第九章 欧氏空间
1. 设A=a ij 是一个n 阶正定矩阵, 而
()
α=(x 1, x 2, , x n ) , β=(y 1, y 2, , y n ) ,
在R 中定义内积(α, β) =αAβ',
1) 证明在这个定义之下, 2) 求单位向量
n
R n 成一欧氏空间；
ε1=(1, 0, , 0) , ε2=(0, 1, , 0) , … , εn =(0, 0, , 1) ，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
'是R n 上的一个二元实函数，且 (α, β) =αAβ解 1) 易见
(1) (2) (3) (4)
(α, β) =αAβ'=(αAβ') '=βA'α'=βAα'=(β, α) ， (k α, β) =(k α) Aβ'=k (βAα') =k (β, α) ，
(α+β, γ) =(α+β) Aγ'=αAγ'+βA'γ'=(α, γ) +(β, γ) ，
(α, α) =αAα'=∑a ij x i y j ，
i , j
由于A 是正定矩阵，因此
∑a x y
ij i i , j
j
是正定而次型，从而(α, α) ≥0，且仅当α=0时有
(α, α) =0。
2) 设单位向量
ε1=(1, 0, , 0) , ε2=(0, 1, , 0) , … , εn =(0, 0, , 1) ，
的度量矩阵为
B =(b ij ) ，则
⎛a 11a 12
a a
b ij =(εi , εj ) =(0, , 1, 0) 2222
(i )
a
⎝n 1a n 2
⎛0⎫
a 1n ⎫ ⎪
⎪ ⎪
a 2n ⎪ ⎪
1(j ) =a ij ，(i , j =1, 2, , n ) ， ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ a nn ⎭ ⎪⎝0⎭
因此有B =A 。
4) 由定义，知
(α
, β) =∑a ij x i y j
i , j
α=，
β=
，
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
∑a x y
ij i i , j
j
≤
a y y
ij
i
i , j
j
2. 在R 中, 求α, β之间
4
>(内积按通常定义) ，设:
α=(2, 1, 3, 2) , β=(1, 2, -2, 1) ， α=(1, 2, 2, 3) , β=(3, 1, -5, 1) ，
α=(1, 1, 1, 2) , β=(3, 2, -1, 0) 。
(α, β) =2⨯1+1⨯2+3(-1) +2⨯1=0，
解 1) 由定义, 得
所以
=
2) 因为
π
2。
(α, β) =1⨯3+2⨯1+2⨯5+3⨯1=18， (α, β) =1⨯1+2⨯2+2⨯2+3⨯3=18， (α, β) =3⨯3+1⨯1+2⨯2+3⨯3=36，
cos =
所以
182
=
2，
=4。 3) 同理可得
π
(α, β) =3, (α, α) =17, (β, β) =3, cos =
3，
-1
=cos 所以
3
。
通常为α, β的距离，证明；
3.
d (α, β) =-β
d (α, β) ≤d (α, β) +d (β, γ) 。
证 由距离的定义及三角不等式可得
d (α, β) =-γ=(α-β) +(β-γ)
4
≤-β+β-γ
=d (α, β) +d (β, γ) 。
4在R 中求一单位向量与解 设α
(1, 1, -1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3)正交。
=(x 1, x 2, x 3, x 4)与三个已知向量分别正交，得方程组 ⎧x 1+x 2-x 3+x 4=0⎪
⎨x 1-x 2-x 3+x 4=0， ⎪2x +x +x +3x =0
4⎩123
因为方程组的系数矩阵A 的秩为3，所以可令 x 3=1⇒x 1
=4, x 2=0, x 4=-3，即α=(4, 0, 1, -3)。
11
(4, 0, 1, -3)， α=
a 再将其单位化，则 η=即为所求。
5．设α1, α2, αn 是欧氏空间V 的一组基，证明： 1） 如果γ
∈V 使(γ, αi )=0(i =1, 2, , n ), ，那么γ=0。
∈V 使对任一α∈V 有(γ1, α)=(γ2, α)，那么γ1=γ2。
2） 如果γ1, γ2
证 1) 因为α1, α2, αn 为欧氏空间V 的一组基，且对γ
∈V ，有
(γ, αi )=0(1, 2, , n ) ，
所以可设γ且有
=k 1α1+k 2α2+ k n αn ，
(γ, γ)=(γ, k 1α1+k 2α2+ +k n αn )
=k 1(γ, α1)+k 2(γ, α2)+ +k n (γ, αn )
即证γ
=0。
2) 由题设，对任一α∈V 总有
(γα)=(γ, α)
11
2
，
αi
也有
(γα)=(γ
11
i
2
, αi )，或者(γ1-γ2, αi )=0(i =1, 2, , n )，
=0，即证γ1=γ2。
再由1) 可得γ1-γ26设ε1, ε2, ε3是三
1
(2ε1+2ε2-ε3)31
α2=(2ε1-ε2+2ε3)
31
α3=(ε1-2ε2-2ε3)
3
α1=
也是一组标准正交基。 证 因为
91
=[(2ε1, 2ε1)+(2ε2, -ε2)+(-ε3, 2ε3)]
91
=[4+(-2) +(-2) ]=0，
9
同理可得 另一方面
(α1, α2)=1(2ε1+2ε2-ε3, 2ε1-ε2+2ε3)
(α1, α3)=(α2, α3)=0，
(α1, α1)=1(2ε1+2ε2-ε3, 2ε1+2ε2-ε3)
91
=[4(ε1, ε1)+4(ε2, ε2)+(-ε3, -ε3)] 91
=(4+4+1) =1， 9
同理可得
(α2, α2)=(α3, α3)=1，
即证α1, α2, α3也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
7. 设ε1, ε2, ε3, ε4, ε5也是五维欧氏V 空间中的一组标准正交基, V 1=L α2, α2, α3，其中
()
α1=ε1+ε5 , α2=ε1-ε2+ε4 , α3=2ε1+ε2+ε3，
求V 1 的一组标准正交基。
解 首先证明α1, α2, α3线性无关. 事实上，由
⎛11
0-1
(α1, α2, α3) =(ε1, ε2, ε3, ε4, ε5) 00
01 10⎝
⎛11
0-1
其中 A = 00
01 10⎝
将正交化，可得
2⎫⎪1⎪1⎪， ⎪0⎪0⎪⎭
2⎫
⎪1⎪
1⎪的秩为3，所以α1, α2, α3线性无关。 ⎪0⎪0⎪⎭
β1=α1=ε1+ε5， β2=α2-
(α2, β2) 11
=ε1-ε2+ε4-ε5
2， (β1, β1) 2
单位化，有
η1=
2
(ε1+ε5) ， 2
(ε-2ε2+2ε4-ε5) ， 10112
η2=
η3=(ε1+ε2+ε3-ε5) ，
则η1, η2, η3为V 1 的标准正交基。 8. 求齐次线性方程组
⎧2x 1+x 2-x 3+x 4-3x 5=0
⎨
x +x -x +x =0⎩1235
的解空间(作为R 的子空间) 的一组标准正交基。 解 由
5
⎧x 4-3x 5=-2x 1-x 2+x 3
⎨
⎩x 5=-x 1-x 2+x 3
可得基础解系为
α1=(1, 0, 0, -5, -1) ，α2=(0, 1, 0, -4, -1) ，α3=(0, 0, 1, 4, 1) ，
它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得
β1=α1=(1, 0, 0, -5, -1) ，
β2=α2-
(α2, β1) 1
β1=(-7, 9, 0, -1, -2)
(1, 1) 9
(α3, β1) (α, β) 1
β1-32β2=(7, 6, 15, 1, 2) ，
(β1, β1) (β2, β2) 15
，
β3=α3-
再将β1, β2, β3单位化, 可得 η1
=
111
(1, 0, 0, -5, -1) ，η2=(-7, 9, 0, -1, -2) ，η3=(7, 6, 15, 1, 2) ， 3则η1, η2, η3就是所求解空间的一组标准正交基。 9. 在R[X]4中定义内积为(f,g)=1. χ, χ2, χ3出发作正交化) 。 解 取R[X]4的一组基为α1
⎰
1
-1
f (x ) g (x ) dx 求R[X]4的一组标准正交基(由基
=1, α2=x , α3=x 2, α4=x 3, 将其正交化, 可得β1=α1=1，
β2=α2-
(α2, β1)
β1=x ，其中(α2, β1) =⎰-11x ∙1dx =0，又因为
(β1, β1)
2
(α3, β1) =(β2, β2) =⎰-11x 2dx =，
3
(β1, β1) =⎰-111∙1dx =2， (α3, β2) =⎰-11x 2∙xdx =0，
所以β3
=α3-
(α3, β1) (α, β) 1
β1-32β2=x 2-，
(β1, β1) (β2, β2) 3
(α, β) (α4, β1) (α, β) 3
β1-42β2-43β3=x 3-x ，
(β1, β1) (β2, β2) (β3, β3) 5
=1
同理可得β4=α4-
再将β1, β2, β3, β4单位化，即得η1
β1
β1=
， 2
η2=
1
2
β2=
23，η3=(3x -1) ，η4=(5x -3x ) ， 2x 44
则η1, η2, η3, η4即为所求的一组标准正交基。 10. 设V 是一n 维欧氏空间, α
≠0是V 中一固定向量,
1) 证明:V1={x |(x , a ) =0, x ∈V }是V 的一个子空间； 2) 证明:V1的维数等于n-1。
证 1) 由于00∈V 1, 因而V 1非空. 下面证明V 1对两种运算封闭. 事实上, 任取x 1, x 2∈V 1, 则有 (x 1, α) =(x 2, α) =0，于是又有(x 1+x 2, α) =(x 1+α) +(x 2
+α) =0，
所以x 1+x 2∈V 1。另一方面，也有 (kx 1, α) =k (x 1, α) =0， 即kx 1∈V 1。故V 1是V 的一个子空间。 2) 因为α
≠0是线性无关的，可将其扩充为V 的一组正交基α, η2, ηn ，且(ηi , α) =0
(i =2, 3, n ) ，下面只要证明:对任意的β∈V 1, β可以由η2, η3, ηn ηi ∈V 1(i =2,3, n ) 。线性表出，则V 1的维数就是n -1。
事实上，对任意的β∈V 1，都有β∈V ，于是有线性关系β且
=k 1α+k 2η2+ +k n ηn ，
(β, α) =k 1(α, α) +k 2(η2, α) + +k n (ηn , α) ，
(β, α) =(ηi , α) =0(i =1, 2, , n ) ，
≠0，故k 1=0，从而有β=k 2η2+ +k n ηn ，
但有假设知
所以k 1(α, α) =0，又因为α再由β的任意性，即证。
11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
证：1）设α1, α2, , αn 与β1, β2, , βn 是欧氏空间V 的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是
A =(a ij ) 和B =(b ij ) ，另外，设α1, α2, , αn 到β1, β2, , βn 的过渡矩阵为
⎧β1=c 11α1+c 12α2+ +c 1n αn ⎪
C =(c ij ) ，即⎨ ，
⎪β=c α+c α+ +c α
n 11n 22nn n ⎩n b ij =(βi , βj ) =(c 1i α1+ +c ni αn , c 1j α1+ +c nj αn )
=
∑c
k =1n
n
ki
(αk , c 1j α1+ +c nj αn ) c (αk , αs )
=
∑∑c
k =1s =1
n
ki sj
=
∑∑c
k =1s =1
n n
ki si
c αks ，
另一方面, 令
D =C ' A =(d ij ), C ' AC =DC =(e ij ) ，
n
则D 的元素为
d is =∑c ki αks ，
k =1
故C
'
AC 的元素
e ij =∑d is c sj =∑(∑c ki αks ) c sj =b ij (i , j =1, 2 , n ) ，
s =1
s =1n =1
n n n
即证C
'
AC =B 。再由α1, α2, , αn ; β1, β2, , βn , 皆为V 的基，所以C 非退化，从而B
A =(a ij ), 其中
与A 合同。
2）在欧氏空间V 中，任取一组基α1, α2, , αn ，它的度量矩阵为
αi j =(αi , αj ) ，且度量矩阵A 是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即E =C ' AC 。
于是只要
(β1, β2, , βn ) =(α1, α2, , αn ) C ，
则由上面1）可知基β1, β2, , βn 的度量矩阵为E ，这就是说，β1, β2, , βn 就是所求的标准正交基。 12．设
α1, α2, , αn
是n 维欧氏空间V 中的一组向量，而
⎛(α1, α1) (α1, α2) (α, α) (α, α)
22
∆= 21
⎝(αm , α1) (αm , α2) (α1, αm ) ⎫ (α2, αm ) ⎪⎪ ⎪
⎪
(αm , αm ) ⎭
