第六章 地下洞室围岩应力
与围岩压力计算 第一节 概述
一、地下洞室的定义与分类
1、定义: 地下洞室(underground cavity) 是指人工开挖或天然存在于岩土体中作为各种用途的地下空间。 2、地下洞室的分类
按用途：矿山巷道（井）、交通隧道、水工隧道、地下厂房（仓库）、地下军事工程
按洞壁受压情况：有压洞室、无压洞室 按断面形状：圆形、矩形、城门洞形、椭圆形 按与水平面关系：水平洞室、斜洞、垂直洞室（井） 按介质类型：岩石洞室、土洞 二、洞室围岩的力学问题
（1）围岩应力重分布问题——计算重分布应力
1）天然应力:人类工程活动之前存在于岩体中的应力。 又称地应力、初始应力、一次应力等。
2）重分布应力:由于工程活动改变了的岩体中的应力。又称二次分布应力等。
地下开挖破坏了岩体天然应力的相对平衡状态，洞室周边岩体将向开挖空间松胀变形，使围岩中的应力产生重分布作用，形成新的应力状态，称为重分布应力状态。
没有 天然应力， 工程活动
开挖洞室后的应立场，为重分布应力，与天然应力有所改变
在附近开挖第二个洞室，则视前一个洞室开挖后的应力场为天然应力，第二个洞室开挖后的应力场为重分布应力
（2）围岩变形与破坏问题——计算位移、确定破坏范围
在重分布应力作用下，洞室围岩将向洞内变形位移。如果围岩重分布应力超过了岩体的承受能力，围岩将产生破坏。 （3）围岩压力问题——计算围岩压力
围岩变形破坏将给地下洞室的稳定性带来危害，因而，需对围岩进行支护、衬砌，变形破坏的围岩将对支衬结构施加一定的荷载，称为围岩压力(或称山岩压力、地压等) 。
（4）有压洞室围岩抗力问题——计算围岩抗力
在有压洞室中，作用有很高的内水压力，并通过衬砌或洞壁传递给围岩，这时围岩将产生一个反力，称为围岩抗力。
第二节 围岩重分布应力计算
一、围岩重分布应力的概念
围岩：洞室开挖后，应力重分布影响范围内的岩体。 围岩（重分布）应力：应力重分布影响范围内岩体的应力。 围岩应力与围岩性质、洞形、洞室受外力状态有关。 围岩应力计算包括以下步骤：
①开挖前岩体天然应力状态的确定; ②开挖后围岩重分布应力的计算 ; ③支护衬砌后围岩应力状态的改善; 围岩应力计算包括以下情形： 弹性无压洞室围岩应力 塑性无压洞室围岩应力 有压洞室围岩应力 二、无压洞室围岩应力计算 1、弹性围岩应力
围岩为坚硬致密的块状岩体，当天然应力大约等于或小于其单轴抗压强度的一半时，围岩呈弹性变形。可近似视为各向同性、连续、均质的线弹性体（假设1），其围岩重分布应力可根据弹性力学计算。
（1）圆形洞室重分布应力的大小
如果洞室半径相对洞长很小，按平面应变问题考虑（假设2），概化为受均布压力的薄板中心小圆孔周边应力分布的计算问题。并忽略天然应力场沿洞室高度方向的变化（假设3）。可以把它看成是两个柯西课题的叠加如下图。
根据柯西课题，由σh 产生的重分布应力:
σ
σ
σh σh
根据柯西课题，由σh 产生的重分布应力:
σv 和σh 同时作用时圆形洞室围岩重分布应力：
①
引入天然应力比值系数： σh =λσV
则σv 和σh 同时作用时圆形洞室围岩重分布应力可表示为：
②
（2）圆形洞室重分布应力的特征 1）洞壁上的重分布应力
为考察洞壁上的重分布应力的特点 令：r =R 0
代入上式，得洞壁上的重分布应力为：
由上式可知，洞壁上的重分布应力具有下列特点： ① 洞壁上的τr θ＝0，σr ＝0，为单向应力状态； ② σθ大小与洞室尺寸R0无关 ；
③ 当θ=0、180°（侧壁），σθ=3σV —σh=（3—λ）σV ； ④ 当θ=90、270°（顶底），σθ=3σh —σV=（3λ—1）σV ； ⑤ 当λ＜1/3时，洞顶底将出现拉应力 ； ⑥ 当1/3＜λ＜3时，σθ为压应力；
⑦ 当λ＞3时，洞壁两侧出现拉应力，洞顶底出现较高的压应力集中；
