二次函数、指数、对数函数
一. 教学内容：
二次函数、指数、对数函数
二. 教学要求：
1. 掌握二次函数的对称性、单调性、最值公式及图象。理解并掌握二次函数、二次方程与二次不等式的内在联系，能利用“数形结合”，“判别式”和“韦达定理”讨论二次方程根的情况及二次不等式的解集。
2. 理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质。
3. 掌握指数与对数函数的概念，图象和性质，会用定义法证明指数函数与对数函数的单调性，能应用其性质解（证）相关问题。
三. 知识串讲 （一）二次函数
1. 形如f(x)＝ax 2+bx+c（a ≠0）的函数叫做二次函数。 （1）二次函数的解析式
一般式：f (x ) =ax +bx +c (a ≠0)
顶点式：f (x ) =a (x -m ) +n (a ≠0) ，其中(m ，n ) 为顶点坐标。 两根式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) ，其中x 1，x 2是二次式的根。 （2）图象和性质
2
2
b b 4ac -b 2
直线x =-为抛物线的对称轴，顶点坐标为(-，)
2a 2a 4a
a >0时，抛物线开口向上，x ∈(-∞，-x ∈[-
b
，+∞) 时，f (x ) 单调递增2a
b
]时，f (x ) 单调递减2a
b 4ac -b 2
x =-时，y min =
2a 4a
a
b
，+∞) 时，f (x ) 单调递减2a
b
]时，f (x ) 单调递增2a
b 4ac -b 2
x =-时，y max =
2a 4a
2. 二次函数、二次方程与二次不等式 y =ax +bx +c (a >0) ∆=b -4ac
∆>0⇔ax +bx +c =0有两个不等实根x 1，x 2（设x 1
2
⇔抛物线y =ax +bx +c 与x 轴有两个交点(x 1，0) ，(x 2，0)
2
2
2
则ax +bx +c >0的解集为x x 2 ax +bx +c
2
2
∆=0⇔ax 2+bx +c =0有两个相等实根x 1=x 2=-⇔抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有一个交点(-则ax 2+bx +c >0的解集为x ∈R 且x ≠-
2
b
2a
b
，0) 2a
b 2a
ax +bx +c
2
∆
⇔抛物线y =ax +bx +c 与x 轴没有交点 则ax +bx +c >0的解集为R
2ax +bx +c
2
2
如下图：
y =ax +bx +c (a >0)
2
∆=b 2-4ac
3. 二次函数在闭区间上必有最大、最小值，它们只能在区间端点或顶点处取得。
2
f (x ) =ax +bx +c (a >0) 在区间[m ，n ]上
（1）若-
b b
∈[m ，n ]，则f min =f (-) 2a 2a
x f (m ) ，f (n ) 中的较大者
f m a 是
（2）若-
b
∉[m ，n ]2a
则f max ，f min 分别是f (m ) ，f (n )
中的较大者，较小者。
4. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）实根的分布 设f (x ) =ax +bx +c (a >0) ①有两个大于k 的实根
2
⎧
⎪∆≥0有两个正根
⎪⎧x +x >0⇔⎨f (k ) >0(⎪12) ⇔⎪⎨
⎪b ⎪x ⋅x >0
⎪⎩12⎪->k
⎩2a
②有两个小于k 的实根
⎧
有两个负根⎪∆≥0
⎪⎧x +x 20(⎪1)
⇔⎨x 1⋅x 2>0⎪b
⎪∆≥0⎪-
⎩⎩2a
③有一根大于k ，一根小于k
⇔f (k )
⎧∆≥0⎪b ⎪
⇔⎨m
2a ⎪
⎪⎩f (m ) >0，
f (n ) >0
⑤一根小于m ，一根大于n
⎧f (m )
⎩f (n )
⑥两根之一在（m ，n ）内
⇔f (m ) ⋅f (n )
⑦一根在（m ，n ）内，另一根在（n ，p ）内
⎧f (m ) >0⎪
⇔⎨f (n ) 0
⎩
注：若不限定a 的正负时，只要在f(k)前乘以a ，即af(k)，其余不变。
（二）指数与对数函数
1. n次方根：若x n ＝a （n ∈N ，n>1），则称x 为a 的n 次方程。
n 为奇数时，x =，n 为偶数时x ＝±(a ≥0)
性质：
n （1）(a ) =a
（2）n 为奇数时，a =a
n
⎧a (a ≥0) n 为偶数时，a n =|a |=⎨
⎩-a (a
mp m （3）a >0时，a =a
np
2. 指数
a 0=1(a ≠0) ，a -p =
1
(a ≠0) p a
-m n
a =a (a ≥0) ，a
运算法则： a ⋅a =a (a ) =a
m n m
n
m +n
m n
m
=
1
a
m
(a >0)
m ⋅n
n n n
(ab ) =a ⋅b (a >0，b >0)
3. 对数
性质：
（1）0和负数没有对数，即N>0
a 1=0，l o g a a =1 （2）l o g
log a N
（3）a =N (对数恒等式)
运算法则：（M>0，N>0）
