 出 、 Ｂ两点间距离时， 可先间接测量某些角， 再 通过计算而求得结果． 说 明： 利用三角 函数的定义来求值 时， 当所 涉及的这个角不在某一个直角三角形 中不便于 直接求时， 可利用 已知条件进行转换， 这里， 因为 Ａ Ｄ ＝ Ａ ＢＣ， 以， ＣＳ 所 求 Ｏ 就快而容 易了． （） ２ 建立解直角三角形模型来解决实际问题 例２ （０ ７ 湖北省潜江 中考试题） ２０年 经过江 汉平 原的沪蓉 （ 上 成都） 高速铁路 即将动工． 例 ３ （０３ ２０ 年上海市学业考试题） 如图３柳 ， 明所住 的楼房在一个不高的斜坡 Ｅ Ｆ上． 楼房旁 边 不 远 处 有 一棵 笔 直 而 垂 直 于水 平 地 面 ＢＥ 的 大 树 日Ｄ．柳 明想要测量这棵大树 日Ｄ的高度． 在下午 的某个时刻， 他观察到这棵大树树梢 日的 影子落在楼房的外墙 面上的点 Ｇ处． 同时， 他又 观察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地 面 Ｂ 的木柱 Ａ 它在水平地面 ＢＥ上的影子 ， Ｊ Ｅ ｝ 也清晰可见． 柳明通过测量得到以下一些数据： Ｂ ＝ １ Ａ ． ６ 米， ＢＣ＝ ３ 米， ． ２ ＤＥ ＝ ７２ ＥＦ＝２６ 斜 ．米， ．米， 坡 Ｆ的坡 度 ｉ １： ． Ｆ ＝ １ 米．试求大 ＝ ２ ，Ｇ ４ ． ６工程需要测量汉 江某一段的宽度． 图２１， 如 （） 一 测量员在 江岸边 的 处测得对岸岸边 的一根标 杆 Ｂ在它的正北方 向， 测量员从 点开始沿岸边 向正东方向前进 １０ ０ 米到达点 处， 测得 Ｚ Ｂ ＡＣ ＝６ ０ ８ ． 维普资讯 http://www.cqvip.com６８ — 树 日Ｄ 的高 数 学教学 ２０ 年第 ６ ０８ 期 一ｂ 。 ． ．（ Ｕ 二Ｅ 一Ｂ （ ｔ 二 ）Ｅ Ｎ 图 ５ 图３ 图４ 解： Ｇ 上 日Ｄ， 足为点 ．又作 ＦⅣ 作 垂上ＤＥ， 垂足为点Ⅳ （ ） 图４． 在 Ｒ ＡＥＦＮ 中，． ｔ 。 。ＥＦ ＝ ２６ ， ．米 解： 作 Ｄ 上 ＡＢ于 点 Ｄ， 设 Ｄ ＝ 海 且 里， 则 。 ． ． ・Ｄ ＝ ， ＢＣＤ ＝ ， Ｚ 斜坡 Ｅ Ｆ的坡度 ｉ １ ２ ， ＝ ： ． ４ＥＮ ＝ ２４ Ｎ ． ．Ｆ ‘ｓ ＝ ＇ ｔ 昙Ｏ ： ． ． ａ ： Ｓ＝． 。 ， ｎ＝， 。 ． ． ｏ 毒 ３ Ｃ Ｕ ．。Ｄ ＝ ・ ａ ， Ｄ ＝ ・ ａ ． ｔｎ Ｂ ｔｎ ４ ・ ｓ ｎ ： ｉ 。 ａｎ ・．‘ Ｅ Ⅳ ＋ Ｆ Ⅳ ＝ Ｅ Ｆ ，・１ ５’ ‘ ・ ８ ｃｏｓ ’ ・ ． ．（． ２４ ＋Ｆ ＦＮ） Ⅳ ＝２ ．， ６ ＦⅣ ＝ １ ， 米 ＥⅣ ＝ ２４ ． ．