圆形洞室洞壁切向应力σθ随角θ的变化规律：
（图中λ为天然应力比值系数，即侧压力系数 ）
2）静水压力式天然应力场中的围岩重分布应力
静水压力式天然应力场是指水平天然应力与铅直天然应力相等的应力场，即λ=1。
把λ=1（即σv =σh =σ0）代入②式，得静水压力式天然应力场中的围岩重分布应力为：
由上式可知，静水压力式天然应力场中的围岩重分布应力具有下列特点：
① 围岩内重分布应力与θ角无关，仅与R 0和σ0有关； ② 由于τ
r θ
=0，则σr ，σθ均为主应力，且σθ恒为最大主应力，σ
r
恒为最小主应力 ；
③ 当r ＝R 0(洞壁) 时，σr =0，σθ=2σ0，可知洞壁上的应力差最大，且处于单向受力状态，说明洞壁最易发生破坏
④ r 增大，σr 增大，σθ减小，都渐趋于σ0值 (见下图) ；
⑤ 在理论上，σr ，σθ要在r →∞处才达到σ0值，但实际上σr 、σ
θ
趋近于σ0的速度很快，当r=6R0时，σr 和σθ与σ0就很接近，如图;
（2）其他形状洞室重分布应力的特征 1）应力集中系数的概念
为了最有效和经济地利用地下空间，地下建筑的断面常需根据实际需要，开挖成非圆形的各种形状。但非圆形洞室的围岩应力很难用解析解表示。
由圆形洞室围岩重分布应力分析可知，重分布应力的最大值在洞壁上，且仅有σθ，因此只要洞壁围岩在重分布应力σθ的作用下不发生破坏，那么洞室内部围岩也是稳定的。
为了研究各种洞形洞壁上的重分布应力及其变化情况，引进应力集中系数的概念。
洞壁处该点天然应力的比值。
应力集中系数一般用α, β表示，其大小仅与该点的位置有关。 对于圆形洞室， 改写为：
所以，圆形洞室应力集中系数α=1-2cos 2θ，β=1+2cos 2θ 2）各种形状洞室重分布应力特点：
① 椭圆形洞室：长轴两端点应力集中最大，易引起压碎破坏；短轴两端易拉应力集中，不利于围岩稳定；
（图中N 为侧压力系数）
②各种形状洞室的角点或急拐弯处应力集中最大，如正方形或矩形洞室角点等。 ③长方形短边中点应力集中大于长边中点，而角点处应力集中最大，围岩最易失稳。
④ 当岩体中天然应力σh 和σv 相差不大时，以圆形洞室围岩应力分布最均匀，围岩稳定性最好。
⑤ 当岩体中天然应力σh 和σv 相差较大时（高地应力区），则应尽量使洞室长轴平行于最大天然应力的作用方向。
h 大
⑥ 在天然应力很大的岩体中，洞室断面应尽量采用曲线形，以避免角点上过大的应力集中。
2、塑性围岩重分布应力
地下开挖后，洞壁的应力集中最大, 当它超过围岩屈服极限时，洞壁围岩就由弹性状态转化为塑性状态，并在围岩中形成一个塑性松动圈。
随着距洞壁距离增大，径向应力σr 由零逐渐增大，应力状态由洞壁的单向应力状态逐渐转化为双向应力状态，围岩也就由塑性状态逐渐转化为弹性状态。弹性区以外则是应力基本未产生变化
的天然应力区(或称原岩应力区) 。
塑性松动圈的出现，使圈内一定范围内的应力因释放而明显降低，而最大应力集中由原来的洞壁移至塑、弹圈交界处，使弹性区的应力明显升高。
一般采用弹塑性理论求解塑性圈内的围岩重分布应力。 假设：
① 在均质、连续、各向同性的岩体中开挖一半径为a 的洞室，开挖后形成的塑性松动圈半径为R ；
②岩体天然应力为：σh=σv=σ0（即λ=1）；
③圈内岩体强度服从莫尔直线强度条件。
由ΣＦ=0，得沿r 方向的平衡方程式：
R
a
由又莫尔强度条件：
（1）
得塑性区应力：
径向应力为：
切向应力为：
剪 应力： τ r θ = 0 （因为λ=1属轴对称问题）
由图可见：
（1 ）塑性区内σθ降低了很多，硐壁上降低最多，但并不为零。 （说明岩石产生了塑性变形后 还具有一定的承载能力）； （2 ）在弹性区σθ略有升高。（这是因为在塑性区内，一部分应力 释放了，一部分应力则转嫁给弹 性区的结果）；
