数学思想方法复习专题
一、考点，热点分析：
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。
二、知识点归纳：
常用的数学思想（数学中的四大思想）
1. 函数与方程的思想
用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
2．数形结合思想
在中学数学里，我们不可能把" 数" 和" 形" 完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，" 数" 和" 形 " 在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
4. 等价转化思想
等价转化是指同一命题的等价形式. 可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
常用的数学方法
主要有换元法、配方法和待定系数法三种。
三、例题解析
【例1】（2004年北京市东城区）解方程：(x+1)- -=2．
解：设x ＋1＝y ，则原方程化为y-=2
去分母，得y2-2y-3=0．
解这个方程，得y1=-1,y2=3．
当y ＝－1时，x ＋1＝－1，所以x ＝－2；
当y ＝3时，x ＋1＝3，所以x ＝2．
经检验，x ＝2和x ＝－2均为原方程的解．
〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。
【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则 该抛物线的解析式为 。
〖解析〗∵函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,∴b=-4a ...①将点（1，4）、（5，0）的坐标分别代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=4...② 25a+5b+c=0③. 解①②③得a=-,b=2,c=.故抛物线的解析式为y=-x2+2x+.
〖点拨〗利用待定系数法可求函数的解析式、
代数式及多项式的因式分解等符合题设条件的数学式。
【例3】（05年长沙市）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120 万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之问存在着如图所示的一次函数关系．
⑴求y 关于x 的函数关系式；
⑵试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
⑶若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
〖解〗：⑴设y=kx+b ，它过点(60，5) ，(80，4)
∴ 解得 ∴y=-x+8,
⑵z=yx-40y-120=（-x+8）（x-40）-120=-x2＋10x-440;
∴当x=100元时，最大年获得为60万元．
⑶令z=40，得40=-x2＋10x-440，整理得：
x2-200x ＋9600=0
解得：x1=80,x2=120，
由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．...(8分) 又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元． 〖点拨〗解此类问题，要仔细阅读题目，理清思路，从而建立数学模型（函数模型）
【例4】（2007年福建漳州）如图，已知矩形ABCD ，AB=，BC=3，在BC 上取两点E 、F （E 在F 左边），以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PE 、PF 分别交AC 于点G 、H ．
（1）求△PEF 的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，当F 与C 不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；
（3）若△PEF 的边EF 在线段BC 上移动．试猜想：PH 与BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论．
[解] （1）过P 作PQ ⊥BC 于Q
矩形ABCD
∴∠B=90°，即AB ⊥BC ，又AD ∥BC
∴PQ=AB=
∵△PEF 是等边三角形
∴∠PFQ=60°
在Rt △PQF 中
Sin60°=,∴PF=2
∴△PEF 的边长为2．
（2）正确找出一对相似三角形
正确说明理由
△ABC ∽△CDA
理由：∵矩形ABCD, ∴AB ∥BC, ∴∠1=∠2
∴∠B=∠D ∴△ABC ∽△CDA
（3）猜想：PH 与BE 的数量关系是：PH-BE=1
证：在Rt △ABC 中，AB=,BC=3
∴tan ∠1==,∴∠1=30°∴△PEF 是等边三角形
∴∠2=60°,PF=PE=2,∵∠2=∠1+∠3 ∴∠3=30°
∴∠1=∠3 ∴FC=FH
∵PH+FH=2, BE+EF+FC=3
∴PH-BE=1
〖点评〗本题是一道很典型的几何型探索题，在近几年的中考压轴题中稳占一席之地，预计2008年仍会保持这一趋势。在本题中，第1小题较简单，第2小题则需学生仔细观察图形，做出准确猜想后再验证，第3小题对学生的探究能力的要求更高一些，但由于解法较多，入题的通道较宽，因此难度并非十分大，体现数学联系的转化思想。
四、【能力测试】
(一) 、选择题
．若a 的值使得x2+4x+a=（x+2）2-1成立，则a 的值为.......................................... （ ）
A ．5 B．4 C．3 D．2
．（2005. 杭州市）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有: ..................（ ）
(A)1条 (B)2条 (C)4条 (D)8条
．方程2x-x2=的正根的个数为................................. （ ）
A ．0 B．1 C．2 D．3
．以下四个图案中, 既是轴对称又是中心对称图形的有.......................................... （ ）
A ．４个 B ．３个 C ．２个 D ．１个
．（2005. 河南省）下列各数中，适合方程的一个近似值（精确到0.1）是 .....................（ ）
A ． 1.5 B． 1.6 C．1 D．1.8
．若点p （m,n ）在第二象限，则点Q （-m,-n ）在....................................... （ ）象限
A ．第一 B ．第二 C ．第三 D ．第四
．（2005. 山西省）8抛物线 的对称轴是x=2，且经过点P(3,0)。则 的值为................................. （ ）
A 、-1 B、0 C、1 D、2
．在直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1，1) ，在x 轴上确定一点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
．某商店把一商品按标价的九折出售（即优惠10%），仍可获利20%，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为........................................................................... （ ）.