米 ‘ ．’ Ｄ ＝ ＡＢ ＋ Ｂ Ｄ， Ｂ ＝ １ ， 且 ３ ． ・。． ．‘ ．ｔｎ ＝ １ ａ ３＋ ・ ａ ， ｔｎ ＝。 ．‘ＤＥ ＝ ７２ ， ．米 ． ・ ． ． ｏ 。１＋ ３ 芸， ｏ ．Ｇ ＝ Ｄ Ｎ ＝ ７２＋ ２４＝ ９６ ． ． ． ．米 ‘．． ＝２， ４ 即 Ｄ ＝ ２ ． ４ Ｒ ‘ △ 日 Ｇ ∽ △ Ｂ ， Ｈ Ｍ Ｍ Ｇ — ＡＢ — ＢＣ ‘ ‘．‘ ． ． Ｃ ＝ ＣＤ ÷ Ｃ Ｓ ＝ ２ Ｏ ４÷ ＝ ５， １ ３ 上， ＢＣ ＝ ＣＤ ÷ Ｃ Ｓ ＝ ２ Ｏ ４÷ ＝ ４ ． ０ ０ ‘ ．． ’ ． ＡＢ ＝ １６ ， ．米 ＢＣ ＝ ３２ ， ．米 ＨＭ ．＋ ＢＣ ＝ ５ １＋ ４ ＝ ９ ． ０ １ “ １６ ・．． 日 ： ４８ ． ．米 — ３ ２’一 “ 一 ： ．．‘． 巡逻快艇每小时行驶 ３ 海里， ０ ‘．。ＦＧ ＝ １６ ， ．米 ．‘ ． ．９ ÷３ １ ０＝３ （ 小时） ． ‘．月 Ｄ ＝ Ｈ Ｍ ＋ Ｇ Ｆ ＋ ＦＮ ＝４８＋ １６＋ １＝ ７４ ． ． ． ．米 说明： 初三升学考试 中这类题 目还不少， 多 数只是换 了一下情景， 或仅增 加了一点复杂性， 并没有什么本质上的改变， 目中出现的是一个 题 非直角三角形 的问题， 解决这类题 目的一般方法 就是通过作辅 助线将非 直角三角形转化为直角 三 角形 ． 说明： 实际问题 的情景新 ， 图示较复杂， 求解 时有一点难度， 解决 问题的基本方法还是转化： 先将实际问题数学化， 再将数学化后的图形通过 作辅 助线转化为两个基本 的相似直角三角形进 行求解． 例４ （ ０年上海市闸北区学业考试题） ２ ４ ０ 如 图５ 一艘海岸巡逻快艇在上海黄浦江 口的基地 ， 的正东方向， 且距 地 １ 海里的Ｂ处巡逻． ３ 突 （）自主设计测量方 案 ３ 例 ５ （０２ ２０ 年重庆市 中考试题） 如图６ 、 ， Ｂ是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物， Ｂ楼不能到达， 由于建筑物密集， 在 的周围没有 开阔地带， 了测量 Ｂ的高度只能充分利用 楼 为然接到基地 命令， 要该快艇前往 岛， 接送一 名病危的渔民到基地 的医院求治． 已知 岛在 的空 间， 的各层楼都 可到达且能看见 Ｂ， 现仅 有的测量工具为皮尺和 测角器 （ 皮尺可用于测量 长度， 测角器可以测量仰角、 角或两视线间的 俯 夹角） ． 基地 的南偏东 （ 的方 向， 度） 且在 Ｂ处的南偏 东 （ 的方 向， 度） 巡逻快艇从 Ｂ处出发， 平均每小 时行驶３ 海里， ０ 需要多少时间才能把患病渔 民送 （） １ 请你设计一个测量Ｂ楼高度的方法， 要 求写 出测量步骤 和必 须 的测量数据 （ 字母表 用到 地 的 院ｆ 知 ｔ 芸， 菩？ 