（3 ）σr 变化不大，在硐壁
=上 σr
σa 。
（4）塑性圈内围岩重分布应力与岩体天然应力(σ0) 无关，而取决于支护力(σa) 和岩体强度(C ，υ) 值。
（5）若弹性区边界上的径向应力为σR ，则弹性区的应力：
三、有压洞室围岩重分布应力计算
由于洞室内壁上作用有较高的内水压力，使围岩中的重分布应力更加复杂。应力变化过程如下：
• 围岩最初处于开挖后引起的重分布应力之中 • 进行支护衬砌，使围岩重分布应力得到改善
• 洞室建成运行后洞内壁作用有内水压力，使围岩中产生一个附加应力 。
内水压力引起的围岩附加应力，可用弹性厚壁筒理论来计算。 由弹性理论可推导厚壁筒内的应力计算公式：
若有压洞室半径为R 0，内水压力为pa 则有压洞室围岩重分布应力为：
有压洞室围岩重分布应力σr 和σθ由开挖以后围岩重分布应力和内水压力引起的附加应力两项组成。
上式前项为重分布应力，后项为内水压力引起的附加应力值，即：
上式表明：内水压力使围岩产生负的切向应力，即拉应力。当这个切向应力很大时，则常使围岩产生放射状裂隙。
内水压力使围岩产生附加应力的影响范围大致也为6倍洞半径。 第三节 围岩压力的类型及影响因素
前面我们讲了地下硐室的围岩应力计算及应力分布。 我们将要讨论的围岩压力与围岩应力是两个不同的概念 围岩应力：应力重分布影响范围内岩体的应力。
那么什么叫围岩压力呢？他的分布规律如何？又怎样计算围岩压力？首先来看 一、围岩压力的概念
开挖硐室
应力重分布 围岩变形、位移
重分布应力＜围岩强度时，只产生弹性变形或微量塑性变形。 重分布应力≥围岩强度时，围岩破坏（产生裂缝、滑落、滑塌） ，硐室不稳定状态（影响使用甚至完全丧失使用条件）
为了阻止围岩的过大变形和破坏，保证硐室安全稳定，往往必须对硐室进行必要的支护与衬砌———目的是防止岩石塌落和变形，所以支护与衬砌上必然要受到围岩的压力。
——作用在支护与衬砌结构上的围岩变形挤压力或坍塌岩体的重力统称围岩压力。 二、围岩压力类型：
围岩压力是由于围岩的过大变形和破坏而产生的，不同岩性、不同结构的岩体，其变形与破坏的机制不同，因而，并非所有的硐室都需要支护与衬砌。
由于硐室的支护与衬砌要消耗大量的木材，水泥及钢材、人力，直接影响工程造价。
因此，在进行设计与施工时，工程人员必须解决这样的问题 a. 硐室要不要支护与衬砌？
b. 若要，围岩对支护与衬砌的压力又多大？ 这就是所要解决的问题
不同岩性和结构的围岩，其围岩压力类型不同，所采用的评价理论和计算方法也不一样：
（1）比较坚硬完整的围岩：一般重分布应力小于弹性极限（不支护或衬砌仍能维持稳定）
重分布应力引起的弹性变形在开挖过程中就完成了，因而没有围岩压力或不显现。
有时支护或衬砌，仅是为了防止围岩风化和局部掉块。
（2）强度较低的围岩：
应力重分布 ，
为防止过大变形 支护 限制变形 围岩压力。
——围岩压力是由于应力重分布使围岩产生过大的变形所引起的，叫变形围岩压力（弹、塑性理论）。
塑
弹性圈
性圈
（3）破碎或破裂发育的围岩：当围岩应力大于岩体强度时，破碎岩
体松动塌落，直接作用于支护或衬砌。
——由塌落岩体的重量所引起的压力叫做塌落围岩压力。
岩体的重量本质上可视作为荷载（松动荷载）。（松散介质围岩压力理论）
（4）被较大结构面切割成的围岩： 开挖 围压
——大块滑落岩体的重量对支护或衬砌产生的压力叫块体滑落围岩压力（本质与塌落围岩压力相同） 。(块体极限平衡理论)
另外，冲击地压——岩爆，即岩石被挤压到超过其弹性限度时，岩体内积聚的能量突然释放所造成的岩石破坏现象。 膨胀压力——由于硐室围岩膨胀而产生的压力。
关于后两种围压，目前研究较少，尚无法进行理论计算，故本章主要讨论：形变、松动、块体滑落。 三、围岩压力的影响因素： 主要因素：
