第五章分离性练习题
November 26, 2012
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练习0.1. 证明X 是正规空间⇔X 的任意闭子集A 以及A 的任意邻域U ，存在A 的¯⊆U ．邻域V ，使得V
Proof. 必要性：不妨设U 是A 的开邻域，则U c 是X 的闭集，且有U c ∩A =∅．这样，U c , A 就是X 中两个不相交的闭集．根据正规性条件，分别存在A 和U c 的开邻域U 和V 使得U ∩V =∅，即U ⊆V c ，所以⊆=V c ．另一方面，因U c ⊆V ，我们有V c ⊆U, 所以，⊆U ．
充分性：设A, B 是两个不交闭集．令U = B c ，则U 是A 的邻域．由假设条件¯⊆U ．令U =V ¯c ，则U 是B 的邻域，再根据假设可知存在A 的邻域V 使得V ¯⊆U ．于是V ¯∩W ¯⊆V ¯∩U =∅
．条件可知存在B 的邻域W ，使得W
练习0.2. 证明拓扑空间X 为正则空间的充要条件是X 的任意闭集A 以及任意x ∈/¯∩V ¯=∅．A ，存在x 的开邻域U 以及A 的开邻域V ，使得U
Proof. 必要性．设X 为正则空间．∀x ∈A c ，则存在x 的开邻域V 以及A 的开邻¯⊆V ．由于U ⊆V c ，域U 使U ∩V =∅．另一方面，存在x 的邻域W ，使W ¯∩U ¯⊆V ∩V c =∅．¯⊆=V c ，因此W 有U 充分性．显然
．
练习0.3. 证明拓扑空间X 为正规空间的充要条件是X 的任意两个不相交的闭¯∩V ¯=∅．集A 和B ，分别存在开邻域U 以及V ，使得U
Proof. 充分性显然．下证必要性．
由正规性，存在A, B 的邻域U, V 使U ∩V =∅．另一方面，存在A 的邻域U 使⊆U ．同理，存在B 的邻域V 使⊆V ．则∩=∅
．
练习0.4. 证明拓扑空间X 为T 1空间当且仅当∀x ∈X ，单点集{x }是x 的所有开邻域之交．
Proof. 充分性．设{x }=V x ．任取y ∈X ，y =x ，则存在V x ∈U x 使y ∈/
，所/V x 必要 性．设X 为T 1空间． ∀y ∈X, y =x ．则存在V x ∈U x 使y ∈以y ∈/V x ．故{x }=V x ．V x ∈Ux V x ∈Ux V x ∈Ux V x ．同理，有x 的邻域不含y ，所以X 为T 1空间．
练习0.5. 证明拓扑空间X 为T 2空间的充要条件是X ×X 的对角线∆={(x, x ) |x ∈X }为闭集．
Proof. 必要性．设X 为T 2空间．∀(x, y ) ∈∆c ，则y =x ．所以存在邻域U x , U y 使U x ∩U y =∅．因此U x ×U y ∈∆c ，故∆c 是开集，从而∆是闭集．
充分性．设∆是闭集，则∆c 是开集．∀x, y ∈X, x =y ，则(x, y ) ∈∆c ．于是存在积空间的基开集U x ×U y 使(x, y ) ∈U
x ×U y ⊆∆c ，即U x ∩U y =∅，从而X 是T 2空间．
练习0.6. 设A 是T 1空间X 的任意子集，则A 的导集是闭集．
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Proof. 证法一．设x ∈A ，则对任意的U ∈O x ，有U ∩(A \{x }) =∅．取y ∈U ∩(A \{x }) ，则U ∈O y ，y =x ，且y ∈A ．因X 是T 1的，所以存在V ∈O y ，使得x ∈/V ．因此有
U ∩(A \{x }) =(U \{x }) ∩A
⊇((V ∩U ) \{x }) ∩A
=(V ∩U ) ∩A
⊇V ∩U ∩(A \{y }) =∅
这说明x ∈A ，A ⊆A ，从而A 是闭集．证法二．由杨忠道定理，只需证明单点集的导集是闭集．对任意的x ∈X ，由于{x } ⊆={x }，所以{x } =∅是闭集．
练习0.7. 设f, g :X →Y 是连续映射，Y 是Hausdorff空间，证明（1）集合E ={x ∈X |f (x ) =g (x ) }是X 的闭子集；（2）如果A 是X 的稠密子集且f |A =g |A ，则f =g ．
Proof. （1）证法一：设x ∈E c ，则f (x ) =g (x ) ，于是存在G ∈N f (x ) 以及W ∈N g (x ) 使得G ∩W =∅．因f, g 连续，故存在U, V ∈N x 使得f (U ) ⊆G ，g (V ) ⊆W ．又U ∩V ∈N x ，且对任意的z ∈U ∩V ，有f (z ) =g (z ) ，即U ∩V ⊆E c ，从而E c 是X 的开集，即E 为闭集．证法二：设(x d ) d ∈D 是E 中的网，x ∈lim x d ．因为对任意的d ∈D ，x d ∈E ，故f (x d ) =g (x d ) ．由于f, g 都连续，所以f (x ) , g (x ) ∈lim f (x d ) =lim g (x d ) ．由于Y 是Hausdorff空间，根据极限的唯一性可知f (x ) =g (x ) ．于是lim x d ⊆E ，E 是闭集．¯⊆E ¯=E ，于是