l o g a M ⋅N =l o g a M +l o g a N ；l o g a
n l o g =n ⋅l o g M =a M a M ；l o g a
M
=l o g a M -l o g a N N
换底公式：
1l o g a M n
l o g a N =
l o g c N
l o g c a
n
l o g N =l o g N n a a
l o g a b =
1
l o g b a
4. 指数函数与对数函数
指数函数对数函数
互为反函数
y ＝a x (a >0，a ≠1) ←−−−→y =log a x (a >0，a ≠1
)
图象过点（0，1），以x 轴
为渐近线 a >1时，y ↑
图象过点（1，0），以y 轴 为渐近线
a >1时，y ↑
⎧0
⎨x =1时，y =0⎪x >1时，y >0⎩
⎧x
⎪
y =1⎨x =0时，
⎪x >0时，y >1 ⎩
0
0
⎧00
⎪
⎨x =1时，y =0⎪x >1时，y
底数互为倒数时，图象关于x 轴 对称，x>1时“底大图低”
⎧x 1⎪
⎨x =0时，y =1⎪x >0时，0
底数互为倒数时，图象关于 y 轴对称，x>0时，“底大图高”
【典型例题】
例1. 设二次函数y ＝f(x)的最小值等于4，且f(0)＝f(2)＝6，求f(x)的解析式。 解法一：设f (x ) =ax +bx +c (a >0)
2
⎧
⎪c =6⎪
由已知得⎨4a +2b +c =6
⎪4ac -b 2⎪=4⎩4a
⎧a =2⎪
解得⎨b =-4
⎪c =6⎩
∴f (x ) =2x -4x +6 解法二： f (0) =f (2) ∴抛物线有对称轴x ＝1
又二次函数有最小值4
可将f (x ) =a (x -1) +4(a >0) 代入点（0，6）坐标，得a ＝2
∴f (x ) =2(x -1) +4=2x -4x +6
例2. 若方程x 2－11x ＋（30＋a ）＝0的两根不等且均大于5，求实数a 的取值范围。 解：（法一）：设f (x ) =x -11x +(30+a )
2
2
2
2
2
⎧∆=112-4(30+a ) >0
⎪
1⎪-11
由题意有⎨->5⇒0
4⎪2⨯1
2
⎪f (5) =5-11⨯5+30+a >0⎩
（法二）：令x =t +5，方程(t +5) -11(t +5) +30+a =0 即t -t +a =0，只要有两个不相等正根即可
2
2
⎧∆>0
1⎪
因此有⎨x 1+x 2>0⇒0
4⎪x ⋅x >0
⎩12
例3. 设集合A ＝{(x，y)|y＝x 2＋ax ＋2}，B ＝{(x，y) ｜y ＝x ＋1，0≤x ≤2}，A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。 解：（分析：集合的元素是曲线上的点（x ，y ），A ∩B ≠φ，即曲线与线段有交点）
⎧y =x +1(0≤x ≤2) 2
由⎨⇒x +ax +2=x +12
⎩y =x +ax +2
即x +(a -1) x +1=0(0≤x ≤2)
2
即x +(a -1) x +1=0在[0，2]上有实根
2
令f (x ) =x +(a -1) x +1
2
⎧∆≥0
⎪1-a ⎪≤2⎧f (0) >0⎪0≤
则由（有两个根）⎨或(仅有1个根) ⎨2
⎩f (2) 0
⎪⎪⎩f (2) =2a +3≥0
33⇒-≤a ≤-1或a
22
∴a ≤-1
点评：对于方程x 2＋（a －1）x ＋1＝0在［0，2］上有实根的问题，可考虑分离参数的方法，得到
a -1=-x -
11=-(x +) x x
0≤x ≤2，又x =0时，A ⋂B =∅
∴0
11
≥2，-(x +) ≤-2x x
1
∴a -1=-(x +) ≤-2
x
1
a ≤-1当且仅当x =，即x =1时“=”成立
x
∴a ≤-1时，A ⋂B ≠∅
例4. 函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间［0，1］上有最大值2，求实数a 的值。 解： f (x ) =-(x -a ) +a -a +1
2
2
抛物线的对称轴为x ＝a
（区间定，轴动的问题，根据对称轴的位置讨论） （1）当x ＝a
y 2
m a x =f (a ) ，令f (a ) =a -a +1=2
即a 2，a
-a -1=0=
1±2∉[0，1]，无解
（3）当x ＝a>1时，y 在［0，1］上为增函数 y m a x =f (1)
令f (1) =-12
+2a ⋅1+1-a =2 ∴a =2（符合a >1）
综上，a ＝－1或a ＝2
考虑：f(x)＝x 2＋2x －1在区间［t ，t+1］上的最小值是g(t)。 （3）则g(t)＝？并求g(t)
1|x |
例5. 已知函数y ＝a |x|
（a>0且a ≠1）的图象如图，则函数
y =(a ) 的图象是（
）
分析：由图象可知a>1
1
∴y =() |x |的图象是D
a
∴0
1
已知g (x ) =() x (x >0) ，而f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x ) =g (x ),
2 例6.