地质因素：岩性，结构（上面已经讲过）
工程因素：硐室形状，大小，支护形式，刚度，时间，埋深，施工方法等。
由上述可见，影响围岩压力的因素很多，但当前的一些围岩压力理论，常常忽略了许多的影响因素，有时是一些重要的因素，使最后结果与实际出入较大。因此，只有正确的全面的分析这些影响因素，并分清主次，才能正确的掌握围岩压力的大小大和分布特征。
第四节 弹、塑性理论计算
对于强度较低的岩石，为了防止围岩的过渡变形和破坏，对围岩设置支护和衬砌。
支护衬砌后， 对于衬砌来讲，围岩变形作用其上的压力就是围岩形变压力；支护衬砌阻止它的变形就相当于在硐壁四周给围岩一个径向推力，即衬砌对围岩的反力，从而改善了原有硐壁径向应力为等于零的状态，并使围岩中应力达到一个新的相对平衡状态。基于这种认识，我们只要求得包括硐壁在内一定范围的径向应力公式，那么，作用在支护上的围岩压力也就可求得了。
一、弹、塑性区应力条件
对
体侧压力系数λ=1 时，有：
①
h = σV
当r=a时
σ
=σ
σ=2σ-στ=0
r
a
θV
a
r θ
σr、σθ均为主应力。
可见，硐室围岩中起着决定影响的是切向应力σθ ，这里σθ ，σr 均为主应力。在一定条件（满足莫尔强度条件时）将发生塑性破坏，形成塑性区，塑性区应力为：
②
若塑性区半径为R ，弹塑性区边界上的径向应力为σR 则弹性区的应力： ③
二、R 的确定
当r ＝R 时（即在弹塑性区边界上）
（既可用弹性区应力公式，也可用塑性区公式计算σθ 和σr ）
σ有： σ ＝ σ θ 则： r ，σ r ＝r σθ
弹
塑
弹
塑
弹
＋σθ＝σr ＋σθ
弹塑塑
将②、③代入上式，得：
则有：
故：
σ
弹r
＋σθ＝2σv
弹
三、围岩压力公式：
对于弹性区边界线上任一单元，由于其位于分界线上，因而它即属于塑性区单元也属于弹性区单元。因而： 当r ＝R 时，应满足：
（塑性条件 ）
④
（弹性区应力条件 ）
由④式消去σθ得r ＝R 处径向应力：
σ=σ
R
V
(1-sin φ) -C cos φ
芬纳认为，在弹塑性区交界处内聚力C 可略去不计，故，当r ＝R 时：
σ=σ
R
V
(1-sin φ)
在塑性区有下列关系成立：
⑤
（塑性条件）
由塑性条件得： 将上式代入到⑤-1
解上式得：
利用外边界条件：当r ＝R 时 ，
σ=σ
R
V
(1-sin φ)
代入上式得积分常数为：
再代入上式得塑性区径向应力：
当塑性区半径R 给定后，利用上式即可计算塑性区任一点的σr 当r ＝a 时，即可求得洞壁处的围岩压力：
围岩压力公式（芬纳公式） 作用于洞壁上的内压力 支护结构对围岩的作用力 数值等于围岩作用于支护结构上的力——围岩压力。
可见， σa 与C 、υ、 σV 、a 有关系，R 增加， σa 降低，当R ＝a 时无塑性区， σa 最大为：
σ=σ
a
V
(1-sin φ)
芬纳公式是推导较早，且目前应用较广的公式，但该公式有个不严密的地方，就是在推导过程中曾一度忽略了弹塑性边界上的内聚力C 。若考虑边界上的C 的影响，则通过类似的推导，可以求的修正
—————修正后的芬纳公式
上式可见，随R 增加， σa 降低，当R ＝a 时无塑性区， σa 最大为：
σ=σ
a
V
(1-sin φ) -C cos φ
说明：在芬纳公式或修正的芬纳公式计算时，必须知道R 的大小，R 值需通过实测或假定而得，因此，具体运用这些公式尚有一定的问题，可用硐室周边的位移表示围岩压力 。
作业：
在中等坚硬的石灰岩中，开挖一埋深H=100m，半径a=3m的圆形洞室，洞室围岩的物理力学性质指标为C=0.3MPa，φ=30°，重度γ=2.7g/cm3，试用弹、塑性理论求： 1. 塑性半径R=a时的围岩压力；
2. 允许塑性圈的厚度为2m 时的围岩压力。
