第 12 章 （之1）（总第67次）
**1．解下列各题：
(1) 若D 是以O =(0, 0), A =(1, 0), B =(0, 1) 为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意
义可得到答：
(2) 设f (t ) 为连续函数，则由平面 z =0，柱面x 2+y 2=1和曲面z
⎰⎰(1-x -y ) d x d y =___________．
D
1
6
=f 2(xy ) 所围立体的体
积可用二重积分表示为___________________________________________． 答：
(3) 设I =
x 2+y 2≤1
⎰⎰
f 2(xy ) d x d y ．
d x d y
则I 满足 ( ) 221+cos x +sin y x +y ≤1
2
≤I ≤2 (B) 2≤I ≤3
3
1
(C)D ≤I ≤ (D)-1≤I ≤0
2
(A) 答：(A)．
(4) 设I 1=
D
2
，ln(x +y ) d σI =(x +y ) d σ及I 3=⎰⎰(x +y ) d σ其中D 是由直线 2⎰⎰⎰⎰
D
D
x =0，y =0，x +y =
1
及x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为 ( ) 2
(A) I 3＜I 2＜I 1； (B) I 1＜I 2＜I 3； (C) I 1＜I 3＜I 2； (D) I 3＜I 1＜I 2．
答：（B ）．
(5) 设D :x 2+y 2≤a 2(a >0), 当a =________时，
3
⎰⎰
D
a 2-x 2-y 2dxdy =π．
3
（A ） 1； (B) 答：（B ）． **2．解下列问题：
3
； (C) 2
3
3
； (D) 4
1 ．2
x
(1) 利用二重积分性质，比较二重积分的大小：⎰⎰e
D
2
+y 2
d σ 与
⎰⎰(1+x
D
2
+y 2) d σ，其
中，D 为任一有界闭区间．
解：令 u =x 2+y 2，且f (u )=e u -(1+u )，则有f ' (u )=e u -1．
∵u ≥0，
∴ e u -1≥0, 即f ' (u )≥0， f (u ) 是增函数．
∴ f (u )-f (0)≥0 即 e u -(1+u )≥0，
x e ⎰⎰D
2
∵ f (0)=e 0-1=0， ∴e x
2
+y 2
≥1+x 2+y 2， 因此
+y 2
d σ≥⎰⎰1+x 2+y 2d σ．
D
()
(2) 利用二重积分性质，估计二重积分的值：
2222
D ={(x , y ) x +16y ≤144}． ，(1+x +y ) d σ⎰⎰
D
解：先求出目标函数f (x , y )=x 2+y 2+1在区域
⎧⎫x 2y 2
D =⎨(x , y +≤1⎬上的最小值和最大值，
169⎩⎭
由于区域D 上的点到坐标原点O =(0, 0)的距离为
x 2+y 2，
∴0≤
x 2+y 2≤42+0=4，
∴1≤f (x , y )≤17，
又因为该区域的面积为 D =π⨯3⨯4=12π， ∴ 12π≤
⎰⎰f (x , y )d σ≤17⨯12π=204π．
D
***3．试利用积分值与积分变量名称无关，解下列问题： (1)
x 2+y 2≤1
⎰⎰
x -y ) d x d y ；
解：因为I =
x 2+y 2≤1
⎰⎰
x -y ) d x d y =
y 2+x 2≤1
⎰⎰
y -x ) d y d x =-I ，所以I =0．
a e x +b e y
d x d y ． (2) ⎰⎰x y
e +e x 2≤1, y 2≤1a e x +b e y
d x d y =解：I =⎰⎰x y
e +e x 2≤1, y 2≤1
a e y +b e x
d y d x ， y x ⎰⎰e +e y 2≤1, x 2≤1
⎤1⎡a e x +b e y a e y +b e x
I =⎢⎰⎰d x d y +⎰⎰d y d x ⎥ x y y x