证明：当且仅当∆≠0时α1, α2 , αm 线性无关。
证 设有线性关系
k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0，
将其分别与αi 取内积，可得方程组
k 1(αi , α1) +k 2(αi , α2) + +k m (αi , αm ) =0(i =1, 2, , m ) ，
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。
13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。 证 设
⎛a 11q 12
a 22
A =
⎝
⎛b 11b 12 b 1n ⎫ ⎪ a 1n ⎫
⎪b b 222n ⎪ a 2n ⎪A -1= ⎪也是上三为上三角矩阵，则
⎪ ⎪ ⎪b nn ⎪⎝⎭⎪a nn ⎭
-1
角矩阵。由于A 是正交阵，所以A =A ' ，即
⎛a 11⎫⎛b 11b 12 b 1n ⎫
⎪ ⎪a a b b 1222⎪ 222n ⎪= A = ， ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a a ⎪ b nn ⎪⎝1n 2n a nn ⎭⎝⎭
所以a ij
=0(i ≠j ) ，因而
⎛a 11⎫ ⎪
a ⎪222
A = 为对角阵。再由A ' A =E , 知a ii =1，即证a ii =1或-1。 ⎪
⎪ a nn ⎪⎝⎭
14．1）设A 为一个n 阶矩阵，且
A=
，
A ≠0，证明A 可以分解成
其中Q 是正交矩阵，T 是一上三角矩阵
⎛t 11t 12 t 1n ⎫ ⎪
t 22 t 2n ⎪
T = ， ⎪
⎪ t nn ⎪⎝⎭
且t ii
>0(i =1, 2 , n ) ，并证明这个分解是唯一的；
2) 设A 是n 阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T ，使
A =T ' T 。
证 1) 设A 的n 个列向量是a 1, a 2. a n , 由于A ≠0，因此a 1, a 2, , a n 是线性无关的。从
而它们也是V 的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为
1⎧
η=α1⎪11
⎪
11⎪η2=-(α2, η1) +α⎪
， ⎨β2β22
⎪ ⎪(α, η) (α, η) 1⎪η=-n 1η1- -n n -1ηn -1+αn
βn βn βn ⎪⎩
其中
β1=α1⎧
⎪β2=α2-(α2, η1) η1⎪
⎨，
⎪
⎪⎩βn =αn -(αn , η1) - -(αn , ηn -1) ηn -1α1=t 11η1⎧⎪α2=t 12η1+t 22η2⎪
⎨，
⎪
⎪⎩αn =t 1n η1+t 2n η2+ +t nn ηn
其中t ii
=βi >0(i =1, 2, , n ) 。即
⎛t 11t 12 t 1n ⎫
⎪
t t 222n ⎪ A =(α1, α2, αn ) =(η1, η2, , ηn ) ，
⎪
⎪ t nn ⎪⎝⎭⎛t 11 t 1n ⎫
⎪
⎪，则T 是上三角矩阵, 且主对角线元素t ii >0。 令T = t nn ⎪⎝⎭
另一方面，由于ηi 是n 维列向量，不妨记为
⎛b 1i ⎫
⎪ b 2i ⎪
ηi = ⎪(i =1, 2 , n ) ，
b ⎪⎪⎝ni ⎭
且令
⎛b 11 b 1n ⎫ ⎪
Q = ⎪=(η1, η2, , ηn ) ，
b b ⎪
nn ⎭⎝n 1
则有A =QT , 由于η1, η2, , ηn 是一组标准正交基，故Q 是正交矩阵。 再证唯一性，设A =Q 1T 1
=QT 是两种分解，其中Q , Q 1是正交矩阵，T , T 1是主对角线元素
-1
大于零的上三角阵，则Q 1
, 从而T 1T -1也是正交矩阵, Q =T 1T -1，由于Q 1-1Q 是正交矩阵
且T 1T -1为上三角阵，因此, T 1T -1是主对角线元为1或-1的对角阵，但是T 与T 1的主对角
即证T 1=T 。进而有Q =Q 1, =E ，
线元大于零，所以T 1T -1的主对角线元只能是1，故T 1T -1从而分解是唯一的。
2) 因为A 是正定的，所以A 与E 合同，即存在可逆阵C 使A =C ' C , 再由1) 知C =QT , 其中Q 是正交矩阵T 为三角阵，所以A =T ' Q ' QT 15. 设η是欧氏空间中一单位向量，定义A α
=T ' T 。
=α-2(η, α) η，
证明:1)A 是正交变换, 这样的正交变换称为镜面反射；
2) A 是第二类的；
3) 如果n 维欧氏空间中正交变换A 以1作为一个特征值, 且属于特征值1的特征子空间
V 1的维数为n -1，那么A 是镜面反射。
证:1)∀α, β, 有:A (k 1α+k 2β) =k 1α+k 2β
-2(η, k 1α+k 2β) η
=k 1α+k 2β-2k 1(η, α) η-2k 2(η, β) η=k 1A α+k 2A β，
所以A 是线性变换。 又因为
(A α, A β) =[α-2(η, α) η, β-2(η, β) η]
=(α, β) -2(η, α)(η, β) -2(η, α)(η, β) +4(η, α)(η, β)(η, η) ，
注意到(η, η) =1，故(A α, A β) =(α, β) , 此即A 是正交变换。
2) 由于η是单位向量，将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基η, ε2, , εn , 则
⎧A η=η-2(η, η) η=-η
， ⎨
A ε=ε-2(η, ε) η=ε(i =2, 3, , n ) i i i ⎩i
⎛-1⎫ ⎪
1 ⎪
即 A (η, ε2, , εn ) =(η, ε2, , εn ) ， ⎪
⎪ 1⎪⎝⎭
所以A 是第二类的。 3)
A 的特征值有n 个，由已知A 有n -1个特征值为
1，另一个不妨设为λ0，则存在
⎛λ0⎫
⎪
1 ⎪
一组基ε1, ε2, , εn 使A (ε1, , ε2, , εn ) =(ε1, ε2, , εn ) ， ⎪
⎪ 1⎪⎝⎭
因为A 是正交变换，所以(ε1, ε1) =(A ε1, A ε1) =λ0但λ0
2
(ε1, ε1) ，
≠0，所以λ0=-1，于是
A ε1=-ε1, A εi =εi (i =2, 3, , n )
(ε1, ε) =0(i =2, 3, , n )
现令η=
1
ε1
ε1，则η是单位向量，且与ε2, , εn 正交，则η, ε2, , εn 为欧氏空间 V
的 一组基。又因为
A η=A (
1
ε1
ε1) =
1
ε1
A ε1=
1
ε1
(-ε1) =-η
，
α=k 1η+k 2ε2+ +k n εn
A α=k 1A η+k 2A ε2+ +k n A εn =-k 1η+k 2ε2+ +k n εn ， (α, η) =(k 1η+k 2ε2+ +k n εn , η) =k 1，
所以
α-2(η, α) η=-k 1η+k 2ε2+ +k n εn ，即证。
=λξ，则
16. 证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数。 证:设ξ是属于特征值λ的特征向量，即A ξ
' A ξ=' (-A ' ξ) =-' A ' ξ=-(A )' ξ=-()' ξ，
于是
λ' ξ=-' ξ⇒λ=-，
令λ=a +bi ，可得a =0，即证λ=bi 。 17. 求正交矩阵T 使T ' AT 成对角形，其中A 为
⎛2-20⎫ ⎪
1) -21-2⎪ 2) 0-20⎪⎝⎭
⎛0
22-2⎛⎫
⎪ 025-4 3) ⎪ 4 -2-45⎪ ⎝⎭ 1
⎝
⎛1 1 1 1⎝
111111111⎫⎪1⎪ 1⎪⎪1⎪⎭
0144100
1⎫⎪4⎪ ⎪0⎪0⎪⎭
⎛-1-33-3⎫
⎪-3-1-33 ⎪4) 5)
3-3-1-3⎪ -33-3-1⎪⎪⎝⎭
解1）由
0⎫⎛λ-22 ⎪
λE -A = 2λ-12⎪=(λ-1)(λ-4)(λ+2)，
02λ⎪⎝⎭
可得A 的特征值为λ1对应的特征向量为
=1, λ2=4, λ3=-2。
α1=(-2, -1, 2), α2=(2, -2, 1), α3=(1, 2, 2),
⎫
⎪, ⎭
⎛122⎫
, ⎪, η3= , 333⎝⎭
⎫
⎪, ⎭
将其正交单位化，可得标准正交基为 η1
12⎛2
= -, -,
33⎝3⎝3
3
3
221
η2=⎛ , -,
故所求正交矩阵为
⎛-221⎫⎛1⎫
⎪ ⎪1 '
4 T = -1-22⎪且T AT = ⎪。
3 12⎪-2⎪⎝2⎭⎝⎭2⎫⎛λ-2-2 ⎪2
λE -=2λ-542）由 ⎪=(λ-1)(λ-10)，
24λ-5⎪⎝⎭
可得 A 的特征值为λ1
=λ2=1, λ3=10。
λ3=10的特征向量为
α1=(-1, -2, 1),
λ1=λ2=1的特征向量为
正交化，可得
α2=(-2, 1, 0), α3=(2, 1, 1),
⎫
β1=(-1, -2, 2), β2=(-2, 1, 0), β3=⎛ , , 1⎪， =
1
(-1, -2, 2), η2=1(-2, 1, 0), η3=1(2, 4, 5)， 3324
⎝55⎭
再单位化，有:η1
于是所求正交矩阵为
⎛12 --
3
1 2
T = -
3
20 3⎝2⎫⎪3⎪⎛10⎫
⎪4⎪
1⎪。 且T ' AT = ⎪3⎪ 1⎪⎝⎭⎪
3⎪⎭
0-4-1⎫⎛λ
⎪0λ-1-4 ⎪
=(λ-5)(λ+5)(λ-3)(λ+3)， 3）由λE -A =
-4-1λ0⎪ -1-40λ⎪⎪⎝⎭
可得 A 的特征值为λ1相应的特征向量为
=5, λ2=-5, λ3=3, λ4=-3，
α1=(1, 1, 1, 1), α2=(1, 1, -1, -1)，
α3=(-1, 1, -1, 1), α4=(1, -1, -1, 1)， η1=
将其正交单位化，可得标准正交基为
1
(1, 1, 1, 1), η2=1(1, 1, -1, -1)， 221
η3=(-1, 1, -1, 1), η4=(1, -1, -1, 1)，
2
故所求正交矩阵为
⎛1, 1, -1, 1⎫⎛5⎫ ⎪ ⎪1 1, 1, 1, -1⎪ -5⎪'
T AT = T = 且。 ⎪ ⎪1, -1, -1, -132
⎪ 1, -1, 1, 1⎪⎪ -3⎪⎝⎭⎝⎭
-33⎫⎛λ+13
⎪
-3⎪ 3λ+133
()(λ-8)， 4）由λE -A = =λ+4⎪-33λ+13
⎪ 3-33λ+1⎪⎝⎭
可得A 的特征值为λ1相应的特征向量为
=8, λ2=λ3=λ4=-4。
α1=(-1, 1, -1, 1), α2=(1, 1, 0, 0)，
α3=(1, 0, -1, 0), α4=(1, 0, 0, 1)，
正交化后得
β1=(-1, 1, -11), β2=(1, 1, 0, 0)，
β3= -
再单位化，可得 η1
11⎫⎛11⎫⎛1
1, 0⎪, β4= -1⎪，
3, 3, ⎭⎝2, 2, ⎭⎝3,
1⎫, 0, 0⎪， ⎭
11⎫⎛1⎛11
= --⎪, η2= ,
2, 2⎭⎝2, 2, ⎝⎛1
= -, ⎝
1, η3
⎫⎛12113⎫
， , 0⎪, , η= , -, , ⎪4⎪ ⎪222⎭⎭⎝2故所求正交矩阵为
⎛1
- 2 1 2
T =
-1 2 1 ⎝2111⎫
-⎪22⎪
⎛8⎫11⎪ ⎪-⎪⎪2⎪且 T ' AT = -4。 ⎪21⎪-40 ⎪ 2⎪-4⎪⎝⎭
⎪
00⎪
2⎭
⎛λ-1-1-1-1⎫ ⎪ -1λ-1-1-1⎪3
=λ(λ-4)， 5）由λE -A =
-1-1λ-1-1⎪ -1-1-1λ-1⎪⎪⎝⎭
可得A 的特征值为λ1相应的特征向量为
=4, λ2=λ3=λ4=0。
α1=(1, 1, 1, 1), α2=(-1, 1, 0, 0)，
α3=(-1, 0, 1, 0), α4=(-1, 0, 0, 1)， 将其正交化，可得
β1=(-1, 1, -1, 1), β2=(1, 1, 0, 0)，
β⎛3= ⎝-
11⎫⎛11⎫2, 2, 1, 0⎪⎭, β= 1
4⎝3, -3, 3, 1⎪⎭
，
再单位化后，有
η⎛11
1
1= ⎝-2, `2, -11⎫2, 2⎪⎛1⎭, η2= 0, 0⎫⎪⎝
2, 2, ⎪，
⎭
η123
=⎛ 1
⎝
-, , , 0⎫⎪⎪⎭, η⎛1114= ⎝2, -, 2, 故所求正交矩阵为
⎛ 1
11 -2 12-1⎫
21⎪⎪
⎪⎛ T = 1
2
-2⎪ 8⎫ ⎪且T ' AT = 0⎪⎪-1 021 22⎪ ⎪ 0⎪。 ⎪⎝0⎪ 1⎝2
00⎪
⎭
2⎪
⎭
18用正交线性替换化下列二次型为标准形：
1）x 2
1
+2x 222+3x 3-4x 1x 2-4x 2x 3； 2）x 2
1
-222-2x 23-4x 1x 2+4x 1x 3+8x 2x 3；
3）2x 1x 2+2x 3x 4；
4）x 2
1
+x 2222+x 3+x 4-2x 1x 2+6x 1x 3-4x 1x 4-4x 2x 3+6x 2x 4-2x 3x 4。
解 1) 设原二次型对应的矩阵为A ，则
⎛A = 1-20⎫
-22-2⎪⎪，
⎝0-23⎪⎭
且A 的特征多项式为
λE -=(λ-2)(λ+1)(λ-5) ，
特征值为
λ1=2, λ2=-1, λ3=5，
3⎫
2⎪⎪⎭，
相应的特征向量为
α1=(2, -1, -2), α2=(2, 2, 1)，
α3=(1, -2, 2)，
单位化后，有 η1
=
1
3(2, -1, -2), η12=3(2, 2, 1), η3=13
(1, -2, 2)， 令X=TY，其中
