立体几何
空间几何体
1、棱柱、圆柱，棱锥、圆锥，棱台、圆台，球的概念与分类及性质。它们的表面积与体积的计算。
棱柱：
(1)棱柱的概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。
(2)棱柱的分类：
1）按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；
2）按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形、、、、、、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，、、、3) 底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。底面为矩形的直平行六面体叫长方体，各棱长相等的长方体叫正方体。注正四棱柱一定是长方体，但长方体不一定是正四棱柱，直平行六面体一定是直四棱柱但直四棱柱不一定是直平行六面体。
(3)、棱柱的性质：1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。2）与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。4) 棱柱的侧面积=直截面(垂直于侧棱的截面) 的周长×侧棱长，棱柱的体积=底面积×高。
(4)、平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的性质：
1) 平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
2）平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和
2 2AC 1=AC1=AB+AD+AA1； ()
3）长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
4）若长方体的一条对角线与过这一条对角线的一端的三个相邻面所成的角分别为α，β，γ，则Sin 2α+sin2β+sin2γ=1；
5）长方体的体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则
Sin 2α+sin2β+sin2γ=2；
6）长方体的对角线等于它的外接球的直径；
7）正方体的内切球的直径等于正方形的边长。和正方体各棱切的球的直径等于正方形的面对角线；
8）{平行六面体}⊃≠{直平行六面体}⊃≠{长方体}⊃≠{正四棱柱}⊃≠{正方体}；
圆柱：一个矩形绕着一边旋转一周所得的几何体。
棱锥：
(1)棱锥的概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面。过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。
(2)、锥的分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥„
(3)、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。经过棱锥的高的中点且平行于底面的截面叫中截面，中截面的面积是底面面积的1/4。
(4)、正棱锥的概念与性质：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。性质：1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R 、底面的半边长可组成四个直角三角形。
(5)、棱锥的体积公式：V ＝ 1Sh (S是棱锥的底面积，h 是棱锥的高) 3
提醒：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积；棱锥的全面积＝侧面积＋底面积。
圆锥：一个直角三角形绕着一边旋转一周所得的几何体。它的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长是底面圆的周长。扇形的半径等于母线长。
棱台：一个棱锥被平行于底面的平面所截，夹在底面与截面间的几何体叫棱台。 圆台：一个直角梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周所得的几何体。
S=π(
r 1+r 2)l 母线，V=11S 上S 下h =π(r 12+r 1r 2+r 22)h 33()
球：(1)、球的概念：与定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。定点叫做球心。定长叫做球的半径。球面：与定点的距离等于定长的点的集合叫做球面。
(2)、球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面。球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 之间的关系：r ＝R 2-d 2 。
大圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。小圆：
球面被不经过球心的平面截得
的圆叫做小圆。经过球面上两点的大圆，当这两点与球心不共线时，有且只有一个。当这两点与球心共线时有无数个。
(3)球面距离：球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做这两点的球面距离。它等于球心角×半径。
(4)球的体积和表面积公式：V ＝πR , S =4πR
(5)正四面体的边长为a ，则它的外接球的半径、内切球的半径、棱切球的半径分别为
4332⎛3⎫, , ⎪⎪， ⎝⎭
正方体的边长为a ，则它的外接球的半径、内切球的半径、棱切球的半径分别为
⎫1⎛, a , a , a , 对角线为a ⎪⎪
22 2⎝⎭
A
C
2、三视图与直观图的画法。
1）、直观图的画法（斜二侧画法规则）：已知图形中平行于横轴和竖轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于纵轴的线段，在直观图中其长度为原来的一半。原来平行的线段仍然平行，原来相交的线段仍然相交，但角度可能发生变化。把直观图还原成原来水平放置的图形时，应先把与横轴成45的线段还原成与横轴成直角的线段。
2）、三视图的画法：正视图（从前向后看）、俯视图（从上往下看）、侧视图（从左往右看，也叫左视图）。
点、直线、平面的位置关系
1、确定平面的4个公理或定理，(1)不共线的3点确定一个平面，(2)两条相交直线确定一个平面，(3)两条平行直线确定一个平面，(4)一条直线和直线外一点确定一个平面。
确定直线在平面内的定理：如果直线上有两个点在平面内，则直线在平面内。
两个平面的公共点的个数定理：如果两个平面有一个公共点，则必有无数个公共点，且这些公共点的个数在同一条直线上。此定理常用来判断空间三线共点。
2、点、线、面的位置关系的表示方法。
3、平行公理：平行于同一直线的两直线互相平行，它反应了平行线的传递性。注意：相交线和异面直线没有传递性。