第六章 地下洞室围岩应力
与围岩压力计算 第一节 概述
一、地下洞室的定义与分类
1、定义: 地下洞室(underground cavity) 是指人工开挖或天然存在于岩土体中作为各种用途的地下空间。 2、地下洞室的分类
按用途：矿山巷道（井）、交通隧道、水工隧道、地下厂房（仓库）、地下军事工程
按洞壁受压情况：有压洞室、无压洞室 按断面形状：圆形、矩形、城门洞形、椭圆形 按与水平面关系：水平洞室、斜洞、垂直洞室（井） 按介质类型：岩石洞室、土洞 二、洞室围岩的力学问题
（1）围岩应力重分布问题——计算重分布应力
1）天然应力:人类工程活动之前存在于岩体中的应力。 又称地应力、初始应力、一次应力等。
2）重分布应力:由于工程活动改变了的岩体中的应力。又称二次分布应力等。
地下开挖破坏了岩体天然应力的相对平衡状态，洞室周边岩体将向开挖空间松胀变形，使围岩中的应力产生重分布作用，形成新的应力状态，称为重分布应力状态。
没有 天然应力， 工程活动
开挖洞室后的应立场，为重分布应力，与天然应力有所改变
在附近开挖第二个洞室，则视前一个洞室开挖后的应力场为天然应力，第二个洞室开挖后的应力场为重分布应力
（2）围岩变形与破坏问题——计算位移、确定破坏范围
在重分布应力作用下，洞室围岩将向洞内变形位移。如果围岩重分布应力超过了岩体的承受能力，围岩将产生破坏。 （3）围岩压力问题——计算围岩压力
围岩变形破坏将给地下洞室的稳定性带来危害，因而，需对围岩进行支护、衬砌，变形破坏的围岩将对支衬结构施加一定的荷载，称为围岩压力(或称山岩压力、地压等) 。
（4）有压洞室围岩抗力问题——计算围岩抗力
在有压洞室中，作用有很高的内水压力，并通过衬砌或洞壁传递给围岩，这时围岩将产生一个反力，称为围岩抗力。
第二节 围岩重分布应力计算
一、围岩重分布应力的概念
围岩：洞室开挖后，应力重分布影响范围内的岩体。 围岩（重分布）应力：应力重分布影响范围内岩体的应力。 围岩应力与围岩性质、洞形、洞室受外力状态有关。 围岩应力计算包括以下步骤：
①开挖前岩体天然应力状态的确定; ②开挖后围岩重分布应力的计算 ; ③支护衬砌后围岩应力状态的改善; 围岩应力计算包括以下情形： 弹性无压洞室围岩应力 塑性无压洞室围岩应力 有压洞室围岩应力 二、无压洞室围岩应力计算 1、弹性围岩应力
围岩为坚硬致密的块状岩体，当天然应力大约等于或小于其单轴抗压强度的一半时，围岩呈弹性变形。可近似视为各向同性、连续、均质的线弹性体（假设1），其围岩重分布应力可根据弹性力学计算。
（1）圆形洞室重分布应力的大小
如果洞室半径相对洞长很小，按平面应变问题考虑（假设2），概化为受均布压力的薄板中心小圆孔周边应力分布的计算问题。并忽略天然应力场沿洞室高度方向的变化（假设3）。可以把它看成是两个柯西课题的叠加如下图。
根据柯西课题，由σh 产生的重分布应力:
σ
σ
σh σh
根据柯西课题，由σh 产生的重分布应力:
σv 和σh 同时作用时圆形洞室围岩重分布应力：
①
引入天然应力比值系数： σh =λσV
则σv 和σh 同时作用时圆形洞室围岩重分布应力可表示为：
②
（2）圆形洞室重分布应力的特征 1）洞壁上的重分布应力
为考察洞壁上的重分布应力的特点 令：r =R 0
代入上式，得洞壁上的重分布应力为：
由上式可知，洞壁上的重分布应力具有下列特点： ① 洞壁上的τr θ＝0，σr ＝0，为单向应力状态； ② σθ大小与洞室尺寸R0无关 ；
③ 当θ=0、180°（侧壁），σθ=3σV —σh=（3—λ）σV ； ④ 当θ=90、270°（顶底），σθ=3σh —σV=（3λ—1）σV ； ⑤ 当λ＜1/3时，洞顶底将出现拉应力 ； ⑥ 当1/3＜λ＜3时，σθ为压应力；
⑦ 当λ＞3时，洞壁两侧出现拉应力，洞顶底出现较高的压应力集中；