X =E ，即对任意（2）因f |A =g |A ，故A ⊆E ，而X =A
的x ∈X ，有f (x ) =g (x ) ，即f =g ．
练习0.8. 证明Urysohn 引理的充分性：如果拓扑空间的任意两个不交闭集可用一个连续函数分离，则该拓扑空间是正规的．
Proof. 设A, B 是X 的两个不交闭集，则存在连续函数f :X →[0, 1]，使得f |A =0，f |B =1。令U =f −1([0, 1/2)) ，V =f −1((1/2,
1])，则U, V 分别是A, B 的邻域，并且U ∩V =∅，所以X 是正规的。
练习0.9. 证明多于一点的连通T 3. 5空间的开子集是不可数子集．
Proof. 设G 是T 3. 5空间X 的非空开集，x ∈G ．
（1）如果G =X ，则存在y ∈X ，且x =y ．于是存在连续函数f :X →[0, 1]使f (x ) =0，f (y ) =1．由X 的连通性可知f (X ) =[0, 1]，所以X 不可数．
（2）如果G =X ，则G c =∅．而G c 是X 的闭集，故存在连续映射g :X →[0, 1]使g (x ) =0，g |G c =1．因X 连通，所以有g (X ) =[0, 1]．又
g (X ) =g (G ) ∪g (G c ) =g (G ) ∪{1
},
所以[0, 1) ⊆g (G ) ，即g (G ) 不可数，从而G 不可数．
练习0.10. 证明分离性质是拓扑性质．
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Proof. 以完全正则性为例．设h :X →Y 是同胚映射，X 是完全正则空间，下证Y 也是完全正则空间．任取y ∈Y 以及不含y 的闭集B ⊆Y ，则h −1(B ) 是X 中不含x =h −1(y ) 的闭集．由X 的完全正则性可知，存在连续映射f :X →[0, 1]，使得f (x ) =0，f |h −1(B ) =1．于是连续映射g =f ◦h −1:Y →[0, 1]满足g (y ) =0，g |B =1
．
练习0.11. 证明T 0∼T 3. 5空间的子空间仍然是T 0∼T 3. 5空间．
Proof. 参看第0.12题
．
练习0.12. 证明正则空间的子空间是正则的．
Proof. 设X 是正则空间，Y 是其子空间．设y ∈Y ，B 是Y 中不含y 的闭子集．则在X 中存在一个闭子集B 0使得B =B 0∩Y ．因y ∈/B ，所以y ∈/B 0．因X 正则，所以分别存在y 和B 0在X 中的邻域U 0和V 0使得U 0∩V 0=∅．令U =U 0∩Y ，V =V 0∩Y ，则U, V 分别是y 和B 在Y 中的邻域，而且U ∩V =∅
．
练习0.13. 证明正规空间的闭子空间是正规的，并举例说明正规空间的一般子空间不一定是正规的．
Proof. 先证明正规空间、T 4空间对闭子集具有遗传性．
设X 是正规空间，A 是X 的闭子集，B 1, B 2是A 的不交闭集，则它们也是X 的不交闭集．由X 的正规性，存在B 1的邻域U 和B 2的邻域V 使得U ∩V =∅，从而U ∩A 与V ∩A 就分别是B 1与B 2在A 中的不交邻域，所以A 是正规的．如果X 是T 4空间，A 是X 的闭子集，则A 是正则的和T 1的，所以是正规的．下面举例说明正规性对一般子集是不可遗传的．设(X, T ) 是非正规的，∞是不属于X 的任意元素．令X ∗=X ∪{∞}，T ∗=T ∪{X ∗}，则(X ∗, T ∗) 是拓扑空间．下面证明这个空间是正规的．
设A, B 是X ∗的任意两个不交闭集，则至少有一个不含∞．不妨设∞∈/A ，∗∗∗∗则X \A 为∞的邻域，从而X \A =X ，故A =∅．于是∅和X 分别是A 和B 的邻域，且不相交．
练习0.14. 证明完全正则性是有限可积性质．
先证明一个引理：
引理0.15. *设I =[0, 1]，m :I ×I →I 定义为m (t 1, t 2) =max {t 1, t 2}，则m 是连续的．
Proof. 对任意的a ∈(0, 1]，有m −1([0, a )) =[0, a ) 2是I ×I 的开集；对每个b ∈[0, 1) ，有m −1([0, b ])=[0, b ]2是I ×I 的闭集，从而
m −1((b, 1])=m −1([0, 1]\[0, b ])=(I ×I ) \m −1([0, b ])
是I ×I 的开集．另一方面，
S ={[0, a ) |a ∈(0, 1]}∪{(b, 1]|b ∈[0, 1) }
是I 的拓扑子
基，所以m 连续．
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下面设X 1, X 2是完全正则空间，证明X =X 1×X 2也是完全正则的．Proof. 设x =(x 1, x 2) ∈X ，B 是X 中不含x 的闭集，则存在x i 在X i 中的邻域U i （i =1, 2），使得
x =(x 1, x 2) ∈U 1×U 2⊆B c .