2⎢e +e e +e ⎥y 2≤1, x 2≤1⎣x 2≤1, y 2≤1⎦
1(a +b ) e x +(a +b ) e y a +b =d x d y =d x d y =2(a +b ) ． x y ⎰⎰⎰⎰2x 2≤1, y 2≤12x 2≤1, y 2≤1e +e
***4． 设f (x , y ) 是连续函数，试利用积分中值定理求极限
lim
1
r →0πr 2
x 2+y 2≤r 2
⎰⎰f (x , y ) d σ．
解：积分区域 D :x 2+y 2≤r 2 为有界区域，且 f (x , y ) 连续，
∴ 由积分中值定理可知：存在点(ξ, η)∈D ，使得即：
⎰⎰f (x , y )d σ=f (ξ, η)S
D
D
，
x 2+y 2≤r 2
⎰⎰
f (x , y )d σ=πr 2f (ξ, η)，
又 ∵ 当r →0时，(ξ, η)→(0, 0)，且f (x , y )在(0, 0)连续． ∴ lim
1r →0πr 2
x 2+y 2≤r 2
⎰⎰f (x , y )d σ=f (0, 0)．
第 12 章 （之2）（总第68次）
教学内容 : §12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题：
**（1）设f (x , y ) 是连续函数，则
⎰
a
20
d y a 2-y 2a 2-2ay
f (x , y )d x +
⎰
a a 2
dy ⎰
a 2-y 2
f (x , y )d y (a >0)
可交换积分次序得___________________________．
a
a -x 答：原式=d x
⎰
a 2-x 22a
⎰f (x , y ) d y ．
**（2）设f (x , y ) 是连续函数，则二次积分
⎰
-1
d x ⎰
+x 2x +1
f (x , y ) d y （ ）
1
y -1
（A ）
⎰d y ⎰
010
1y -1
-1
f (x , y ) d x +⎰d y ⎰
12
2
y -1
-1
f (x , y ) d x ； （B ）
⎰d y ⎰
020
-1
-1
f (x , y ) d x ；
(C) 答：(C)
⎰d y ⎰
y -1
-1
f (x , y ) d x +⎰
1
d y ⎰
-y 2-1
-1
f (x , y ) d x ； (D)
⎰d y ⎰
-y 2-1
f (x , y ) d x ．
**（3）设f (x , y )是连续函数，交换二次积分
⎰
e
1
dx ⎰
ln x 0
f (x , y )dy 的积分次序的结果为
（ ）
（A ） (C) 答：(D)
⎰dy ⎰
1e 1
e ln x
f (x , y )dx ； (B) f (x , y )dx ； (D)
1
⎰dy ⎰
1
e ln x
f (x , y )dx ；
⎰dy ⎰
ln x
⎰
1
dy ⎰y f (x , y )dx ．
e
e
**（4）设f (x , y ) 是连续函数，则积分
⎰d x ⎰
x 2
f (x , y ) d y +⎰d x ⎰
1
22-x
f (x , y ) d y 可
交换积分次序为 （ ） （A ）（B ）（C ）（D ）
⎰dy ⎰f (x , y )dx +⎰dy ⎰
1
1y 22-y
02-x
f (x , y )dx ； f (x , y )dx ；
⎰
1
dy ⎰f (x , y )dx +
x 2
⎰
2
1
dy ⎰
⎰
1
01
dy ⎰
2-y y
f (x , y ) dx ； f (x , y )dx ．
2
2
⎰dy ⎰
2-x
x 2
答： (C )
**（5）设函数f (x , y )在x +y ≤1上连续，使
x 2+y 2≤1
⎰⎰f (x , y )dxdy =4⎰dx ⎰
1
-x 2
f (x , y )dy
成立的充分条件是 （ ） （A ）f (-x , y ) =f (x , y ) ， f (x , -y ) =-f (x , y ) ；
