有界闭集上连续函数的性质及函数介值性与
连续性间的联系
邵琳华
(绍兴文理学院 数学系 浙江绍兴312000)
摘要：本文把闭区间上连续函数的重要性质推广到度量空间有界闭集上的连续函数，研究了函数介值性与连续性之间的关系．
关键词：有界闭集；收敛子序列；有限子族覆盖；介值性．
一、引言和结果
在学习一元函数的时候，数学分析教材中着重介绍了闭区间上连续函数的重要性质：有界性、最值性、介值性和一致连续性．那么在度量空间有界闭集上的连续函数是否也具有这四个性质呢？通过对度量空间有界闭集上连续函数的研究发现，它只具有有界性、最值性和一致连续性，没有介值性．（在正文的第二部分中将给出详细证明）．那么，在度量空间中具有何种性质的连续函数才具有介值性．（这只在文章中做简单说明），以及本文研究的第二个重点，具有介值性的函数追加哪些条件后，会成为连续函数，（在正文的第三部分会举出几个相关命题及相应证明）．
本文的主要结果是：
1、有界闭集上连续函数的性质：
[有界闭集定理] 设f (x )是有界闭集E ⊂R 上的连续函数，则 f (x )在E 上有界，即m
f (E )是有界闭集．
[最大值最小值定理] 设f (x )是有界闭集E ⊂R 上的连续函数， 则f (x )在E 上有最m
大值与最小值．
[一致连续性定理] 设f (x )是有界闭集E ⊂R 上的连续函数，则f (x )在E 上一致连m
续．
2、函数介值性与连续性之间的一些关系：
命题1、设单调函数f (x )在[a , b ]上具有介值性，则f (x )在[a , b ]上连续．
命题2、 设函数f (x )在区间I 的任意子区间上满足介值性，并对每一值只取一次，则f (x )在I 上连续．
命题3、设函数f (x )在(a , b )内有定义，且具有介值性，并且一对一的（即若x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2)）．则f (x )在(a , b )上连续．
命题4、设函数f (x )定义于R 上，且具有介值性，又对任意有理数r ，集合1
E r ={x :f (x )=r }是闭集，则f (x )在R 1上连续．
命题5、设函数f (x )在[a , b ]上满足介值性，且在(a , b )内可导，导函数f
有界，则f (x )在[a , b ]上连续．
' (x )在(a , b )上
二、度量空间有界闭集上连续函数性质的证明
下面我们不加证明地给出两个著名定理，它们在证明本文的结果时扮演着重要的角色．
[Bolzano-weierstrass定理] 设{x n }是R 中点的有界序列，则{x n }有收敛的子序列． m
[Hieine-Borel 有限覆盖定理] 设E 是R 中的有界闭集，则E 的任何开覆盖都有有限的子覆盖．
有上述两个著名定理，我们就很容易得到如下三个定理的证明了．
[有界闭集定理]证法一. 用反证法，假设f 在E 上无界，那么对任何n ∈N 都存在m x n ∈E ，使得f (x n )>n . 因为E 是有界集，所以点列{x n }⊂E 也是有界的．由Bolzano-Weierstrass 定理知，存在{x n } 的收敛子序列x n k ．设x n k →x 0，则x 0∈E （因为E 是闭集），又因为函数f 在点x 0∈E 连续，所以lim f x n k =f (x 0)，这与f x n k k →∞{}()(>n k 矛盾，说明f 在E 上有界的。
下证f (E )的闭集性，即若y 0 是f (E )的任一聚点，欲证y 0∈f (E )
设y n ∈f (E )，lim y n =y 0，且x n ∈E ，f (x n )=y n , 则存在与收敛子列n →∞
{x }⊂{x }, lim x n k n k →∞n k =x 0∈E ，且由于f 在点x 0连续，从而有
y 0=lim y n k =lim f x n k =f (x 0)∈f (E )， k →∞k →∞
m ()这就证明了f (E )⊂R 是有界闭集．
证法二. 因为f 在E 上连续，故对E 上每个x ′，都存在包含x ′的领域U (x ′) ，对一切x ∈U (x ′) ∩E ，都有f (x )
明f 在E 上界，证明f (E )是闭集同证法一．
[最大值最小值定理]证法一. 为证明f 在E 上有最大值，设M =Supf (E ), 需证必有一点x ′∈E , 使f (x ′)=M ．