由于X i 是完全正则的，所以有连续函数f i :X i →I 满足f i (x i ) =0，f i |X i \U i =1．
定义映射f =m ◦(f 1×f 2) :X 1×X 2→I ，则f 是连续的，且
f (x ) =m ◦(f 1×f 2)(x 1, x 2)
=max {f 1(x 1) , f 2(x 2) }=0.
而且当y =(y 1, y 2) ∈(X 1×X 2) \(U 1×U 2) 时，有y 1∈/U 1或者y 2∈/U 2．因此有f 1(y 1) =1或者f 2(y 2) =1．从而有
f (y ) =m ◦(f 1×f 2)(y 1, y 2)
=max {f 1(y 1) , f 2(y 2) }=1.
由于B ⊆(X 1×X 2) \(U 1×U 2) ，故对每个y ∈B 都有f (y ) =1
．
练习0.16. 证明T 0∼T 3. 5空间的积空间仍然是T 0∼T 3. 5空间，正则空间的积空间是正则空间．
Proof. 以正则空间为例．设X 1, X 2是正则空间，x =(x 1, x 2) ∈X 1×X 2，U 是x 的开邻域，则存在x 1在X 1中的开邻域U 1和x 2在X 2中的开邻域U 2使得U 1×U 2⊆U ．由X 1, X 2的正则性，存在x 1的开邻域V 1和x 2的开邻域V 2使V 1−⊆U 1，V 2−⊆U 2．于是，V 1×V 2就是x 在X 1×X 2中的邻域，并且
12=V 1−×V 2−⊆U 1×U 2⊆U,
所以X 1×X 2是正则的
．
练习0.17. 举例说明正规空间的积不必是正规空间，T 4空间的积也不必是T 4空间．
Proof. 下限拓扑空间(R , T ) 是T 4空间，而两个下限拓扑空间的乘积不是正规空间．事实上，(R , T ) 显然是T 1的．由于每一个点的每一个邻域有一个闭子邻域，所以(R , T ) 是正则的．由于下限拓扑空间是Linderlof 空间，由吉洪诺夫分离性定理可知下限拓扑空间是正规的． ˜˜˜的闭设R 是两个下限拓扑空间的乘积，E =(x, y ) ∈R |x =y ，则E 是R
˜是正规的，则其闭子集E 必然也是正规的．然而E 不是正规的，子集．如果R ˜不是正规因为E 的子集A ={(x, y ) |x ∈Q }与B =A c 不能用邻域分离．因此R
的
．
练习0.18. 设X 是Hausdorff空间，f :X →X 是连续映射且满足f ◦f =f ，证明f (X ) 是闭集．
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Proof. 证法一．设x ∈(f (X )) c ，则x =f (x ) ，故存在U 1∈N x ，V ∈N f (x ) 使得U 1∩V =∅．又f 连续，所以存在U 2∈N x 使f (U 2) ⊆V ．令U =U 1∩U 2，则U 是x 的邻域，且U ⊆(f (X )) c ．事实上，若存在z ∈U ，使得z ∈f (X ) ，即存在y ∈X 使z =f (y ) ，则有f (z ) =f (f (y )) =f (y ) =z ，而f (z ) ∈f (U ) ⊆V ，所以有z ∈U ∩V ⊆U 1∩V =∅，矛盾．矛盾说明U ⊆(f (X )) c ，即f (X ) 是闭集．证法二．设ξ是f (X ) 的网，y ∈lim ξ．因f ◦f =f ，所以有f ◦ξ=f ◦f ◦η=f ◦η=ξ，这里，η是X 中的网，且f ◦η=ξ．由连续性可知
f (y ) ∈lim f ◦ξ=lim ξ.