4、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。当一边平行且方向相同而另一边的方向相反时，这两个角互补。可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别平行并且方向相同，那么这两个二面角相等。当一个半平面平行且方向相同而另一个半平面的方向相反时，这两个二面角互补。
但注意：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。不可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补。
5、空间直线的位置关系：（1）相交直线：有且只有一个公共点。（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线：不在任何一个平面内，也没有公共点。两条异面直线的作图，常借助于辅助平面。
异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
异面直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b 是异面直线，经过空间一点O ，分别引直线a '//a , b '//b , 相交直线a ＇，b ＇所成的锐角（直角）叫异面直线a,b 所成的角
⎛π⎤θ∈ 0, ⎥，求异面直线的夹角常用平移法和向量法。 ⎝2⎦
6、异面直线的距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条。（2）求异面直线的距离的常用方法有：1）直接找公垂线段而求之。2）转化为求直线到平面的距离，即
过其中一条直线作平面和平行另一条直线。3）利用向量法：常利用端点在两条异面直线上的有向线段
CD ∙n 在公垂线的方向向量上的投影。如图： AB为公垂线段，AB = n
异面直线上两点的距离公式：已知两条异面直线
a,b 所成的角为θ，在a,b 上分别取点E ，F ，已知AB 为公垂线段，长度为d,BE ＝m,AF=n,EF=l则l （同侧为减，异侧为加）
7、(1)直线与平面的位置关系：1）直线在平面内, 2）直线与平面相交， 3）直线与平面平行, 其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。
(2)直线与平面平行的判定：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行。简称为“线线平行，则线面平行。”
判定直线与平面平行的方法还有：1）面α//面β，a ⊆α⇒a //β, 2）b ⊥α, a ⊥b , a ⊄α⇒a //α
直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，交线和这条直线平行，简称为“线面平行，则线线平行”。
(3) 直线与平面垂直的概念：如果一条直线和平平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。公理：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。
直线和平面垂直的判定：1）一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。2）两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。
直线和平面垂直的性质定理：（1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。（2）如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
8、(1)平面与平面的位置关系：1）平行＿＿没有公共点，2）相交＿＿有且只有一条公共直线。两个平面的公共点都在同一条直线上。
(2)两个平面平行的判定：1) 一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。简称为“线面平行，则面面平行”，2) 推论：如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行。3) 垂直于同一条直线的两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：1) 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交
线平行。
2) 两个平行平面之间的距离处处相等，夹在两个平行平面之间的平行线段也相等。
3) 如果两个平面平行，那么一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。
(3) 两个平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两个平面垂直的性质定理：1) 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2) 如果两个平面垂直，那么从一个平面内一点作另一个平面的垂线必在第一个平面内。
9、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
10、直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。特别当一条直线和平面垂直时，就说直线与平面所成的角是直角，当一条直线在平面内或和这个平面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0°，所以直线和平面所成的角的范围是⎢0, ⎡π⎤ ⎥⎣2⎦
利用法向量可处理线面角问题
设 θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量与平面α的法向量之间的夹角，则有ϕ=π
2-θ（图1）或ϕ=π
2+θ（图2）
n
v
v 1 n 11、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。设AB 是平面ａ的一条斜线，A 为斜足，直线m 是平面ａ内任一直线，AB ′是AB 在平面ａ内的射影。θ为AB 和m 所成的角，θ1
为AB 和射影所成的角，θ2射影AB ′和m 所成的角，则cos θ=cosθ1cos θ2
重要应用：空间两条异面直线L1与L2所成的角为α≠
与L1，L2所成的角都是β，这样的直线L 可作多少条？
分析：（1）若β∈（0，α/2），则这样的直线L 有0π，过空间一定点P 作直线L 2
（2）若β＝α/2，则这样的直线有1条
（3）若β∈（α/2，
（4）若β＝π-α2），则这样的直线L 有2条 π-α
2
2，则这样的直线L 有3条 （5）若β∈（
（6）若β＝π-α，π），则这样的直线L 有4条 2π，则这样的直线L 有1条 2