则f(x)的表达式为___________________ 解：设x0
1
∴f (-x ) =() -x =2x
2
又f(x)为奇函数
∴-f (x ) =2，∴f (x ) =-2，及f (0) =0
x
x
⎧1x
⎪(2) (x >0) ⎪
∴f (x ) =⎨0(x =0)
⎪-2x (x
注：若f (x ) 为奇函数，且x ∈D ，则f (0) =0。
例7. 已知f (x ) =log a (a -1)(a >0且a ≠1) （1）求f(x)的定义域； （2）讨论f(x)的单调性；
（3）当a 取何值时图象在y 轴左侧； 解：（1）由a -1>0⇒a >1 ∴当a >1时，定义域为(0，+∞) 当0
a >1时，x ∈(0，+∞) ，u ↑，log a u ↑，∴y ↑ 00⇒a >1⇒0
例8. 若f (x ) =x -x +b ，且f (log2a ) =b ，log 2[f (a )]=2(a ≠1) （1）求f (log2x ) 的最小值及对应的x 值；
（2）x 取何值时，f (log2x ) >f (1) 且log 2[f (x )]
2
2x
x
x x
x x
g a ) =l o g 2a -l o g 2a +b =b ∴f (l o 2
2a -l o g 2a =0 ∴l o g
2
2
2a =1，∴a =2 又a ≠1，∴l o g
2f (a )]=log 2(a -a +b ) =2 又l o g[
2
∴a -a +b =2，∴b =4-a +a =4-2+2=2 ∴f (x ) =x -x +2
2
2222
1272
则f (l o 2g x ) =l o g x -l o g x +2=(l o g x -) +222
24
17
当log 2x =即x =2时，f (log2x ) 有最小值
24
（2）由于f(1)＝2，由已知，得
2
⎧⎪l o g 2x -l o g 2x +2>2⎨2⎪l o g(x -x +2)
⎧⎧02⎪l o g 2x 1⇒⎨⇒⎨2
⎪0
∴0
例9. 对于函数f(x)，若存在x 0∈R ，使f(x0) ＝x 0成立，则称x 0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax 2＋（b ＋1）x ＋（b －1）（a ≠0）
（1）当a ＝1，b ＝－2时，求函数f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b ，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y ＝f(x)图象上A 、B 两点的横坐标是函数f(x)的不动
点，且A 、B 两点关于直线y =kx +
12a 2+1
对称，求b 的最小值。
2
（1）当a =1，b =-2时，f (x ) =x -x -3 解：
由题意得x -x -3=x ，得x 1=-1，x 2=3 ∴当a =1，b =-2时，f (x ) 的两个不动点为－1，3
（2） f (x ) =ax +(b +1) x +(b -1)(a ≠0) 恒有两个不动点 ∴x =ax +(b +1) x +(b -1)(a ≠0) 恒有两个相异的实根
2得∆=b -4ab +4a >0(b ∈R ) 恒成立
2
2
2
于是∆' =(4a ) -16a 2
故当b ∈R ，f (x ) 恒有两个相异的不动点时，a 的取值范围为0
∴k =-1
点A 、B 关于直线y =kx +
12a 2+1
对称
x
设AB 的中点，为M （x’，y’）
x 1，x 2是方程ax +bx +(b -1) =0的两个根
2
x 1+x 2b
=-22a
b b 1
于是M (－，-) 在直线y =-x +2上
2a 2a 2a +1
b b 1得-=+2
2a 2a 2a +1
a 1
即b =-2=-
2a +1
2a +
a
1
a >0，∴2a +≥2a
∴x ' =y ' =
当且仅当2a =
12，即a =∈(0，1) 时取等号a 2
故b ≥-
12=-
24
24
∴b 的最小值为-
点评：本题主要考查二次函数及其图象，一元二次方程以及不等式的综合应用，同时借助于不变量思想，以不动点为载体，蕴含着“及时定义→及时解答”的试题结构特征，对思维能
力有较高要求。
【模拟试题】
一. 选择题
1. 已知函数y =(m -1) x 2
-mx -m 的图象，如图，则m 的取值范围是（ ）
A.
m
45
B.