如若不然，对任意x ∈E , 都有M −f (x )>0. 考察E 上的连续正值函数F (x )=1, 由有界闭集定理知，F 在E 上有界，又因为f 不能在E 上达到上确界M −f x n →∞n →∞M ，所有存在收敛点列{x n }⊂E , 使lim f (x n )=M , 于是有lim F (x n )=+∞, 这与F 在
E 上有界的结论相矛盾，从而f 在E 上有最大值．
证法二. 设M =Supf (E ), 需证必有一点x ′∈E ，使f (x ′)=M . 若不然，对任意x ∈E ，都有f (x )
1≤i ≤n 能覆盖E ：E ⊂U (x 1)∪L ∪U (x n ). 记A =max {f (x i )}, 由于E 中的各个x 属于某邻域
1(f (x i )+M )≤1(A +M ). 故1(A +M )是f (x )在E 上的一个上222
1界，但这是不可能的，因为(A +M )
类似地，存在x ′′∈E ，使得x ′′处f (x )到达最小值.
[一致连续性定理]证明：用反证法，假设f 在E 不是一致连续的，那么对某个ε>0，
不论δn =11′) ≥ε，因为′怎样小，总存在x n , x ′∈E , 使得, f (x n ) −f (x n x x −
k {x n }⊂E 是有界序列，它必有收敛子序列{x n
′k −x 0≤x ′n −x n k +x n k −x 0
′f 在x 0点连续， 所以lim f (x n k ) =lim f (x ′n k ) =f (x 0) ，但这与f (x n k ) −f (x n k ) ≥ε矛k →∞k →∞
盾，故f 在E 上是一致连续的．
三、函数介值性与连续性之间的联系
从上内容中可以看出在度量空间有界闭集上的连续函数有有界闭集性，最值性和一致连续性，但是它不具有介值性，下面举例说明。
由有限个孤立点组成的函数是有界闭集上的连续函数，显然它没有介值性。
同样地，具有介值性的函数未必是连续函数，如定义在区间[0, 2]上的分段函数
⎧x , x ∈[0, 1)f (x ) =⎨． 但它显然不是连续函数． ⎩x −1, x ∈[1, 2]
这样自然的会问在度量空间中具有何种性质的连续函数才具有介值性，要回答这个问题则要涉及到度量空间中的连通性问题，在本文中不作介绍，可以参阅参考文献［2］．
下面我们着重来解决具有介值性的函数追加了哪些条件后，会成为连续函数，即函数介值性与连续性之间存在着哪些关系．
命题1、设单调函数f (x )在[a , b ]上具有介值性，则f (x )在[a , b ]上连续．
证明：不妨设f (x ) 单调递增，任取x 0∈(a , b ) ．由f 单调知f (x 0−0), f (x 0+0) 存在，若f (x ) 在x 0不连续，则f (x 0−0) ≠f (x 0), f (x 0+0) ≠f (x 0) 中至少有一个成立，不妨设f (x 0) ≠f (x 0+0), 则有f (x 0)
[a , b ]上有介值性相矛盾，故f (x ) 在x 0处连续，类似可得f (x ) 在端点也连续．所以f (x ) 在
[a , b ]上连续．
命题2、 设函数f (x )在区间I 的任意子区间上满足介值性，并对每一值只取一次，则f (x )在I 上连续．
证明：若存在x 0∈I , f (x ) 在x 0处不连续，则存在ε0>0，以及点列{x n }⊂I , x n →x 0, n →∞．但
对无穷个x n 成立， f (x n ) −f (x 0) ≥ε0．显然下面两个不等式中至少有一个
f (x n ) −f (x 0) ≥ε0, f (x n ) −f (x 0) ≤−ε0，
不妨设对所有x n , 第一个不等式成立，有f (x n ) ≥f (x 0) +ε0>f (x 0) , 取任意c ∈(f (x 0), f (x n )), I i 是I 的的任意子区间(i =1, 2, L ) , 则有
f (x 0)
由题设知I 中任意子区间I i 满足介值性，对每一个n ,存在介于x n 和x 0之间的ξn , 满足f (ξn ) =c ,与每一值只取一次相矛盾，所以f (x ) I 上连续．
命题3、设函数f (x )在(a , b )内有定义，且具有介值性，并且一对一的（即若x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2)）．则f (x )在(a , b )上连续．
