三角恒等变换测试题
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知cos α=
1213, α∈(3π2, 2π) ，则cos (α+π
4
) = （ ） A.
5213 B. 7213 C. 226 D. 7226
2. 若均α, β为锐角，sin α=
25, sin (α+β) =3
5
, 则cos β=（ ） A. 252525 B. 25 C. 25或25 D. -25
5 3. (cos
π
-sin
π
π
12
12
) (cos
12
+sin
π
12
) =（ ）
A. -
32 B. -12 C. 12 D. 2
4. tan700
+tan500
-tan700
tan500
= （ ）
A.
3 B.
33 C. -3
3
D. - 5.
2sin2αcos 21+cos2α⋅α
cos2α
=（ ） A. tan α B. tan2α C. 1 D.
12
6. 已知x 为第三象限角，化简-cos 2x =（ ）
A.
2sin x B. -2sin x C. 2cos x D. -2cos x
7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于
4
5
, 则这个三角形底角的正弦值为（ A ．
10 B ．-10 C ．3310 D ．-10
）
8. 若3sin x -3cos x =2sin(x -ϕ), ϕ∈(-π. π) ，则ϕ=（ ）
A. -
π
B.
π66 C. 5π6 D. -5π6
9. 已知sin α+cos α=1
3
，则sin 2α=（ ）
A ．-8
9
B ．-1182 C ． 2 D ．9
10.
已知cos 2θ=
43
cos θ-sin 4
θ的值为（ ） A
．-3 B
．3
C ．49 D ．1
11. 求cos
π
cos
2π1111cos 3π11cos 4π11cos 5π
11
=（ ）
A. 1
125 B. 2
4 C. 1 D. 0
12.
函数y =sin x 2+x
2
的图像的一条对称轴方程是 （ ）
A ．x =11
3
π B ．x =5π3 C ．x =-5π3 D ．x =-π3
二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知α, β为锐角，cos α=
1, cos β=
1, 则α+β的值为14．在∆ABC 中，已知tanA ,tanB 是方程3x 2-7x +2=0的两个实根，t a n C =．
15. 若sin
α
2=35, cos α2=-4
5
，则角α的终边在． 16. 代数式sin15o cos75o +cos15o sin105o = ． 三．解答题（共6个小题，共74分）
17．（12分）△ABC 中，已知cosA =35
5, c os B =13
, 求sinC 的值．
则
18．（12分）已知π
3π123
, cos (α-β) =, sin (α+β) =-, 求sin2α．
19．（12分）
2
4135
sin(α+
π
α为第二象限角，且 sinα=)
4, 求sin 2α+cos 2α+1的值． 已知
π11
20. （12分）已知α∈(0, ), β∈(0, π), 且tan(α-β) =, tan β=-，
427求tan(2α-β) 的值及角2α-β．
21．（12
分）已知函数f (x ) =cos 2x x cos x +1，x ∈R . （1）求证f (x ) 的小正周期和最值； （2）求这个函数的单调递增区间．
22. (14分) 已知A 、B 、C 是∆
ABC 三内角，向量m =(-1
n =(cosA ,sin A ), 且m.n=1 (1)求角A; (2)若
1+sin 2B
=-3, 求tanC .