0
45
C. m
D. 0
2. 已知函数
y =ax 2
+bx +c ，如果a>b>c且a +b +c =0，则它的图象可能是（
3. 如果二次函数
f (x ) =x 2
+bx +c 对任意实数x 都有f (1+x ) =f (-x ) ，那么（） ）
A. f (-2)
2
B. f (0)
4. 函数y =x -2x +3在区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） A. [1，＋∞) C. (-∞，2]
B. ［0，2］ D. ［1，2］
2
2
22 5. 设x 1，x 2是方程x -2kx +1-k =0（k ∈R ）的两个实根，则x 1+x 2的最小值是（ ）
A. －2
2
B. 0
2
C. 1 D. 2
6. 若方程x -2x +lg(2a -a ) =0两根异号，则（ ）
11
a ∈(-，0) ⋃(，1)
22 A. 1a ∈(-，1)
2 B. 1
a ∈(-，0)
2 C. 1a ∈(，1)
2 D.
7. 如图是指数函数①y =a ；②y =b ；③y =c ；④y =d 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ） A. a
C. 1
B. b
x
x
x
x
5-6-6-
a =() 2，b =() 3，c =() 2
355，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） 8. 若
A. a
C. a
B. b111
-x
y =a 9. 当a>1时，在同一坐标系中，函数与y =log a x 的图象是（ ）
x
y =f (2) 的定义域是［1，2］ 10. 已知函数，则函数f [log2x ]的定义域是（ ）
A. ［2，4］
C. ［0，1］ B. ［4，16］ D. ［1，2］
1
f (x ) =() x 2
2，且g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y =x 对称，则g (x ) 是 11. 已知函数
（ ）
A. 奇函数，且在（0，+∞）上递减 B. 偶函数，且在（0，+∞）上递增 C. 奇函数，且在（-∞，0）上递减 D. 偶函数，且在（-∞，0）上递增
二. 填空题
12. 已知
f (x ) =x 2+2mx +m 2-
13m -22，当x ∈(0，+∞) 时，恒有f (x ) >0，则m 的
取值范围是________________
⎧f (0) >0
⎪
⎨2m -
13. 求值
（1）log 273=_________
log 4
（2） （3）5
9
3
=
2_________
=_________
63
|log12|
5
（4）已知log a 27=2，则log =_________
2x
y =(a -1) 14. 函数是减函数，则a 的取值范围是_________
15. 若
log a
2
2
x
16. 函数y =a
-3x +2
(a >1) 的单调递增区间是_________；单调递减区间是_________；值域
是_________
三. 解答题
17. 已知f (x ) =log a |x -2|在区间（-2，0）上是减函数，求f(x)的增区间。
2
解：设u =|x -2|,x ∈R 且x ≠±
2
在（-2，0）上y ↓，又u ↑
a u ↓，∴0
在x ∈(-∞，-2) 上，u ↓又log a u ↓，∴y ↑ 在x ∈[0，) 上，____________________ 在x ∈(，+∞) 上，____________________ ∴递增区间为：_______________
18. 已知常数a>1，变量x ，y 有关系：3log x a +log a x -log x y =3 （1）若x =a (t ≠0) ，试以a ，t 表示y ；
（2）若t 在［1，+∞）内变化时，y 有最小值8，求此时a 和x 的值各为多少？
19. 对于函数f (x ) ，若存在x 0∈R ，使f (x 0) =x 0成立，则称点（x 0，x 0）为函数f (x ) 的不动点
2f (x ) =ax +bx -b (a ≠0) 有不动点（1，1）和（－3，－3） （1）已知函数，求a ，b 的
t
值。
（2）若对于任意实数b ，函数f (x ) =ax +bx -b 总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围。
（3）若定义在实数集R 上的奇函数g (x ) 存（有限的）n 个不动点，求证n 必为奇数。
2
【试题答案】
1. B
7. B 2. D 8. C 3. C 9. B 4. D 10. B 5. C 11. D 6. A
12. m 32
111- 13. （1）3；（2）2；（3）21；（4）2
14. (-2，1) ⋃(1，2)
15. 013
331-[，+∞) (-∞，) 2，[a 4，+∞) 16. 2，
17. u ↓，又log a u ↓，∴y ↑；u ↑又log a u ↓，∴y ↓；
(-∞，-2) ，[0，2)
t t x =a (t ≠0) y =a 18. 解：（1）将代入原式，整理得2-3t +3(t ≠0)
y =a 33(t -) 2+24
33∴u =(t -) 2+24 （2） a >1，
取最小值时，y 取最小值
t ∈[1，+∞)
∴t =33u min =2时，4
3
4 ∴y m i n =a
由题意a 3