证明：先证f (x ) 在(a , b ) 上严格单调，由于f (x ) 是一对一的，假若f (x ) 不严格单调，则必存在x 1
f (x 1) f (x 3) 或f (x 1) >f (x 2), f (x 2)
不妨设第一种情况存在（类似可以证明第二种），任取实数M ，使得max {f (x 1), f (x 3) }
命题4、设函数f (x )定义于R 上，且具有介值性，又对任意有理数r ，集合1
E r ={x :f (x )=r }是闭集，则f (x )在R 1上连续．
证明：若存在x 0∈R , f (x ) 在x 0处不连续，则存在ε0>0，以及点列{x n }⊂R ′，1
x n →x 0, n →∞，f (x n ) −f (x 0) ≥ε0，显然下面两个不等式至少有一个对无穷多个n 成立：
f (x n ) −f (x 0) ≥ε0, f (x n ) −f (x 0) ≤−ε0．
不妨设对所有的n ，第二个不等式成立，取有理数r 满足f (x 0) −ε0
且在(a , b )内可导，导函数f 命题5、设函数f (x )在[a , b ]上满足介值性，
有界，则f (x )在[a , b ]上连续．
证明：若存在x 0∈[a , b ]，f (x )在x 0处不连续，则存在' (x )在(a , b )上ε0>0，以及点列{x n }⊂[a , b ],x n →x 0, n →∞,
无穷多个x n 成立： f (x n ) −f (x 0) ≥ε0， 虽然下面两个不等式至少有一个对
f (x n ) −f (x 0) ≥ε0, f (x n ) −f (x 0) ≤−ε0
不妨设对所有x n ，第一个不等式成立，取任意实数c 满足
f (x 0)
由函数f (x ) 的介值性可知，对每一个n ，存在介于x n ，x 0之间存在ξn 满足f (ξn ) =c ，又由于f (x ) 在(a , b ) 内可导，应用Lagrange 中值定理，在介于ξn ，x 0之间存在ηn ，使得f (ξn ) =f (x 0) +f ′(ηn )(ξn −x 0) ，由题意知f ′(x ) 在(a , b ) 上有界，则存在M >0, f ' (x ) ≤M ，有
f (ξn ) −f (x 0) =f ′(ηn )(ξn −x 0) ≤M ξn −x 0
故f (ξn ) =f (x 0) =c ，与f (x 0)
最后，作者衷心感谢汪文珑教授的指导．
参考文献：
[1] 汪文珑，教学分析选讲[M]，绍兴：绍兴文理学院数学系，2002.
[2] 薛昌兴编，实变函数与泛函分析（下册）[M], 北京：高等教育出版社 1993.
[3] G. 克莱鲍尔（美），数学分析[M]，上海：上海科学技术出版社，1981.
[4] 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法[M]，北京：高等教育出版社，1993.
[5] 华东师范大学数学系编，数学分析(上册)[M], 北京：高等教育出版社，1993.
The properties of continuous function in closed set and
the relations for continuous and intermediate value
Shao Lin-Hua
(Dept of Math. Shaoxing College of Arts and Science, Shaoxing, Zhejiang, 312000)
Abstract : This paper generalized important properties of continuous function in a closed interval to continuous function on metric space, and study some relations for continuous intermediate value property of function.
Key words: bounded closed set; convergence subsequence; finite subset covering; intermediate value property.
