对数与对数运算题型及解析
1. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． （1）3=；（2）1og （7）log 6
﹣2
9=﹣2；（3）1g0.001=﹣3；（4）10=100；（5）lna=b；（6）7=343；
x
x
23
=﹣2；（8）10=25；（9）5=6；（10）log 27=6；（11）lg5.4=x；（12）lnx=3
分析：本题考查指数式与对数式的互化，直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可 解：（1）3=；可得﹣2=1og3．（2）1og
﹣2
9=﹣2；（）=9．（3）1g0.001=﹣3.0.001=10；（4）lg100=2；
﹣2﹣3
（5）e =a；（6）log 7343=3；（7）6=（10）由log
27=6，得
b ﹣2
；（8）由10=25，得lg25=x；（9）由5=6，得log 56=x； ；（11）由lg5.4=x，得10=5.4；（12）由lnx=3，得x=e
x
3
x x
2. 求下列各式中x 的值： （1）x=log
4；（2）x=log9
；（3）x=7
；（4）
log
=x；（5）log x 16=；（6）4=5×3
x
x
分析：根据对数的运算性质，换底公式及其推论，解对数方程，可得答案． 解：（1）x=log
4=
=
=﹣4；（2）x=log9
=
-1
x 2
-32
=log 33=；
（3）x=7
1-log 75
=7÷7
log
75
=7÷5=； （4）（
2
3
6
3
2
）=
x
x
，即3
x
=3
，即
-1-3
x =，则x=3； 22
，∴x=
（5）∵log x 16=∴3. 计算下列各题： （1）lg （3）log 2
﹣lg
+lg
，即x =16=4=（4）； （6）∵4=5×3，∴
； （2）lg25+lg2×lg50+lg2 ；
2
2
2
+log 212﹣log 242 ； （4）lg5+lg8+lg5•lg20+lg 2．
分析：（1）由已知条件利用对数的性质、运算法则求解．（2）由已知条件利用对数的性质、运算法则求解 解：（1）lg
﹣lg
2
+lg=lg﹣lg4+lg
2
=lg（
2
）=lg=．
（2）lg25+lg2×lg50+lg 2=2lg5+lg2（2lg5+lg2）+lg 2=2lg5+2lg2lg5+2lg 2=2lg5+2lg2（lg5+lg2）=2（lg5+lg2）=2
[**************]
lg +lg×lg +lg2=2lg+lg（2lg +lg）+lg2=2lg+2lg2lg5+2lg2=2lg5+2lg2（lg5+lg2）=2（lg +lg）=2 （3）log 2
2
+log 212﹣log 242=log2（
2
×12×
2
）=log2（）=log22﹣=﹣．
（4）lg5+lg8+lg5•lg20+lg 2=2lg5+2lg2+lg5（1+lg2）+lg 2=2（lg5+lg2）+lg5+lg2（lg2+lg5）=2+lg5+lg2=3． 4. 已知6=8．试用a 表示下列各式：①log68；②1og62；③log26 分析：利用指数与对数的互化，求解对数值即可 解：6=8．可得a=log68．①log68=a；②1og62=log 68=
a
a
；③log26==
5. 用lgx ，lgy ，lgz 表示下列各式：（1）lg ；（2）lg
分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可． 解：（1）lg
=lg（xy ）﹣lgz=lgx+3lgy﹣lgz ；（2）lg
b 3
=lgx ﹣2lgy ﹣lgz
6. ①已知log 185=a，18=3，试用a 、b 表示log 4512
分析：先表示出b=log183，利用对数的换底公式表示出log 4512 解：∵18=3，∴b=log183，∴log 45=
b
12
log 18log 18
2x y
1245
=
log 18+2log 18log 18+2log 18
5
323
==
②已知lgx+lgy=2lg（x ﹣2y ），求log
2
的值
2
分析：由题意得xy=（x ﹣2y ），x ＞0，y ＞0，x ﹣2y ＞0，从而解得；
解：∵lgx+lgy=2lg（x ﹣2y ），∴xy=（x ﹣2y ），解得，=1或=4，又∵x ＞0，y ＞0，x ﹣2y ＞0，∴=4， 故log
x
y
2
=log
42
=4
③已知log 147=a，log 145=b，用a 、b 表示log 3528 分析：根据换底公式，化简计算即可得到答案 解：log 147=a，log 145=b，∴log 3528=
a
b
===
④已知6=7，3=4，求log 127的值．
分析：利用对数的换底公式、对数的运算法则即可得出． 解：∵6=7，∴log 67=a，又3=4，log 34=b，∴b=2log32．log 23=∴log 127=
=
=
=
a
b
，=
7. 解下列方程：（1）9﹣4•3+3=0；（2）log 3（x ﹣10）=1+log3x
分析：（1）由9﹣4•3+3=0，得到（3﹣1）（3﹣3）=0，解得即可，（2）由已知得到解：（1）∵9﹣4•3+3=0，∴（3﹣1）（3﹣3）=0，∴3=1或3=3，∴x=0或x=1， （2）log 3（x ﹣10）=1+log3x=log33x ，∴
2x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x 2
，解得即可
，解得x=5
8. 已知2=7=A，且分析：由2=7=A，且解：∵2=7=A，且
x
2y x
2y
x 2y
，求A 的值
，知log 2A=x，log 49A=y，故，∴log 2A=x，log 49A=y，∴
=logA 98=2，由此能求出 =logA 98=2，∴A =98，解得A=7
2