根据Hausdorff空间极限的唯一性可知y =f (y ) ，所以y ∈f (X ) ．于是有lim ξ⊆f (X ) ，因此f (X ) 是闭集．
练习0.19. 证明：如果T 1空间有一个有限基，那么该空间只有有限个点，而且是离散拓扑．
Proof. 设X 是T 1空间，B 是有限基．根据基与拓扑的关系可知只有有限个开集，从而只有有限个闭集．又因为T 1空间的单点集是闭集，所以X 是有限集．
由于X 的单点集是闭集，且X 是有限集，所以任意子集都是闭集，从而任
意子集也是开集，因此是离散空间．
练习0.20. 设A 是T 1空间X 的多于一点的连通子集，那么A ⊆A ．
Proof. 用反证法．假设存在x ∈A ，但x ∈/A ，则必有U ∈O x 使U ∩(A \{x }) =∅，因此有U ∩A ={x }．于是{x }是A 的既开又闭的
非空真子集，这与A 的连通性矛盾．
练习0.21. *设(X, T ) 是无限的Hausdorff空间，证明（1）在(X, T ) 中存在无限多个非空开集互不相交；（2）如果(X, T ) 是第二可数的，则Card T =2ℵ0．
Proof. （1）若X =∅，则对任意的x ∈X ，存在U ∈O x ，使得U ∩(X \{x }) =∅，即单点集是开集，X 是离散空间，结论成立．
若X =∅，设x ∈X ，取x 1∈X \{x }，则存在开集G 1, U 1使得x 1∈G 1，x ∈U 1，且U 1∩G 1=∅．现在归纳假设G 1, ···, G n 是一组两两不相交的非空开集，U 1, ···, U n 是x 的一组开邻域，使得对i =1, ···, n −1有U i +1⊆U i ，对i =1, ···, n 有G i ∩U i =∅．下面定义G n +1．∗因U n ∩(X \{x }) =∅，可取x n +1∈U n ∩(X \{x }) ，则存在开集G ∗n +1, U n +1使∗∗∗∗得x n +1∈G ∗n +1，x ∈U n +1，而且G n +1∩U n +1=∅．令G n +1=G n +1∩
∗U n ，U n +1=U n +1∩U n ，则x n +1∈G n +1，故G n +1=∅，且对任意的i =
1, ···, n 有
∗G n +1∩G i =G ∗n +1∩U n ∩G i ⊆G n +1∩U i ∩G i =∅.
由归纳原理可知G 1, ···, G n , ···即为所求．
（2）设B 是X 的可数基．对任意的非空开集G ，记
B (G ) ={B ∈B|B ⊆G }.
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令φ:T \{∅}→P (B ) ,
G →B (G ) . 由于B (G ) =G ，所以φ是单射，从而有Card T ≤2ℵ0．另一方面，由（1）可
知X 有无限多个两两不相交的非空开集，记这样的开集族为G ，定义
f :P (G ) \{∅}→T ,
A →A ,
则f 是单射，所以有2ℵ0≤Card P (G ) ≤Card T
.
练习0.22. *设X ={(x, y ) ∈Q ×Q |y ≥0}，对固定的无理数θ，令
y y N ε(x, y ) ={(x, y ) }∪B ε(x +) ∪B ε(x −) ∩Q . θθ
令T 是X 上以{N ε(x, y ) |(x, y ) ∈X, ε>0}为基的拓扑，证明(X, T ) 是T 2的，但不是T 2. 5的．这里，B ε(r ) 是x -轴上的区间(r −ε,r +ε) ，Q 是x -轴上的有理数集． 1 练习0.23. *设T 是R 的通常的拓扑，令K =|n ∈N ，T 1={G \E |G ∈T , E ⊆K }，则(R , T 1) 是T 2的，但不是正则和正规的．
练习0.24. *令
X =(x 1, x 2) ∈R 2|x 2≥0,
B ={B ε(x ) |0
证明：（1）B 是X 的某个拓扑T 的基；（2）拓扑空间(X, T ) 是一个T 3空间；
（3）拓扑空间(X, T ) 不是正规空间．
练习0.25. 如果一个子集族的每个可数子族有非空交集，则称该子集族具有可数交性质．设B 是(X, T ) 的基，则下列条件等价：（1）．X 是Lindelof 空间；（2）．由B 的成员构成的覆盖有可数子覆盖；（3）．X 的每个具有可数交性质的闭集族有非空交．
练习0.26. Linderlof 性质是否为拓扑性质？
7
Proof. 设f :X →Y 是拓扑空间X 到Y 的连续满映射，若X 是一个Lindeloff空间，则Y 也是一个Lindeloff空间．事实上，设τ是空间Y 的任一个开覆盖，因为f :X →Y 是连续满映射，所以{f −1(A ) |A ∈τ}为X 的开覆盖，故存在可数子覆盖{f −1(A 1) , {f −1(A 2) , ···}，使得X =f −1(A i ) ，从而
i
Y =f (X ) =f (
i f −1(A i )) = i f (f −1(A i )) ⊂ i A i ,
所以{A i |i =1, 2, ···}为Y 的可数开覆盖，即Y 是Lindeloff空间
．