4=8，得a =16，x =a =16=64
2t 32 19. 解：（1）由不动点定义有f (x ) -x =0，∴ax +(b -1) x -b =0
把x ＝1代入得a ＝1，把a ＝1，x ＝－3代入得b ＝3
（2）与例9（2）相同，0
（3）证明： g (x ) 是R 上的奇函数，∴g (-0) =-g (0)
∴g (0) =0，∴(0，0) 是g (x ) 的一个不动点
若有异于（0，0）点的不动点（x 0，x 0），则g (x 0) =x 0
又g (-x 0) =-g (x 0) =-x 0，∴(-x 0，-x 0) 也是g (x ) 的不动点
∴g (x ) 的有限个不动点除原点处，都是成对出现的，有2k 个(k ∈z ) ，加上原点，共有n ＝2k ＋1个，∴n 为奇数
二次函数、指数、对数函数
一. 教学内容：
二次函数、指数、对数函数
二. 教学要求：
1. 掌握二次函数的对称性、单调性、最值公式及图象。理解并掌握二次函数、二次方程与二次不等式的内在联系，能利用“数形结合”，“判别式”和“韦达定理”讨论二次方程根的情况及二次不等式的解集。
2. 理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质。
3. 掌握指数与对数函数的概念，图象和性质，会用定义法证明指数函数与对数函数的单调性，能应用其性质解（证）相关问题。
三. 知识串讲 （一）二次函数
1. 形如f(x)＝ax 2+bx+c（a ≠0）的函数叫做二次函数。 （1）二次函数的解析式
一般式：f (x ) =ax +bx +c (a ≠0)
顶点式：f (x ) =a (x -m ) +n (a ≠0) ，其中(m ，n ) 为顶点坐标。 两根式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) ，其中x 1，x 2是二次式的根。 （2）图象和性质
2
2
b b 4ac -b 2
直线x =-为抛物线的对称轴，顶点坐标为(-，)
2a 2a 4a
a >0时，抛物线开口向上，x ∈(-∞，-x ∈[-
b
，+∞) 时，f (x ) 单调递增2a
b
]时，f (x ) 单调递减2a
b 4ac -b 2
x =-时，y min =
2a 4a
a
b
，+∞) 时，f (x ) 单调递减2a
b
]时，f (x ) 单调递增2a
b 4ac -b 2
x =-时，y max =
2a 4a
2. 二次函数、二次方程与二次不等式 y =ax +bx +c (a >0) ∆=b -4ac
∆>0⇔ax +bx +c =0有两个不等实根x 1，x 2（设x 1
2
⇔抛物线y =ax +bx +c 与x 轴有两个交点(x 1，0) ，(x 2，0)
2
2
2
则ax +bx +c >0的解集为x x 2 ax +bx +c
2
2
∆=0⇔ax 2+bx +c =0有两个相等实根x 1=x 2=-⇔抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有一个交点(-则ax 2+bx +c >0的解集为x ∈R 且x ≠-
2
b
2a
b
，0) 2a
b 2a
ax +bx +c
2
∆
⇔抛物线y =ax +bx +c 与x 轴没有交点 则ax +bx +c >0的解集为R
2ax +bx +c
2
2
如下图：
y =ax +bx +c (a >0)
2
∆=b 2-4ac
3. 二次函数在闭区间上必有最大、最小值，它们只能在区间端点或顶点处取得。
2
f (x ) =ax +bx +c (a >0) 在区间[m ，n ]上
（1）若-
b b
∈[m ，n ]，则f min =f (-) 2a 2a
x f (m ) ，f (n ) 中的较大者
f m a 是
（2）若-
b
∉[m ，n ]2a
则f max ，f min 分别是f (m ) ，f (n )
中的较大者，较小者。
4. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）实根的分布 设f (x ) =ax +bx +c (a >0) ①有两个大于k 的实根
2
⎧
⎪∆≥0有两个正根
⎪⎧x +x >0⇔⎨f (k ) >0(⎪12) ⇔⎪⎨
⎪b ⎪x ⋅x >0
⎪⎩12⎪->k
⎩2a
②有两个小于k 的实根
⎧
有两个负根⎪∆≥0
⎪⎧x +x 20(⎪1)
⇔⎨x 1⋅x 2>0⎪b
⎪∆≥0⎪-
⎩⎩2a
③有一根大于k ，一根小于k
⇔f (k )
⎧∆≥0⎪b ⎪
⇔⎨m
2a ⎪
⎪⎩f (m ) >0，
f (n ) >0
⑤一根小于m ，一根大于n
⎧f (m )
⎩f (n )
⑥两根之一在（m ，n ）内
⇔f (m ) ⋅f (n )
⑦一根在（m ，n ）内，另一根在（n ，p ）内
⎧f (m ) >0⎪
⇔⎨f (n ) 0
⎩
注：若不限定a 的正负时，只要在f(k)前乘以a ，即af(k)，其余不变。
（二）指数与对数函数
1. n次方根：若x n ＝a （n ∈N ，n>1），则称x 为a 的n 次方程。
n 为奇数时，x =，n 为偶数时x ＝±(a ≥0)
性质：
n （1）(a ) =a
（2）n 为奇数时，a =a
n
⎧a (a ≥0) n 为偶数时，a n =|a |=⎨
⎩-a (a
mp m （3）a >0时，a =a
np
2. 指数
a 0=1(a ≠0) ，a -p =
1
(a ≠0) p a
-m n
a =a (a ≥0) ，a
运算法则： a ⋅a =a (a ) =a