对数与对数运算题型及解析
1. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． （1）3=；（2）1og （7）log 6
﹣2
9=﹣2；（3）1g0.001=﹣3；（4）10=100；（5）lna=b；（6）7=343；
x
x
23
=﹣2；（8）10=25；（9）5=6；（10）log 27=6；（11）lg5.4=x；（12）lnx=3
分析：本题考查指数式与对数式的互化，直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可 解：（1）3=；可得﹣2=1og3．（2）1og
﹣2
9=﹣2；（）=9．（3）1g0.001=﹣3.0.001=10；（4）lg100=2；
﹣2﹣3
（5）e =a；（6）log 7343=3；（7）6=（10）由log
27=6，得
b ﹣2
；（8）由10=25，得lg25=x；（9）由5=6，得log 56=x； ；（11）由lg5.4=x，得10=5.4；（12）由lnx=3，得x=e
x
3
x x
2. 求下列各式中x 的值： （1）x=log
4；（2）x=log9
；（3）x=7
；（4）
log
=x；（5）log x 16=；（6）4=5×3
x
x
分析：根据对数的运算性质，换底公式及其推论，解对数方程，可得答案． 解：（1）x=log
4=
=
=﹣4；（2）x=log9
=
-1
x 2
-32
=log 33=；
（3）x=7
1-log 75
=7÷7
log
75
=7÷5=； （4）（
2
3
6
3
2
）=
x
x
，即3
x
=3
，即
-1-3
x =，则x=3； 22
，∴x=
（5）∵log x 16=∴3. 计算下列各题： （1）lg （3）log 2
﹣lg
+lg
，即x =16=4=（4）； （6）∵4=5×3，∴
； （2）lg25+lg2×lg50+lg2 ；
2
2
2
+log 212﹣log 242 ； （4）lg5+lg8+lg5•lg20+lg 2．
分析：（1）由已知条件利用对数的性质、运算法则求解．（2）由已知条件利用对数的性质、运算法则求解 解：（1）lg
﹣lg
2
+lg=lg﹣lg4+lg
2
=lg（
2
）=lg=．
（2）lg25+lg2×lg50+lg 2=2lg5+lg2（2lg5+lg2）+lg 2=2lg5+2lg2lg5+2lg 2=2lg5+2lg2（lg5+lg2）=2（lg5+lg2）=2
[**************]
lg +lg×lg +lg2=2lg+lg（2lg +lg）+lg2=2lg+2lg2lg5+2lg2=2lg5+2lg2（lg5+lg2）=2（lg +lg）=2 （3）log 2
2
+log 212﹣log 242=log2（
2
×12×
2
）=log2（）=log22﹣=﹣．
（4）lg5+lg8+lg5•lg20+lg 2=2lg5+2lg2+lg5（1+lg2）+lg 2=2（lg5+lg2）+lg5+lg2（lg2+lg5）=2+lg5+lg2=3． 4. 已知6=8．试用a 表示下列各式：①log68；②1og62；③log26 分析：利用指数与对数的互化，求解对数值即可 解：6=8．可得a=log68．①log68=a；②1og62=log 68=
a
a
；③log26==
5. 用lgx ，lgy ，lgz 表示下列各式：（1）lg ；（2）lg
分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可． 解：（1）lg
=lg（xy ）﹣lgz=lgx+3lgy﹣lgz ；（2）lg
b 3
=lgx ﹣2lgy ﹣lgz
6. ①已知log 185=a，18=3，试用a 、b 表示log 4512
分析：先表示出b=log183，利用对数的换底公式表示出log 4512 解：∵18=3，∴b=log183，∴log 45=
b
12
log 18log 18
2x y
1245
=
log 18+2log 18log 18+2log 18
5
323
==
②已知lgx+lgy=2lg（x ﹣2y ），求log
2
的值
2
分析：由题意得xy=（x ﹣2y ），x ＞0，y ＞0，x ﹣2y ＞0，从而解得；
解：∵lgx+lgy=2lg（x ﹣2y ），∴xy=（x ﹣2y ），解得，=1或=4，又∵x ＞0，y ＞0，x ﹣2y ＞0，∴=4， 故log
x
y
2
=log
42
=4
③已知log 147=a，log 145=b，用a 、b 表示log 3528 分析：根据换底公式，化简计算即可得到答案 解：log 147=a，log 145=b，∴log 3528=
a
b
===
④已知6=7，3=4，求log 127的值．
分析：利用对数的换底公式、对数的运算法则即可得出． 解：∵6=7，∴log 67=a，又3=4，log 34=b，∴b=2log32．log 23=∴log 127=
=
=
=
a
b
，=
7. 解下列方程：（1）9﹣4•3+3=0；（2）log 3（x ﹣10）=1+log3x
分析：（1）由9﹣4•3+3=0，得到（3﹣1）（3﹣3）=0，解得即可，（2）由已知得到解：（1）∵9﹣4•3+3=0，∴（3﹣1）（3﹣3）=0，∴3=1或3=3，∴x=0或x=1， （2）log 3（x ﹣10）=1+log3x=log33x ，∴
2x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x 2
，解得即可
，解得x=5
8. 已知2=7=A，且分析：由2=7=A，且解：∵2=7=A，且
x
2y x
2y
x 2y
，求A 的值
，知log 2A=x，log 49A=y，故，∴log 2A=x，log 49A=y，∴
=logA 98=2，由此能求出 =logA 98=2，∴A =98，解得A=7
2