练习0.27. 设(X, T ) 是正则空间，证明：如果X 的每个非空闭集都有一个孤立点，那么X 的子集A ={x ∈X |{x }∈T }是X 的稠密子集．
Proof. 对任意的x ∈X 以及U ∈N x ∩T ，由正则性可知存在V ∈T 使得x ∈¯⊆U ．根据假设条件，存在y ∈V ¯\V ，则y ∈V 且存在W ∈N y ∩T 使V ⊆V ¯，所得{y }=W ∩V ∈T ．故y ∈A ，于是U ∩A ⊇V ∩A ⊇{y }，所以x ∈A 以A 稠密
．
第五章分离性练习题
November 26, 2012
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练习0.1. 证明X 是正规空间⇔X 的任意闭子集A 以及A 的任意邻域U ，存在A 的¯⊆U ．邻域V ，使得V
Proof. 必要性：不妨设U 是A 的开邻域，则U c 是X 的闭集，且有U c ∩A =∅．这样，U c , A 就是X 中两个不相交的闭集．根据正规性条件，分别存在A 和U c 的开邻域U 和V 使得U ∩V =∅，即U ⊆V c ，所以⊆=V c ．另一方面，因U c ⊆V ，我们有V c ⊆U, 所以，⊆U ．
充分性：设A, B 是两个不交闭集．令U = B c ，则U 是A 的邻域．由假设条件¯⊆U ．令U =V ¯c ，则U 是B 的邻域，再根据假设可知存在A 的邻域V 使得V ¯⊆U ．于是V ¯∩W ¯⊆V ¯∩U =∅
．条件可知存在B 的邻域W ，使得W
练习0.2. 证明拓扑空间X 为正则空间的充要条件是X 的任意闭集A 以及任意x ∈/¯∩V ¯=∅．A ，存在x 的开邻域U 以及A 的开邻域V ，使得U
Proof. 必要性．设X 为正则空间．∀x ∈A c ，则存在x 的开邻域V 以及A 的开邻¯⊆V ．由于U ⊆V c ，域U 使U ∩V =∅．另一方面，存在x 的邻域W ，使W ¯∩U ¯⊆V ∩V c =∅．¯⊆=V c ，因此W 有U 充分性．显然
．
练习0.3. 证明拓扑空间X 为正规空间的充要条件是X 的任意两个不相交的闭¯∩V ¯=∅．集A 和B ，分别存在开邻域U 以及V ，使得U
Proof. 充分性显然．下证必要性．
由正规性，存在A, B 的邻域U, V 使U ∩V =∅．另一方面，存在A 的邻域U 使⊆U ．同理，存在B 的邻域V 使⊆V ．则∩=∅
．
练习0.4. 证明拓扑空间X 为T 1空间当且仅当∀x ∈X ，单点集{x }是x 的所有开邻域之交．
Proof. 充分性．设{x }=V x ．任取y ∈X ，y =x ，则存在V x ∈U x 使y ∈/
，所/V x 必要 性．设X 为T 1空间． ∀y ∈X, y =x ．则存在V x ∈U x 使y ∈以y ∈/V x ．故{x }=V x ．V x ∈Ux V x ∈Ux V x ∈Ux V x ．同理，有x 的邻域不含y ，所以X 为T 1空间．
练习0.5. 证明拓扑空间X 为T 2空间的充要条件是X ×X 的对角线∆={(x, x ) |x ∈X }为闭集．
Proof. 必要性．设X 为T 2空间．∀(x, y ) ∈∆c ，则y =x ．所以存在邻域U x , U y 使U x ∩U y =∅．因此U x ×U y ∈∆c ，故∆c 是开集，从而∆是闭集．
充分性．设∆是闭集，则∆c 是开集．∀x, y ∈X, x =y ，则(x, y ) ∈∆c ．于是存在积空间的基开集U x ×U y 使(x, y ) ∈U
x ×U y ⊆∆c ，即U x ∩U y =∅，从而X 是T 2空间．
练习0.6. 设A 是T 1空间X 的任意子集，则A 的导集是闭集．
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Proof. 证法一．设x ∈A ，则对任意的U ∈O x ，有U ∩(A \{x }) =∅．取y ∈U ∩(A \{x }) ，则U ∈O y ，y =x ，且y ∈A ．因X 是T 1的，所以存在V ∈O y ，使得x ∈/V ．因此有
U ∩(A \{x }) =(U \{x }) ∩A
⊇((V ∩U ) \{x }) ∩A
=(V ∩U ) ∩A
⊇V ∩U ∩(A \{y }) =∅
这说明x ∈A ，A ⊆A ，从而A 是闭集．证法二．由杨忠道定理，只需证明单点集的导集是闭集．对任意的x ∈X ，由于{x } ⊆={x }，所以{x } =∅是闭集．
练习0.7. 设f, g :X →Y 是连续映射，Y 是Hausdorff空间，证明（1）集合E ={x ∈X |f (x ) =g (x ) }是X 的闭子集；（2）如果A 是X 的稠密子集且f |A =g |A ，则f =g ．
Proof. （1）证法一：设x ∈E c ，则f (x ) =g (x ) ，于是存在G ∈N f (x ) 以及W ∈N g (x ) 使得G ∩W =∅．因f, g 连续，故存在U, V ∈N x 使得f (U ) ⊆G ，g (V ) ⊆W ．又U ∩V ∈N x ，且对任意的z ∈U ∩V ，有f (z ) =g (z ) ，即U ∩V ⊆E c ，从而E c 是X 的开集，即E 为闭集．证法二：设(x d ) d ∈D 是E 中的网，x ∈lim x d ．因为对任意的d ∈D ，x d ∈E ，故f (x d ) =g (x d ) ．由于f, g 都连续，所以f (x ) , g (x ) ∈lim f (x d ) =lim g (x d ) ．由于Y 是Hausdorff空间，根据极限的唯一性可知f (x ) =g (x ) ．于是lim x d ⊆E ，E 是闭集．¯⊆E ¯=E ，于是