有界闭集上连续函数的性质及函数介值性与
连续性间的联系
邵琳华
(绍兴文理学院 数学系 浙江绍兴312000)
摘要：本文把闭区间上连续函数的重要性质推广到度量空间有界闭集上的连续函数，研究了函数介值性与连续性之间的关系．
关键词：有界闭集；收敛子序列；有限子族覆盖；介值性．
一、引言和结果
在学习一元函数的时候，数学分析教材中着重介绍了闭区间上连续函数的重要性质：有界性、最值性、介值性和一致连续性．那么在度量空间有界闭集上的连续函数是否也具有这四个性质呢？通过对度量空间有界闭集上连续函数的研究发现，它只具有有界性、最值性和一致连续性，没有介值性．（在正文的第二部分中将给出详细证明）．那么，在度量空间中具有何种性质的连续函数才具有介值性．（这只在文章中做简单说明），以及本文研究的第二个重点，具有介值性的函数追加哪些条件后，会成为连续函数，（在正文的第三部分会举出几个相关命题及相应证明）．
本文的主要结果是：
1、有界闭集上连续函数的性质：
[有界闭集定理] 设f (x )是有界闭集E ⊂R 上的连续函数，则 f (x )在E 上有界，即m
f (E )是有界闭集．
[最大值最小值定理] 设f (x )是有界闭集E ⊂R 上的连续函数， 则f (x )在E 上有最m
大值与最小值．
[一致连续性定理] 设f (x )是有界闭集E ⊂R 上的连续函数，则f (x )在E 上一致连m
续．
2、函数介值性与连续性之间的一些关系：
命题1、设单调函数f (x )在[a , b ]上具有介值性，则f (x )在[a , b ]上连续．
命题2、 设函数f (x )在区间I 的任意子区间上满足介值性，并对每一值只取一次，则f (x )在I 上连续．
命题3、设函数f (x )在(a , b )内有定义，且具有介值性，并且一对一的（即若x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2)）．则f (x )在(a , b )上连续．
命题4、设函数f (x )定义于R 上，且具有介值性，又对任意有理数r ，集合1
E r ={x :f (x )=r }是闭集，则f (x )在R 1上连续．
命题5、设函数f (x )在[a , b ]上满足介值性，且在(a , b )内可导，导函数f
有界，则f (x )在[a , b ]上连续．
' (x )在(a , b )上
二、度量空间有界闭集上连续函数性质的证明
下面我们不加证明地给出两个著名定理，它们在证明本文的结果时扮演着重要的角色．
[Bolzano-weierstrass定理] 设{x n }是R 中点的有界序列，则{x n }有收敛的子序列． m
[Hieine-Borel 有限覆盖定理] 设E 是R 中的有界闭集，则E 的任何开覆盖都有有限的子覆盖．
有上述两个著名定理，我们就很容易得到如下三个定理的证明了．
[有界闭集定理]证法一. 用反证法，假设f 在E 上无界，那么对任何n ∈N 都存在m x n ∈E ，使得f (x n )>n . 因为E 是有界集，所以点列{x n }⊂E 也是有界的．由Bolzano-Weierstrass 定理知，存在{x n } 的收敛子序列x n k ．设x n k →x 0，则x 0∈E （因为E 是闭集），又因为函数f 在点x 0∈E 连续，所以lim f x n k =f (x 0)，这与f x n k k →∞{}()(>n k 矛盾，说明f 在E 上有界的。
下证f (E )的闭集性，即若y 0 是f (E )的任一聚点，欲证y 0∈f (E )
设y n ∈f (E )，lim y n =y 0，且x n ∈E ，f (x n )=y n , 则存在与收敛子列n →∞
{x }⊂{x }, lim x n k n k →∞n k =x 0∈E ，且由于f 在点x 0连续，从而有
y 0=lim y n k =lim f x n k =f (x 0)∈f (E )， k →∞k →∞
m ()这就证明了f (E )⊂R 是有界闭集．
证法二. 因为f 在E 上连续，故对E 上每个x ′，都存在包含x ′的领域U (x ′) ，对一切x ∈U (x ′) ∩E ，都有f (x )
明f 在E 上界，证明f (E )是闭集同证法一．
[最大值最小值定理]证法一. 为证明f 在E 上有最大值，设M =Supf (E ), 需证必有一点x ′∈E , 使f (x ′)=M ．