（A ）21元 （B ）19.8元（C ）22.4元 （D ）25.2元
．（2005. 武汉市）已知⊙O 的半径为8cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为........................................................................ （ ）
A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相交或相离
(二) 、填空题
．已知关于x 的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 。
．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，斜边在x 轴上，点A 的坐标为（2，0），则直角边BC 所在的直线解析式为 。
．把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x 轴
的两个交点之间的距离是 .
．如图，用长度相等的火柴棒拼成由三角形组成的图形，第n 个图形需要火柴棒的根数是 。
．把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为1/2的矩形等分成两个面积为1/4的矩形，再把面积为1/4的矩形等分成两个面积为1/8的矩形，如此进行下去，试利用如下图揭示的规律计算 + + + + + + + =。
．（2006年河南省）要拼出和图1 中的菱形相似的较长对角线为88cm 的大菱形（如图2）需要图1中的菱形的个数为___________．
(三) 、计算题:
．如图，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上的点，点C 、D 是线段OA 、OB 的中点，小明很轻松地求得CD=2．他在反思过程中突发奇想：若点O 运动到线段AB 的延长线上或直线AB 外，原有的结论"CD=2"是仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由．
．（2005年梅州市）东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到
数据如下表：
卖出价格x （元/件） 50 51 52 53 ...... 销售量p （件） 500 490 480 470 ...... （1）以x 作为点的横坐标，p 作为纵坐标，把表中的
数据，在图8中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结
各点所得的图形，判断p 与x 的函数关系式；
（2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售
利润y （元）与卖出价格x （元/件）的函数关系式
（销售利润=销售收入－买入支出）；
（3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？
．如图，为正方形边上的任意一点（不与A 、B 两点重合），是延长线上的一点，，且交的平分线所在直线
于．
（1）求证：；
（2）若将上述条件中的" 为边上的任意一点（不与A 、B 两点重合）" 改为" 为直线上任意一点（不与A 、B 两点重合）" ，其余条件不变，则结论"" 成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
．如图1，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点在第二象限内，点，点在轴的负半轴上，．
（1）求点的坐标；（2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线于点，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）（3）在（2）的基础上，将绕点按顺时针方向继续旋转，当的面积为时，求直线的函数表达式．
．如图，正方形ABCD 的各边都平行于坐标轴，A 、C 分别在
直线和上.
若点A 在直线上运动，求B 点所在直线的解析式.
．已知：半径为1的⊙O1与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点，其顶点为．
（1）求的值及二次函数顶点的坐标；
（2）写出将二次函数的图象向下平移1个单位，再向左平移2个单位的图象的函数表达式；
（3）若经过原点的直线与⊙O1相切，求直线的函数表达式．
．如图, 以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1），直线x=1交x 轴于点B. P为线段AB 上一动点，作直线PC ⊥PO, 交直线x=1于点C. 过P 点作直线MN 平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线x=1于点N.
（1） 当点C 在第一象限时，设AP 长为m ，四边形POBC 的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式；
（2） S 是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
附加题：当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x=1上移动，△PBC 是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由.
参考答案：
1.C 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.B 8.A 9.A 10.B
二、填空题
11．2 12.y=x+4 13. ；14.2n+1 15. 16.121
三、计算题：17（略）
18．解：（1）p 与x 成一次函数关系。 设函数关系式为p=kx+b ，则
解得：k=－10，b=1000 ， ∴ p=－10x+1000
经检验可知：当x=52，p=480，当x=53，p=470时也适合这一关系式 ∴所求的函数关系为p=－10x+1000
（2）依题意得：y=px－40p=(－10x+1000)x－40(－10x+1000)
∴ y=－10x2+1400x－40000
(3)由y=－10x2+1400x－40000 可知，当时，y 有最大值
∴ 卖出价格为70元时，能花得最大利润。
19．证明：（1）在上截取，连结．
，
．
．
又，
．
．
（2）分两种情况
①点M 在射线BE 上. 延长AD 到点P ，使DP=BM，连接PM.