⎛221⎫
T =1
⎪3 -12-2 ⎪，
⎝212⎪⎭
则
X ' AX =2y 222
1-y 2+5y 3。
2) 原二次型对应的矩阵为
⎛1-2 A = 2⎫
-2-24⎪
⎪，
⎝242⎪⎭
且A 的特征多项式为 λE -=(λ+7)(λ-2) 2， 特征值为
λ1=-7, λ2=λ3=2。
相应的特征向量为
α1=(1, 2, -2), α2=(-2, 1, 0), α3=(2, 0, 1)， 正交化, 可得
β1=(1, 2, -2), β2=(-2, 1, 0), β⎛3= 2
4⎝5
,
5, 1⎫⎪⎭
， 再单位化, 有
η1
211=⎛ ⎝,
3, -2⎫
⎛23
3⎪⎭, η2= -, 5, 0⎫⎪⎪⎭, η3=⎛ 24⎝5⎝3, 35, 令X=TY，其中
5⎫
35⎪⎪⎭
，
⎛12 -
3
1 2
T =
3
-20 3⎝
则
2⎫⎪3⎪4⎪
， ⎪3⎪⎪3⎪⎭
22
X ' AX =-7y 12+2y 2+2y 3。
3) 原二次型对应的矩阵为
⎛0 1
A =
0 0⎝
特征值为
10000001
0⎫⎪0⎪， 1⎪⎪0⎪⎭
且A 的特征多项式为
λE -=(λ+1) 2(λ-1) 2， λ1=λ2=1, λ3=λ4=-1。
α1=(1, 1, 0, 0), α2=(0, 0, 1, 1)，
相应的特征向量为 标准正交基为
α3=(1, -1, 0, 0), α4=(0, 0, 1, -1)，
1
(1, 1, 0, 0), η2=1(0, 0, 1, 1)， 1
(1, -1, 0, 0), η4=(0, 0, 1, -1)， 2
η=
η3=
令X=TY，其中
⎛1 1 1T =
0 0⎝
则
010⎫
⎪
0-10⎪
，
101⎪
⎪
10-1⎪⎭
222
X ' AX =y 12+y 2-y 3-y 4。
4) 原二次型对应的矩阵为
⎛1-13-2⎫ ⎪ -11-23⎪
， A = ⎪3-21-1
-23-11⎪⎪⎝⎭
且A 的特征多项式为
λE -=(λ+1)(λ-1)(λ+3)(λ+7) ，
特征值为
λ1=1, λ2=7, λ3=-1, λ4=-3。
α1=(1, 1, 1, 1), α2=(-1, 1, -1, 1)，
相应的特征向量为
α3=(-1, -1, 1, 1), α4=(1, -1, -1, 1)，
标准正交基为
η1=
1
(1, 1, 1, 1), η2=1(-1, 1, -1, 1)， 22
η3=
令X=XY，其中
1
(-1, -1, 1, 1), η4=1(1, -1, -1, 1)， ⎛1-1-11⎫ ⎪1 11-1-1⎪T = ，
21-11-1⎪ 1111⎪⎪⎝⎭
故
222
X ' AX =y 12+7y 2-y 3-3y 4。
19. 设A 是n 级实对称矩阵，证明：A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零。 证明 二次型X
'
AX 经过正交变换X=TY，可使
22
， X ' AX =λ1y 12+λ2y 2+ +λn y n
其中λ1, λ2, , λn 为A 的特征根。由于A 为正定的充分必要条件是上式右端的二次型为正定，而后者为正定的充分必要条件是λi >0(i =1,2, , n ) ，即证。 20. 设A 是n 级实矩阵，证明：存在正交矩阵T 使T
'
AT 为三角矩阵的充分必要条件是A 的
特征多项式的根是实的。
证明 为确定起见，这里三角矩阵不妨设为上三角矩阵。
先证必要性，设
⎛c 11c 12 c 1n ⎫ ⎪
c 22 c 2n ⎪ '
T AT = ， ⎪
⎪ λ-c nn ⎪⎝⎭
其中T ，A 均为实矩阵，从而c ij 都是实数。又因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以
⎛λ-c 11-c 12 -c 1n ⎫ ⎪
λ-c -c 222n ⎪λE -A =λE -T -1AT = =(λ-c 11)(λ-c 22) (λ-c nn )
⎪
⎪ λ-c nn ⎪⎝⎭
从而A 的n 个特征根c 11, c 12, , c nn 均为实数。
再证充分性，设λ1, λ2, , λs 为A 的所有不同的实特征根，则A 与某一若尔当形矩阵J 相似，即存在可逆实矩阵P 0，使
P 0-1AP 0=J ，
其中
⎛J 1⎫ ⎪
J = ⎪， J S ⎪⎝⎭
而
⎛λi 1⎫ ⎪
λ1 ⎪i
⎪(i =1, 2, , s ) ， J i =
⎪
λi 1⎪
⎪λi ⎭⎝
由于λi 都是实数, 所以J 为上三角实矩阵。
另一方面，矩阵P 0可以分解为
P 0=T 0S 0，
其中T 0是正交矩阵，S 0为上三角矩阵，于是
-1-1
P 0-1AP 0=S 0T 0AT 0S 0=J ，
即
-1
-1
T 0-1AT 0=S 0JS 0。
由于S 0, J , S 0都是上三角矩阵，因而它们的乘积也为上三角矩阵，即证充分性。
21. 设A ，B 都是上三角实对称矩阵，证明；存在正交矩阵T 使T 条件是A ，B 的特征多项式的根全部相同。
证明 必要性是显然的，因为相似矩阵有相同的特征值。
现证充分性，设λ1, λ2, , λn 是A 的特征根，则它们也是B 的特征根。于是存在正交矩阵X 和Y ，使
-1
AT =B 的充分必要
⎛λ1
λ
X -1AX =
⎝
所以
YX
令T=XY
-1
-1
⎫⎪⎪⎪=Y ⎪λ4⎪⎭
-1
BY
，
AXY
-1
=B。
则T 也是正交矩阵，从而T
2
-1
AT=B,，即 证。
22. 设A 是n 级实对称矩阵，且A =A，证明：存在正交矩阵T 使得
⎛1⎫
⎪ 1⎪ ⎪ ⎪-1
T AT= 1⎪。
⎪0 ⎪ ⎪ ⎪
0⎝⎭
证 设λ是A 的任一特征值，ξ是属于λ的特征向量，则
A ξ=λ
由于
A =A⇒λ
又因为ξ
2
2
ξ, A2ξ=A(λξ)=λA ξ=λ2ξ，
ξ=λξ⇒(λ
2
-λ) ξ=0，
≠0，所以λ2-λ=0，即得
λ
1
=0,λ
2
=1。
j i
换句话说，A 的特征值不是1就是0。故存在正交矩阵T ，使
⎛1⎫ ⎪
1 ⎪ ⎪ ⎪-1
T AT= 1⎪。
⎪0 ⎪ ⎪ ⎪
0⎝⎭
上式中，对角线元素中1的个数为A 的特征值1的个数，0的个数是A 的特征值0的个数. 。
23. 证明：如果A是n 维欧氏空间的一个正交变换，那么A的不变子空间的正交补也是的A不变子空间。
证 设W 是A的任意一个不变子空间，现证W 也是A的不变子空间。 任取α∈W , 下证Aα∈W 。取ξ
⊥
⊥
⊥
1
，ξ
2
， ξ
m 是
W 的一组标准正交基，再扩
充成V 的一组标准正交基为ξ1，ξ
W=L (ξ1，ξ
因为A是正交变换，所以Aξ—子空间，Aξ
1
2
2
， ξ
m ),
m ，
ξ
⊥
m +1，
，ξn ，则
m +1，
， ξ，Aξ
W =L (ξ
，ξn ) 。
12
由于W 是A— Aξn 也是一组标准正交基，
，Aξ
2
Aξm ∈W ，且为的一组标准正交基，于是
Aξ
所以
m +1，
，Aξn ∈W ⊥，
m +1+ +kn
Aα=km +1AξAξn ∈W ⊥。
24. 欧氏空间V 中的线性变换A称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有 （Aα，β）= —（
。 α，Aβ）
证明： 1)A为反对称的充分必要条件是：A在一组标准正交基下的矩阵A为反对称的。
2) 如果V 1是反对称线性变换的不变子空间，则V 1也是。 证 1）必要性。设A是反对称的，ξ
1
⊥
，ξ
n
2
， ξ
n
是一组标准正交基。则
A ξi = ki 1ξ
(Aξi , ξ
由反对称知
j
1
+ki 2ξ
2
+ +kin ξ
j
(I=1,2,
,n) ，
)= k
, (Aξ
, ξi )= kji ，
111
(Aξi , ξ从而
j
)= —（ξi ，Aξ
j
）⇒ k
ij
= --kji ，
当i =j 时⎧0
k ij =⎨(i , j =1, 2, n ) ，
-k 当i ≠j 时⎩ji
故
k 12⎛0
0 -k
A (ξ1，ξ2， ξn )= (ξ1，ξ2， ξn ) 12
-k
⎝1n -k 2n
=(ξ1，ξ
2
k 1n ⎫
⎪
k 2n ⎪
⎪ ⎪
0⎪⎭
， ξ
2
n
) A，
充分性。设A在标准正交基ξ1，ξ
(Aξi , ξ
对任意α，β∈V ，设
， ξ下的矩阵为A，有已知，有
j
j
)= —（ξi ，Aξ
），
α=a 1ξ1+ +a n ξn ， β=b ξ1+ +b n ξn ，
则
（Aα，β）=（a 1A ξ1+ +a n A ξn , b 1ξ1+ +b n ξn ）=
同理
∑a b (A ξ, A ξ
i j
i
i , j
j
) 。
α, A β)=∑a i b j (ξi , A ξj )，
i , j
故
（Aα，β）= —（
所以A是反对称的。
2）任取α∈V 1 ，可证Aα∈V 1，即Aα∈V ，事实上，任取β
⊥
⊥
， α，Aβ）
∈V 1，由于V 1是
A子空间，因此Aβ∈V 1，而 α∈V 1
再由题设，A是反对称的，知
⊥
，故（
α，Aβ）=0。
α，Aβ）=0，
（Aα，β）= —（
⊥
由β的任意性，即证Aα∈V 。从而V 1也是A 子空间。
25. 证明:向量β∈V 1是向量α在子空间V 上的内射影的充分必要条件是：对任意ξ∈V 1,
1
有-β≤-ξ。
=β+γ, γ∈V 1⊥，
证 必要性，设β∈V 1是α在V 上的内射影，则α
⇒α-β=γ, α-β∈V 1⊥⇒α-β⊥V 1于是，∀ξ∈V 1, 有
α-β≤α-ξ.
充分性., 设α=β1+γ，β1∈V 1, γ∈V 1⊥, 那么是的内射影，由必要性的证明知-β1≤α-β, 另一方面，由充分性假设 又有α-β≤-β1, 所以-β=α-β.
因为α-β=β1+γ-β=(β1-β)+γ
(α-β，α-β)=((β1-β)+γ，(β1-β)+γ)
=(β1-β，β1-β)+(γ，γ)=(β1-β，β1-β)+(α-β1，α-β1)
由于α-β，α-β)=(α-β1，α-β), 因此(β1-β，β1-β)=0,
26设V 1
从而β1=β, 换句话说，β就是α在上的内射影。
, V 2是欧氏空间V 的两个子空间。证明：
(V 1+V 2)⊥=V 1⊥⋂V 2⊥
⊥⊥⊥
(V 1⋂V 2)=V 1+V 2
证
先证第一式设α∈V 1+V 2)，即α⊥V 1+V 2。对任意β∈V 1，有
⊥
β=β+0∈V 1+V 2, 于是α⊥β，所以α⊥V 1, α∈V 1⊥.
同理可证α∈V 2⊥. 从而α∈V 1⊥⋂V 2⊥，故(V 1+V 2)⊂V 1⊥⋂V 2⊥.
⊥
其次，任取α∈V ⋂V ，那么α∈V . 且α∈V , 即α⊥V 1, α⊥V 2, 任取β∈V 1+V 2，则β=β1+β2(β∈V 1, β∈V 2),
所以α⊥β, 由β的任意性，有α⊥(V 1+V 2), α∈(V 1+V 2).
⊥
⊥1⊥2⊥1⊥2
从而V 1
⊥
⋂V 2⊥⊂(V 1+V 2). 即证得(V 1+V 2)=V 1⊥⋂V 2⊥.
⊥
⊥
再证第二式. 用V 1
⊥
换V 1, V 2⊥换V 2, 得
⊥⊥
(V
⊥
1
+V 2
)=(V )⋂(V )
⊥⊥1
2
⊥⊥
=V 1⋂V 2，
所以
V 1⊥+V 2⊥=(V 1⋂V 2)⊥。
27. 求下列方程的最小二乘解
⎧0. 39x -1. 89y =1⎪0. 61x -1. 80y =1⎪
， ⎨
⎪0. 93x -1. 68y =1⎪⎩1. 35x -1. 50y =1
用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义，由此
列出方程并求解(用三位有效数字计算) 。 解 令
⎛0. 39
0. 61A =
0. 93 1. 35⎝-1. 89⎫⎛1⎫
⎪ ⎪-1. 80⎪⎛x ⎫ 1⎪
⎪()， =a , a , X =, B =12 ⎪⎪ ⎪-1. 681⎝y ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪-1. 50⎭⎝1⎭
⎛0. 39x -1. 89y ⎫
⎪ 0. 61x -1. 80y ⎪
Y =AX =a 1x +a 2y = ， ⎪0. 93x -1. 68y
1. 35x -1. 50y ⎪⎪⎝⎭
那么“到子空间距离最短的线是垂线”的意思就是
Y -B 的值最小，因而最小二乘解的几何意义是在L (a 1, a 2)中求B 的内射影Y 。
2
令C=B-Y，由最小二乘法可得A AX
'
=A ' B ，其中
⎛0. 39
⎛0. 390. 610. 931. 35⎫ 0. 61A ' A = -1. 89-1. 80-1. 68-1. 50⎪⎪ 0. 93
⎝⎭
1. 35⎝-1. 89⎫
⎪
-1. 80⎪⎛3. 2121-5. 4225⎫
⎪= ⎪，-1. 68⎪ -5. 422511. 884⎝⎭⎪
-1. 50⎪⎭
⎛1⎫
⎪
⎛0. 390. 610. 931. 35⎫ 1⎪⎛3. 28⎫A ' B = -1. 89-1. 80-1. 68-1. 50⎪⎪ 1⎪= -6. 87⎪⎪，
⎝⎭ ⎪⎝⎭
1⎪⎝⎭
即
x -5. 4225y =3. 28⎧3. 2121
， ⎨
⎩-5. 4225x +11. 884y =-6. 87
⎧x =0. 20
。 ⎨
⎩y =-0. 49
解之得
三、补充题参考解答
1． 证明：正交矩阵的实特征根为±1。
证 设A 正交矩阵A 是任一实特征值是λ，ζ是A 的对应于特征值λ的特征向量，则
于是
A ζ=λζ。
(ζ, ζ)=(A ζ, A ζ)=(λζ, λζ) =λ2(ζ, ζ)。
(ζ, ζ)≠0, 因而有λ2=1，又因为λ为实数，即证λ=±1.