cos 2B -sin 2B
《数学必修4》三角恒等变换测试题答案
一、选择题（12×5分=60分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、
3π3
14、 - 15、第四 16、 42
3
三、解答题（共6个小题，满分74分）
3417. 解:在∆ABC 中, cos A =, ∴sin A =
55
5123
又由sin B =, 可得cos B =±-sin 2B =±, sin A >∴A >600
13132 1212
若cos B =-, ∴B >1200, 这时A +B >1800不合题意舍去, 故cos B =,
1313
4123563
∴sin C =sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B =⨯+⨯=
51351365
19. 解:
π
2
3π
4
3π2
∴0
π
454
∴sin(α-β) =, cos(α+β) =-
135
∴sin 2α=sin[(α+β) +(α-β)]=sin(α+β) cos(α-β) +cos(α+β) sin(α-β)
3124556=-⨯+(-) ⨯=-
51351365
, π
1-cos 2x 21+cos 2x 2() +()
sin x cos x sin x +cos x 20. 证明:左边=+==2222
12cos x sin x sin x cos x
sin 2x 4
1+cos 4x
2(2+2⨯) 2
2+2cos 2x 2(3+cos 4x ) ====右边1-cos 4x 1-cos 4x 1-cos 4x
2
2
2
4
4
1π
20. 解: tan β=-∴
72 0
π
4
∴-π
tan(2α-2β) +tan β
1-tan(2α-2β) tan β
∴tan(2α-β) =tan[(2α-2β) +β]=41
-=1=
411+⨯
37
3π
∴2α-β=-
4
21. 解：（1
）y =cos 2x x cos x +
1
=
cos 2x +12x 11
+
+1=cos 2x +2x ++1 22222
=sin
π
6
cos 2x +cos
π
6
sin 2x +
3π3
=sin(2x +) + 262
（2）因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎢-
由（1）知y =sin(2x +
π⎡π⎤
+2k π, +2k π⎥(k ∈Z ) ，
2⎣2⎦
π
3πππ
) +，故 -+2k π≤2x +≤+2k π(k ∈Z ) 62262
∴-
π
3
+k π≤x ≤
π
6
+k π(k ∈Z )
故函数y =sin(2x +
π
3ππ
) +的单调递增区间为[-+k π, +k π](k ∈Z ) 6236
三角恒等变换测试题
时间:120分钟 满分:150分
一. 选择题(共12小题, 每小题5分, 共60分) 1. 下列表达式中, 正确的是( )A
A. sin (α+β)=cos αsin β+sin αcos β B. sin(α-β) =cos αsin β-sin αcos β C. co s(α+β) =cos αcos β+sin αsin β D. cos(α-β) =cos αcos β-sin αcos β 设计意图：主要考查学生对公式结构的掌握情况。 2. 表达式sin(45+A ) -sin(45-A ) 化简后为( )B
A. A
B. C.
A
11
sin A D. -sin A 22
设计意图：主要考查学生对正弦的和、差公式的掌握和应用。 3. 函数y =sin x +cos x +2的最小值是( )A
A. 2
B. 2 C.0 D.1
设计意图：主要考查学生辅助角公式的应用以及三角函数的最值问题。 4. 已知θ是第三象限的角, 若sin θ+cos θ=
4
4
5
, 则sin 2θ等于( )A 9
A.
22
B. - C. D. -
3333
设计意图：主要考查同角的三角函数公式、正弦的二倍角、正切的和角公式的应用。 5. 已知α∈(
π
3π
, π),sin α=, 则tan(α+) 等于( ) A 254
A.
11
B. 7 C. - D. -7 77
设计意图：主要考查同角的三角函数公式、正弦的二倍角、正切的和角公式的应用。 6. 函数y =1+cos x 的图象( )B A. 关于x 轴对称
B. 关于y 轴对称
C. 关于原点对称
D. 关于直线x =
π
2
对称
7. (2006高考) 若∆ABC 的内角A 满足sin 2A =2
3
，则sin A +cos A =( A.
3
B. -3
C. 553 D. -3
8. (2006高考) 函数y =4sin ⎛
2π⎫
⎝x +3⎪⎭
+1的最小正周期为（ ）B A.
π
2
Ｂ. π
Ｃ. 2π
Ｄ. 4π
设计意图：主要考查三角函数的性质。 9. cos
2
π
8
-sin 2
π
8
等于( )A
A. 2
B.1
C. -2 D. -1
10. tan
α
2
不能用下列式表达的是 ( )D
A. B. sin α1+cos α
C.
1-cos αsin α D. sin α
1-cos α
11. tan15+tan30+tan15tan30等于 ( )D
A.