12、二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面， 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面，棱为l ，两个面分别为α，β的二面角记为α-l-β, 一个平面垂直于二面角α-l-β的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA ，OB ，O 为垂足，则∠AOB 叫做二面角α-l-β, 的平面角。
一个二面角的大小可用它的平面角的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］
计算二面角的方法：（1）定义法(常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线，，再解直角三角形) 。（2）射影面积法，（3）有平面角向量法(常用基向量法) ，(4)法向量法(常用坐标法) ：α或π－α
利用法向量可处理二面角问题
设 n 1, n 2分别为平面α, β的法向量，二面角α-l -β的大小为θ，向量
n 1, n 2的夹角为ϕ，则有θ+ϕ=π（图3）或 θ=ϕ（图4）
n n l
典型例题：
一、多面体及球体的概念、性质、计算： 例1. （2012年全国课标卷理5分）已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，∆ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2；则此棱锥的体积为
【 】
(A )
(B
) (C
) (D )
例2. （2012年重庆市理5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1
a ，且长为a
a 的取值范围是【 】
（A
） （B
） （C
） （D
）
例3. （2012年上海市理4分）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC =2，若AD =2c ，且AB +BD =AC +CD =2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是
.
例4. （2012年山东省理4分）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1。E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为 。
例5. （2012年江苏省5分）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =3cm ，AA 1=2cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为．
3
二、由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算： 例1. （2012年全国课标卷理5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为【 】
例2. （2012年北京市理5分）某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是【 】
A. 28+
30+
56+
60+
(A ) 6 (B ) 9 (C ) 12 (D ) 18
例3. （2012年广东省理5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为【 】
A ．12π B.45π C.57π D.81π
例4. （2012年湖北省理5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【 】
A. 8π10π B.3π C. D.6π 33
例5. （2012年湖南省理5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是【 】
例6. （2012年福建省理5分）一个几何体的三视图形状都相同大小均相等，那么这个几何体不可以是【 】
A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱
例1. （2012年福建省理13分） 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．
（I ）求证：B 1E ⊥AD 1；
（II ）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；
（III ）若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．
E 分例2. （2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB 11=AC 11，D ，F 为B 1C 1的中点． CC 1上的点（点D 不同于点C ）别是棱BC ，，且AD ⊥DE ，
求证：（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； （2）直线A 1F //平面ADE ．
例1. （2012年浙江省理5分）已知矩形ABCD ，AB =
1，BC =∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，【 】
A．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直 B．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直 C．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直
D．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直
例2. （2012年北京市理14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE 折起到△A1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2.
（1）求证：A 1C⊥平面BCDE ；
（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；
（3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由
例3. （2012年湖南省理12分） 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面
ABCD , AB =4, BC =3, AD =5，∠DAB =∠ABC =90︒, E 是CD 的中点.
（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；
（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥
P -ABCD 的体积.