圆形洞室洞壁切向应力σθ随角θ的变化规律：
（图中λ为天然应力比值系数，即侧压力系数 ）
2）静水压力式天然应力场中的围岩重分布应力
静水压力式天然应力场是指水平天然应力与铅直天然应力相等的应力场，即λ=1。
把λ=1（即σv =σh =σ0）代入②式，得静水压力式天然应力场中的围岩重分布应力为：
由上式可知，静水压力式天然应力场中的围岩重分布应力具有下列特点：
① 围岩内重分布应力与θ角无关，仅与R 0和σ0有关； ② 由于τ
r θ
=0，则σr ，σθ均为主应力，且σθ恒为最大主应力，σ
r
恒为最小主应力 ；
③ 当r ＝R 0(洞壁) 时，σr =0，σθ=2σ0，可知洞壁上的应力差最大，且处于单向受力状态，说明洞壁最易发生破坏
④ r 增大，σr 增大，σθ减小，都渐趋于σ0值 (见下图) ；
⑤ 在理论上，σr ，σθ要在r →∞处才达到σ0值，但实际上σr 、σ
θ
趋近于σ0的速度很快，当r=6R0时，σr 和σθ与σ0就很接近，如图;
（2）其他形状洞室重分布应力的特征 1）应力集中系数的概念
为了最有效和经济地利用地下空间，地下建筑的断面常需根据实际需要，开挖成非圆形的各种形状。但非圆形洞室的围岩应力很难用解析解表示。
由圆形洞室围岩重分布应力分析可知，重分布应力的最大值在洞壁上，且仅有σθ，因此只要洞壁围岩在重分布应力σθ的作用下不发生破坏，那么洞室内部围岩也是稳定的。
为了研究各种洞形洞壁上的重分布应力及其变化情况，引进应力集中系数的概念。
洞壁处该点天然应力的比值。
应力集中系数一般用α, β表示，其大小仅与该点的位置有关。 对于圆形洞室， 改写为：
所以，圆形洞室应力集中系数α=1-2cos 2θ，β=1+2cos 2θ 2）各种形状洞室重分布应力特点：
① 椭圆形洞室：长轴两端点应力集中最大，易引起压碎破坏；短轴两端易拉应力集中，不利于围岩稳定；
（图中N 为侧压力系数）
②各种形状洞室的角点或急拐弯处应力集中最大，如正方形或矩形洞室角点等。 ③长方形短边中点应力集中大于长边中点，而角点处应力集中最大，围岩最易失稳。
④ 当岩体中天然应力σh 和σv 相差不大时，以圆形洞室围岩应力分布最均匀，围岩稳定性最好。
⑤ 当岩体中天然应力σh 和σv 相差较大时（高地应力区），则应尽量使洞室长轴平行于最大天然应力的作用方向。
h 大
⑥ 在天然应力很大的岩体中，洞室断面应尽量采用曲线形，以避免角点上过大的应力集中。
2、塑性围岩重分布应力
地下开挖后，洞壁的应力集中最大, 当它超过围岩屈服极限时，洞壁围岩就由弹性状态转化为塑性状态，并在围岩中形成一个塑性松动圈。
随着距洞壁距离增大，径向应力σr 由零逐渐增大，应力状态由洞壁的单向应力状态逐渐转化为双向应力状态，围岩也就由塑性状态逐渐转化为弹性状态。弹性区以外则是应力基本未产生变化
的天然应力区(或称原岩应力区) 。
塑性松动圈的出现，使圈内一定范围内的应力因释放而明显降低，而最大应力集中由原来的洞壁移至塑、弹圈交界处，使弹性区的应力明显升高。
一般采用弹塑性理论求解塑性圈内的围岩重分布应力。 假设：
① 在均质、连续、各向同性的岩体中开挖一半径为a 的洞室，开挖后形成的塑性松动圈半径为R ；
②岩体天然应力为：σh=σv=σ0（即λ=1）；
③圈内岩体强度服从莫尔直线强度条件。
由ΣＦ=0，得沿r 方向的平衡方程式：
R
a
由又莫尔强度条件：
（1）
得塑性区应力：
径向应力为：
切向应力为：
剪 应力： τ r θ = 0 （因为λ=1属轴对称问题）
由图可见：
（1 ）塑性区内σθ降低了很多，硐壁上降低最多，但并不为零。 （说明岩石产生了塑性变形后 还具有一定的承载能力）； （2 ）在弹性区σθ略有升高。（这是因为在塑性区内，一部分应力 释放了，一部分应力则转嫁给弹 性区的结果）；
