第37讲用单调性研究方程根的个数
主要内容
1、零点定理设函数一点
在闭区间上连续，，则至少存在
【注】常用零点定理来判定方程根的存在性.2、单调性与方程根的关系如果函数在某区间上严格单调增加或严格单调减少，那么在该
至多只有一个实根.
的根的个数，通常先划分函数
的根个数.
的单调
【注】
例37.1 证明方程【证】记
恰有一个实根，其中
由于
因此
在
为常数且则
内严格单调增加，从而方程
在又由于
内至多有一个实根.
由闭区间上连续函数的零
内至少有一个实根.
在
内恰有一个实根.
点定理，方程
综上，在即
例37.2 若【解】方程记关于
，问方程
有几个实根？
为奇次代数方程，必有实根.
，视其为
,
内严格单
的二次三项式，因为判别式=
则方程无实根，在
，因此在
调增加，从而方程
综上，
内至多只有一个实根. 恰好只有一个实根.
例37.3 设【解】函数令在当在
，
在
有几个零点?
的定义域为，故
在在
，得时，时，
.
内严格单调增加，从而内严格单调减少，从而
当
内至多只有一个零点；
，故
内至多只有一个零点；
例37.3 设【续解】又因为有一个零点；又零点；综上，
在
，
在，有几个零点?在
内至少
，在内至少有一个
在
和内分别恰好有一个零点，内有2个零点.
例37.4 已知常数【解】记故在
，问方程
有几个实根?
则
，当当时，
在内严格单调减小，在处取得唯一最小值
令
，得.
时，
.
，
内严格单调增加，从而
时，无实根；和
内各只有
由于当当
，
，从而，易知，当故方程
恰有一个实根；
，在，从而
恰有两个实根.
时，
一个实根，此时方程
例37.5
在知，
内二阶可导，且在
当时，
时，
.
内有且仅有一个实根.
在
上单调减少，故当在
上严格单调减少，
【证】由因此方程
在
内至多有一个实根.
又由泰勒公式，及
（介于和之间）
得
例37.5
在内二阶可导，且在故
当时，
.
内有且仅有一个实根.
【续证】于是
在
由闭区间上连续函数的零点定理，方程内有且仅有一个实根.
在综上，方程
内至少有一个实根.
例37.6 就的不同取值情况，确定方程数，并说明理由.【解】记令
在
内根的个
则
在
上连续，
.
，得
时，
由于当所以是又因为
在
，当
内的唯一最小值点，最小值
，故在
内的取值范围为.
例37.6 就的不同取值情况，确定方程数，并说明理由.【续解】综上，当当当在
时，原方程
在
内根的个
时，原方程
在
在内无实根；
内有唯一实根
；时，原方程
和
原方程在
内恰各有唯一实根，也即
内恰有两个不同的实根.
再见
第37讲用单调性研究方程根的个数
主要内容
1、零点定理设函数一点
在闭区间上连续，，则至少存在
【注】常用零点定理来判定方程根的存在性.2、单调性与方程根的关系如果函数在某区间上严格单调增加或严格单调减少，那么在该
至多只有一个实根.
的根的个数，通常先划分函数
的根个数.
的单调
【注】
例37.1 证明方程【证】记
恰有一个实根，其中
由于
因此
在
为常数且则
内严格单调增加，从而方程
在又由于
内至多有一个实根.
由闭区间上连续函数的零
内至少有一个实根.
在
内恰有一个实根.
点定理，方程
综上，在即
例37.2 若【解】方程记关于
，问方程
有几个实根？
为奇次代数方程，必有实根.
，视其为
,
内严格单
的二次三项式，因为判别式=
则方程无实根，在
，因此在
调增加，从而方程
综上，
内至多只有一个实根. 恰好只有一个实根.
例37.3 设【解】函数令在当在
，
在
有几个零点?
的定义域为，故
在在
，得时，时，
.
内严格单调增加，从而内严格单调减少，从而
当
内至多只有一个零点；
，故
内至多只有一个零点；
例37.3 设【续解】又因为有一个零点；又零点；综上，
在
，
在，有几个零点?在
内至少
，在内至少有一个
在
和内分别恰好有一个零点，内有2个零点.
例37.4 已知常数【解】记故在
，问方程
有几个实根?
则
，当当时，
在内严格单调减小，在处取得唯一最小值
令
，得.
时，
.
，
内严格单调增加，从而
时，无实根；和
内各只有
由于当当
，
，从而，易知，当故方程
恰有一个实根；
，在，从而
恰有两个实根.
时，
一个实根，此时方程
例37.5
在知，
内二阶可导，且在
当时，
时，
.
内有且仅有一个实根.
在
上单调减少，故当在
上严格单调减少，
【证】由因此方程
在
内至多有一个实根.
又由泰勒公式，及
（介于和之间）
得
例37.5
在内二阶可导，且在故
当时，
.
内有且仅有一个实根.
【续证】于是
在
由闭区间上连续函数的零点定理，方程内有且仅有一个实根.
在综上，方程
内至少有一个实根.
例37.6 就的不同取值情况，确定方程数，并说明理由.【解】记令
在
内根的个
则
在
上连续，
.
，得
时，
由于当所以是又因为
在
，当
内的唯一最小值点，最小值
，故在
内的取值范围为.
例37.6 就的不同取值情况，确定方程数，并说明理由.【续解】综上，当当当在
时，原方程
在
内根的个
时，原方程
在
在内无实根；
内有唯一实根
；时，原方程
和
原方程在
内恰各有唯一实根，也即
内恰有两个不同的实根.
再见