m n m
n
m +n
m n
m
=
1
a
m
(a >0)
m ⋅n
n n n
(ab ) =a ⋅b (a >0，b >0)
3. 对数
性质：
（1）0和负数没有对数，即N>0
a 1=0，l o g a a =1 （2）l o g
log a N
（3）a =N (对数恒等式)
运算法则：（M>0，N>0）
l o g a M ⋅N =l o g a M +l o g a N ；l o g a
n l o g =n ⋅l o g M =a M a M ；l o g a
M
=l o g a M -l o g a N N
换底公式：
1l o g a M n
l o g a N =
l o g c N
l o g c a
n
l o g N =l o g N n a a
l o g a b =
1
l o g b a
4. 指数函数与对数函数
指数函数对数函数
互为反函数
y ＝a x (a >0，a ≠1) ←−−−→y =log a x (a >0，a ≠1
)
图象过点（0，1），以x 轴
为渐近线 a >1时，y ↑
图象过点（1，0），以y 轴 为渐近线
a >1时，y ↑
⎧0
⎨x =1时，y =0⎪x >1时，y >0⎩
⎧x
⎪
y =1⎨x =0时，
⎪x >0时，y >1 ⎩
0
0
⎧00
⎪
⎨x =1时，y =0⎪x >1时，y
底数互为倒数时，图象关于x 轴 对称，x>1时“底大图低”
⎧x 1⎪
⎨x =0时，y =1⎪x >0时，0
底数互为倒数时，图象关于 y 轴对称，x>0时，“底大图高”
【典型例题】
例1. 设二次函数y ＝f(x)的最小值等于4，且f(0)＝f(2)＝6，求f(x)的解析式。 解法一：设f (x ) =ax +bx +c (a >0)
2
⎧
⎪c =6⎪
由已知得⎨4a +2b +c =6
⎪4ac -b 2⎪=4⎩4a
⎧a =2⎪
解得⎨b =-4
⎪c =6⎩
∴f (x ) =2x -4x +6 解法二： f (0) =f (2) ∴抛物线有对称轴x ＝1
又二次函数有最小值4
可将f (x ) =a (x -1) +4(a >0) 代入点（0，6）坐标，得a ＝2
∴f (x ) =2(x -1) +4=2x -4x +6
例2. 若方程x 2－11x ＋（30＋a ）＝0的两根不等且均大于5，求实数a 的取值范围。 解：（法一）：设f (x ) =x -11x +(30+a )
2
2
2
2
2
⎧∆=112-4(30+a ) >0
⎪
1⎪-11
由题意有⎨->5⇒0
4⎪2⨯1
2
⎪f (5) =5-11⨯5+30+a >0⎩
（法二）：令x =t +5，方程(t +5) -11(t +5) +30+a =0 即t -t +a =0，只要有两个不相等正根即可
2
2
⎧∆>0
1⎪
因此有⎨x 1+x 2>0⇒0
4⎪x ⋅x >0
⎩12
例3. 设集合A ＝{(x，y)|y＝x 2＋ax ＋2}，B ＝{(x，y) ｜y ＝x ＋1，0≤x ≤2}，A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。 解：（分析：集合的元素是曲线上的点（x ，y ），A ∩B ≠φ，即曲线与线段有交点）
⎧y =x +1(0≤x ≤2) 2
由⎨⇒x +ax +2=x +12
⎩y =x +ax +2
即x +(a -1) x +1=0(0≤x ≤2)
2
即x +(a -1) x +1=0在[0，2]上有实根
2
令f (x ) =x +(a -1) x +1
2
⎧∆≥0
⎪1-a ⎪≤2⎧f (0) >0⎪0≤
则由（有两个根）⎨或(仅有1个根) ⎨2
⎩f (2) 0
⎪⎪⎩f (2) =2a +3≥0
33⇒-≤a ≤-1或a
22
∴a ≤-1
点评：对于方程x 2＋（a －1）x ＋1＝0在［0，2］上有实根的问题，可考虑分离参数的方法，得到
a -1=-x -
11=-(x +) x x
0≤x ≤2，又x =0时，A ⋂B =∅
∴0
11
≥2，-(x +) ≤-2x x
1
∴a -1=-(x +) ≤-2
x
1
a ≤-1当且仅当x =，即x =1时“=”成立
x
∴a ≤-1时，A ⋂B ≠∅
例4. 函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间［0，1］上有最大值2，求实数a 的值。 解： f (x ) =-(x -a ) +a -a +1
2
2
抛物线的对称轴为x ＝a
（区间定，轴动的问题，根据对称轴的位置讨论） （1）当x ＝a
y 2
m a x =f (a ) ，令f (a ) =a -a +1=2
即a 2，a
-a -1=0=
1±2∉[0，1]，无解
（3）当x ＝a>1时，y 在［0，1］上为增函数 y m a x =f (1)
令f (1) =-12
+2a ⋅1+1-a =2 ∴a =2（符合a >1）
综上，a ＝－1或a ＝2
考虑：f(x)＝x 2＋2x －1在区间［t ，t+1］上的最小值是g(t)。 （3）则g(t)＝？并求g(t)
1|x |
例5. 已知函数y ＝a |x|
（a>0且a ≠1）的图象如图，则函数
y =(a ) 的图象是（
）
分析：由图象可知a>1
1
∴y =() |x |的图象是D
a
∴0
1
已知g (x ) =() x (x >0) ，而f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x ) =g (x ),
2 例6.