12
B. 2
C. D.1
) A
12. 当-π≤x ≤0时,
函数f (x ) =sin x x 最小值为( )B A. -1 B. -2
C. D.0 二. 填空题(共4个小题, 每小4分, 共16分) 13. 已知sin(
π
4
+x )sin(
π
1π
-x ) =, x ∈(, π) ，则sin 4x =＿＿＿＿ 462
14. 设∆
ABC 中，tan A +tan B 角形是＿＿＿＿＿＿三角形. 15.(05高考) 若sin
tan A tan B ，sin A cos A =
，则此三⎛π⎫1⎛2π⎫-α⎪=，则cos +2α⎪ ⎝6⎭3⎝3⎭
16.(06高考) 若f (x ) =a sin(x +
π
) +b sin(x -)(ab ≠0) 是偶函数, 则有序实数对
44
π
(a , b ) 可以是写出你认为正确的一组数即可).
三. 解答题(共6个小题,74分; 写出必要的文字说明或解题步骤) 17.(本小题12分)
已知sin(
π
4
-x ) =
12π
, 0
cos 2x cos(+x )
4
.
18.(本小题12分)
1x -) .
已知函数f (x ) =cos x
(1)求f (x ) 的定义域；
(2)设α的第四象限的角，且tan α=-
19.(2006高考) (本小题12分) π4，求f (α) 的值. 3
3π10
(1)求tan α的值； 已知
5sin 2
(2)
求α+8sin α
cos α
+11cos 2α
-8
的值. π⎫⎛ α-⎪2⎭⎝
20. (2006高考) (本小题12分) 已知函数f (x ) =sin x +sin(x +π
2), x ∈R .
(1)求f (x ) 的最小正周期；
(2)求f (x ) 的的最大值和最小值；
(3)若f (α) =3
4，求sin 2α的值.
21. (本小题12分
)
如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.
22. (本小题14分)
已知A 、B 、C 是∆
ABC 三内角，向量m =(-1
n =(cosA ,sin A ), 且m n =1.
(1)求角A;
(2)若
1+sin 2B =-3, 求tanC . cos 2B -sin 2B
三角恒等变换测试题
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知cos α=
1213, α∈(3π2, 2π) ，则cos (α+π
4
) = （ ） A.
5213 B. 7213 C. 226 D. 7226
2. 若均α, β为锐角，sin α=
25, sin (α+β) =3
5
, 则cos β=（ ） A. 252525 B. 25 C. 25或25 D. -25
5 3. (cos
π
-sin
π
π
12
12
) (cos
12
+sin
π
12
) =（ ）
A. -
32 B. -12 C. 12 D. 2
4. tan700
+tan500
-tan700
tan500
= （ ）
A.
3 B.
33 C. -3
3
D. - 5.
2sin2αcos 21+cos2α⋅α
cos2α
=（ ） A. tan α B. tan2α C. 1 D.
12
6. 已知x 为第三象限角，化简-cos 2x =（ ）
A.
2sin x B. -2sin x C. 2cos x D. -2cos x
7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于
4
5
, 则这个三角形底角的正弦值为（ A ．
10 B ．-10 C ．3310 D ．-10
）
8. 若3sin x -3cos x =2sin(x -ϕ), ϕ∈(-π. π) ，则ϕ=（ ）
A. -
π
B.
π66 C. 5π6 D. -5π6
9. 已知sin α+cos α=1
3
，则sin 2α=（ ）
A ．-8
9
B ．-1182 C ． 2 D ．9
10.
已知cos 2θ=
43
cos θ-sin 4
θ的值为（ ） A
．-3 B
．3
C ．49 D ．1
11. 求cos
π
cos
2π1111cos 3π11cos 4π11cos 5π
11
=（ ）
A. 1
125 B. 2
4 C. 1 D. 0
12.