（3 ）σr 变化不大，在硐壁
=上 σr
σa 。
（4）塑性圈内围岩重分布应力与岩体天然应力(σ0) 无关，而取决于支护力(σa) 和岩体强度(C ，υ) 值。
（5）若弹性区边界上的径向应力为σR ，则弹性区的应力：
三、有压洞室围岩重分布应力计算
由于洞室内壁上作用有较高的内水压力，使围岩中的重分布应力更加复杂。应力变化过程如下：
• 围岩最初处于开挖后引起的重分布应力之中 • 进行支护衬砌，使围岩重分布应力得到改善
• 洞室建成运行后洞内壁作用有内水压力，使围岩中产生一个附加应力 。
内水压力引起的围岩附加应力，可用弹性厚壁筒理论来计算。 由弹性理论可推导厚壁筒内的应力计算公式：
若有压洞室半径为R 0，内水压力为pa 则有压洞室围岩重分布应力为：
有压洞室围岩重分布应力σr 和σθ由开挖以后围岩重分布应力和内水压力引起的附加应力两项组成。
上式前项为重分布应力，后项为内水压力引起的附加应力值，即：
上式表明：内水压力使围岩产生负的切向应力，即拉应力。当这个切向应力很大时，则常使围岩产生放射状裂隙。
内水压力使围岩产生附加应力的影响范围大致也为6倍洞半径。 第三节 围岩压力的类型及影响因素
前面我们讲了地下硐室的围岩应力计算及应力分布。 我们将要讨论的围岩压力与围岩应力是两个不同的概念 围岩应力：应力重分布影响范围内岩体的应力。
那么什么叫围岩压力呢？他的分布规律如何？又怎样计算围岩压力？首先来看 一、围岩压力的概念
开挖硐室
应力重分布 围岩变形、位移
重分布应力＜围岩强度时，只产生弹性变形或微量塑性变形。 重分布应力≥围岩强度时，围岩破坏（产生裂缝、滑落、滑塌） ，硐室不稳定状态（影响使用甚至完全丧失使用条件）
为了阻止围岩的过大变形和破坏，保证硐室安全稳定，往往必须对硐室进行必要的支护与衬砌———目的是防止岩石塌落和变形，所以支护与衬砌上必然要受到围岩的压力。
——作用在支护与衬砌结构上的围岩变形挤压力或坍塌岩体的重力统称围岩压力。 二、围岩压力类型：
围岩压力是由于围岩的过大变形和破坏而产生的，不同岩性、不同结构的岩体，其变形与破坏的机制不同，因而，并非所有的硐室都需要支护与衬砌。
由于硐室的支护与衬砌要消耗大量的木材，水泥及钢材、人力，直接影响工程造价。
因此，在进行设计与施工时，工程人员必须解决这样的问题 a. 硐室要不要支护与衬砌？
b. 若要，围岩对支护与衬砌的压力又多大？ 这就是所要解决的问题
不同岩性和结构的围岩，其围岩压力类型不同，所采用的评价理论和计算方法也不一样：
（1）比较坚硬完整的围岩：一般重分布应力小于弹性极限（不支护或衬砌仍能维持稳定）
重分布应力引起的弹性变形在开挖过程中就完成了，因而没有围岩压力或不显现。
有时支护或衬砌，仅是为了防止围岩风化和局部掉块。
（2）强度较低的围岩：
应力重分布 ，
为防止过大变形 支护 限制变形 围岩压力。
——围岩压力是由于应力重分布使围岩产生过大的变形所引起的，叫变形围岩压力（弹、塑性理论）。
塑
弹性圈
性圈
（3）破碎或破裂发育的围岩：当围岩应力大于岩体强度时，破碎岩
体松动塌落，直接作用于支护或衬砌。
——由塌落岩体的重量所引起的压力叫做塌落围岩压力。
岩体的重量本质上可视作为荷载（松动荷载）。（松散介质围岩压力理论）
（4）被较大结构面切割成的围岩： 开挖 围压
——大块滑落岩体的重量对支护或衬砌产生的压力叫块体滑落围岩压力（本质与塌落围岩压力相同） 。(块体极限平衡理论)
另外，冲击地压——岩爆，即岩石被挤压到超过其弹性限度时，岩体内积聚的能量突然释放所造成的岩石破坏现象。 膨胀压力——由于硐室围岩膨胀而产生的压力。
关于后两种围压，目前研究较少，尚无法进行理论计算，故本章主要讨论：形变、松动、块体滑落。 三、围岩压力的影响因素： 主要因素：