②点M 在线段BA 的延长线上. 延长DA 到点P ，
使AP=AM，连接PM.
综上可知，" 为直线上任意一点（不与A 、B 两点重合）" ，其余条件不变，结论"" 仍成立.
20．解：（1）在中，，
．
点的坐标为．
（2），，．
（3）如图1，过点作于点．
，
．
在中，，
，．
设直线的函数表达式为，则
解得
．
同理，如图2所示，点的坐标为．
设直线的函数表达式为，则 解得
．
21．解：设点A 的横坐标为a.
∵ 点A 在直线上，
设点C 的横坐标为b
22．解：（1）由已知得：
由题意：
解得： ，顶点．
（2）．
（3）设经过原点的直线与⊙O1相切于点.
则，，，
设点的坐标为．
则 ，得，
．
由圆的对称性，另一条直线的解析式是．
23．解：（1）∵OM ∥BN ，MN ∥OB ，∠AOB=900，
∴四边形OBNM 为矩形。
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900
∵，AO=BO=1， ∴AM=PM ∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM ∴OM=PN
∵∠OPC=900 ∴∠OPM+CPN=900
又∵∠OPM+∠POM=900 ∴∠CPN=∠POM ∴△OPM ≌△PCN ∵AM=PM=APsin450= ∴NC=PM=
∴BN=OM=PN=1- ∴BC=BN-NC=1--=
（2）存在最大值.
附加题：解：△PBC 可能为等腰三角形
①当P 与A 重合时，PC=BC=1，此时P （0，1）
②当点C 在第四象限，且PB=CB时，有BN=PN=1－
∴BC=PB=PN=-m ∴NC=BN+BC=1－+-m 由⑵知：NC=PM= ∴1－+-m= ∴m=1 ∴PM==，BN=1－=1－ ∴P （,1－）
∴使△PBC 为等腰三角形的的点P 的坐标为（0，1）或（,1－）
数学思想方法复习专题
一、考点，热点分析：
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。
二、知识点归纳：
常用的数学思想（数学中的四大思想）
1. 函数与方程的思想
用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
2．数形结合思想
在中学数学里，我们不可能把" 数" 和" 形" 完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，" 数" 和" 形 " 在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
4. 等价转化思想
等价转化是指同一命题的等价形式. 可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
常用的数学方法
主要有换元法、配方法和待定系数法三种。
三、例题解析
【例1】（2004年北京市东城区）解方程：(x+1)- -=2．
解：设x ＋1＝y ，则原方程化为y-=2
去分母，得y2-2y-3=0．
解这个方程，得y1=-1,y2=3．
当y ＝－1时，x ＋1＝－1，所以x ＝－2；
当y ＝3时，x ＋1＝3，所以x ＝2．
经检验，x ＝2和x ＝－2均为原方程的解．
〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。
【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则 该抛物线的解析式为 。
〖解析〗∵函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,∴b=-4a ...①将点（1，4）、（5，0）的坐标分别代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=4...② 25a+5b+c=0③. 解①②③得a=-,b=2,c=.故抛物线的解析式为y=-x2+2x+.