则f(x)的表达式为___________________ 解：设x0
1
∴f (-x ) =() -x =2x
2
又f(x)为奇函数
∴-f (x ) =2，∴f (x ) =-2，及f (0) =0
x
x
⎧1x
⎪(2) (x >0) ⎪
∴f (x ) =⎨0(x =0)
⎪-2x (x
注：若f (x ) 为奇函数，且x ∈D ，则f (0) =0。
例7. 已知f (x ) =log a (a -1)(a >0且a ≠1) （1）求f(x)的定义域； （2）讨论f(x)的单调性；
（3）当a 取何值时图象在y 轴左侧； 解：（1）由a -1>0⇒a >1 ∴当a >1时，定义域为(0，+∞) 当0
a >1时，x ∈(0，+∞) ，u ↑，log a u ↑，∴y ↑ 00⇒a >1⇒0
例8. 若f (x ) =x -x +b ，且f (log2a ) =b ，log 2[f (a )]=2(a ≠1) （1）求f (log2x ) 的最小值及对应的x 值；
（2）x 取何值时，f (log2x ) >f (1) 且log 2[f (x )]
2
2x
x
x x
x x
g a ) =l o g 2a -l o g 2a +b =b ∴f (l o 2
2a -l o g 2a =0 ∴l o g
2
2
2a =1，∴a =2 又a ≠1，∴l o g
2f (a )]=log 2(a -a +b ) =2 又l o g[
2
∴a -a +b =2，∴b =4-a +a =4-2+2=2 ∴f (x ) =x -x +2
2
2222
1272
则f (l o 2g x ) =l o g x -l o g x +2=(l o g x -) +222
24
17
当log 2x =即x =2时，f (log2x ) 有最小值
24
（2）由于f(1)＝2，由已知，得
2
⎧⎪l o g 2x -l o g 2x +2>2⎨2⎪l o g(x -x +2)
⎧⎧02⎪l o g 2x 1⇒⎨⇒⎨2
⎪0
∴0
例9. 对于函数f(x)，若存在x 0∈R ，使f(x0) ＝x 0成立，则称x 0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax 2＋（b ＋1）x ＋（b －1）（a ≠0）
（1）当a ＝1，b ＝－2时，求函数f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b ，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y ＝f(x)图象上A 、B 两点的横坐标是函数f(x)的不动
点，且A 、B 两点关于直线y =kx +
12a 2+1
对称，求b 的最小值。
2
（1）当a =1，b =-2时，f (x ) =x -x -3 解：
由题意得x -x -3=x ，得x 1=-1，x 2=3 ∴当a =1，b =-2时，f (x ) 的两个不动点为－1，3
（2） f (x ) =ax +(b +1) x +(b -1)(a ≠0) 恒有两个不动点 ∴x =ax +(b +1) x +(b -1)(a ≠0) 恒有两个相异的实根
2得∆=b -4ab +4a >0(b ∈R ) 恒成立
2
2
2
于是∆' =(4a ) -16a 2
故当b ∈R ，f (x ) 恒有两个相异的不动点时，a 的取值范围为0
∴k =-1
点A 、B 关于直线y =kx +
12a 2+1
对称
x
设AB 的中点，为M （x’，y’）
x 1，x 2是方程ax +bx +(b -1) =0的两个根
2
x 1+x 2b
=-22a
b b 1
于是M (－，-) 在直线y =-x +2上
2a 2a 2a +1
b b 1得-=+2
2a 2a 2a +1
a 1
即b =-2=-
2a +1
2a +
a
1
a >0，∴2a +≥2a
∴x ' =y ' =
当且仅当2a =
12，即a =∈(0，1) 时取等号a 2
故b ≥-
12=-
24
24
∴b 的最小值为-
点评：本题主要考查二次函数及其图象，一元二次方程以及不等式的综合应用，同时借助于不变量思想，以不动点为载体，蕴含着“及时定义→及时解答”的试题结构特征，对思维能
力有较高要求。
【模拟试题】
一. 选择题
1. 已知函数y =(m -1) x 2
-mx -m 的图象，如图，则m 的取值范围是（ ）
A.
m
45
B.