如若不然，对任意x ∈E , 都有M −f (x )>0. 考察E 上的连续正值函数F (x )=1, 由有界闭集定理知，F 在E 上有界，又因为f 不能在E 上达到上确界M −f x n →∞n →∞M ，所有存在收敛点列{x n }⊂E , 使lim f (x n )=M , 于是有lim F (x n )=+∞, 这与F 在
E 上有界的结论相矛盾，从而f 在E 上有最大值．
证法二. 设M =Supf (E ), 需证必有一点x ′∈E ，使f (x ′)=M . 若不然，对任意x ∈E ，都有f (x )
1≤i ≤n 能覆盖E ：E ⊂U (x 1)∪L ∪U (x n ). 记A =max {f (x i )}, 由于E 中的各个x 属于某邻域
1(f (x i )+M )≤1(A +M ). 故1(A +M )是f (x )在E 上的一个上222
1界，但这是不可能的，因为(A +M )
类似地，存在x ′′∈E ，使得x ′′处f (x )到达最小值.
[一致连续性定理]证明：用反证法，假设f 在E 不是一致连续的，那么对某个ε>0，
不论δn =11′) ≥ε，因为′怎样小，总存在x n , x ′∈E , 使得, f (x n ) −f (x n x x −
k {x n }⊂E 是有界序列，它必有收敛子序列{x n
′k −x 0≤x ′n −x n k +x n k −x 0
′f 在x 0点连续， 所以lim f (x n k ) =lim f (x ′n k ) =f (x 0) ，但这与f (x n k ) −f (x n k ) ≥ε矛k →∞k →∞
盾，故f 在E 上是一致连续的．
三、函数介值性与连续性之间的联系
从上内容中可以看出在度量空间有界闭集上的连续函数有有界闭集性，最值性和一致连续性，但是它不具有介值性，下面举例说明。
由有限个孤立点组成的函数是有界闭集上的连续函数，显然它没有介值性。
同样地，具有介值性的函数未必是连续函数，如定义在区间[0, 2]上的分段函数
⎧x , x ∈[0, 1)f (x ) =⎨． 但它显然不是连续函数． ⎩x −1, x ∈[1, 2]
这样自然的会问在度量空间中具有何种性质的连续函数才具有介值性，要回答这个问题则要涉及到度量空间中的连通性问题，在本文中不作介绍，可以参阅参考文献［2］．
下面我们着重来解决具有介值性的函数追加了哪些条件后，会成为连续函数，即函数介值性与连续性之间存在着哪些关系．
命题1、设单调函数f (x )在[a , b ]上具有介值性，则f (x )在[a , b ]上连续．
证明：不妨设f (x ) 单调递增，任取x 0∈(a , b ) ．由f 单调知f (x 0−0), f (x 0+0) 存在，若f (x ) 在x 0不连续，则f (x 0−0) ≠f (x 0), f (x 0+0) ≠f (x 0) 中至少有一个成立，不妨设f (x 0) ≠f (x 0+0), 则有f (x 0)
[a , b ]上有介值性相矛盾，故f (x ) 在x 0处连续，类似可得f (x ) 在端点也连续．所以f (x ) 在
[a , b ]上连续．
命题2、 设函数f (x )在区间I 的任意子区间上满足介值性，并对每一值只取一次，则f (x )在I 上连续．
证明：若存在x 0∈I , f (x ) 在x 0处不连续，则存在ε0>0，以及点列{x n }⊂I , x n →x 0, n →∞．但
对无穷个x n 成立， f (x n ) −f (x 0) ≥ε0．显然下面两个不等式中至少有一个
f (x n ) −f (x 0) ≥ε0, f (x n ) −f (x 0) ≤−ε0，
不妨设对所有x n , 第一个不等式成立，有f (x n ) ≥f (x 0) +ε0>f (x 0) , 取任意c ∈(f (x 0), f (x n )), I i 是I 的的任意子区间(i =1, 2, L ) , 则有
f (x 0)
由题设知I 中任意子区间I i 满足介值性，对每一个n ,存在介于x n 和x 0之间的ξn , 满足f (ξn ) =c ,与每一值只取一次相矛盾，所以f (x ) I 上连续．
命题3、设函数f (x )在(a , b )内有定义，且具有介值性，并且一对一的（即若x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2)）．则f (x )在(a , b )上连续．