〖点拨〗利用待定系数法可求函数的解析式、
代数式及多项式的因式分解等符合题设条件的数学式。
【例3】（05年长沙市）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120 万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之问存在着如图所示的一次函数关系．
⑴求y 关于x 的函数关系式；
⑵试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
⑶若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
〖解〗：⑴设y=kx+b ，它过点(60，5) ，(80，4)
∴ 解得 ∴y=-x+8,
⑵z=yx-40y-120=（-x+8）（x-40）-120=-x2＋10x-440;
∴当x=100元时，最大年获得为60万元．
⑶令z=40，得40=-x2＋10x-440，整理得：
x2-200x ＋9600=0
解得：x1=80,x2=120，
由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．...(8分) 又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元． 〖点拨〗解此类问题，要仔细阅读题目，理清思路，从而建立数学模型（函数模型）
【例4】（2007年福建漳州）如图，已知矩形ABCD ，AB=，BC=3，在BC 上取两点E 、F （E 在F 左边），以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PE 、PF 分别交AC 于点G 、H ．
（1）求△PEF 的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，当F 与C 不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；
（3）若△PEF 的边EF 在线段BC 上移动．试猜想：PH 与BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论．
[解] （1）过P 作PQ ⊥BC 于Q
矩形ABCD
∴∠B=90°，即AB ⊥BC ，又AD ∥BC
∴PQ=AB=
∵△PEF 是等边三角形
∴∠PFQ=60°
在Rt △PQF 中
Sin60°=,∴PF=2
∴△PEF 的边长为2．
（2）正确找出一对相似三角形
正确说明理由
△ABC ∽△CDA
理由：∵矩形ABCD, ∴AB ∥BC, ∴∠1=∠2
∴∠B=∠D ∴△ABC ∽△CDA
（3）猜想：PH 与BE 的数量关系是：PH-BE=1
证：在Rt △ABC 中，AB=,BC=3
∴tan ∠1==,∴∠1=30°∴△PEF 是等边三角形
∴∠2=60°,PF=PE=2,∵∠2=∠1+∠3 ∴∠3=30°
∴∠1=∠3 ∴FC=FH
∵PH+FH=2, BE+EF+FC=3
∴PH-BE=1
〖点评〗本题是一道很典型的几何型探索题，在近几年的中考压轴题中稳占一席之地，预计2008年仍会保持这一趋势。在本题中，第1小题较简单，第2小题则需学生仔细观察图形，做出准确猜想后再验证，第3小题对学生的探究能力的要求更高一些，但由于解法较多，入题的通道较宽，因此难度并非十分大，体现数学联系的转化思想。
四、【能力测试】
(一) 、选择题
．若a 的值使得x2+4x+a=（x+2）2-1成立，则a 的值为.......................................... （ ）
A ．5 B．4 C．3 D．2
．（2005. 杭州市）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有: ..................（ ）
(A)1条 (B)2条 (C)4条 (D)8条
．方程2x-x2=的正根的个数为................................. （ ）
A ．0 B．1 C．2 D．3
．以下四个图案中, 既是轴对称又是中心对称图形的有.......................................... （ ）
A ．４个 B ．３个 C ．２个 D ．１个
．（2005. 河南省）下列各数中，适合方程的一个近似值（精确到0.1）是 .....................（ ）
A ． 1.5 B． 1.6 C．1 D．1.8
．若点p （m,n ）在第二象限，则点Q （-m,-n ）在....................................... （ ）象限
A ．第一 B ．第二 C ．第三 D ．第四
．（2005. 山西省）8抛物线 的对称轴是x=2，且经过点P(3,0)。则 的值为................................. （ ）
A 、-1 B、0 C、1 D、2
．在直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1，1) ，在x 轴上确定一点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
．某商店把一商品按标价的九折出售（即优惠10%），仍可获利20%，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为........................................................................... （ ）.
（A ）21元 （B ）19.8元（C ）22.4元 （D ）25.2元
．（2005. 武汉市）已知⊙O 的半径为8cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为........................................................................ （ ）
A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相交或相离
(二) 、填空题
．已知关于x 的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 。
．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，斜边在x 轴上，点A 的坐标为（2，0），则直角边BC 所在的直线解析式为 。
．把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x 轴
的两个交点之间的距离是 .
．如图，用长度相等的火柴棒拼成由三角形组成的图形，第n 个图形需要火柴棒的根数是 。
．把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为1/2的矩形等分成两个面积为1/4的矩形，再把面积为1/4的矩形等分成两个面积为1/8的矩形，如此进行下去，试利用如下图揭示的规律计算 + + + + + + + =。
．（2006年河南省）要拼出和图1 中的菱形相似的较长对角线为88cm 的大菱形（如图2）需要图1中的菱形的个数为___________．
(三) 、计算题:
．如图，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上的点，点C 、D 是线段OA 、OB 的中点，小明很轻松地求得CD=2．他在反思过程中突发奇想：若点O 运动到线段AB 的延长线上或直线AB 外，原有的结论"CD=2"是仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由．
．（2005年梅州市）东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到
数据如下表：
卖出价格x （元/件） 50 51 52 53 ...... 销售量p （件） 500 490 480 470 ...... （1）以x 作为点的横坐标，p 作为纵坐标，把表中的
数据，在图8中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结
各点所得的图形，判断p 与x 的函数关系式；
（2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售
利润y （元）与卖出价格x （元/件）的函数关系式
（销售利润=销售收入－买入支出）；
（3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？
．如图，为正方形边上的任意一点（不与A 、B 两点重合），是延长线上的一点，，且交的平分线所在直线
于．
（1）求证：；
（2）若将上述条件中的" 为边上的任意一点（不与A 、B 两点重合）" 改为" 为直线上任意一点（不与A 、B 两点重合）" ，其余条件不变，则结论"" 成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
．如图1，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点在第二象限内，点，点在轴的负半轴上，．
（1）求点的坐标；（2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线于点，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）（3）在（2）的基础上，将绕点按顺时针方向继续旋转，当的面积为时，求直线的函数表达式．
．如图，正方形ABCD 的各边都平行于坐标轴，A 、C 分别在
直线和上.