因为A 是正交矩阵,
注意到
2. 证明：奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值。 证 则即
A |=1, 且n 为奇数，设A 的特征多项式为f (λ)=λE -A |,
(1)=E -A =A ' A -=(-1)n A ⋅E -A ' =-(E -A )' =-E -A =-f (1)。
1是A 的特征值。 f (1)=E -=0, 故
A =-1时，设A 的特征多项式为f (λ)=λE -A , 则
3. 证明：第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值。 证
当
f (-1)=(-1)E -A =∙-A ' -E =A (-E -A )' =A -E -=-f (-1)
即-
的特征值。 f (-1)=-E -A =0, 故-1是A
V 的一个变换, 证明:如果A保持内积不变, 即对于α, β∈V , 有 4. 设A是欧氏空间
(Aα, Aβ)=(α, β)那么它一定是线性的, 因而它是正交变换。
证
因为
(A(α+β)-Aα-Aβ, A(α+β)-Aα-Aβ)
=(A(α+β), A(α+β))-2(A(α+β), Aα)-2(A(α+β), Aβ)+
(Aα, Aα)+(Aβ, Aβ)+2(Aα, Aβ)=(α+β, α+β)-2(α+β, α)-2(α+β, β)+(α, α)+(β, β)+2(α, β)=(α, α)+2(α, β)+(β, β)-2(α, α)-2,
(α, β)-2(α, β)-2(β, β)+(α, α)+(β, β)+2(α, β)=0，
所以 故
A(α+β)-Aα-Aβ=0，
A(α+β)=Aα+Aβ。
又因为
(A(k α)-k Aα)=(A(k α), A(k α))-2(A(k α), k Aα)+(k Aα, k Aα)
2
=(k α, k α)-2k (k α, α)+k (α, α)
=k 2
所以
(α, α)-2k 2(α, α)+k 2(α, α)=0，
A(k α)=k A(α)。
. , A保持内积不变, 从而是正交变换。 即证A是线性变换由题设知
5．α1, α2, , αm 和β1, β2, , βm 是n 维欧氏空间中的两个向 量组, 证明存在一
个正交变换A, 使Aαi =βi (i =1, 2, , m )的充分必要条件为
(α, α)=(β, β)(i , j =1, 2, , m )。
i
j
i
j
证：下证充分性。
设α1, α2, , αm 的一个极大线性无关组为α1，α2， αr , 若记
⎛(α1，α1) (α1，αr )⎫ ⎪∆= ⎪，
(α, α) (α, α)⎪
r r ⎭⎝r 1
则有
(αi αj )=(βi , βj ), 知∆=∆≠0. 再由充分性假设
β2， , βr 线性无关。
(β1，β1)
(βr , β1)
(β1，βr
≠0，
(βr βr )
于是β1,
另一方面，因
α1, α2, , αm 中的任一向量αi (i =1, 2, , m )都可以由它的极大线性无关组α1，α2， ，αr 线性表出，即αi =k 1α1+k 2α2+ +k r αr (i =1, 2, , m )，
于是，在β1, β2, βm 中任取βi (i =1,2, , m ), 由
(α, α)=(β, β), 即知
i
j
i
j
(β
i
-k 1β1+k 2β2+ +k r βr , βi -k 1β1+k 2β2+ +k r βr =0，
)
从而βi
=∑k t βt , 即证β1, β2, , βr 是β1, β2, , βm 的一个极大线性无关组。
t =1
r
, 可得单位正交的向量组ε1, ε2, , εr , 且 再将α1, α2, , αr 正交单位化
(ε1, ε2, , εr )=(α1, α2, , αr )T
其中T 为上三角矩阵, 且对角线元素都是正实
:(η1, η2, , ηr ) =(β1, β2, , βr )T ， 数. 于是只要令
则由充分性假设
(α, α)=(β, β)知，η，η， ，η也是一个单位正交的向量组。
i
j
i
j
1
2
r
，εr 和η1，η2， ，ηr 扩充为n 维欧氏空间V 的 分别将单位正交的向量组ε1，ε2，
两组标准正交基
ε1, ε2, , εn 和η1, η2, ηn , 则存在可逆线性变换A，使
Aεi =ηi (i =1, 2, , n ) ，
且
（
β1β2 βr T=(η1, η2, ηn ) =(Aε1, Aε2, Aεr ) =A(ε1, ε2, εr ) =A(α1, α2, αn ) T
=(Aα1, Aα2, Aαn ) T， 即
Aαi =βi （I=1,2, , r ) ，
=∑κt αt ，有βi =∑κt βt , 故
i =1r
于是∀βi (i =1, 2, m ) ，由αi
r
i =1
Aαi =κ1Aα1+κ2Aα2+ +κr Aαr
=κ1β1+κ2β2
+ κn βr
=βi (I=1,2, , m ) ， 即证。
6．是n 级实对称矩阵，且A2
=E, 证明：存在正交矩阵T 使得
⎛Er
TAT= 0
⎝
-10⎫⎪。 -Er ⎪⎭
证 证法1 因为A 是n 级实对称矩阵，所以存在n 级矩阵Q ，使
Q -1AQ =diag {λ1, λ2, , λn }，
其中λ1, λ2, , λn 为A的n 个特征值（重根按重数列出）。于是
Q -1A 2Q =Q -1AQQ -1AQ =diag {λ1, λ2, λn }diag {λ1, λ2, λn }=diag {λ, λ, λ}
又因为A
22
1
22
2n
=E, 所以
22
E=Q -1EQ =Q -1A 2Q =diag {λ1, λ22, λn }。
因此
，不妨设λi =1的重数为r ，则λi =-1的重数为n-r 。只要将λi =±1（I=1,2, , n ）
λi =1集中排列在前面，则有正交矩阵T ，使
⎛Er
T-1AT= 0
⎝
0⎫⎪。 -En -r ⎪⎭
证法2 因为n 级实对称矩阵，且A2=E , 若令g(x)=χ2-1, 则g(x)为
A 的零多项式，且它无重根，故A 相似于对角矩阵，设λ为A 的任一特征 值，则λ=±1。不妨设λi 面，则有正交矩阵T，使
=-1的重数为n-r 。只要 将λi =1集中排列在前
0⎫
⎪。 -En -r ⎪⎭
⎛Er
TAT= 0
⎝
-1
7．设f(χ1, χ2, , χn )=X
'
AX 是一实二次型，λ1, λ2 λn 是A 的特征多项式的根，且
λ1≤λ2≤ ≤λn 。证明：对任意一个X ∈R n , 有
λ1X' X≤X' AX≤λn X' X。
Q ' AQ =diag {λ1, λ2, , λn }，
证 存在正交矩阵Q ，使
其中λ1≤λ2≤ ≤λn 为A的n 个特征值。作正交变换X=QY , 则实二次型可化为
2
f (x 1, x 2, x n ) =X ' AX =Y ' Q ' AQY =λ1y 12+λ2y 2+ +λn y n ，
由题设有λ≤λ2≤ ≤λn ，于是
2222
λ1Y ' Y =λ1(y 12+y 2+ +y n ) ≤X ' AX ≤λn (y 12+y 2+ +y n ) =λn Y ' Y ，
且 故
8．设二次型
n
X ' X =(QY ) ' (QY ) =Y ' Y ，
λ1X ' X ≤X ' AX ≤λn X ' X 。
f (x 1, x 2, x n ) 对应的矩阵为A ，λ是A 的特征多项式的根，证明：
-
-
-
存在R 中的非零向量(x 1, x 2, x n )
使的
f (x 1, x 2, x n ) =λ(x 1+x 2+ +x n ) 。
证 设
---
-2-2
-
2
λ是矩阵A 的特征值，则存在非零向量ε，使
Aε=λε，
-
-
-
其中ε
=(x 1, x 2, x n ) ，于是有
f (x 1, x 2, x n ) =εAε=ελε=λεε=(x 1+x 2+ +x n ) ，
-
-
-
'
'
-'
-2-2
-
2
即证。 9．1）设
α, β是欧氏空间中两个不同的单位向量，证明存在一镜面反射，使
A(α) =β。
2）证明：n 维欧氏空间中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。 η证 1）记n 维欧氏空间为V ，当为欧氏空间为V 的单位向量时，由
A (γ) =γ-2(η, γ) η(γ∈V ) ，
所确定的正交变换A 是一个镜面反射，代入单位向量α，有A (γ) =α-2(η, α) η, 若记β
=α-2(η, α) η，则α-β=2(η, α) η，因为α, β是欧氏空间中两个不同的
单位向量，所以(η, α) ≠0，故可解得η=
α-β
,
2(η, α)
其中
(η, α) =(
α-β11
, α) =[1-(β, α)]，即(η, α) 2=[1-(α, β)]，
22(η, α) 2(η, α)
于是只要取η=
α-β
，就有(η, η)=1，即η为欧氏空间V 中的单位向量，
从而A是一个镜面反射，且Aα=α-2η, α
()()η=β。
2) 设A是维欧氏空间V 的任一正交变换，取V 的一组标准正交基ε1, ε2, , εn ， 则η1=Aε1，η2=Aε2， , ηn =Aεn 也是V 的一组标准正交基。 此时，若η1
()()()
=ε1, η2=ε2, , ηn =εn ，则A 是一个恒等变换，只要作镜面反射
A 1(γ) =γ-2(ε1, γ) ε1(∀γ∈V ) ，
则有 A 1(ε1) =-ε1, A 1(εj ) =εj (j =2, 3, , n ) 且A =
A 1A 1，结论成立。
若ε1, ε2, , εn 与η1, η2, , ηn 不全相同，不妨设η1由1) 知, 存在镜面反射
≠ε1, 则η1, ε1为两个不同的单位向量，
A 1, 使A 1(ε1) =η1. 令A 1(εj ) =ξj (j =2, 3, , n ) , 若
ξj =ηj (j =2, 3, , n )
, 则
A =A 1, 结论成立。否则可设ξ2≠η2，再作镜面反射：
A 2(γ) =γ-2(η, γ) η(∀γ∈V ) , 其中η=
ξ2-η2
2[1-(2-2)]
, 则
A 2(ξ) =η2且
A 2(η1) =η1，如此继续下去，设
A A A
ε1, , εn −−→η1, ξ2, , ξn −−→η1, η2, ξ2, , ξn −−→ −−→η1, η2, , ηn ，
1
2
s
则A =
A s A s -1 A 2A 1，其中A j (j =1, 2, , s ) 都是镜面反射，即证。
10. 设A , B 是两个n ⨯n 实对称矩阵，且B 是正定矩阵，证明:存在一个n ⨯n 实可逆矩阵T 使
T ' AT 与T ' BT 同时为对角形。
证:因为B 是正定矩阵，所以存在一个n 阶实对称矩阵C ，使:C ' BC =E ，其中E 为n 阶单
位矩阵，又因为C ' AC 还是n 阶实对称矩阵，所以也存在一个n 阶正交矩阵Q ，使
Q ' (C ' AC ) Q =diag {λ1, λ2, , λn }，其中λ1, λ2, , λn 为C ' AC 的特征值，于是，只要令{λ1, λ2, , λn }, T =CQ ，就有T ' AT =Q ' (C ' AC ) Q =diag
且
T ' BT =Q ' (C ' BC ) Q =Q ' Q =E ， 即证。
11. 证明：酉空间中两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。
证:设ε1, , εn 与η1, η2, , ηn 分别为酉空间V 中两组标准正交基，且
⎛a 11 a 1n ⎫
⎪
(η11, η2, , ηn ) =(ε1, ε2, , εn ) ⎪=(ε1, ε2, , εn ) A
a a ⎪
nn ⎭⎝n 1
则
⎧1, i =j
。 (εi , εj ) =(ηi , ηj ) =⎨
⎩0, i ≠j
+ +a ni nj =(a 1i ε1+a 2i ε2+ +a ni εn , a 1j ε1+a 2j ε2+ +a nj εn )
⎧1, i =j
=(ηi , ηj ) =⎨
⎩0, i ≠j
于是，a 1i 1j
即A' A=E, 所以过渡矩阵A是酉矩阵。
12．酉矩阵的特征值根的模为1。
证 因为酉矩阵A 对应的变换是酉变换A，设A的任一特征值是λ，ε是A的对应于λ的特征向量，则
（ε，ε）=（Aε, Aε) =（λε, λε）=λλ(ε, ε) ， 注意到（ε，ε）≠0，因而有
-
-
λλ=1，
即
-
λ=1。
13．设A 是一个n 级可逆复矩阵，证明A可以分解成
A=UT，
其中U 是酉矩阵，T 是一个上三角矩阵：
⎛t 11t 12
0t 22
T=
00⎝ t 1n ⎫
⎪ t 2n ⎪
，
⎪
⎪ t nn ⎪⎭
其中对角元素t ii (i =1, 2, , n ) 都是正实数，并证明这中分解是唯一的。
证 设A=（α1, α2, , αn ) ，其中α1, α2, , αn 为A 的列向量，则由A 可逆知向 量组α1, α2, , αn 线性无关。由施密特正交化方法，可得
β1=α1⎧⎪(α, β) ββ2=α2-211⎪⎪(β1, β1) ， ⎨.......... .......... .......... . ⎪n -1
⎪βn =αn -∑(αn , βi ) βi ⎪i =1(βi , βi ) ⎩
其中βi (i =1, 2, , n ) 单位化，可得
γi =
1
βi
βi (i =1, 2, , n ) ，
则γ1, γ2, γn 是一组正交基，从而U=（γ1, γ2, γn ）为又酉矩阵，且可解得
⎛t 11t 12 t 1n ⎫ ⎪
t 22 t 2n ⎪
A=(α1, α2, , αn ) =(γ1, γ2, , γn ) =⎪
⎪ t nn ⎪⎝⎭
其中T 为上三角矩阵，且t ii
，
=βi >0(i =1, 2, , n ) 为正实数。
再证分解的唯一性，设还有酉矩阵U 1及对角线元素都是正实数的上三角形矩阵T 1，使得
A =U 1T 1，则 A =UT =U 1T 1，于是B =U -1U 1=TT 1-1既是一个酉矩阵，又是一个上三
角形矩阵，从而B 是对角矩阵，但B 的对角线元素都是正实数，即
B =diag {b 1, b 2, , b n }(b i >0, i =1, 2, , n ) ，
再由B 是酉矩阵，知B 是单位矩阵，故U
=U 1, T =T 1，即证。
14．证明：埃尔米特矩阵的特征值是实数，并且它的属于不同特征值的特征向量相互正交。 证：设λ是埃尔米特矩阵A 的任一特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，则有 =A , 于是 =, 因此有
A ξ=λξ，
' =，
λ==A ξ==()' ξ=，
=，即证λ为实数，另外λ, μ是A 的任意两个不
=λξ, A η=μη，由
即 (λ-) =0，但≠0，故λ
同的特征值，ξ, η分别为A 的对应于λ和μ的特征向量，则有：A ξ于(A ξ, η) =(ξ, A η) ，因此
λ(ξ, η) =(λξ, η) =(A ξ, η) =(ξ, A η) =(ξ, μη) =(ξ, η) =μ(ξ, η) ，
但λ≠μ，故（ξ, η) =0，即证A 的属于不同特征值的特征向量相互正交。
第九章 欧氏空间
1. 设A=a ij 是一个n 阶正定矩阵, 而
()
α=(x 1, x 2, , x n ) , β=(y 1, y 2, , y n ) ,
在R 中定义内积(α, β) =αAβ',
1) 证明在这个定义之下, 2) 求单位向量
n
R n 成一欧氏空间；
ε1=(1, 0, , 0) , ε2=(0, 1, , 0) , … , εn =(0, 0, , 1) ，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
'是R n 上的一个二元实函数，且 (α, β) =αAβ解 1) 易见
(1) (2) (3) (4)
(α, β) =αAβ'=(αAβ') '=βA'α'=βAα'=(β, α) ， (k α, β) =(k α) Aβ'=k (βAα') =k (β, α) ，
(α+β, γ) =(α+β) Aγ'=αAγ'+βA'γ'=(α, γ) +(β, γ) ，
(α, α) =αAα'=∑a ij x i y j ，
i , j
由于A 是正定矩阵，因此
∑a x y
ij i i , j
j
是正定而次型，从而(α, α) ≥0，且仅当α=0时有
(α, α) =0。
2) 设单位向量
ε1=(1, 0, , 0) , ε2=(0, 1, , 0) , … , εn =(0, 0, , 1) ，
的度量矩阵为
B =(b ij ) ，则
⎛a 11a 12
a a
b ij =(εi , εj ) =(0, , 1, 0) 2222
(i )
a
⎝n 1a n 2
⎛0⎫
a 1n ⎫ ⎪
⎪ ⎪
a 2n ⎪ ⎪
1(j ) =a ij ，(i , j =1, 2, , n ) ， ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ a nn ⎭ ⎪⎝0⎭
因此有B =A 。
4) 由定义，知
(α
, β) =∑a ij x i y j
i , j
α=，
β=
，
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
∑a x y
ij i i , j
j
≤
a y y
ij
i
i , j
j
2. 在R 中, 求α, β之间
4
>(内积按通常定义) ，设:
α=(2, 1, 3, 2) , β=(1, 2, -2, 1) ， α=(1, 2, 2, 3) , β=(3, 1, -5, 1) ，
α=(1, 1, 1, 2) , β=(3, 2, -1, 0) 。
(α, β) =2⨯1+1⨯2+3(-1) +2⨯1=0，
解 1) 由定义, 得
所以
=
2) 因为
π
2。
(α, β) =1⨯3+2⨯1+2⨯5+3⨯1=18， (α, β) =1⨯1+2⨯2+2⨯2+3⨯3=18， (α, β) =3⨯3+1⨯1+2⨯2+3⨯3=36，
cos =
所以
182
=
2，
=4。 3) 同理可得
π
(α, β) =3, (α, α) =17, (β, β) =3, cos =
3，
-1
=cos 所以
3
。
通常为α, β的距离，证明；
3.