（B ）f (-x , y ) =-f (x , y ) ，f (x , -y ) =f (x , y ) ； （C ）f (-x , y ) =-f (x , y ) ，f (x , -y ) =-f (x , y ) ； （D ）f (-x , y ) =f (x , y ) ，f (x , -y ) =f (x , y ) ． 答：（D ）．
2．画出下列各题中给出的区域D ，并将二重积分化成两种不同顺序的二次积分（假定 在区域上连续）． **（1）D 由曲线xy =1, y =x , x =2
2
x
1
2
围成
2
2
解：I =⎰dx 1f (x , y )dy =1dy 1f (x , y )dx +⎰dy ⎰f (x , y )dx
1
1y
**（2）D =(x , y max (1-x , x -1)≤y ≤1解：I =
**（3） D ：x +y ≤1，x -y ≤1，x ≥0．
1
1-x
{}
1
1+y
1-y
⎰
1
dx ⎰
1
1-x
f (x , y )dy +⎰dx ⎰
1
21
x -1
f (x , y )dy =⎰dy ⎰
f (x , y )dx
0y +111-y
解：原式=dx
⎰⎰f (x , y ) dy =⎰dy ⎰
x -1
-10
f (x , y ) dx +⎰dy ⎰f (x , y ) dx ．
3．计算二次积分： **(1)
⎰dy ⎰
2
42y 2
e
x 2-2x
dx ．
解：D :2≤y ≤4,
原式= =
1
y
≤x ≤2， 变换积分次序得D *:1≤x ≤2, 2≤y ≤2x ， 2
⎰
1
2
12
e x
2
-2x
dx ⎰dy =⎰e x
2
1
2
2x 2
2
-2x
(2x -2)dx
1=1-．
e
⎰
x
e x
2
-2x
d (x 2-2x )=e x
-2x 2
1
**(2)
-1
22
dx x -x +y dy ． ⎰⎰-11
3
1122
解：原式=⎰dy ⎰x -x +y dx =⎰(1-y ) dy =．
32-1-1y
4．计算下列二重积分 **(1)
11
⎰⎰
D
d σ2-y
，其中D =(x , y x +y ≤2y ；
2
2
{}
解：原式=2
⎰
2
dy ⎰
2y -y 2
dx 2-y
=
8
2． 3
**(2) 计算二重积分
1
x
x 3e dxdy ，其中D 是第一象限中由y =x 和y =x 所围成的区域． ⎰⎰D
2
解：原式=e dx dy =(xe
x 3
⎰
x 2
1
⎰⎰
x 2
21
-x 3e x ) dx =e -1．
2
**(3) 计算二重积分
22
，其中x -y d σD ={(x , y ) 0≤y ≤1-x }． ⎰⎰D
2
解：D =(x , y )0≤y ≤1-x ⇒D :0≤y ≤1，
{}
原式=
⎰
10
1
-y dy ⎰
-y
--y
x 2dx
=⎰=
1
-y dy x 3
3
--y
11
-y (1-y -y +(1-y -y dy ⎰03
112222
=⎰(1-y )dy =-⎰(1-y )d (1-y )3030223=-(1-y )1=0
99
**(4) 计算二重积分
[]
⎰⎰x -y d σ, 其中D ={(x , y ) 0≤x ≤1, 0≤y ≤2}．
D
解：直线y =x 把区域D 分成D 1（上）、D 2（下）两个部分，
⎰⎰x -y d σ=⎰⎰(y -x )d σ+⎰⎰(x -y )d σ
D
D 1
D 2
1112
=⎰d x ⎰(y -x ) d y +⎰d x ⎰(x -y ) d y =⎰(y -x ) d x -⎰(x -y ) 2d x 0x 000202x 0
1
2
1
x
1
2x
14=⎰(x -2x +2)d x =x 3-x 2+2x =． 0330
1
2
1
**(5) 计算二重积分
2
，其中D 由直线、抛物线x =y =x -x 及其在x sin(x +y ) d σ⎰⎰
D
（0，0）点的切线围成．
2
解：抛物线y =x -x 在（0，0）处切线斜率 y ' (0) =-1，此切线方程为 y =-x ，