函数y =sin x 2+x
2
的图像的一条对称轴方程是 （ ）
A ．x =11
3
π B ．x =5π3 C ．x =-5π3 D ．x =-π3
二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知α, β为锐角，cos α=
1, cos β=
1, 则α+β的值为14．在∆ABC 中，已知tanA ,tanB 是方程3x 2-7x +2=0的两个实根，t a n C =．
15. 若sin
α
2=35, cos α2=-4
5
，则角α的终边在． 16. 代数式sin15o cos75o +cos15o sin105o = ． 三．解答题（共6个小题，共74分）
17．（12分）△ABC 中，已知cosA =35
5, c os B =13
, 求sinC 的值．
则
18．（12分）已知π
3π123
, cos (α-β) =, sin (α+β) =-, 求sin2α．
19．（12分）
2
4135
sin(α+
π
α为第二象限角，且 sinα=)
4, 求sin 2α+cos 2α+1的值． 已知
π11
20. （12分）已知α∈(0, ), β∈(0, π), 且tan(α-β) =, tan β=-，
427求tan(2α-β) 的值及角2α-β．
21．（12
分）已知函数f (x ) =cos 2x x cos x +1，x ∈R . （1）求证f (x ) 的小正周期和最值； （2）求这个函数的单调递增区间．
22. (14分) 已知A 、B 、C 是∆
ABC 三内角，向量m =(-1
n =(cosA ,sin A ), 且m.n=1 (1)求角A; (2)若
1+sin 2B
=-3, 求tanC .
cos 2B -sin 2B
《数学必修4》三角恒等变换测试题答案
一、选择题（12×5分=60分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、
3π3
14、 - 15、第四 16、 42
3
三、解答题（共6个小题，满分74分）
3417. 解:在∆ABC 中, cos A =, ∴sin A =
55
5123
又由sin B =, 可得cos B =±-sin 2B =±, sin A >∴A >600
13132 1212
若cos B =-, ∴B >1200, 这时A +B >1800不合题意舍去, 故cos B =,
1313
4123563
∴sin C =sin(A +B ) =sin A cos B +cos A sin B =⨯+⨯=
51351365
19. 解:
π
2
3π
4
3π2
∴0
π
454
∴sin(α-β) =, cos(α+β) =-
135
∴sin 2α=sin[(α+β) +(α-β)]=sin(α+β) cos(α-β) +cos(α+β) sin(α-β)
3124556=-⨯+(-) ⨯=-
51351365
, π
1-cos 2x 21+cos 2x 2() +()
sin x cos x sin x +cos x 20. 证明:左边=+==2222
12cos x sin x sin x cos x
sin 2x 4
1+cos 4x
2(2+2⨯) 2
2+2cos 2x 2(3+cos 4x ) ====右边1-cos 4x 1-cos 4x 1-cos 4x
2
2
2
4
4
1π
20. 解: tan β=-∴
72 0
π
4
∴-π
tan(2α-2β) +tan β
1-tan(2α-2β) tan β
∴tan(2α-β) =tan[(2α-2β) +β]=41
-=1=
411+⨯
37
3π
∴2α-β=-
4
21. 解：（1
）y =cos 2x x cos x +
1
=
cos 2x +12x 11
+
+1=cos 2x +2x ++1 22222
=sin
π
6
cos 2x +cos
π
6
sin 2x +
3π3
=sin(2x +) + 262
（2）因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎢-
由（1）知y =sin(2x +
π⎡π⎤
+2k π, +2k π⎥(k ∈Z ) ，
2⎣2⎦
π
3πππ
) +，故 -+2k π≤2x +≤+2k π(k ∈Z ) 62262
∴-
π
3
+k π≤x ≤
π
6
+k π(k ∈Z )
故函数y =sin(2x +
π
3ππ
) +的单调递增区间为[-+k π, +k π](k ∈Z ) 6236
三角恒等变换测试题
时间:120分钟 满分:150分
一. 选择题(共12小题, 每小题5分, 共60分) 1. 下列表达式中, 正确的是( )A
A. sin (α+β)=cos αsin β+sin αcos β B. sin(α-β) =cos αsin β-sin αcos β C. co s(α+β) =cos αcos β+sin αsin β D. cos(α-β) =cos αcos β-sin αcos β 设计意图：主要考查学生对公式结构的掌握情况。 2. 表达式sin(45+A ) -sin(45-A ) 化简后为( )B
A. A
B. C.
A
11
sin A D. -sin A 22
设计意图：主要考查学生对正弦的和、差公式的掌握和应用。 3. 函数y =sin x +cos x +2的最小值是( )A
A. 2
B. 2 C.0 D.1
设计意图：主要考查学生辅助角公式的应用以及三角函数的最值问题。 4. 已知θ是第三象限的角, 若sin θ+cos θ=
4
4
5
, 则sin 2θ等于( )A 9
A.