0
45
C. m
D. 0
2. 已知函数
y =ax 2
+bx +c ，如果a>b>c且a +b +c =0，则它的图象可能是（
3. 如果二次函数
f (x ) =x 2
+bx +c 对任意实数x 都有f (1+x ) =f (-x ) ，那么（） ）
A. f (-2)
2
B. f (0)
4. 函数y =x -2x +3在区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） A. [1，＋∞) C. (-∞，2]
B. ［0，2］ D. ［1，2］
2
2
22 5. 设x 1，x 2是方程x -2kx +1-k =0（k ∈R ）的两个实根，则x 1+x 2的最小值是（ ）
A. －2
2
B. 0
2
C. 1 D. 2
6. 若方程x -2x +lg(2a -a ) =0两根异号，则（ ）
11
a ∈(-，0) ⋃(，1)
22 A. 1a ∈(-，1)
2 B. 1
a ∈(-，0)
2 C. 1a ∈(，1)
2 D.
7. 如图是指数函数①y =a ；②y =b ；③y =c ；④y =d 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ） A. a
C. 1
B. b
x
x
x
x
5-6-6-
a =() 2，b =() 3，c =() 2
355，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） 8. 若
A. a
C. a
B. b111
-x
y =a 9. 当a>1时，在同一坐标系中，函数与y =log a x 的图象是（ ）
x
y =f (2) 的定义域是［1，2］ 10. 已知函数，则函数f [log2x ]的定义域是（ ）
A. ［2，4］
C. ［0，1］ B. ［4，16］ D. ［1，2］
1
f (x ) =() x 2
2，且g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y =x 对称，则g (x ) 是 11. 已知函数
（ ）
A. 奇函数，且在（0，+∞）上递减 B. 偶函数，且在（0，+∞）上递增 C. 奇函数，且在（-∞，0）上递减 D. 偶函数，且在（-∞，0）上递增
二. 填空题
12. 已知
f (x ) =x 2+2mx +m 2-
13m -22，当x ∈(0，+∞) 时，恒有f (x ) >0，则m 的
取值范围是________________
⎧f (0) >0
⎪
⎨2m -
13. 求值
（1）log 273=_________
log 4
（2） （3）5
9
3
=
2_________
=_________
63
|log12|
5
（4）已知log a 27=2，则log =_________
2x
y =(a -1) 14. 函数是减函数，则a 的取值范围是_________
15. 若
log a
2
2
x
16. 函数y =a
-3x +2
(a >1) 的单调递增区间是_________；单调递减区间是_________；值域
是_________
三. 解答题
17. 已知f (x ) =log a |x -2|在区间（-2，0）上是减函数，求f(x)的增区间。
2
解：设u =|x -2|,x ∈R 且x ≠±
2
在（-2，0）上y ↓，又u ↑
a u ↓，∴0
在x ∈(-∞，-2) 上，u ↓又log a u ↓，∴y ↑ 在x ∈[0，) 上，____________________ 在x ∈(，+∞) 上，____________________ ∴递增区间为：_______________
18. 已知常数a>1，变量x ，y 有关系：3log x a +log a x -log x y =3 （1）若x =a (t ≠0) ，试以a ，t 表示y ；
（2）若t 在［1，+∞）内变化时，y 有最小值8，求此时a 和x 的值各为多少？
19. 对于函数f (x ) ，若存在x 0∈R ，使f (x 0) =x 0成立，则称点（x 0，x 0）为函数f (x ) 的不动点
2f (x ) =ax +bx -b (a ≠0) 有不动点（1，1）和（－3，－3） （1）已知函数，求a ，b 的
t
值。
（2）若对于任意实数b ，函数f (x ) =ax +bx -b 总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围。
（3）若定义在实数集R 上的奇函数g (x ) 存（有限的）n 个不动点，求证n 必为奇数。
2
【试题答案】
1. B
7. B 2. D 8. C 3. C 9. B 4. D 10. B 5. C 11. D 6. A
12. m 32
111- 13. （1）3；（2）2；（3）21；（4）2
14. (-2，1) ⋃(1，2)
15. 013
331-[，+∞) (-∞，) 2，[a 4，+∞) 16. 2，
17. u ↓，又log a u ↓，∴y ↑；u ↑又log a u ↓，∴y ↓；
(-∞，-2) ，[0，2)
t t x =a (t ≠0) y =a 18. 解：（1）将代入原式，整理得2-3t +3(t ≠0)
y =a 33(t -) 2+24
33∴u =(t -) 2+24 （2） a >1，
取最小值时，y 取最小值
t ∈[1，+∞)
∴t =33u min =2时，4
3
4 ∴y m i n =a
由题意a 3
4=8，得a =16，x =a =16=64
2t 32 19. 解：（1）由不动点定义有f (x ) -x =0，∴ax +(b -1) x -b =0
把x ＝1代入得a ＝1，把a ＝1，x ＝－3代入得b ＝3
（2）与例9（2）相同，0
（3）证明： g (x ) 是R 上的奇函数，∴g (-0) =-g (0)
∴g (0) =0，∴(0，0) 是g (x ) 的一个不动点
若有异于（0，0）点的不动点（x 0，x 0），则g (x 0) =x 0
又g (-x 0) =-g (x 0) =-x 0，∴(-x 0，-x 0) 也是g (x ) 的不动点
∴g (x ) 的有限个不动点除原点处，都是成对出现的，有2k 个(k ∈z ) ，加上原点，共有n ＝2k ＋1个，∴n 为奇数