五、关于空间距离和空间角的问题：
例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知正四棱柱ABCD -
A 1B 1C 1D 1中，
AB =2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1 与平面BED 的距离为【 】
A ．2 B
．
．1
例2. （2012年陕西省理5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，CA =CC 1=2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为【 】
例3. （2012年全国大纲卷理5分）三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，
3
5
∠BAA 1=∠CAA 1=600，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为。
例4. （2012年全国大纲卷理12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，
PA ⊥底面ABCD
，AC =PA =2，E 是PC 上的一点，PE =2EC 。
（1）证明：PC ⊥平面BED ；
（2）设二面角A -PB -C 为900，求PD 与平面PBC 所成角的大小。
例5. （2012年全国课标卷理12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，
AC =BC =
1
AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD 2
（1）证明：DC 1⊥BC （2）求二面角A 1-BD -C 1的大小。
例6. （2012年上海市理12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点. 已知AB=2，AD=2，PA=2.求：
（1）三角形PCD 的面积；（6分）
（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小. （6分）
例7. （2012年四川省理12分） 如图，在三棱锥P -ABC 中，∠APB =90，
∠PAB =60 ，AB =BC =CA ，平面PAB ⊥平面ABC 。
（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小。
例8. （2012年天津市理13分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA 丄平面ABCD ，
AC 丄AD ，AB 丄BC ，∠ABC =450，PA =AD =2，AC =1.
(Ⅰ)证明PC 丄AD ；
（Ⅱ）求二面角A -PC -D 的正弦值；
（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30
，求AE 的长.
例9. （2012年山东省理12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD ，AE⊥BD，CB=CD=CF。
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F －BD －C 的余弦值。
例10. （2012年广东省理13分）如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，
PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。
（1）证明：BD ⊥平面PAC ；
（2）若PA =1，AD =2，求二面角B-PC-A 的正切值
.
例11. （2012年江西省理12分）在三棱柱ABC -
A 1B 1C 1中，已知
AB =AC =AA 1=BC =4，在A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O 。
（1）证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长； （2）求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值。
1
立体几何
空间几何体
1、棱柱、圆柱，棱锥、圆锥，棱台、圆台，球的概念与分类及性质。它们的表面积与体积的计算。
棱柱：
(1)棱柱的概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。
(2)棱柱的分类：
1）按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；
2）按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形、、、、、、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，、、、3) 底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。底面为矩形的直平行六面体叫长方体，各棱长相等的长方体叫正方体。注正四棱柱一定是长方体，但长方体不一定是正四棱柱，直平行六面体一定是直四棱柱但直四棱柱不一定是直平行六面体。
(3)、棱柱的性质：1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。2）与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。4) 棱柱的侧面积=直截面(垂直于侧棱的截面) 的周长×侧棱长，棱柱的体积=底面积×高。
(4)、平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的性质：
1) 平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
2）平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和
2 2AC 1=AC1=AB+AD+AA1； ()
3）长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
4）若长方体的一条对角线与过这一条对角线的一端的三个相邻面所成的角分别为α，β，γ，则Sin 2α+sin2β+sin2γ=1；
5）长方体的体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则
Sin 2α+sin2β+sin2γ=2；
6）长方体的对角线等于它的外接球的直径；
7）正方体的内切球的直径等于正方形的边长。和正方体各棱切的球的直径等于正方形的面对角线；