基 医 已 ： ｎ＝ ｓ ＝ ） ａ ｉ ｎ 示）并 画出测量图形； ， 维普资讯 http://www.cqvip.com２０ 年第 ６ ０８ 期 算 Ｂ楼高度的表达式． Ｂ Ｂ 数 学教 学 答． 一９ （） 你测 量的数据 （ ２用 用字母表示） 写出计 ，二 图 ６ 图 ７ ‘ ． ． 图８ 图９ 解：１联结 Ｃ Ｃ 则 ＣＢｆ 轴， （） Ｂ、 Ｏ， ｆ ｙＣ Ｂ ０ ＝ ９ 。 ０．解：１设 ＡＣ表示 楼， （） ＢＤ表示 Ｂ楼．测 量步 骤 为 ： 设 （ 为 由 （、 Ｃ三 点 所 确 定 圆 的 圆心， ＝ ） ＝ Ｂ、 ） 则 ＯＣ为 ｏ（ 的直径 ． ＝ ） 由 已知得 ，＝ ＝ ６ＣＢ ＝ ８ （Ｂ ） ， ， 由勾股定理得，＝ ＝ ｘ ２ １ ． （Ｃ ） ／ ＋６ ＝ ０ ８ ①用测角器在 楼的顶端 点测量到 Ｂ楼 底端的俯角 ； ② 用测角器 在点 测量到 Ｂ楼楼顶的仰角 ， 半径 ＯＯ ＝５ Ｓ ， ｒ ２ ２７＝ ７ ． ， ｏＯ ＝７５ ＝ ５ｒ ８ ． ・ ５（） 图９ 过 点 作 ＡＤ 上 轴于点 Ｄ， ２如 ， 则 ③用皮尺从 楼顶放下， 测量点 到地面的 （Ｄ ＝ ４ 。 ＺＢ ＡＤ ＝ ３ 。 ＝ ） ５， ０， Ｂ Ｄ ＝ ９ 。一 ３ 。 ＝ ６ 。 Ｏ ０ ０．高为 ａ ． （） ２ 如图７ 在 Ｒ △ ＣＤ 中， ， ｔ ＣＤ ＝ ａ ・ ａ ＺＤ ＡＣ ＝ ａ ・ ｏ ． ｔｎ ｃｔ 在 Ｒ △Ａ ｔ ＢＤ 中， ＢＤ ＝ 则 Ａ ＝２ ， 设 ， Ｂ ｘ ・ ．． ｔ ｎ６ ａ ， 在 Ｒ ＡＡ Ｂ 中， ｔ Ｅ ＢＥ ＝ＡＥ・ａ ， ｔｎ ’ ．・．．Ａ Ｄ ＝ － ａ ０ ｔ ｎ６ 。＝ 、 ／ ， ’ Ｅ ＝ ＣＤ ． ．在 Ｒｔ △ （Ｄ 中， ＝ ） （ Ｄ ＝ Ｏ Ｂ ＋ Ｂ Ｄ ＝ ６＋ Ｘ． ＝ ） ・ ．’ ．ＢＥ ＝ ａ・ ｏ －ａ ， ｃｔ ｔｎ ‘ ． ．楼高ＢＤ ＝ ＢＥ＋ＥＤ ＝ ＢＥ＋ Ｃ ． ｔ ｎ ４ 。＝ ａ ５， ＝ ａ－ ｏ －ａ ｃｔ ｔ ｎ ＋ ａ ．’．Ａ ＝ｔｎ ５ （ ） Ｄ ａ ・６＋ ． ４ 、 ／ ＝＝ａ１ ｏ ・ａ ） （ ＋ｃｔ ｔｎ ． 说明： 本题是 一个全开放性 试题， 解题方法 很多， 表达式也是多种多样 的， 需要一定 的数学 应用能力和独创能力． ・．．＝ ６＋ ， 志 ≈． －． ３ ８７ 一２ ．’ ０ ￣１ ７ ９ Ｂ ＝ ２ × ８ １ ７ ≈ １ ．． ．