区域D:0≤x ≤
, -x ≤y ≤x 2-x ，
⎰⎰x sin(x +y ) d σ
D
=⎰dx ⎰
x 2-x
-x x 2-x
x sin(x +y ) dy x sin(x +y ) d (x +y )
2
=⎰dx ⎰
-x
=-
⎰
=x -x
dx [x cos(x +y )]y y =-x
=⎰
x (cos0-cos x ) dx =⎰
2
x (1-cos x 2) dx =
12
x 2
1
-sin x 22
=
π． 2
6．试利用积分区域的对称性和被积函数（关于某个单变量）的奇偶性，计算二重积分： **(1) 解：
222
{}，a ,b ,c为常数． ()D =x , y x +y ≤R ，其中 ()ax +by +c d σ⎰⎰
D
⎰⎰(ax +by +c )d σ=⎰⎰axd σ+⎰⎰byd σ+⎰⎰cd σ，
D
D
D
D
222
∵D =(x , y )x +y ≤R ，既关于y 轴对称，又关于x 轴对称．
{}
又∵f (x )=ax 为奇函数，g (y )=by 也为奇函数． ∴由积分区域对称性及被积函数的奇偶性可知：
⎰⎰axd σ=0, ⎰⎰byd σ=0．
D
D
x 21+x 5+y
**(2) ⎰⎰dxdy ，其中D =(x , y )x ≤1, 0≤y ≤2． 6
1+x D
()
{}
x 21+x 5+y x 7+y x 2
解：⎰⎰dxdy =⎰⎰dxdy +⎰⎰dxdy ， 666
1+x 1+x 1+x D D D
∵D =(x , y )x ≤1, 0≤y ≤2，关于y 轴对称，
()
{}
x 7+y x 7+y
又u (x , y )=，关于x 为奇函数， ∴⎰⎰dxdy =0， 6
1+x 61+x D
2
12x x 21+x 5+y x 2
∴ ⎰⎰dxdy =⎰⎰dxdy =⎰dx ⎰dy 66-101+x 61+x 1+x D D
1
()
2x 2411 =2⎰d x =
01+x 63⎰01+x 3
2
d x 3=
4
arctan x 33
10
=
π
3
．
第 12 章（之3）（总第69次）
教学内容: §12．2．2 二重积分在极坐标系下的计算方法
1． 填空与选择
**(1) 设D ：0≤ρ≤1, 0≤θ≤ 答：
**(2) 设区域D 是x 2+y 2≤1与x 2+y 2≤2x 的公共部分，试写出
先对ρ积分的累次积分_________________．
解：记F (ρ, θ) =f (ρcos θ, ρsin θ) ρ，则
-
π
2
，根据二重积分的几何意义，则
⎰⎰
D
-ρ2ρd ρd θ=___________．
1
π． 6
⎰⎰f (x , y ) dxdy 在极坐标系下
D
π3
2cos θ
π3
1
π2
2cos θ
-
⎰πd θ⎰F (ρ, θ) d ρ+⎰πd θ⎰F (ρ, θ) d ρ+π⎰d θ⎰F (ρ, θ) d ρ．
2
-
3
3
**（3）若区域D 为(x －1) 2+y 2≤1，设F (ρ, θ) =f (ρcos θ, ρsin θ) ρ， 则二重积分
π
⎰⎰f (x , y ) d x d y 化成累次积分为 （ ）
D 2cos θ
π2cos θ
(A)d θ
⎰
⎰F (ρ, θ) d ρ ； (B) ⎰d θ⎰F (ρ, θ) d ρ；
π
-0
π2
2cos θ
π2
2cos θ
(C)
-
⎰πd θ⎰F (ρ, θ) d ρ； (D) 2⎰d θ⎰F (ρ, θ) d ρ．
2
答：（C ）．
** (4)若区域D 为x 2+y 2≤2x ，则二重积分
π
2cos θ0
22
(x +y ) x +y dxdy 化成累次积分为（ ） ⎰⎰D
(A)
⎰
2-
πd θ⎰
2
(cosθ+sin θ) 2ρcos θρd ρ；
2cos θ0
(B)
⎰
π
(cosθ+sin θ) d θ⎰
ρ3d ρ；
(C) 2⎰(cosθ+sin θ) d θ⎰
π2cos θ0