8）{平行六面体}⊃≠{直平行六面体}⊃≠{长方体}⊃≠{正四棱柱}⊃≠{正方体}；
圆柱：一个矩形绕着一边旋转一周所得的几何体。
棱锥：
(1)棱锥的概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面。过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。
(2)、锥的分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥„
(3)、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。经过棱锥的高的中点且平行于底面的截面叫中截面，中截面的面积是底面面积的1/4。
(4)、正棱锥的概念与性质：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。性质：1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R 、底面的半边长可组成四个直角三角形。
(5)、棱锥的体积公式：V ＝ 1Sh (S是棱锥的底面积，h 是棱锥的高) 3
提醒：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积；棱锥的全面积＝侧面积＋底面积。
圆锥：一个直角三角形绕着一边旋转一周所得的几何体。它的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长是底面圆的周长。扇形的半径等于母线长。
棱台：一个棱锥被平行于底面的平面所截，夹在底面与截面间的几何体叫棱台。 圆台：一个直角梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周所得的几何体。
S=π(
r 1+r 2)l 母线，V=11S 上S 下h =π(r 12+r 1r 2+r 22)h 33()
球：(1)、球的概念：与定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。定点叫做球心。定长叫做球的半径。球面：与定点的距离等于定长的点的集合叫做球面。
(2)、球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面。球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 之间的关系：r ＝R 2-d 2 。
大圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。小圆：
球面被不经过球心的平面截得
的圆叫做小圆。经过球面上两点的大圆，当这两点与球心不共线时，有且只有一个。当这两点与球心共线时有无数个。
(3)球面距离：球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做这两点的球面距离。它等于球心角×半径。
(4)球的体积和表面积公式：V ＝πR , S =4πR
(5)正四面体的边长为a ，则它的外接球的半径、内切球的半径、棱切球的半径分别为
4332⎛3⎫, , ⎪⎪， ⎝⎭
正方体的边长为a ，则它的外接球的半径、内切球的半径、棱切球的半径分别为
⎫1⎛, a , a , a , 对角线为a ⎪⎪
22 2⎝⎭
A
C
2、三视图与直观图的画法。
1）、直观图的画法（斜二侧画法规则）：已知图形中平行于横轴和竖轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于纵轴的线段，在直观图中其长度为原来的一半。原来平行的线段仍然平行，原来相交的线段仍然相交，但角度可能发生变化。把直观图还原成原来水平放置的图形时，应先把与横轴成45的线段还原成与横轴成直角的线段。
2）、三视图的画法：正视图（从前向后看）、俯视图（从上往下看）、侧视图（从左往右看，也叫左视图）。
点、直线、平面的位置关系
1、确定平面的4个公理或定理，(1)不共线的3点确定一个平面，(2)两条相交直线确定一个平面，(3)两条平行直线确定一个平面，(4)一条直线和直线外一点确定一个平面。
确定直线在平面内的定理：如果直线上有两个点在平面内，则直线在平面内。
两个平面的公共点的个数定理：如果两个平面有一个公共点，则必有无数个公共点，且这些公共点的个数在同一条直线上。此定理常用来判断空间三线共点。
2、点、线、面的位置关系的表示方法。
3、平行公理：平行于同一直线的两直线互相平行，它反应了平行线的传递性。注意：相交线和异面直线没有传递性。
4、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。当一边平行且方向相同而另一边的方向相反时，这两个角互补。可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别平行并且方向相同，那么这两个二面角相等。当一个半平面平行且方向相同而另一个半平面的方向相反时，这两个二面角互补。
但注意：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。不可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补。
5、空间直线的位置关系：（1）相交直线：有且只有一个公共点。（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线：不在任何一个平面内，也没有公共点。两条异面直线的作图，常借助于辅助平面。
异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
异面直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b 是异面直线，经过空间一点O ，分别引直线a '//a , b '//b , 相交直线a ＇，b ＇所成的锐角（直角）叫异面直线a,b 所成的角
⎛π⎤θ∈ 0, ⎥，求异面直线的夹角常用平移法和向量法。 ⎝2⎦
6、异面直线的距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条。（2）求异面直线的距离的常用方法有：1）直接找公垂线段而求之。2）转化为求直线到平面的距离，即
过其中一条直线作平面和平行另一条直线。3）利用向量法：常利用端点在两条异面直线上的有向线段
CD ∙n 在公垂线的方向向量上的投影。如图： AB为公垂线段，AB = n
异面直线上两点的距离公式：已知两条异面直线
a,b 所成的角为θ，在a,b 上分别取点E ，F ，已知AB 为公垂线段，长度为d,BE ＝m,AF=n,EF=l则l （同侧为减，异侧为加）
7、(1)直线与平面的位置关系：1）直线在平面内, 2）直线与平面相交， 3）直线与平面平行, 其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。