９ ６ ４ ‘ ． ． （） ４ 三角函数与其它知识 的综合 例 ６ （０５ 山西 省实验 区中考试题） ２０ 年 在某 张航海 图上， 明了三个观测点 的坐标， 图８ 标 如 ， Ｏ（，）Ｂ（，）Ｃ（，） ００、 ６０、 ６８，由三个 观测点确定的 圆形区域是海洋生物保护 区． 或ＡＢ＝２× ＝６、３ ） ６ ． （／＋１ ≈１． ／ ４（） ３ 解法一： 过点 作ＡＧ上 Ｙ 轴于点 Ｇ 过 ．点（ 作 Ｏ 上 Ｏ ＝ ） Ｅ Ｂ点Ｅ， 延长ＥＯ 交 Ａ 并 Ｇ于点 Ｆ．由（） Ｏ０ ＝５ 由垂径定理得 １知， ，Ｏ Ｅ ＝ Ｂ Ｅ ＝ １‘ ． ．× ６ ＝ ３ ．（） １求圆形 区域的面积 （ 取 ３１） ７ ． ； ｒ ４ （） ２某时刻海面上出现一渔船 ， 在观测点 （ ＝ ） 测得 位于北偏东 ４ 。 同时在观测 点Ｂ测得 ５， 位于北偏东 ３ 。 求观测 点 Ｂ到 船的距离 （／ ０， 、３ ／ ≈１ ３ ， 留三 个有效数字） ． ２保 ７ ； （） ３ 当渔船 由 （） ２ 中位置 向正西方 向航行 时， 否会进 入海洋生物保 护区？ 通过计算 回 是 在 Ｒ ＡＯＯ Ｅ中， ｔ 由勾股定理得 （ ＝ 、５ ＝Ｅ ） ／ ２—３ ／ ２＝ ４ ．‘．‘四边形 ＦＥ ＤＡ为矩形， ．ＥＦ ＝ ＤＡ． 而 Ｄ ＝ 、３ ／ ＝Ｖ３×８１７≈ １ ． ／ ． ９ ４， ２‘．．（ ＝ １ ． ＝Ｆ ） ４ ２— ４＝ １ ． ＞ ５ ０２ ．（ 转 第 ６４ 下 — ８页） 维普资讯 http://www.cqvip.com６４ －８一数 学教 学 — — 一 １。 — — — — 一 ２０ 年第 ６ ０８ 期 ｎ（ ６ 一ｃ ） ６ ．６（ —ｎ ＋ ｃ 一ｎ ） ｃ —ｂ ＋ — — —ｃ（ ｎ 一ｂ ） ｎ —ｃ＋ 卞——— ■一 ．（ 江苏 徐 道 陆燕平供题） ７ ７ 已知正数 ａ 、ｃ ３． 、ｂ Ａ足 ａ ＋Ｃ ， ＋ｂ ＝３ 求 ± 一 ＿ ± ！ ± ２２ ６ ） 。２２ ｃ ） 。２２ ｎ ） ａ＋（＋ｃ ｂ＋（＋ｎ Ｃ＋（＋６ 的 最大 值 ． ＝ －（＋ｂ＋１ ＋ ） ｃ＋ｃ 等 （ｂ ａ ａｚ一（ 黑龙江侯典峰供题） 菩 学． ＝ ２ ０ 年 第 ６ 问题 ０８ 期． 一 ７ ８ 已知正实数 ａ 、 、 满足ａ ＋ ｃ＋ ３． 、ｂ Ｃ ｄ ６＋ ，１ 求 证一 ． ．而 ＋ 南． 一一上１ 、４ — —＋ ｃ１ 。 （ ＋ｎ ＋ｂ）， ３ （ ＋ｄ ＋ｎ ） ｄ １ ２ ／ ‘ （ 黑龙江 杜 山供题） ７６已知直角梯形 Ａ Ｄ 中， Ｂ／ ３． ＢＣ Ａ ／ ＣＤ， 且 ＤＢ ＝ Ａ Ｂ， ＡＡＢ 外接 圆的 直径 ＢＧ与 Ｄ ＡＡ ＢＤ的高 ＤＥ交 于Ｆ， Ｈ是 ＡＢＣＤ的内心， 求 证 ： △Ｂ Ｓ ＨＦ＝ Ｓ Ｂ ＡＥ Ｇ．