X =E ，即对任意（2）因f |A =g |A ，故A ⊆E ，而X =A
的x ∈X ，有f (x ) =g (x ) ，即f =g ．
练习0.8. 证明Urysohn 引理的充分性：如果拓扑空间的任意两个不交闭集可用一个连续函数分离，则该拓扑空间是正规的．
Proof. 设A, B 是X 的两个不交闭集，则存在连续函数f :X →[0, 1]，使得f |A =0，f |B =1。令U =f −1([0, 1/2)) ，V =f −1((1/2,
1])，则U, V 分别是A, B 的邻域，并且U ∩V =∅，所以X 是正规的。
练习0.9. 证明多于一点的连通T 3. 5空间的开子集是不可数子集．
Proof. 设G 是T 3. 5空间X 的非空开集，x ∈G ．
（1）如果G =X ，则存在y ∈X ，且x =y ．于是存在连续函数f :X →[0, 1]使f (x ) =0，f (y ) =1．由X 的连通性可知f (X ) =[0, 1]，所以X 不可数．
（2）如果G =X ，则G c =∅．而G c 是X 的闭集，故存在连续映射g :X →[0, 1]使g (x ) =0，g |G c =1．因X 连通，所以有g (X ) =[0, 1]．又
g (X ) =g (G ) ∪g (G c ) =g (G ) ∪{1
},
所以[0, 1) ⊆g (G ) ，即g (G ) 不可数，从而G 不可数．
练习0.10. 证明分离性质是拓扑性质．
3
Proof. 以完全正则性为例．设h :X →Y 是同胚映射，X 是完全正则空间，下证Y 也是完全正则空间．任取y ∈Y 以及不含y 的闭集B ⊆Y ，则h −1(B ) 是X 中不含x =h −1(y ) 的闭集．由X 的完全正则性可知，存在连续映射f :X →[0, 1]，使得f (x ) =0，f |h −1(B ) =1．于是连续映射g =f ◦h −1:Y →[0, 1]满足g (y ) =0，g |B =1
．
练习0.11. 证明T 0∼T 3. 5空间的子空间仍然是T 0∼T 3. 5空间．
Proof. 参看第0.12题
．
练习0.12. 证明正则空间的子空间是正则的．
Proof. 设X 是正则空间，Y 是其子空间．设y ∈Y ，B 是Y 中不含y 的闭子集．则在X 中存在一个闭子集B 0使得B =B 0∩Y ．因y ∈/B ，所以y ∈/B 0．因X 正则，所以分别存在y 和B 0在X 中的邻域U 0和V 0使得U 0∩V 0=∅．令U =U 0∩Y ，V =V 0∩Y ，则U, V 分别是y 和B 在Y 中的邻域，而且U ∩V =∅
．
练习0.13. 证明正规空间的闭子空间是正规的，并举例说明正规空间的一般子空间不一定是正规的．
Proof. 先证明正规空间、T 4空间对闭子集具有遗传性．
设X 是正规空间，A 是X 的闭子集，B 1, B 2是A 的不交闭集，则它们也是X 的不交闭集．由X 的正规性，存在B 1的邻域U 和B 2的邻域V 使得U ∩V =∅，从而U ∩A 与V ∩A 就分别是B 1与B 2在A 中的不交邻域，所以A 是正规的．如果X 是T 4空间，A 是X 的闭子集，则A 是正则的和T 1的，所以是正规的．下面举例说明正规性对一般子集是不可遗传的．设(X, T ) 是非正规的，∞是不属于X 的任意元素．令X ∗=X ∪{∞}，T ∗=T ∪{X ∗}，则(X ∗, T ∗) 是拓扑空间．下面证明这个空间是正规的．
设A, B 是X ∗的任意两个不交闭集，则至少有一个不含∞．不妨设∞∈/A ，∗∗∗∗则X \A 为∞的邻域，从而X \A =X ，故A =∅．于是∅和X 分别是A 和B 的邻域，且不相交．
练习0.14. 证明完全正则性是有限可积性质．
先证明一个引理：
引理0.15. *设I =[0, 1]，m :I ×I →I 定义为m (t 1, t 2) =max {t 1, t 2}，则m 是连续的．
Proof. 对任意的a ∈(0, 1]，有m −1([0, a )) =[0, a ) 2是I ×I 的开集；对每个b ∈[0, 1) ，有m −1([0, b ])=[0, b ]2是I ×I 的闭集，从而
m −1((b, 1])=m −1([0, 1]\[0, b ])=(I ×I ) \m −1([0, b ])
是I ×I 的开集．另一方面，
S ={[0, a ) |a ∈(0, 1]}∪{(b, 1]|b ∈[0, 1) }
是I 的拓扑子
基，所以m 连续．
4
下面设X 1, X 2是完全正则空间，证明X =X 1×X 2也是完全正则的．Proof. 设x =(x 1, x 2) ∈X ，B 是X 中不含x 的闭集，则存在x i 在X i 中的邻域U i （i =1, 2），使得
x =(x 1, x 2) ∈U 1×U 2⊆B c .