(2)直线与平面平行的判定：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行。简称为“线线平行，则线面平行。”
判定直线与平面平行的方法还有：1）面α//面β，a ⊆α⇒a //β, 2）b ⊥α, a ⊥b , a ⊄α⇒a //α
直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，交线和这条直线平行，简称为“线面平行，则线线平行”。
(3) 直线与平面垂直的概念：如果一条直线和平平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。公理：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。
直线和平面垂直的判定：1）一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。2）两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。
直线和平面垂直的性质定理：（1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。（2）如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
8、(1)平面与平面的位置关系：1）平行＿＿没有公共点，2）相交＿＿有且只有一条公共直线。两个平面的公共点都在同一条直线上。
(2)两个平面平行的判定：1) 一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。简称为“线面平行，则面面平行”，2) 推论：如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行。3) 垂直于同一条直线的两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：1) 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交
线平行。
2) 两个平行平面之间的距离处处相等，夹在两个平行平面之间的平行线段也相等。
3) 如果两个平面平行，那么一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。
(3) 两个平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两个平面垂直的性质定理：1) 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2) 如果两个平面垂直，那么从一个平面内一点作另一个平面的垂线必在第一个平面内。
9、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
10、直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。特别当一条直线和平面垂直时，就说直线与平面所成的角是直角，当一条直线在平面内或和这个平面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0°，所以直线和平面所成的角的范围是⎢0, ⎡π⎤ ⎥⎣2⎦
利用法向量可处理线面角问题
设 θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量与平面α的法向量之间的夹角，则有ϕ=π
2-θ（图1）或ϕ=π
2+θ（图2）
n
v
v 1 n 11、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。设AB 是平面ａ的一条斜线，A 为斜足，直线m 是平面ａ内任一直线，AB ′是AB 在平面ａ内的射影。θ为AB 和m 所成的角，θ1
为AB 和射影所成的角，θ2射影AB ′和m 所成的角，则cos θ=cosθ1cos θ2
重要应用：空间两条异面直线L1与L2所成的角为α≠
与L1，L2所成的角都是β，这样的直线L 可作多少条？
分析：（1）若β∈（0，α/2），则这样的直线L 有0π，过空间一定点P 作直线L 2
（2）若β＝α/2，则这样的直线有1条
（3）若β∈（α/2，
（4）若β＝π-α2），则这样的直线L 有2条 π-α
2
2，则这样的直线L 有3条 （5）若β∈（
（6）若β＝π-α，π），则这样的直线L 有4条 2π，则这样的直线L 有1条 2
12、二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面， 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面，棱为l ，两个面分别为α，β的二面角记为α-l-β, 一个平面垂直于二面角α-l-β的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA ，OB ，O 为垂足，则∠AOB 叫做二面角α-l-β, 的平面角。
一个二面角的大小可用它的平面角的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］
计算二面角的方法：（1）定义法(常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线，，再解直角三角形) 。（2）射影面积法，（3）有平面角向量法(常用基向量法) ，(4)法向量法(常用坐标法) ：α或π－α
利用法向量可处理二面角问题
设 n 1, n 2分别为平面α, β的法向量，二面角α-l -β的大小为θ，向量
n 1, n 2的夹角为ϕ，则有θ+ϕ=π（图3）或 θ=ϕ（图4）
n n l
典型例题：
一、多面体及球体的概念、性质、计算： 例1. （2012年全国课标卷理5分）已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，∆ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2；则此棱锥的体积为
【 】
(A )
(B
) (C
) (D )
例2. （2012年重庆市理5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1
a ，且长为a
a 的取值范围是【 】
（A
） （B
） （C
） （D
）
例3. （2012年上海市理4分）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC =2，若AD =2c ，且AB +BD =AC +CD =2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是
.