若点A 在直线上运动，求B 点所在直线的解析式.
．已知：半径为1的⊙O1与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点，其顶点为．
（1）求的值及二次函数顶点的坐标；
（2）写出将二次函数的图象向下平移1个单位，再向左平移2个单位的图象的函数表达式；
（3）若经过原点的直线与⊙O1相切，求直线的函数表达式．
．如图, 以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1），直线x=1交x 轴于点B. P为线段AB 上一动点，作直线PC ⊥PO, 交直线x=1于点C. 过P 点作直线MN 平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线x=1于点N.
（1） 当点C 在第一象限时，设AP 长为m ，四边形POBC 的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式；
（2） S 是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
附加题：当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x=1上移动，△PBC 是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由.
参考答案：
1.C 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.B 8.A 9.A 10.B
二、填空题
11．2 12.y=x+4 13. ；14.2n+1 15. 16.121
三、计算题：17（略）
18．解：（1）p 与x 成一次函数关系。 设函数关系式为p=kx+b ，则
解得：k=－10，b=1000 ， ∴ p=－10x+1000
经检验可知：当x=52，p=480，当x=53，p=470时也适合这一关系式 ∴所求的函数关系为p=－10x+1000
（2）依题意得：y=px－40p=(－10x+1000)x－40(－10x+1000)
∴ y=－10x2+1400x－40000
(3)由y=－10x2+1400x－40000 可知，当时，y 有最大值
∴ 卖出价格为70元时，能花得最大利润。
19．证明：（1）在上截取，连结．
，
．
．
又，
．
．
（2）分两种情况
①点M 在射线BE 上. 延长AD 到点P ，使DP=BM，连接PM.
②点M 在线段BA 的延长线上. 延长DA 到点P ，
使AP=AM，连接PM.
综上可知，" 为直线上任意一点（不与A 、B 两点重合）" ，其余条件不变，结论"" 仍成立.
20．解：（1）在中，，
．
点的坐标为．
（2），，．
（3）如图1，过点作于点．
，
．
在中，，
，．
设直线的函数表达式为，则
解得
．
同理，如图2所示，点的坐标为．
设直线的函数表达式为，则 解得
．
21．解：设点A 的横坐标为a.
∵ 点A 在直线上，
设点C 的横坐标为b
22．解：（1）由已知得：
由题意：
解得： ，顶点．
（2）．
（3）设经过原点的直线与⊙O1相切于点.
则，，，
设点的坐标为．
则 ，得，
．
由圆的对称性，另一条直线的解析式是．
23．解：（1）∵OM ∥BN ，MN ∥OB ，∠AOB=900，
∴四边形OBNM 为矩形。
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900
∵，AO=BO=1， ∴AM=PM ∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM ∴OM=PN
∵∠OPC=900 ∴∠OPM+CPN=900
又∵∠OPM+∠POM=900 ∴∠CPN=∠POM ∴△OPM ≌△PCN ∵AM=PM=APsin450= ∴NC=PM=
∴BN=OM=PN=1- ∴BC=BN-NC=1--=
（2）存在最大值.
附加题：解：△PBC 可能为等腰三角形
①当P 与A 重合时，PC=BC=1，此时P （0，1）
②当点C 在第四象限，且PB=CB时，有BN=PN=1－
∴BC=PB=PN=-m ∴NC=BN+BC=1－+-m 由⑵知：NC=PM= ∴1－+-m= ∴m=1 ∴PM==，BN=1－=1－ ∴P （,1－）
∴使△PBC 为等腰三角形的的点P 的坐标为（0，1）或（,1－）