22
B. - C. D. -
3333
设计意图：主要考查同角的三角函数公式、正弦的二倍角、正切的和角公式的应用。 5. 已知α∈(
π
3π
, π),sin α=, 则tan(α+) 等于( ) A 254
A.
11
B. 7 C. - D. -7 77
设计意图：主要考查同角的三角函数公式、正弦的二倍角、正切的和角公式的应用。 6. 函数y =1+cos x 的图象( )B A. 关于x 轴对称
B. 关于y 轴对称
C. 关于原点对称
D. 关于直线x =
π
2
对称
7. (2006高考) 若∆ABC 的内角A 满足sin 2A =2
3
，则sin A +cos A =( A.
3
B. -3
C. 553 D. -3
8. (2006高考) 函数y =4sin ⎛
2π⎫
⎝x +3⎪⎭
+1的最小正周期为（ ）B A.
π
2
Ｂ. π
Ｃ. 2π
Ｄ. 4π
设计意图：主要考查三角函数的性质。 9. cos
2
π
8
-sin 2
π
8
等于( )A
A. 2
B.1
C. -2 D. -1
10. tan
α
2
不能用下列式表达的是 ( )D
A. B. sin α1+cos α
C.
1-cos αsin α D. sin α
1-cos α
11. tan15+tan30+tan15tan30等于 ( )D
A.
12
B. 2
C. D.1
) A
12. 当-π≤x ≤0时,
函数f (x ) =sin x x 最小值为( )B A. -1 B. -2
C. D.0 二. 填空题(共4个小题, 每小4分, 共16分) 13. 已知sin(
π
4
+x )sin(
π
1π
-x ) =, x ∈(, π) ，则sin 4x =＿＿＿＿ 462
14. 设∆
ABC 中，tan A +tan B 角形是＿＿＿＿＿＿三角形. 15.(05高考) 若sin
tan A tan B ，sin A cos A =
，则此三⎛π⎫1⎛2π⎫-α⎪=，则cos +2α⎪ ⎝6⎭3⎝3⎭
16.(06高考) 若f (x ) =a sin(x +
π
) +b sin(x -)(ab ≠0) 是偶函数, 则有序实数对
44
π
(a , b ) 可以是写出你认为正确的一组数即可).
三. 解答题(共6个小题,74分; 写出必要的文字说明或解题步骤) 17.(本小题12分)
已知sin(
π
4
-x ) =
12π
, 0
cos 2x cos(+x )
4
.
18.(本小题12分)
1x -) .
已知函数f (x ) =cos x
(1)求f (x ) 的定义域；
(2)设α的第四象限的角，且tan α=-
19.(2006高考) (本小题12分) π4，求f (α) 的值. 3
3π10
(1)求tan α的值； 已知
5sin 2
(2)
求α+8sin α
cos α
+11cos 2α
-8
的值. π⎫⎛ α-⎪2⎭⎝
20. (2006高考) (本小题12分) 已知函数f (x ) =sin x +sin(x +π
2), x ∈R .
(1)求f (x ) 的最小正周期；
(2)求f (x ) 的的最大值和最小值；
(3)若f (α) =3
4，求sin 2α的值.
21. (本小题12分
)
如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.
22. (本小题14分)
已知A 、B 、C 是∆
ABC 三内角，向量m =(-1
n =(cosA ,sin A ), 且m n =1.
(1)求角A;
(2)若
1+sin 2B =-3, 求tanC . cos 2B -sin 2B