d (α, β) =-β
d (α, β) ≤d (α, β) +d (β, γ) 。
证 由距离的定义及三角不等式可得
d (α, β) =-γ=(α-β) +(β-γ)
4
≤-β+β-γ
=d (α, β) +d (β, γ) 。
4在R 中求一单位向量与解 设α
(1, 1, -1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3)正交。
=(x 1, x 2, x 3, x 4)与三个已知向量分别正交，得方程组 ⎧x 1+x 2-x 3+x 4=0⎪
⎨x 1-x 2-x 3+x 4=0， ⎪2x +x +x +3x =0
4⎩123
因为方程组的系数矩阵A 的秩为3，所以可令 x 3=1⇒x 1
=4, x 2=0, x 4=-3，即α=(4, 0, 1, -3)。
11
(4, 0, 1, -3)， α=
a 再将其单位化，则 η=即为所求。
5．设α1, α2, αn 是欧氏空间V 的一组基，证明： 1） 如果γ
∈V 使(γ, αi )=0(i =1, 2, , n ), ，那么γ=0。
∈V 使对任一α∈V 有(γ1, α)=(γ2, α)，那么γ1=γ2。
2） 如果γ1, γ2
证 1) 因为α1, α2, αn 为欧氏空间V 的一组基，且对γ
∈V ，有
(γ, αi )=0(1, 2, , n ) ，
所以可设γ且有
=k 1α1+k 2α2+ k n αn ，
(γ, γ)=(γ, k 1α1+k 2α2+ +k n αn )
=k 1(γ, α1)+k 2(γ, α2)+ +k n (γ, αn )
即证γ
=0。
2) 由题设，对任一α∈V 总有
(γα)=(γ, α)
11
2
，
αi
也有
(γα)=(γ
11
i
2
, αi )，或者(γ1-γ2, αi )=0(i =1, 2, , n )，
=0，即证γ1=γ2。
再由1) 可得γ1-γ26设ε1, ε2, ε3是三
1
(2ε1+2ε2-ε3)31
α2=(2ε1-ε2+2ε3)
31
α3=(ε1-2ε2-2ε3)
3
α1=
也是一组标准正交基。 证 因为
91
=[(2ε1, 2ε1)+(2ε2, -ε2)+(-ε3, 2ε3)]
91
=[4+(-2) +(-2) ]=0，
9
同理可得 另一方面
(α1, α2)=1(2ε1+2ε2-ε3, 2ε1-ε2+2ε3)
(α1, α3)=(α2, α3)=0，
(α1, α1)=1(2ε1+2ε2-ε3, 2ε1+2ε2-ε3)
91
=[4(ε1, ε1)+4(ε2, ε2)+(-ε3, -ε3)] 91
=(4+4+1) =1， 9
同理可得
(α2, α2)=(α3, α3)=1，
即证α1, α2, α3也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
7. 设ε1, ε2, ε3, ε4, ε5也是五维欧氏V 空间中的一组标准正交基, V 1=L α2, α2, α3，其中
()
α1=ε1+ε5 , α2=ε1-ε2+ε4 , α3=2ε1+ε2+ε3，
求V 1 的一组标准正交基。
解 首先证明α1, α2, α3线性无关. 事实上，由
⎛11
0-1
(α1, α2, α3) =(ε1, ε2, ε3, ε4, ε5) 00
01 10⎝
⎛11
0-1
其中 A = 00
01 10⎝
将正交化，可得
2⎫⎪1⎪1⎪， ⎪0⎪0⎪⎭
2⎫
⎪1⎪
1⎪的秩为3，所以α1, α2, α3线性无关。 ⎪0⎪0⎪⎭
β1=α1=ε1+ε5， β2=α2-
(α2, β2) 11
=ε1-ε2+ε4-ε5
2， (β1, β1) 2
单位化，有
η1=
2
(ε1+ε5) ， 2
(ε-2ε2+2ε4-ε5) ， 10112
η2=
η3=(ε1+ε2+ε3-ε5) ，
则η1, η2, η3为V 1 的标准正交基。 8. 求齐次线性方程组
⎧2x 1+x 2-x 3+x 4-3x 5=0
⎨
x +x -x +x =0⎩1235
的解空间(作为R 的子空间) 的一组标准正交基。 解 由
5
⎧x 4-3x 5=-2x 1-x 2+x 3
⎨
⎩x 5=-x 1-x 2+x 3
可得基础解系为
α1=(1, 0, 0, -5, -1) ，α2=(0, 1, 0, -4, -1) ，α3=(0, 0, 1, 4, 1) ，
它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得
β1=α1=(1, 0, 0, -5, -1) ，
β2=α2-
(α2, β1) 1
β1=(-7, 9, 0, -1, -2)
(1, 1) 9
(α3, β1) (α, β) 1
β1-32β2=(7, 6, 15, 1, 2) ，
(β1, β1) (β2, β2) 15
，
β3=α3-
再将β1, β2, β3单位化, 可得 η1
=
111
(1, 0, 0, -5, -1) ，η2=(-7, 9, 0, -1, -2) ，η3=(7, 6, 15, 1, 2) ， 3则η1, η2, η3就是所求解空间的一组标准正交基。 9. 在R[X]4中定义内积为(f,g)=1. χ, χ2, χ3出发作正交化) 。 解 取R[X]4的一组基为α1
⎰
1
-1
f (x ) g (x ) dx 求R[X]4的一组标准正交基(由基
=1, α2=x , α3=x 2, α4=x 3, 将其正交化, 可得β1=α1=1，
β2=α2-
(α2, β1)
β1=x ，其中(α2, β1) =⎰-11x ∙1dx =0，又因为
(β1, β1)
2
(α3, β1) =(β2, β2) =⎰-11x 2dx =，
3
(β1, β1) =⎰-111∙1dx =2， (α3, β2) =⎰-11x 2∙xdx =0，
所以β3
=α3-
(α3, β1) (α, β) 1
β1-32β2=x 2-，
(β1, β1) (β2, β2) 3
(α, β) (α4, β1) (α, β) 3
β1-42β2-43β3=x 3-x ，
(β1, β1) (β2, β2) (β3, β3) 5
=1
同理可得β4=α4-
再将β1, β2, β3, β4单位化，即得η1
β1
β1=
， 2
η2=
1
2
β2=
23，η3=(3x -1) ，η4=(5x -3x ) ， 2x 44
则η1, η2, η3, η4即为所求的一组标准正交基。 10. 设V 是一n 维欧氏空间, α
≠0是V 中一固定向量,
1) 证明:V1={x |(x , a ) =0, x ∈V }是V 的一个子空间； 2) 证明:V1的维数等于n-1。
证 1) 由于00∈V 1, 因而V 1非空. 下面证明V 1对两种运算封闭. 事实上, 任取x 1, x 2∈V 1, 则有 (x 1, α) =(x 2, α) =0，于是又有(x 1+x 2, α) =(x 1+α) +(x 2
+α) =0，
所以x 1+x 2∈V 1。另一方面，也有 (kx 1, α) =k (x 1, α) =0， 即kx 1∈V 1。故V 1是V 的一个子空间。 2) 因为α
≠0是线性无关的，可将其扩充为V 的一组正交基α, η2, ηn ，且(ηi , α) =0
(i =2, 3, n ) ，下面只要证明:对任意的β∈V 1, β可以由η2, η3, ηn ηi ∈V 1(i =2,3, n ) 。线性表出，则V 1的维数就是n -1。
事实上，对任意的β∈V 1，都有β∈V ，于是有线性关系β且
=k 1α+k 2η2+ +k n ηn ，
(β, α) =k 1(α, α) +k 2(η2, α) + +k n (ηn , α) ，
(β, α) =(ηi , α) =0(i =1, 2, , n ) ，
≠0，故k 1=0，从而有β=k 2η2+ +k n ηn ，
但有假设知
所以k 1(α, α) =0，又因为α再由β的任意性，即证。
11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
证：1）设α1, α2, , αn 与β1, β2, , βn 是欧氏空间V 的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是
A =(a ij ) 和B =(b ij ) ，另外，设α1, α2, , αn 到β1, β2, , βn 的过渡矩阵为
⎧β1=c 11α1+c 12α2+ +c 1n αn ⎪
C =(c ij ) ，即⎨ ，
⎪β=c α+c α+ +c α
n 11n 22nn n ⎩n b ij =(βi , βj ) =(c 1i α1+ +c ni αn , c 1j α1+ +c nj αn )
=
∑c
k =1n
n
ki
(αk , c 1j α1+ +c nj αn ) c (αk , αs )
=
∑∑c
k =1s =1
n
ki sj
=
∑∑c
k =1s =1
n n
ki si
c αks ，
另一方面, 令
D =C ' A =(d ij ), C ' AC =DC =(e ij ) ，
n
则D 的元素为
d is =∑c ki αks ，
k =1
故C
'
AC 的元素
e ij =∑d is c sj =∑(∑c ki αks ) c sj =b ij (i , j =1, 2 , n ) ，
s =1
s =1n =1
n n n
即证C
'
AC =B 。再由α1, α2, , αn ; β1, β2, , βn , 皆为V 的基，所以C 非退化，从而B
A =(a ij ), 其中
与A 合同。
2）在欧氏空间V 中，任取一组基α1, α2, , αn ，它的度量矩阵为
αi j =(αi , αj ) ，且度量矩阵A 是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即E =C ' AC 。
于是只要
(β1, β2, , βn ) =(α1, α2, , αn ) C ，
则由上面1）可知基β1, β2, , βn 的度量矩阵为E ，这就是说，β1, β2, , βn 就是所求的标准正交基。 12．设
α1, α2, , αn
是n 维欧氏空间V 中的一组向量，而
⎛(α1, α1) (α1, α2) (α, α) (α, α)
22
∆= 21
⎝(αm , α1) (αm , α2) (α1, αm ) ⎫ (α2, αm ) ⎪⎪ ⎪
⎪
(αm , αm ) ⎭
证明：当且仅当∆≠0时α1, α2 , αm 线性无关。
证 设有线性关系
k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0，
将其分别与αi 取内积，可得方程组
k 1(αi , α1) +k 2(αi , α2) + +k m (αi , αm ) =0(i =1, 2, , m ) ，
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。
13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。 证 设
⎛a 11q 12
a 22
A =
⎝
⎛b 11b 12 b 1n ⎫ ⎪ a 1n ⎫
⎪b b 222n ⎪ a 2n ⎪A -1= ⎪也是上三为上三角矩阵，则
⎪ ⎪ ⎪b nn ⎪⎝⎭⎪a nn ⎭
-1
角矩阵。由于A 是正交阵，所以A =A ' ，即
⎛a 11⎫⎛b 11b 12 b 1n ⎫
⎪ ⎪a a b b 1222⎪ 222n ⎪= A = ， ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a a ⎪ b nn ⎪⎝1n 2n a nn ⎭⎝⎭
所以a ij
=0(i ≠j ) ，因而
⎛a 11⎫ ⎪
a ⎪222
A = 为对角阵。再由A ' A =E , 知a ii =1，即证a ii =1或-1。 ⎪
⎪ a nn ⎪⎝⎭
14．1）设A 为一个n 阶矩阵，且
A=
，
A ≠0，证明A 可以分解成
其中Q 是正交矩阵，T 是一上三角矩阵
⎛t 11t 12 t 1n ⎫ ⎪
t 22 t 2n ⎪
T = ， ⎪
⎪ t nn ⎪⎝⎭
且t ii
>0(i =1, 2 , n ) ，并证明这个分解是唯一的；
2) 设A 是n 阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T ，使
A =T ' T 。
证 1) 设A 的n 个列向量是a 1, a 2. a n , 由于A ≠0，因此a 1, a 2, , a n 是线性无关的。从