ρ3d ρ； ρ3d ρ．
π
(D)
⎰
2-
θ+sin θ) d θ⎰π(cos
2
2cos θ0
答：（D ）．
2．化下列二重积分为极坐标下的二次积分 **(1)
⎰⎰
D
f (xy ) d σ，其中 D ={(x , y ) 0≤x ≤1, x 2≤y ≤1}．
解：令x =ρcos θ, y =ρsin θ
在区域D1上ρsin θ=(ρcos θ) 2即 ρ=
s i n θc o 2s θ
(0≤θ≤
π
2
) ，
在区域D2上ρsin θ=1即
ρ=
1sin θ
π
(0≤θ≤
sin θ
π
2
) ，
π
⎰⎰
D
f (xy ) d σ=
⎰
4
d θ
⎰
cos θ
2
f (ρ2sin θcos θ) ρd ρ+
⎰⎰
2
1sin θ
π
4
f (ρ2sin θcos θ) ρd ρ．
**(2)．
⎰⎰f (x +y ) d σ，其中
D
D ={(x , y )
解：令x =ρcos θ,
2
y ≤x ≤2-y 2, 0≤y ≤1}．
y =ρsin θ，由
2
θ=(ρc o s θ) ⇒ρ= y =x ⇒ρs i n
由 x 2+y 2=2⇒ρ=2，
s i n θ
， 2
c o s θ
sin θ2
=2⇒sin θ=2cos θ， 2
cos θ
1-cos 2θ=2cos 4θ，解得：cos 2θ=
π
1π，θ=， 24
⎰⎰
D
f (x +y ) d σ=⎰4d θ⎰sin θf (ρcos θ+ρsin θ) ρd ρ．
cos 2θ
2
3． 用极坐标计算下列积分 **(1)
⎰
10
dx 4-x 24x -x
2
x 2+y 2dy ；
10
解：将二次积分
积分
⎰dx 4-x 24x -x 2
x 2+y 2dy 看作二重
⎰⎰f (x , y ) d σ化来，
D
D :0≤x ≤14x -x 2≤y ≤4-x 2，
令x =ρcos θ, y =ρsin θ，则： 4cos θ≤ρ≤2， 如图，两圆交点(x , y ) =(1, ) ，即(ρ, θ) =(2,
π
3
) ，所以
⎰
1
dx 4-x 24x -x 2
π
x +y dy =π2d θ⎰
3
22
2
4cos θ
ρ⋅ρd ρ
π
186438π64222 =π2(ρ3) 2d θ=(-c o s θ) d θ=⨯-(1-s i n θ) d s i n θ ππ4c o θs 333363333
=
ππ
464ππ641π3π3π-(sin-sin ) +⋅[s i ）-（s i ）] [1**********]8=π-+8． 99
-y 2
**(2)
⎰
2
dy ⎰
y
y
dx ．
x
⎧π⎫2⎫⎪⎪⎧2
解：D =⎨(x , y )y ≤x ≤-y , 0≤y ≤()=ρ, θ0≤ρ≤1, 0≤θ≤⎬⎨⎬，
2⎪4⎭⎪⎩⎭⎩
**4．设f (x , y ) 是连续函数，将二次积分
π
3π
4
∴
⎰
22
dy ⎰
1-y 2
y
1y π2
4． dx =⎰d θ⎰θ⋅ρd ρd θ=00x 64
π
-
⎰πd θ⎰f (ρcos θ, ρsin θ) ρd ρ+π⎰d θ⎰f (ρcos θ, ρsin θ) ρd ρ，(a >0)
2
2
2a a
化为在直角坐标系下先对y 后对x 的二次积分．
a 2-x 2
a
a 2-x 2
解：原式=
dx
f (x , y ) dy +⎰dx
f (x , y ) dy ．
-
2-⎰x
-a 2-x 2
2
a
5． 计算下列二重积分
y x ***(1)
⎰⎰
e
σ，其中
D
x 2
+y
2
d D ={(x , y ) 1≤x 2+y 2≤4, x ≤y ≤x }． 解：在极坐标变换x =ρcos θ, y =ρsin θ下，
x ≤y ≤3x ，有1≤tan θ≤3，即
π
4
≤θ≤
π
3
，
又 1≤x 2+y 2≤4， 则 1≤
ρ2≤4，即1≤ρ≤2，所以
e
arctan
y x
π
)
π
πππ
⎰⎰
x 2+y 2
d σ=π3θ2
e arctan(tanθ1
ρ