由于X i 是完全正则的，所以有连续函数f i :X i →I 满足f i (x i ) =0，f i |X i \U i =1．
定义映射f =m ◦(f 1×f 2) :X 1×X 2→I ，则f 是连续的，且
f (x ) =m ◦(f 1×f 2)(x 1, x 2)
=max {f 1(x 1) , f 2(x 2) }=0.
而且当y =(y 1, y 2) ∈(X 1×X 2) \(U 1×U 2) 时，有y 1∈/U 1或者y 2∈/U 2．因此有f 1(y 1) =1或者f 2(y 2) =1．从而有
f (y ) =m ◦(f 1×f 2)(y 1, y 2)
=max {f 1(y 1) , f 2(y 2) }=1.
由于B ⊆(X 1×X 2) \(U 1×U 2) ，故对每个y ∈B 都有f (y ) =1
．
练习0.16. 证明T 0∼T 3. 5空间的积空间仍然是T 0∼T 3. 5空间，正则空间的积空间是正则空间．
Proof. 以正则空间为例．设X 1, X 2是正则空间，x =(x 1, x 2) ∈X 1×X 2，U 是x 的开邻域，则存在x 1在X 1中的开邻域U 1和x 2在X 2中的开邻域U 2使得U 1×U 2⊆U ．由X 1, X 2的正则性，存在x 1的开邻域V 1和x 2的开邻域V 2使V 1−⊆U 1，V 2−⊆U 2．于是，V 1×V 2就是x 在X 1×X 2中的邻域，并且
12=V 1−×V 2−⊆U 1×U 2⊆U,
所以X 1×X 2是正则的
．
练习0.17. 举例说明正规空间的积不必是正规空间，T 4空间的积也不必是T 4空间．
Proof. 下限拓扑空间(R , T ) 是T 4空间，而两个下限拓扑空间的乘积不是正规空间．事实上，(R , T ) 显然是T 1的．由于每一个点的每一个邻域有一个闭子邻域，所以(R , T ) 是正则的．由于下限拓扑空间是Linderlof 空间，由吉洪诺夫分离性定理可知下限拓扑空间是正规的． ˜˜˜的闭设R 是两个下限拓扑空间的乘积，E =(x, y ) ∈R |x =y ，则E 是R
˜是正规的，则其闭子集E 必然也是正规的．然而E 不是正规的，子集．如果R ˜不是正规因为E 的子集A ={(x, y ) |x ∈Q }与B =A c 不能用邻域分离．因此R
的
．
练习0.18. 设X 是Hausdorff空间，f :X →X 是连续映射且满足f ◦f =f ，证明f (X ) 是闭集．
5
Proof. 证法一．设x ∈(f (X )) c ，则x =f (x ) ，故存在U 1∈N x ，V ∈N f (x ) 使得U 1∩V =∅．又f 连续，所以存在U 2∈N x 使f (U 2) ⊆V ．令U =U 1∩U 2，则U 是x 的邻域，且U ⊆(f (X )) c ．事实上，若存在z ∈U ，使得z ∈f (X ) ，即存在y ∈X 使z =f (y ) ，则有f (z ) =f (f (y )) =f (y ) =z ，而f (z ) ∈f (U ) ⊆V ，所以有z ∈U ∩V ⊆U 1∩V =∅，矛盾．矛盾说明U ⊆(f (X )) c ，即f (X ) 是闭集．证法二．设ξ是f (X ) 的网，y ∈lim ξ．因f ◦f =f ，所以有f ◦ξ=f ◦f ◦η=f ◦η=ξ，这里，η是X 中的网，且f ◦η=ξ．由连续性可知
f (y ) ∈lim f ◦ξ=lim ξ.