而它们也是V 的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为
1⎧
η=α1⎪11
⎪
11⎪η2=-(α2, η1) +α⎪
， ⎨β2β22
⎪ ⎪(α, η) (α, η) 1⎪η=-n 1η1- -n n -1ηn -1+αn
βn βn βn ⎪⎩
其中
β1=α1⎧
⎪β2=α2-(α2, η1) η1⎪
⎨，
⎪
⎪⎩βn =αn -(αn , η1) - -(αn , ηn -1) ηn -1α1=t 11η1⎧⎪α2=t 12η1+t 22η2⎪
⎨，
⎪
⎪⎩αn =t 1n η1+t 2n η2+ +t nn ηn
其中t ii
=βi >0(i =1, 2, , n ) 。即
⎛t 11t 12 t 1n ⎫
⎪
t t 222n ⎪ A =(α1, α2, αn ) =(η1, η2, , ηn ) ，
⎪
⎪ t nn ⎪⎝⎭⎛t 11 t 1n ⎫
⎪
⎪，则T 是上三角矩阵, 且主对角线元素t ii >0。 令T = t nn ⎪⎝⎭
另一方面，由于ηi 是n 维列向量，不妨记为
⎛b 1i ⎫
⎪ b 2i ⎪
ηi = ⎪(i =1, 2 , n ) ，
b ⎪⎪⎝ni ⎭
且令
⎛b 11 b 1n ⎫ ⎪
Q = ⎪=(η1, η2, , ηn ) ，
b b ⎪
nn ⎭⎝n 1
则有A =QT , 由于η1, η2, , ηn 是一组标准正交基，故Q 是正交矩阵。 再证唯一性，设A =Q 1T 1
=QT 是两种分解，其中Q , Q 1是正交矩阵，T , T 1是主对角线元素
-1
大于零的上三角阵，则Q 1
, 从而T 1T -1也是正交矩阵, Q =T 1T -1，由于Q 1-1Q 是正交矩阵
且T 1T -1为上三角阵，因此, T 1T -1是主对角线元为1或-1的对角阵，但是T 与T 1的主对角
即证T 1=T 。进而有Q =Q 1, =E ，
线元大于零，所以T 1T -1的主对角线元只能是1，故T 1T -1从而分解是唯一的。
2) 因为A 是正定的，所以A 与E 合同，即存在可逆阵C 使A =C ' C , 再由1) 知C =QT , 其中Q 是正交矩阵T 为三角阵，所以A =T ' Q ' QT 15. 设η是欧氏空间中一单位向量，定义A α
=T ' T 。
=α-2(η, α) η，
证明:1)A 是正交变换, 这样的正交变换称为镜面反射；
2) A 是第二类的；
3) 如果n 维欧氏空间中正交变换A 以1作为一个特征值, 且属于特征值1的特征子空间
V 1的维数为n -1，那么A 是镜面反射。
证:1)∀α, β, 有:A (k 1α+k 2β) =k 1α+k 2β
-2(η, k 1α+k 2β) η
=k 1α+k 2β-2k 1(η, α) η-2k 2(η, β) η=k 1A α+k 2A β，
所以A 是线性变换。 又因为
(A α, A β) =[α-2(η, α) η, β-2(η, β) η]
=(α, β) -2(η, α)(η, β) -2(η, α)(η, β) +4(η, α)(η, β)(η, η) ，
注意到(η, η) =1，故(A α, A β) =(α, β) , 此即A 是正交变换。
2) 由于η是单位向量，将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基η, ε2, , εn , 则
⎧A η=η-2(η, η) η=-η
， ⎨
A ε=ε-2(η, ε) η=ε(i =2, 3, , n ) i i i ⎩i
⎛-1⎫ ⎪
1 ⎪
即 A (η, ε2, , εn ) =(η, ε2, , εn ) ， ⎪
⎪ 1⎪⎝⎭
所以A 是第二类的。 3)
A 的特征值有n 个，由已知A 有n -1个特征值为
1，另一个不妨设为λ0，则存在
⎛λ0⎫
⎪
1 ⎪
一组基ε1, ε2, , εn 使A (ε1, , ε2, , εn ) =(ε1, ε2, , εn ) ， ⎪
⎪ 1⎪⎝⎭
因为A 是正交变换，所以(ε1, ε1) =(A ε1, A ε1) =λ0但λ0
2
(ε1, ε1) ，
≠0，所以λ0=-1，于是
A ε1=-ε1, A εi =εi (i =2, 3, , n )
(ε1, ε) =0(i =2, 3, , n )
现令η=
1
ε1
ε1，则η是单位向量，且与ε2, , εn 正交，则η, ε2, , εn 为欧氏空间 V
的 一组基。又因为
A η=A (
1
ε1
ε1) =
1
ε1
A ε1=
1
ε1
(-ε1) =-η
，
α=k 1η+k 2ε2+ +k n εn
A α=k 1A η+k 2A ε2+ +k n A εn =-k 1η+k 2ε2+ +k n εn ， (α, η) =(k 1η+k 2ε2+ +k n εn , η) =k 1，
所以
α-2(η, α) η=-k 1η+k 2ε2+ +k n εn ，即证。
=λξ，则
16. 证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数。 证:设ξ是属于特征值λ的特征向量，即A ξ
' A ξ=' (-A ' ξ) =-' A ' ξ=-(A )' ξ=-()' ξ，
于是
λ' ξ=-' ξ⇒λ=-，
令λ=a +bi ，可得a =0，即证λ=bi 。 17. 求正交矩阵T 使T ' AT 成对角形，其中A 为
⎛2-20⎫ ⎪
1) -21-2⎪ 2) 0-20⎪⎝⎭
⎛0
22-2⎛⎫
⎪ 025-4 3) ⎪ 4 -2-45⎪ ⎝⎭ 1
⎝
⎛1 1 1 1⎝
111111111⎫⎪1⎪ 1⎪⎪1⎪⎭
0144100
1⎫⎪4⎪ ⎪0⎪0⎪⎭
⎛-1-33-3⎫
⎪-3-1-33 ⎪4) 5)
3-3-1-3⎪ -33-3-1⎪⎪⎝⎭
解1）由
0⎫⎛λ-22 ⎪
λE -A = 2λ-12⎪=(λ-1)(λ-4)(λ+2)，
02λ⎪⎝⎭
可得A 的特征值为λ1对应的特征向量为
=1, λ2=4, λ3=-2。
α1=(-2, -1, 2), α2=(2, -2, 1), α3=(1, 2, 2),
⎫
⎪, ⎭
⎛122⎫
, ⎪, η3= , 333⎝⎭
⎫
⎪, ⎭
将其正交单位化，可得标准正交基为 η1
12⎛2
= -, -,
33⎝3⎝3
3
3
221
η2=⎛ , -,
故所求正交矩阵为
⎛-221⎫⎛1⎫
⎪ ⎪1 '
4 T = -1-22⎪且T AT = ⎪。
3 12⎪-2⎪⎝2⎭⎝⎭2⎫⎛λ-2-2 ⎪2
λE -=2λ-542）由 ⎪=(λ-1)(λ-10)，
24λ-5⎪⎝⎭
可得 A 的特征值为λ1
=λ2=1, λ3=10。
λ3=10的特征向量为
α1=(-1, -2, 1),
λ1=λ2=1的特征向量为
正交化，可得
α2=(-2, 1, 0), α3=(2, 1, 1),
⎫
β1=(-1, -2, 2), β2=(-2, 1, 0), β3=⎛ , , 1⎪， =
1
(-1, -2, 2), η2=1(-2, 1, 0), η3=1(2, 4, 5)， 3324
⎝55⎭
再单位化，有:η1
于是所求正交矩阵为
⎛12 --
3
1 2
T = -
3
20 3⎝2⎫⎪3⎪⎛10⎫
⎪4⎪
1⎪。 且T ' AT = ⎪3⎪ 1⎪⎝⎭⎪
3⎪⎭
0-4-1⎫⎛λ
⎪0λ-1-4 ⎪
=(λ-5)(λ+5)(λ-3)(λ+3)， 3）由λE -A =
-4-1λ0⎪ -1-40λ⎪⎪⎝⎭
可得 A 的特征值为λ1相应的特征向量为
=5, λ2=-5, λ3=3, λ4=-3，
α1=(1, 1, 1, 1), α2=(1, 1, -1, -1)，
α3=(-1, 1, -1, 1), α4=(1, -1, -1, 1)， η1=
将其正交单位化，可得标准正交基为
1
(1, 1, 1, 1), η2=1(1, 1, -1, -1)， 221
η3=(-1, 1, -1, 1), η4=(1, -1, -1, 1)，
2
故所求正交矩阵为
⎛1, 1, -1, 1⎫⎛5⎫ ⎪ ⎪1 1, 1, 1, -1⎪ -5⎪'
T AT = T = 且。 ⎪ ⎪1, -1, -1, -132
⎪ 1, -1, 1, 1⎪⎪ -3⎪⎝⎭⎝⎭
-33⎫⎛λ+13
⎪
-3⎪ 3λ+133
()(λ-8)， 4）由λE -A = =λ+4⎪-33λ+13
⎪ 3-33λ+1⎪⎝⎭
可得A 的特征值为λ1相应的特征向量为
=8, λ2=λ3=λ4=-4。
α1=(-1, 1, -1, 1), α2=(1, 1, 0, 0)，
α3=(1, 0, -1, 0), α4=(1, 0, 0, 1)，
正交化后得
β1=(-1, 1, -11), β2=(1, 1, 0, 0)，
β3= -
再单位化，可得 η1
11⎫⎛11⎫⎛1
1, 0⎪, β4= -1⎪，
3, 3, ⎭⎝2, 2, ⎭⎝3,
1⎫, 0, 0⎪， ⎭
11⎫⎛1⎛11
= --⎪, η2= ,
2, 2⎭⎝2, 2, ⎝⎛1
= -, ⎝
1, η3
⎫⎛12113⎫
， , 0⎪, , η= , -, , ⎪4⎪ ⎪222⎭⎭⎝2故所求正交矩阵为
⎛1
- 2 1 2
T =
-1 2 1 ⎝2111⎫
-⎪22⎪
⎛8⎫11⎪ ⎪-⎪⎪2⎪且 T ' AT = -4。 ⎪21⎪-40 ⎪ 2⎪-4⎪⎝⎭
⎪
00⎪
2⎭
⎛λ-1-1-1-1⎫ ⎪ -1λ-1-1-1⎪3
=λ(λ-4)， 5）由λE -A =
-1-1λ-1-1⎪ -1-1-1λ-1⎪⎪⎝⎭
可得A 的特征值为λ1相应的特征向量为
=4, λ2=λ3=λ4=0。
α1=(1, 1, 1, 1), α2=(-1, 1, 0, 0)，
α3=(-1, 0, 1, 0), α4=(-1, 0, 0, 1)， 将其正交化，可得
β1=(-1, 1, -1, 1), β2=(1, 1, 0, 0)，
β⎛3= ⎝-
11⎫⎛11⎫2, 2, 1, 0⎪⎭, β= 1
4⎝3, -3, 3, 1⎪⎭
，
再单位化后，有
η⎛11
1
1= ⎝-2, `2, -11⎫2, 2⎪⎛1⎭, η2= 0, 0⎫⎪⎝
2, 2, ⎪，
⎭
η123
=⎛ 1
⎝
-, , , 0⎫⎪⎪⎭, η⎛1114= ⎝2, -, 2, 故所求正交矩阵为
⎛ 1
11 -2 12-1⎫
21⎪⎪
⎪⎛ T = 1
2
-2⎪ 8⎫ ⎪且T ' AT = 0⎪⎪-1 021 22⎪ ⎪ 0⎪。 ⎪⎝0⎪ 1⎝2
00⎪
⎭
2⎪
⎭
18用正交线性替换化下列二次型为标准形：
1）x 2
1
+2x 222+3x 3-4x 1x 2-4x 2x 3； 2）x 2
1
-222-2x 23-4x 1x 2+4x 1x 3+8x 2x 3；
3）2x 1x 2+2x 3x 4；
4）x 2
1
+x 2222+x 3+x 4-2x 1x 2+6x 1x 3-4x 1x 4-4x 2x 3+6x 2x 4-2x 3x 4。
解 1) 设原二次型对应的矩阵为A ，则
⎛A = 1-20⎫
-22-2⎪⎪，
⎝0-23⎪⎭
且A 的特征多项式为
λE -=(λ-2)(λ+1)(λ-5) ，
特征值为
λ1=2, λ2=-1, λ3=5，
3⎫
2⎪⎪⎭，
相应的特征向量为
α1=(2, -1, -2), α2=(2, 2, 1)，
α3=(1, -2, 2)，
单位化后，有 η1
=
1
3(2, -1, -2), η12=3(2, 2, 1), η3=13
(1, -2, 2)， 令X=TY，其中
⎛221⎫
T =1
⎪3 -12-2 ⎪，
⎝212⎪⎭
则
X ' AX =2y 222
1-y 2+5y 3。
2) 原二次型对应的矩阵为
⎛1-2 A = 2⎫
-2-24⎪
⎪，
⎝242⎪⎭
且A 的特征多项式为 λE -=(λ+7)(λ-2) 2， 特征值为
λ1=-7, λ2=λ3=2。
相应的特征向量为
α1=(1, 2, -2), α2=(-2, 1, 0), α3=(2, 0, 1)， 正交化, 可得
β1=(1, 2, -2), β2=(-2, 1, 0), β⎛3= 2
4⎝5
,
5, 1⎫⎪⎭
， 再单位化, 有
η1
211=⎛ ⎝,
3, -2⎫
⎛23
3⎪⎭, η2= -, 5, 0⎫⎪⎪⎭, η3=⎛ 24⎝5⎝3, 35, 令X=TY，其中
5⎫
35⎪⎪⎭
，
⎛12 -
3
1 2
T =
3
-20 3⎝
则
2⎫⎪3⎪4⎪
， ⎪3⎪⎪3⎪⎭
22
X ' AX =-7y 12+2y 2+2y 3。
3) 原二次型对应的矩阵为
⎛0 1
A =
0 0⎝