d ρ=π3e θd θ=e θ
π3=e 3-e 4．
D
4
⎰
4
4
***(2)
⎰⎰e
xy
dxdy ，其中D ={(x , y ≤xy ≤2, x ≤y ≤2x }．
D
2
解：I =
arctan 2
π
d θcos cos θ
1θsin θe
ρ2sin θρd ρ
4
cos θsin θ
=arctan 2
⎡π
⎢11e ρ2cos θsin θcos sin ⎤
4
⎢2cos θsin θ⎥⎣cos θsin θ
⎥d θ ⎦
=arctan 2
11e 2-π
4
2cos θsin θ(e 2
-1)
d θ=e 2ln 2
6． 计算下列平面区域的面积：
*(1) 计算由抛物线y =x 2及直线y =x +2围成区域的面积．
解： ∵x 2 = x +2 即 x =－1, x =2． ∴交点为(－1,1) 与(2，4)
2
x +2
2
A=dx
dy =(x +2
=41． -⎰
1
x ⎰2-x ) dx 2-⎰1
2
**(2) D ={(ρcos ϕ, ρcos ϕ}|解：A =
1
≤ρ≤1+cos ϕ}． 2
⎰⎰d σ
D
21
π1+c o θs π⎛2⎫332 =2 ⎰d θ⎰ρd ρ-⎰d θ⎰ρd ρ⎪⎪0000⎝⎭ 57=π+。68
7． 计算下列立体体积
**(1) 利用二重积分计算由下列曲面z =x 2+y 2, y =1,z =0,y =x 2所围成的曲顶柱体的体积．
1
1
2
解： v =
-1
⎰dx ⎰(x
x 21
+y 2) dy
881
． (1-x 6)) dx =1053
=2(x 2(1-x 2) +
⎰
**(2) Ω=(x , y , z x 2+y 2≤z ≤1+-x 2-y 2． 解：V =
{}
⎰⎰(1+
D
-x 2-y 2d σ-⎰⎰x 2+y 2d σ
D
)
()
⎰⎰(1+-ρ)ρd ρ-⎰d θ⎰ρ1⎫⎛
=2π ⎰(1+-ρ)ρd ρ-⎪
4⎭⎝
=d θ
02π
1
2
2π
1
1
2
2
⋅ρd ρ
⎛51⎫7
=2π -⎪=π。
⎝64⎭6
8． 计算下列二重积分 ***(1) 解：I =
D
2222
()D =x , y y ≥0, x +y ≥1, x +y -2x ≤0． xyd σ， 其中⎰⎰
{}
⎰
1
π30
d θ⎰
2cos θ
1
ρ2sin θcos θd ρ
1π4
=⎰3sin θcos θ⋅16(cos θ)-1d θ 402
=-cos 6θ
3
π
30
1
[]
1
-sin 2θ8
π
30
=
9． 16
***(2) 计算二重积分
1≤x 2+y 2≤2x ≥, y ≥0
y -x dxdy ．
x 2+y 2≤2, y ≥x 确定的区域x 2+y 2≤2, 0≤y ≤x 确定的区域
π
2
4
2
1≤解：因为 y -x =⎪y -x , 当
⎨
1≤⎪⎩x -y , 当
π2
⎧
．
原式=(sinθ-cos θ) d θr dr +(cosθ-sin θ) d θr dr
π
1
1
4
⎰⎰
2
⎰⎰
2
71472={[-cos θ-sin θ]π+[sinθ+cos θ]04}=(-1+2+2-1) =(2-1) ．
3334
***(3) 设F (t
) =
ππ
⎧1, 0≤x ≤1, 0≤y ≤1
f (x , y )d x d y ，其中f (x , y ) =⎨，而D 是平面区域
⎩0, 其他
x +y ≤t ．求F (t ) ．
解： 设D * : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1． 由题意易知F (t ) 即为D ∩D *的面积，所以
⎧0, t ≤0⎪1
⎪t 2, 0
． F (t ) =⎨2
⎪-t +2t -1, 12⎩
1
****9．设 f (t ) 是连续函数，证明
1+x
x +y ≤1
f (x +y ) dxdy =⎰f (u ) du ．
-11
1-x
证明：
x +y ≤1
f (x +y ) dxdy =⎰dx ⎰