７９ 、 、 ２正实数， ３． 设ｎ ｂ ｃ 试求满足 ÷ ＋干 ≥ｉ４—２最 ＋ ｛ ≥ ａ－－ 的大 ｂ 一－ ４ — ２ｃ ｖ － — ｂ一 ２值． （ 江苏 张７０ 已知 ｒ：— １ ４． Ｖ５ －一俊供题） ，对所有实数 ， ， 定义 Ｇ Ａ＝ｍａ ｛， ｌ ＋ １ Ｂ＝ｍａ ｛， ｌ ］ ｘ １ｌ ， ］ ｌ Ｉ ， ｘ １ｌ ， １ ｌ－ ，证明： ≥ｒ 并给出一个使得等号成立的条件． Ａ Ｂ， （ 国试题 上海 周 元供题） 法 图４ （ 本栏 目责任编辑李大元 汪纯 中） （ 上接 第 ６ ９页） — 部分 内容的基础， 因此要紧紧抓住不放． 这不仅 仅意味着要记住 它的形式定义， 更要抓住它的本 质． 在初 中阶段， 由于三角函数把直角三角形中 的边与角有机地结合起来， 因而可用它有效地解 决一些解直角三角形和一些简单的非直角三角 形 的问题． 这里， 抓住基本图形和顺利地将非基 本 图形转化为基本 图形是非常重要 的． ２ 转化是解直角三角形 的一个重要思想， ． 它 包括两 方面： 一是将 实际问题转化为数学问题， 二是将复杂问题转化为简单 问题， 将组合问题转 化为基本 问题．因此， 在复 习与解题过程中， 应 注意体会与运用．当你做了若干道这方面的题 目后， 你将发现这 许许多多的实际问题转化为数 直 线 Ｇ与 ｏ（ 相 离， 船 不会进入 海 二 ） 洋生物保护区． ’ ． ．解法二： Ｄ ＝ 、 ＝ ４ （／ ＋ １ ＝ ／ ／ ３ ５ Ｘ３、３ ） ／ ９ ４． ＋３ ５ 设直线 （ Ｆ交 ｏ（ 于点 Ｐ， 二 ） 二 ） ＰＥ ＝ ５＋４ ＝ ９ ＋３ ， Ｅ ＜Ａ ＜９ ４５ 即Ｐ Ｄ．由矩 形 ＦＥＤ 可 得 ＦＥ ＝ Ｄ， ’ ． ．ＰＥ ＜ Ｆ Ｅ ． 所以， 船不会进入海洋 生物 区． 说明： 将解直角三角形和圆置于综合题 中进 行考查， 其重点、难点通常不是解直 角三角形或 者圆， 而是其它的代数或几何方面的知识与思想 方法．这 时， 若涉及到 圆， 通常可从 圆的基本知 识入手进行考虑 ， 本题就是需要利用直线与圆的 位置关系来解决 问题． 通过上面的实例， 以看到解直角三角形这 可 部分 内容 的中考试题的主要特点， 因此， 习这 复 部分 内容 时应注意如下几点： １ 三角函数 的定义是 整个解直角三 角形这 ．学问题后， 通常就那么几种模型． 当你对此得心 应手后， 你将感 觉到 数学魅力无穷． ３ 应养成解题时认真审题， ． 解题后认真反思 的好 习惯．认真 审题， 可克服盲 目粗心出错； 通 过反 思， 总结解题经验， 可 从有差异的题 目中发 现共性．这样， 既提高 了解决问题的正确性， 又 提高了解题 的能力和数学素养．