特征值为
10000001
0⎫⎪0⎪， 1⎪⎪0⎪⎭
且A 的特征多项式为
λE -=(λ+1) 2(λ-1) 2， λ1=λ2=1, λ3=λ4=-1。
α1=(1, 1, 0, 0), α2=(0, 0, 1, 1)，
相应的特征向量为 标准正交基为
α3=(1, -1, 0, 0), α4=(0, 0, 1, -1)，
1
(1, 1, 0, 0), η2=1(0, 0, 1, 1)， 1
(1, -1, 0, 0), η4=(0, 0, 1, -1)， 2
η=
η3=
令X=TY，其中
⎛1 1 1T =
0 0⎝
则
010⎫
⎪
0-10⎪
，
101⎪
⎪
10-1⎪⎭
222
X ' AX =y 12+y 2-y 3-y 4。
4) 原二次型对应的矩阵为
⎛1-13-2⎫ ⎪ -11-23⎪
， A = ⎪3-21-1
-23-11⎪⎪⎝⎭
且A 的特征多项式为
λE -=(λ+1)(λ-1)(λ+3)(λ+7) ，
特征值为
λ1=1, λ2=7, λ3=-1, λ4=-3。
α1=(1, 1, 1, 1), α2=(-1, 1, -1, 1)，
相应的特征向量为
α3=(-1, -1, 1, 1), α4=(1, -1, -1, 1)，
标准正交基为
η1=
1
(1, 1, 1, 1), η2=1(-1, 1, -1, 1)， 22
η3=
令X=XY，其中
1
(-1, -1, 1, 1), η4=1(1, -1, -1, 1)， ⎛1-1-11⎫ ⎪1 11-1-1⎪T = ，
21-11-1⎪ 1111⎪⎪⎝⎭
故
222
X ' AX =y 12+7y 2-y 3-3y 4。
19. 设A 是n 级实对称矩阵，证明：A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零。 证明 二次型X
'
AX 经过正交变换X=TY，可使
22
， X ' AX =λ1y 12+λ2y 2+ +λn y n
其中λ1, λ2, , λn 为A 的特征根。由于A 为正定的充分必要条件是上式右端的二次型为正定，而后者为正定的充分必要条件是λi >0(i =1,2, , n ) ，即证。 20. 设A 是n 级实矩阵，证明：存在正交矩阵T 使T
'
AT 为三角矩阵的充分必要条件是A 的
特征多项式的根是实的。
证明 为确定起见，这里三角矩阵不妨设为上三角矩阵。
先证必要性，设
⎛c 11c 12 c 1n ⎫ ⎪
c 22 c 2n ⎪ '
T AT = ， ⎪
⎪ λ-c nn ⎪⎝⎭
其中T ，A 均为实矩阵，从而c ij 都是实数。又因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以
⎛λ-c 11-c 12 -c 1n ⎫ ⎪
λ-c -c 222n ⎪λE -A =λE -T -1AT = =(λ-c 11)(λ-c 22) (λ-c nn )
⎪
⎪ λ-c nn ⎪⎝⎭
从而A 的n 个特征根c 11, c 12, , c nn 均为实数。
再证充分性，设λ1, λ2, , λs 为A 的所有不同的实特征根，则A 与某一若尔当形矩阵J 相似，即存在可逆实矩阵P 0，使
P 0-1AP 0=J ，
其中
⎛J 1⎫ ⎪
J = ⎪， J S ⎪⎝⎭
而
⎛λi 1⎫ ⎪
λ1 ⎪i
⎪(i =1, 2, , s ) ， J i =
⎪
λi 1⎪
⎪λi ⎭⎝
由于λi 都是实数, 所以J 为上三角实矩阵。
另一方面，矩阵P 0可以分解为
P 0=T 0S 0，
其中T 0是正交矩阵，S 0为上三角矩阵，于是
-1-1
P 0-1AP 0=S 0T 0AT 0S 0=J ，
即
-1
-1
T 0-1AT 0=S 0JS 0。
由于S 0, J , S 0都是上三角矩阵，因而它们的乘积也为上三角矩阵，即证充分性。
21. 设A ，B 都是上三角实对称矩阵，证明；存在正交矩阵T 使T 条件是A ，B 的特征多项式的根全部相同。
证明 必要性是显然的，因为相似矩阵有相同的特征值。
现证充分性，设λ1, λ2, , λn 是A 的特征根，则它们也是B 的特征根。于是存在正交矩阵X 和Y ，使
-1
AT =B 的充分必要
⎛λ1
λ
X -1AX =
⎝
所以
YX
令T=XY
-1
-1
⎫⎪⎪⎪=Y ⎪λ4⎪⎭
-1
BY
，
AXY
-1
=B。
则T 也是正交矩阵，从而T
2
-1
AT=B,，即 证。
22. 设A 是n 级实对称矩阵，且A =A，证明：存在正交矩阵T 使得
⎛1⎫
⎪ 1⎪ ⎪ ⎪-1
T AT= 1⎪。
⎪0 ⎪ ⎪ ⎪
0⎝⎭
证 设λ是A 的任一特征值，ξ是属于λ的特征向量，则
A ξ=λ
由于
A =A⇒λ
又因为ξ
2
2
ξ, A2ξ=A(λξ)=λA ξ=λ2ξ，
ξ=λξ⇒(λ
2
-λ) ξ=0，
≠0，所以λ2-λ=0，即得
λ
1
=0,λ
2
=1。
j i
换句话说，A 的特征值不是1就是0。故存在正交矩阵T ，使
⎛1⎫ ⎪
1 ⎪ ⎪ ⎪-1
T AT= 1⎪。
⎪0 ⎪ ⎪ ⎪
0⎝⎭
上式中，对角线元素中1的个数为A 的特征值1的个数，0的个数是A 的特征值0的个数. 。
23. 证明：如果A是n 维欧氏空间的一个正交变换，那么A的不变子空间的正交补也是的A不变子空间。
证 设W 是A的任意一个不变子空间，现证W 也是A的不变子空间。 任取α∈W , 下证Aα∈W 。取ξ
⊥
⊥
⊥
1
，ξ
2
， ξ
m 是
W 的一组标准正交基，再扩
充成V 的一组标准正交基为ξ1，ξ
W=L (ξ1，ξ
因为A是正交变换，所以Aξ—子空间，Aξ
1
2
2
， ξ
m ),
m ，
ξ
⊥
m +1，
，ξn ，则
m +1，
， ξ，Aξ
W =L (ξ
，ξn ) 。
12
由于W 是A— Aξn 也是一组标准正交基，
，Aξ
2
Aξm ∈W ，且为的一组标准正交基，于是
Aξ
所以
m +1，
，Aξn ∈W ⊥，
m +1+ +kn
Aα=km +1AξAξn ∈W ⊥。
24. 欧氏空间V 中的线性变换A称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有 （Aα，β）= —（
。 α，Aβ）
证明： 1)A为反对称的充分必要条件是：A在一组标准正交基下的矩阵A为反对称的。
2) 如果V 1是反对称线性变换的不变子空间，则V 1也是。 证 1）必要性。设A是反对称的，ξ
1
⊥
，ξ
n
2
， ξ
n
是一组标准正交基。则
A ξi = ki 1ξ
(Aξi , ξ
由反对称知
j
1
+ki 2ξ
2
+ +kin ξ
j
(I=1,2,
,n) ，
)= k
, (Aξ
, ξi )= kji ，
111
(Aξi , ξ从而
j
)= —（ξi ，Aξ
j
）⇒ k
ij
= --kji ，
当i =j 时⎧0
k ij =⎨(i , j =1, 2, n ) ，
-k 当i ≠j 时⎩ji
故
k 12⎛0
0 -k
A (ξ1，ξ2， ξn )= (ξ1，ξ2， ξn ) 12
-k
⎝1n -k 2n
=(ξ1，ξ
2
k 1n ⎫
⎪
k 2n ⎪
⎪ ⎪
0⎪⎭
， ξ
2
n
) A，
充分性。设A在标准正交基ξ1，ξ
(Aξi , ξ
对任意α，β∈V ，设
， ξ下的矩阵为A，有已知，有
j
j
)= —（ξi ，Aξ
），
α=a 1ξ1+ +a n ξn ， β=b ξ1+ +b n ξn ，
则
（Aα，β）=（a 1A ξ1+ +a n A ξn , b 1ξ1+ +b n ξn ）=
同理
∑a b (A ξ, A ξ
i j
i
i , j
j
) 。
α, A β)=∑a i b j (ξi , A ξj )，
i , j
故
（Aα，β）= —（
所以A是反对称的。
2）任取α∈V 1 ，可证Aα∈V 1，即Aα∈V ，事实上，任取β
⊥
⊥
， α，Aβ）
∈V 1，由于V 1是
A子空间，因此Aβ∈V 1，而 α∈V 1
再由题设，A是反对称的，知
⊥
，故（
α，Aβ）=0。
α，Aβ）=0，
（Aα，β）= —（
⊥
由β的任意性，即证Aα∈V 。从而V 1也是A 子空间。
25. 证明:向量β∈V 1是向量α在子空间V 上的内射影的充分必要条件是：对任意ξ∈V 1,
1
有-β≤-ξ。
=β+γ, γ∈V 1⊥，
证 必要性，设β∈V 1是α在V 上的内射影，则α
⇒α-β=γ, α-β∈V 1⊥⇒α-β⊥V 1于是，∀ξ∈V 1, 有
α-β≤α-ξ.
充分性., 设α=β1+γ，β1∈V 1, γ∈V 1⊥, 那么是的内射影，由必要性的证明知-β1≤α-β, 另一方面，由充分性假设 又有α-β≤-β1, 所以-β=α-β.
因为α-β=β1+γ-β=(β1-β)+γ
(α-β，α-β)=((β1-β)+γ，(β1-β)+γ)
=(β1-β，β1-β)+(γ，γ)=(β1-β，β1-β)+(α-β1，α-β1)
由于α-β，α-β)=(α-β1，α-β), 因此(β1-β，β1-β)=0,
26设V 1
从而β1=β, 换句话说，β就是α在上的内射影。
, V 2是欧氏空间V 的两个子空间。证明：
(V 1+V 2)⊥=V 1⊥⋂V 2⊥
⊥⊥⊥
(V 1⋂V 2)=V 1+V 2
证
先证第一式设α∈V 1+V 2)，即α⊥V 1+V 2。对任意β∈V 1，有
⊥
β=β+0∈V 1+V 2, 于是α⊥β，所以α⊥V 1, α∈V 1⊥.
同理可证α∈V 2⊥. 从而α∈V 1⊥⋂V 2⊥，故(V 1+V 2)⊂V 1⊥⋂V 2⊥.
⊥
其次，任取α∈V ⋂V ，那么α∈V . 且α∈V , 即α⊥V 1, α⊥V 2, 任取β∈V 1+V 2，则β=β1+β2(β∈V 1, β∈V 2),
所以α⊥β, 由β的任意性，有α⊥(V 1+V 2), α∈(V 1+V 2).
⊥
⊥1⊥2⊥1⊥2
从而V 1
⊥
⋂V 2⊥⊂(V 1+V 2). 即证得(V 1+V 2)=V 1⊥⋂V 2⊥.
⊥
⊥
再证第二式. 用V 1
⊥
换V 1, V 2⊥换V 2, 得
⊥⊥
(V
⊥
1
+V 2
)=(V )⋂(V )
⊥⊥1
2
⊥⊥
=V 1⋂V 2，
所以
V 1⊥+V 2⊥=(V 1⋂V 2)⊥。
27. 求下列方程的最小二乘解
⎧0. 39x -1. 89y =1⎪0. 61x -1. 80y =1⎪
， ⎨
⎪0. 93x -1. 68y =1⎪⎩1. 35x -1. 50y =1
用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义，由此
列出方程并求解(用三位有效数字计算) 。 解 令
⎛0. 39
0. 61A =
0. 93 1. 35⎝-1. 89⎫⎛1⎫
⎪ ⎪-1. 80⎪⎛x ⎫ 1⎪
⎪()， =a , a , X =, B =12 ⎪⎪ ⎪-1. 681⎝y ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪-1. 50⎭⎝1⎭
⎛0. 39x -1. 89y ⎫
⎪ 0. 61x -1. 80y ⎪
Y =AX =a 1x +a 2y = ， ⎪0. 93x -1. 68y
1. 35x -1. 50y ⎪⎪⎝⎭
那么“到子空间距离最短的线是垂线”的意思就是
Y -B 的值最小，因而最小二乘解的几何意义是在L (a 1, a 2)中求B 的内射影Y 。
2
令C=B-Y，由最小二乘法可得A AX
'
=A ' B ，其中
⎛0. 39
⎛0. 390. 610. 931. 35⎫ 0. 61A ' A = -1. 89-1. 80-1. 68-1. 50⎪⎪ 0. 93
⎝⎭
1. 35⎝-1. 89⎫
⎪
-1. 80⎪⎛3. 2121-5. 4225⎫
⎪= ⎪，-1. 68⎪ -5. 422511. 884⎝⎭⎪
-1. 50⎪⎭
⎛1⎫
⎪
⎛0. 390. 610. 931. 35⎫ 1⎪⎛3. 28⎫A ' B = -1. 89-1. 80-1. 68-1. 50⎪⎪ 1⎪= -6. 87⎪⎪，
⎝⎭ ⎪⎝⎭
1⎪⎝⎭
即
x -5. 4225y =3. 28⎧3. 2121
， ⎨
⎩-5. 4225x +11. 884y =-6. 87
⎧x =0. 20
。 ⎨
⎩y =-0. 49
解之得
三、补充题参考解答
1． 证明：正交矩阵的实特征根为±1。
证 设A 正交矩阵A 是任一实特征值是λ，ζ是A 的对应于特征值λ的特征向量，则
于是
A ζ=λζ。
(ζ, ζ)=(A ζ, A ζ)=(λζ, λζ) =λ2(ζ, ζ)。
(ζ, ζ)≠0, 因而有λ2=1，又因为λ为实数，即证λ=±1.