根据Hausdorff空间极限的唯一性可知y =f (y ) ，所以y ∈f (X ) ．于是有lim ξ⊆f (X ) ，因此f (X ) 是闭集．
练习0.19. 证明：如果T 1空间有一个有限基，那么该空间只有有限个点，而且是离散拓扑．
Proof. 设X 是T 1空间，B 是有限基．根据基与拓扑的关系可知只有有限个开集，从而只有有限个闭集．又因为T 1空间的单点集是闭集，所以X 是有限集．
由于X 的单点集是闭集，且X 是有限集，所以任意子集都是闭集，从而任
意子集也是开集，因此是离散空间．
练习0.20. 设A 是T 1空间X 的多于一点的连通子集，那么A ⊆A ．
Proof. 用反证法．假设存在x ∈A ，但x ∈/A ，则必有U ∈O x 使U ∩(A \{x }) =∅，因此有U ∩A ={x }．于是{x }是A 的既开又闭的
非空真子集，这与A 的连通性矛盾．
练习0.21. *设(X, T ) 是无限的Hausdorff空间，证明（1）在(X, T ) 中存在无限多个非空开集互不相交；（2）如果(X, T ) 是第二可数的，则Card T =2ℵ0．
Proof. （1）若X =∅，则对任意的x ∈X ，存在U ∈O x ，使得U ∩(X \{x }) =∅，即单点集是开集，X 是离散空间，结论成立．
若X =∅，设x ∈X ，取x 1∈X \{x }，则存在开集G 1, U 1使得x 1∈G 1，x ∈U 1，且U 1∩G 1=∅．现在归纳假设G 1, ···, G n 是一组两两不相交的非空开集，U 1, ···, U n 是x 的一组开邻域，使得对i =1, ···, n −1有U i +1⊆U i ，对i =1, ···, n 有G i ∩U i =∅．下面定义G n +1．∗因U n ∩(X \{x }) =∅，可取x n +1∈U n ∩(X \{x }) ，则存在开集G ∗n +1, U n +1使∗∗∗∗得x n +1∈G ∗n +1，x ∈U n +1，而且G n +1∩U n +1=∅．令G n +1=G n +1∩
∗U n ，U n +1=U n +1∩U n ，则x n +1∈G n +1，故G n +1=∅，且对任意的i =
1, ···, n 有
∗G n +1∩G i =G ∗n +1∩U n ∩G i ⊆G n +1∩U i ∩G i =∅.
由归纳原理可知G 1, ···, G n , ···即为所求．
（2）设B 是X 的可数基．对任意的非空开集G ，记
B (G ) ={B ∈B|B ⊆G }.
6
令φ:T \{∅}→P (B ) ,
G →B (G ) . 由于B (G ) =G ，所以φ是单射，从而有Card T ≤2ℵ0．另一方面，由（1）可
知X 有无限多个两两不相交的非空开集，记这样的开集族为G ，定义
f :P (G ) \{∅}→T ,
A →A ,
则f 是单射，所以有2ℵ0≤Card P (G ) ≤Card T
.
练习0.22. *设X ={(x, y ) ∈Q ×Q |y ≥0}，对固定的无理数θ，令
y y N ε(x, y ) ={(x, y ) }∪B ε(x +) ∪B ε(x −) ∩Q . θθ
令T 是X 上以{N ε(x, y ) |(x, y ) ∈X, ε>0}为基的拓扑，证明(X, T ) 是T 2的，但不是T 2. 5的．这里，B ε(r ) 是x -轴上的区间(r −ε,r +ε) ，Q 是x -轴上的有理数集． 1 练习0.23. *设T 是R 的通常的拓扑，令K =|n ∈N ，T 1={G \E |G ∈T , E ⊆K }，则(R , T 1) 是T 2的，但不是正则和正规的．
练习0.24. *令
X =(x 1, x 2) ∈R 2|x 2≥0,
B ={B ε(x ) |0
证明：（1）B 是X 的某个拓扑T 的基；（2）拓扑空间(X, T ) 是一个T 3空间；
（3）拓扑空间(X, T ) 不是正规空间．
练习0.25. 如果一个子集族的每个可数子族有非空交集，则称该子集族具有可数交性质．设B 是(X, T ) 的基，则下列条件等价：（1）．X 是Lindelof 空间；（2）．由B 的成员构成的覆盖有可数子覆盖；（3）．X 的每个具有可数交性质的闭集族有非空交．
练习0.26. Linderlof 性质是否为拓扑性质？
7
Proof. 设f :X →Y 是拓扑空间X 到Y 的连续满映射，若X 是一个Lindeloff空间，则Y 也是一个Lindeloff空间．事实上，设τ是空间Y 的任一个开覆盖，因为f :X →Y 是连续满映射，所以{f −1(A ) |A ∈τ}为X 的开覆盖，故存在可数子覆盖{f −1(A 1) , {f −1(A 2) , ···}，使得X =f −1(A i ) ，从而
i
Y =f (X ) =f (
i f −1(A i )) = i f (f −1(A i )) ⊂ i A i ,
所以{A i |i =1, 2, ···}为Y 的可数开覆盖，即Y 是Lindeloff空间
．
练习0.27. 设(X, T ) 是正则空间，证明：如果X 的每个非空闭集都有一个孤立点，那么X 的子集A ={x ∈X |{x }∈T }是X 的稠密子集．
Proof. 对任意的x ∈X 以及U ∈N x ∩T ，由正则性可知存在V ∈T 使得x ∈¯⊆U ．根据假设条件，存在y ∈V ¯\V ，则y ∈V 且存在W ∈N y ∩T 使V ⊆V ¯，所得{y }=W ∩V ∈T ．故y ∈A ，于是U ∩A ⊇V ∩A ⊇{y }，所以x ∈A 以A 稠密
．