证明：先证f (x ) 在(a , b ) 上严格单调，由于f (x ) 是一对一的，假若f (x ) 不严格单调，则必存在x 1
f (x 1) f (x 3) 或f (x 1) >f (x 2), f (x 2)
不妨设第一种情况存在（类似可以证明第二种），任取实数M ，使得max {f (x 1), f (x 3) }
命题4、设函数f (x )定义于R 上，且具有介值性，又对任意有理数r ，集合1
E r ={x :f (x )=r }是闭集，则f (x )在R 1上连续．
证明：若存在x 0∈R , f (x ) 在x 0处不连续，则存在ε0>0，以及点列{x n }⊂R ′，1
x n →x 0, n →∞，f (x n ) −f (x 0) ≥ε0，显然下面两个不等式至少有一个对无穷多个n 成立：
f (x n ) −f (x 0) ≥ε0, f (x n ) −f (x 0) ≤−ε0．
不妨设对所有的n ，第二个不等式成立，取有理数r 满足f (x 0) −ε0
且在(a , b )内可导，导函数f 命题5、设函数f (x )在[a , b ]上满足介值性，
有界，则f (x )在[a , b ]上连续．
证明：若存在x 0∈[a , b ]，f (x )在x 0处不连续，则存在' (x )在(a , b )上ε0>0，以及点列{x n }⊂[a , b ],x n →x 0, n →∞,
无穷多个x n 成立： f (x n ) −f (x 0) ≥ε0， 虽然下面两个不等式至少有一个对
f (x n ) −f (x 0) ≥ε0, f (x n ) −f (x 0) ≤−ε0
不妨设对所有x n ，第一个不等式成立，取任意实数c 满足
f (x 0)
由函数f (x ) 的介值性可知，对每一个n ，存在介于x n ，x 0之间存在ξn 满足f (ξn ) =c ，又由于f (x ) 在(a , b ) 内可导，应用Lagrange 中值定理，在介于ξn ，x 0之间存在ηn ，使得f (ξn ) =f (x 0) +f ′(ηn )(ξn −x 0) ，由题意知f ′(x ) 在(a , b ) 上有界，则存在M >0, f ' (x ) ≤M ，有
f (ξn ) −f (x 0) =f ′(ηn )(ξn −x 0) ≤M ξn −x 0
故f (ξn ) =f (x 0) =c ，与f (x 0)
最后，作者衷心感谢汪文珑教授的指导．
参考文献：
[1] 汪文珑，教学分析选讲[M]，绍兴：绍兴文理学院数学系，2002.
[2] 薛昌兴编，实变函数与泛函分析（下册）[M], 北京：高等教育出版社 1993.
[3] G. 克莱鲍尔（美），数学分析[M]，上海：上海科学技术出版社，1981.
[4] 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法[M]，北京：高等教育出版社，1993.
[5] 华东师范大学数学系编，数学分析(上册)[M], 北京：高等教育出版社，1993.
The properties of continuous function in closed set and
the relations for continuous and intermediate value
Shao Lin-Hua
(Dept of Math. Shaoxing College of Arts and Science, Shaoxing, Zhejiang, 312000)
Abstract : This paper generalized important properties of continuous function in a closed interval to continuous function on metric space, and study some relations for continuous intermediate value property of function.
Key words: bounded closed set; convergence subsequence; finite subset covering; intermediate value property.