因为A 是正交矩阵,
注意到
2. 证明：奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值。 证 则即
A |=1, 且n 为奇数，设A 的特征多项式为f (λ)=λE -A |,
(1)=E -A =A ' A -=(-1)n A ⋅E -A ' =-(E -A )' =-E -A =-f (1)。
1是A 的特征值。 f (1)=E -=0, 故
A =-1时，设A 的特征多项式为f (λ)=λE -A , 则
3. 证明：第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值。 证
当
f (-1)=(-1)E -A =∙-A ' -E =A (-E -A )' =A -E -=-f (-1)
即-
的特征值。 f (-1)=-E -A =0, 故-1是A
V 的一个变换, 证明:如果A保持内积不变, 即对于α, β∈V , 有 4. 设A是欧氏空间
(Aα, Aβ)=(α, β)那么它一定是线性的, 因而它是正交变换。
证
因为
(A(α+β)-Aα-Aβ, A(α+β)-Aα-Aβ)
=(A(α+β), A(α+β))-2(A(α+β), Aα)-2(A(α+β), Aβ)+
(Aα, Aα)+(Aβ, Aβ)+2(Aα, Aβ)=(α+β, α+β)-2(α+β, α)-2(α+β, β)+(α, α)+(β, β)+2(α, β)=(α, α)+2(α, β)+(β, β)-2(α, α)-2,
(α, β)-2(α, β)-2(β, β)+(α, α)+(β, β)+2(α, β)=0，
所以 故
A(α+β)-Aα-Aβ=0，
A(α+β)=Aα+Aβ。
又因为
(A(k α)-k Aα)=(A(k α), A(k α))-2(A(k α), k Aα)+(k Aα, k Aα)
2
=(k α, k α)-2k (k α, α)+k (α, α)
=k 2
所以
(α, α)-2k 2(α, α)+k 2(α, α)=0，
A(k α)=k A(α)。
. , A保持内积不变, 从而是正交变换。 即证A是线性变换由题设知
5．α1, α2, , αm 和β1, β2, , βm 是n 维欧氏空间中的两个向 量组, 证明存在一
个正交变换A, 使Aαi =βi (i =1, 2, , m )的充分必要条件为
(α, α)=(β, β)(i , j =1, 2, , m )。
i
j
i
j
证：下证充分性。
设α1, α2, , αm 的一个极大线性无关组为α1，α2， αr , 若记
⎛(α1，α1) (α1，αr )⎫ ⎪∆= ⎪，
(α, α) (α, α)⎪
r r ⎭⎝r 1
则有
(αi αj )=(βi , βj ), 知∆=∆≠0. 再由充分性假设
β2， , βr 线性无关。
(β1，β1)
(βr , β1)
(β1，βr
≠0，
(βr βr )
于是β1,
另一方面，因
α1, α2, , αm 中的任一向量αi (i =1, 2, , m )都可以由它的极大线性无关组α1，α2， ，αr 线性表出，即αi =k 1α1+k 2α2+ +k r αr (i =1, 2, , m )，
于是，在β1, β2, βm 中任取βi (i =1,2, , m ), 由
(α, α)=(β, β), 即知
i
j
i
j
(β
i
-k 1β1+k 2β2+ +k r βr , βi -k 1β1+k 2β2+ +k r βr =0，
)
从而βi
=∑k t βt , 即证β1, β2, , βr 是β1, β2, , βm 的一个极大线性无关组。
t =1
r
, 可得单位正交的向量组ε1, ε2, , εr , 且 再将α1, α2, , αr 正交单位化
(ε1, ε2, , εr )=(α1, α2, , αr )T
其中T 为上三角矩阵, 且对角线元素都是正实
:(η1, η2, , ηr ) =(β1, β2, , βr )T ， 数. 于是只要令
则由充分性假设
(α, α)=(β, β)知，η，η， ，η也是一个单位正交的向量组。
i
j
i
j
1
2
r
，εr 和η1，η2， ，ηr 扩充为n 维欧氏空间V 的 分别将单位正交的向量组ε1，ε2，
两组标准正交基
ε1, ε2, , εn 和η1, η2, ηn , 则存在可逆线性变换A，使
Aεi =ηi (i =1, 2, , n ) ，
且
（
β1β2 βr T=(η1, η2, ηn ) =(Aε1, Aε2, Aεr ) =A(ε1, ε2, εr ) =A(α1, α2, αn ) T
=(Aα1, Aα2, Aαn ) T， 即
Aαi =βi （I=1,2, , r ) ，
=∑κt αt ，有βi =∑κt βt , 故
i =1r
于是∀βi (i =1, 2, m ) ，由αi
r
i =1
Aαi =κ1Aα1+κ2Aα2+ +κr Aαr
=κ1β1+κ2β2
+ κn βr
=βi (I=1,2, , m ) ， 即证。
6．是n 级实对称矩阵，且A2
=E, 证明：存在正交矩阵T 使得
⎛Er
TAT= 0
⎝
-10⎫⎪。 -Er ⎪⎭
证 证法1 因为A 是n 级实对称矩阵，所以存在n 级矩阵Q ，使
Q -1AQ =diag {λ1, λ2, , λn }，
其中λ1, λ2, , λn 为A的n 个特征值（重根按重数列出）。于是
Q -1A 2Q =Q -1AQQ -1AQ =diag {λ1, λ2, λn }diag {λ1, λ2, λn }=diag {λ, λ, λ}
又因为A
22
1
22
2n
=E, 所以
22
E=Q -1EQ =Q -1A 2Q =diag {λ1, λ22, λn }。
因此
，不妨设λi =1的重数为r ，则λi =-1的重数为n-r 。只要将λi =±1（I=1,2, , n ）
λi =1集中排列在前面，则有正交矩阵T ，使
⎛Er
T-1AT= 0
⎝
0⎫⎪。 -En -r ⎪⎭
证法2 因为n 级实对称矩阵，且A2=E , 若令g(x)=χ2-1, 则g(x)为
A 的零多项式，且它无重根，故A 相似于对角矩阵，设λ为A 的任一特征 值，则λ=±1。不妨设λi 面，则有正交矩阵T，使
=-1的重数为n-r 。只要 将λi =1集中排列在前
0⎫
⎪。 -En -r ⎪⎭
⎛Er
TAT= 0
⎝
-1
7．设f(χ1, χ2, , χn )=X
'
AX 是一实二次型，λ1, λ2 λn 是A 的特征多项式的根，且
λ1≤λ2≤ ≤λn 。证明：对任意一个X ∈R n , 有
λ1X' X≤X' AX≤λn X' X。
Q ' AQ =diag {λ1, λ2, , λn }，
证 存在正交矩阵Q ，使
其中λ1≤λ2≤ ≤λn 为A的n 个特征值。作正交变换X=QY , 则实二次型可化为
2
f (x 1, x 2, x n ) =X ' AX =Y ' Q ' AQY =λ1y 12+λ2y 2+ +λn y n ，
由题设有λ≤λ2≤ ≤λn ，于是
2222
λ1Y ' Y =λ1(y 12+y 2+ +y n ) ≤X ' AX ≤λn (y 12+y 2+ +y n ) =λn Y ' Y ，
且 故
8．设二次型
n
X ' X =(QY ) ' (QY ) =Y ' Y ，
λ1X ' X ≤X ' AX ≤λn X ' X 。
f (x 1, x 2, x n ) 对应的矩阵为A ，λ是A 的特征多项式的根，证明：
-
-
-
存在R 中的非零向量(x 1, x 2, x n )
使的
f (x 1, x 2, x n ) =λ(x 1+x 2+ +x n ) 。
证 设
---
-2-2
-
2
λ是矩阵A 的特征值，则存在非零向量ε，使
Aε=λε，
-
-
-
其中ε
=(x 1, x 2, x n ) ，于是有
f (x 1, x 2, x n ) =εAε=ελε=λεε=(x 1+x 2+ +x n ) ，
-
-
-
'
'
-'
-2-2
-
2
即证。 9．1）设
α, β是欧氏空间中两个不同的单位向量，证明存在一镜面反射，使
A(α) =β。
2）证明：n 维欧氏空间中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。 η证 1）记n 维欧氏空间为V ，当为欧氏空间为V 的单位向量时，由
A (γ) =γ-2(η, γ) η(γ∈V ) ，
所确定的正交变换A 是一个镜面反射，代入单位向量α，有A (γ) =α-2(η, α) η, 若记β
=α-2(η, α) η，则α-β=2(η, α) η，因为α, β是欧氏空间中两个不同的
单位向量，所以(η, α) ≠0，故可解得η=
α-β
,
2(η, α)
其中
(η, α) =(
α-β11
, α) =[1-(β, α)]，即(η, α) 2=[1-(α, β)]，
22(η, α) 2(η, α)
于是只要取η=
α-β
，就有(η, η)=1，即η为欧氏空间V 中的单位向量，
从而A是一个镜面反射，且Aα=α-2η, α
()()η=β。
2) 设A是维欧氏空间V 的任一正交变换，取V 的一组标准正交基ε1, ε2, , εn ， 则η1=Aε1，η2=Aε2， , ηn =Aεn 也是V 的一组标准正交基。 此时，若η1
()()()
=ε1, η2=ε2, , ηn =εn ，则A 是一个恒等变换，只要作镜面反射
A 1(γ) =γ-2(ε1, γ) ε1(∀γ∈V ) ，
则有 A 1(ε1) =-ε1, A 1(εj ) =εj (j =2, 3, , n ) 且A =
A 1A 1，结论成立。
若ε1, ε2, , εn 与η1, η2, , ηn 不全相同，不妨设η1由1) 知, 存在镜面反射
≠ε1, 则η1, ε1为两个不同的单位向量，
A 1, 使A 1(ε1) =η1. 令A 1(εj ) =ξj (j =2, 3, , n ) , 若
ξj =ηj (j =2, 3, , n )
, 则
A =A 1, 结论成立。否则可设ξ2≠η2，再作镜面反射：
A 2(γ) =γ-2(η, γ) η(∀γ∈V ) , 其中η=
ξ2-η2
2[1-(2-2)]
, 则
A 2(ξ) =η2且
A 2(η1) =η1，如此继续下去，设
A A A
ε1, , εn −−→η1, ξ2, , ξn −−→η1, η2, ξ2, , ξn −−→ −−→η1, η2, , ηn ，
1
2
s
则A =
A s A s -1 A 2A 1，其中A j (j =1, 2, , s ) 都是镜面反射，即证。
10. 设A , B 是两个n ⨯n 实对称矩阵，且B 是正定矩阵，证明:存在一个n ⨯n 实可逆矩阵T 使
T ' AT 与T ' BT 同时为对角形。
证:因为B 是正定矩阵，所以存在一个n 阶实对称矩阵C ，使:C ' BC =E ，其中E 为n 阶单
位矩阵，又因为C ' AC 还是n 阶实对称矩阵，所以也存在一个n 阶正交矩阵Q ，使
Q ' (C ' AC ) Q =diag {λ1, λ2, , λn }，其中λ1, λ2, , λn 为C ' AC 的特征值，于是，只要令{λ1, λ2, , λn }, T =CQ ，就有T ' AT =Q ' (C ' AC ) Q =diag
且
T ' BT =Q ' (C ' BC ) Q =Q ' Q =E ， 即证。
11. 证明：酉空间中两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。
证:设ε1, , εn 与η1, η2, , ηn 分别为酉空间V 中两组标准正交基，且
⎛a 11 a 1n ⎫
⎪
(η11, η2, , ηn ) =(ε1, ε2, , εn ) ⎪=(ε1, ε2, , εn ) A
a a ⎪
nn ⎭⎝n 1
则
⎧1, i =j
。 (εi , εj ) =(ηi , ηj ) =⎨
⎩0, i ≠j
+ +a ni nj =(a 1i ε1+a 2i ε2+ +a ni εn , a 1j ε1+a 2j ε2+ +a nj εn )
⎧1, i =j
=(ηi , ηj ) =⎨
⎩0, i ≠j
于是，a 1i 1j
即A' A=E, 所以过渡矩阵A是酉矩阵。
12．酉矩阵的特征值根的模为1。
证 因为酉矩阵A 对应的变换是酉变换A，设A的任一特征值是λ，ε是A的对应于λ的特征向量，则
（ε，ε）=（Aε, Aε) =（λε, λε）=λλ(ε, ε) ， 注意到（ε，ε）≠0，因而有
-
-
λλ=1，
即
-
λ=1。
13．设A 是一个n 级可逆复矩阵，证明A可以分解成
A=UT，
其中U 是酉矩阵，T 是一个上三角矩阵：
⎛t 11t 12
0t 22
T=
00⎝ t 1n ⎫
⎪ t 2n ⎪
，
⎪
⎪ t nn ⎪⎭
其中对角元素t ii (i =1, 2, , n ) 都是正实数，并证明这中分解是唯一的。
证 设A=（α1, α2, , αn ) ，其中α1, α2, , αn 为A 的列向量，则由A 可逆知向 量组α1, α2, , αn 线性无关。由施密特正交化方法，可得
β1=α1⎧⎪(α, β) ββ2=α2-211⎪⎪(β1, β1) ， ⎨.......... .......... .......... . ⎪n -1
⎪βn =αn -∑(αn , βi ) βi ⎪i =1(βi , βi ) ⎩
其中βi (i =1, 2, , n ) 单位化，可得
γi =
1
βi
βi (i =1, 2, , n ) ，
则γ1, γ2, γn 是一组正交基，从而U=（γ1, γ2, γn ）为又酉矩阵，且可解得
⎛t 11t 12 t 1n ⎫ ⎪
t 22 t 2n ⎪
A=(α1, α2, , αn ) =(γ1, γ2, , γn ) =⎪
⎪ t nn ⎪⎝⎭
其中T 为上三角矩阵，且t ii
，
=βi >0(i =1, 2, , n ) 为正实数。
再证分解的唯一性，设还有酉矩阵U 1及对角线元素都是正实数的上三角形矩阵T 1，使得
A =U 1T 1，则 A =UT =U 1T 1，于是B =U -1U 1=TT 1-1既是一个酉矩阵，又是一个上三
角形矩阵，从而B 是对角矩阵，但B 的对角线元素都是正实数，即
B =diag {b 1, b 2, , b n }(b i >0, i =1, 2, , n ) ，
再由B 是酉矩阵，知B 是单位矩阵，故U
=U 1, T =T 1，即证。
14．证明：埃尔米特矩阵的特征值是实数，并且它的属于不同特征值的特征向量相互正交。 证：设λ是埃尔米特矩阵A 的任一特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，则有 =A , 于是 =, 因此有
A ξ=λξ，
' =，
λ==A ξ==()' ξ=，
=，即证λ为实数，另外λ, μ是A 的任意两个不
=λξ, A η=μη，由
即 (λ-) =0，但≠0，故λ
同的特征值，ξ, η分别为A 的对应于λ和μ的特征向量，则有：A ξ于(A ξ, η) =(ξ, A η) ，因此
λ(ξ, η) =(λξ, η) =(A ξ, η) =(ξ, A η) =(ξ, μη) =(ξ, η) =μ(ξ, η) ，
但λ≠μ，故（ξ, η) =0，即证A 的属于不同特征值的特征向量相互正交。