地质因素：岩性，结构（上面已经讲过）
工程因素：硐室形状，大小，支护形式，刚度，时间，埋深，施工方法等。
由上述可见，影响围岩压力的因素很多，但当前的一些围岩压力理论，常常忽略了许多的影响因素，有时是一些重要的因素，使最后结果与实际出入较大。因此，只有正确的全面的分析这些影响因素，并分清主次，才能正确的掌握围岩压力的大小大和分布特征。
第四节 弹、塑性理论计算
对于强度较低的岩石，为了防止围岩的过渡变形和破坏，对围岩设置支护和衬砌。
支护衬砌后， 对于衬砌来讲，围岩变形作用其上的压力就是围岩形变压力；支护衬砌阻止它的变形就相当于在硐壁四周给围岩一个径向推力，即衬砌对围岩的反力，从而改善了原有硐壁径向应力为等于零的状态，并使围岩中应力达到一个新的相对平衡状态。基于这种认识，我们只要求得包括硐壁在内一定范围的径向应力公式，那么，作用在支护上的围岩压力也就可求得了。
一、弹、塑性区应力条件
对
体侧压力系数λ=1 时，有：
①
h = σV
当r=a时
σ
=σ
σ=2σ-στ=0
r
a
θV
a
r θ
σr、σθ均为主应力。
可见，硐室围岩中起着决定影响的是切向应力σθ ，这里σθ ，σr 均为主应力。在一定条件（满足莫尔强度条件时）将发生塑性破坏，形成塑性区，塑性区应力为：
②
若塑性区半径为R ，弹塑性区边界上的径向应力为σR 则弹性区的应力： ③
二、R 的确定
当r ＝R 时（即在弹塑性区边界上）
（既可用弹性区应力公式，也可用塑性区公式计算σθ 和σr ）
σ有： σ ＝ σ θ 则： r ，σ r ＝r σθ
弹
塑
弹
塑
弹
＋σθ＝σr ＋σθ
弹塑塑
将②、③代入上式，得：
则有：
故：
σ
弹r
＋σθ＝2σv
弹
三、围岩压力公式：
对于弹性区边界线上任一单元，由于其位于分界线上，因而它即属于塑性区单元也属于弹性区单元。因而： 当r ＝R 时，应满足：
（塑性条件 ）
④
（弹性区应力条件 ）
由④式消去σθ得r ＝R 处径向应力：
σ=σ
R
V
(1-sin φ) -C cos φ
芬纳认为，在弹塑性区交界处内聚力C 可略去不计，故，当r ＝R 时：
σ=σ
R
V
(1-sin φ)
在塑性区有下列关系成立：
⑤
（塑性条件）
由塑性条件得： 将上式代入到⑤-1
解上式得：
利用外边界条件：当r ＝R 时 ，
σ=σ
R
V
(1-sin φ)
代入上式得积分常数为：
再代入上式得塑性区径向应力：
当塑性区半径R 给定后，利用上式即可计算塑性区任一点的σr 当r ＝a 时，即可求得洞壁处的围岩压力：
围岩压力公式（芬纳公式） 作用于洞壁上的内压力 支护结构对围岩的作用力 数值等于围岩作用于支护结构上的力——围岩压力。
可见， σa 与C 、υ、 σV 、a 有关系，R 增加， σa 降低，当R ＝a 时无塑性区， σa 最大为：
σ=σ
a
V
(1-sin φ)
芬纳公式是推导较早，且目前应用较广的公式，但该公式有个不严密的地方，就是在推导过程中曾一度忽略了弹塑性边界上的内聚力C 。若考虑边界上的C 的影响，则通过类似的推导，可以求的修正
—————修正后的芬纳公式
上式可见，随R 增加， σa 降低，当R ＝a 时无塑性区， σa 最大为：
σ=σ
a
V
(1-sin φ) -C cos φ
说明：在芬纳公式或修正的芬纳公式计算时，必须知道R 的大小，R 值需通过实测或假定而得，因此，具体运用这些公式尚有一定的问题，可用硐室周边的位移表示围岩压力 。
作业：
在中等坚硬的石灰岩中，开挖一埋深H=100m，半径a=3m的圆形洞室，洞室围岩的物理力学性质指标为C=0.3MPa，φ=30°，重度γ=2.7g/cm3，试用弹、塑性理论求： 1. 塑性半径R=a时的围岩压力；
2. 允许塑性圈的厚度为2m 时的围岩压力。