例4. （2012年山东省理4分）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1。E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为 。
例5. （2012年江苏省5分）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =3cm ，AA 1=2cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为．
3
二、由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算： 例1. （2012年全国课标卷理5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为【 】
例2. （2012年北京市理5分）某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是【 】
A. 28+
30+
56+
60+
(A ) 6 (B ) 9 (C ) 12 (D ) 18
例3. （2012年广东省理5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为【 】
A ．12π B.45π C.57π D.81π
例4. （2012年湖北省理5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【 】
A. 8π10π B.3π C. D.6π 33
例5. （2012年湖南省理5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是【 】
例6. （2012年福建省理5分）一个几何体的三视图形状都相同大小均相等，那么这个几何体不可以是【 】
A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱
例1. （2012年福建省理13分） 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．
（I ）求证：B 1E ⊥AD 1；
（II ）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；
（III ）若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．
E 分例2. （2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB 11=AC 11，D ，F 为B 1C 1的中点． CC 1上的点（点D 不同于点C ）别是棱BC ，，且AD ⊥DE ，
求证：（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； （2）直线A 1F //平面ADE ．
例1. （2012年浙江省理5分）已知矩形ABCD ，AB =
1，BC =∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，【 】
A．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直 B．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直 C．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直
D．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直
例2. （2012年北京市理14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE 折起到△A1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2.
（1）求证：A 1C⊥平面BCDE ；
（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；
（3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由
例3. （2012年湖南省理12分） 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面
ABCD , AB =4, BC =3, AD =5，∠DAB =∠ABC =90︒, E 是CD 的中点.
（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；
（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥
P -ABCD 的体积.
五、关于空间距离和空间角的问题：
例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知正四棱柱ABCD -
A 1B 1C 1D 1中，
AB =2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1 与平面BED 的距离为【 】
A ．2 B
．
．1
例2. （2012年陕西省理5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，CA =CC 1=2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为【 】
例3. （2012年全国大纲卷理5分）三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，
3
5
∠BAA 1=∠CAA 1=600，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为。
例4. （2012年全国大纲卷理12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，
PA ⊥底面ABCD
，AC =PA =2，E 是PC 上的一点，PE =2EC 。
（1）证明：PC ⊥平面BED ；
（2）设二面角A -PB -C 为900，求PD 与平面PBC 所成角的大小。
例5. （2012年全国课标卷理12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，
AC =BC =
1
AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD 2
（1）证明：DC 1⊥BC （2）求二面角A 1-BD -C 1的大小。
例6. （2012年上海市理12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点. 已知AB=2，AD=2，PA=2.求：
（1）三角形PCD 的面积；（6分）
（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小. （6分）
例7. （2012年四川省理12分） 如图，在三棱锥P -ABC 中，∠APB =90，
∠PAB =60 ，AB =BC =CA ，平面PAB ⊥平面ABC 。
（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小。
例8. （2012年天津市理13分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA 丄平面ABCD ，
AC 丄AD ，AB 丄BC ，∠ABC =450，PA =AD =2，AC =1.
(Ⅰ)证明PC 丄AD ；
（Ⅱ）求二面角A -PC -D 的正弦值；
（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30
，求AE 的长.
例9. （2012年山东省理12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD ，AE⊥BD，CB=CD=CF。
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F －BD －C 的余弦值。
例10. （2012年广东省理13分）如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，
PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。
（1）证明：BD ⊥平面PAC ；
（2）若PA =1，AD =2，求二面角B-PC-A 的正切值
.
例11. （2012年江西省理12分）在三棱柱ABC -
A 1B 1C 1中，已知
AB =AC =AA 1=BC =4，在A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O 。
（1）证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长； （2）求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值。
1