-1
-1-x
f (x +y ) dy +⎰dx ⎰f (x +y ) dy ．
x -1
令x + y = u， 则
1+2x
1
1
x +y ≤1
f (x +y ) dxdy =dx
-1
⎰⎰
f (u ) du +dx
u +12
-1
⎰⎰f (u ) du
2x -1
1
=
-1
⎰f (u ) du ⎰dx =⎰f (u ) du
u -12
-1
1
第 12 章 （之4）（总第70次）
教学内容： §12．3三重积分的概念与性质；§12．4．1 直角坐标系下三重积分的计算
1． 选择题 *(1) 设
Ω是由z ≥
222
及 x +y +z ≤1 所确定的区域，则用不等号表达I 1, I 2, I 3
三者大小关系是 ( )
（A ）I 1>I 2>I 3； （B ）I 1>I 3>I 2； （C ）I 2>I 1>I 3； （D ）I 3>I 2>I 1。 答：（B ）
**(2)设Ω1：x 2+y 2+z 2≤R 2，z ≥0；Ω2：x 2+y 2+z 2≤R 2，x ≥0，y ≥0，
z ≥0． 则 ( )
(A) (C)
z 99d V =4x 99d V =4
x 99d V ． (B) y 99d V ． (D)
y 99d V =4
99
z 99d V ．
(xyz ) d V ．
99
(xyz ) d V =4
答：(A)
2． 填空题 **（1）
答： I = 4π ．
***（2）设Ω为空间有界闭区域，其上各点的体密度为该点到平面Ax +By +Cz +D =0的 距离，则Ω关于直线
___________________________________________． 答：I=
的转动惯量的三重积分公式为
=___________________．
3．***（1）试将积分
分的三次积分式． 解：
化成先对x ，再对y ，最后对z 积
***（2）把下列给定区域Ω上的三重积分
⎰⎰⎰f (x , y , z ) d v 化为三次积分：Ω由曲面
Ω
z =2x 2+y 2-1和z =1-y 2围成． 解：
⎰⎰⎰
Ω
⎧⎪
f (x , y , z ) dv =⎨
⎪x 2+y 2≤1⎩
⎰⎰⎰
⎫⎪
f (x , y , z ) dv ⎬dxdy
2x 2+y 2-1⎪⎭
1-y 2
=
⎰dx ⎰
-1
1
-x 2
--x 2
dy
⎰
1-y 2
2x 2+y 2-1
f (x , y , z ) dz ．
***（3）将下列三次积分看作由三重积分
⎰⎰⎰f (x , y , z ) d v 化来，试画出其积分区域Ω，并
Ω
将其改写成先x 后y 再z 的三次积分：
⎰d x ⎰
11-x
d y
⎰
1x +y
f (x , y , z ) d z ．
解：Ω由平面z =x +y 、z =1及坐标面yoz 、xoz 所 原积分=
⎰dz ⎰⎰f (x , y , z ) dxdy =⎰dz ⎰dy ⎰
11z z -
y
f (x , y , z ) dx ．
**4．计算
⎰⎰⎰
Ω
⎧
x sin(y +z ) dv ，其中 Ω=⎨(x , y , z ) |0≤x ≤
⎩
y , 0≤z ≤
π
⎫-y ⎬． 2⎭
解：Ω 由柱面 y =x 2、平面 y +z =
π
-y
π
2
及坐标面 xoy 、yoz 所围而成．
⎰⎰⎰x sin(y +z ) dv =⎰⎰dxdy ⎰
Ω
D xy
2
x sin(y +z ) dz =
D xy
⎰⎰x cos ydxdy
π =
⎰
2
xdx
⎰
2
x
cos ydy =
2
⎰
2
1⎛1⎫2π1
x (1-sin x 2) dx = x 2+cos x 2⎪=-．
422⎝2⎭0
⎧π⎫⎪⎪2
, x ≤y ≤⎬ 这里 D xy =⎨(x , y )0≤x ≤22⎪⎪⎩⎭
***5．计算 解：
⎰0
π
d x ⎰d y ⎰sin(π-z ) 3d z ．
x y
***6．试利用积分区域Ω表达式对变量名称轮换的不变性，及被积函数的对称关系，并根 据积分与积分变量名称无关的性质计算三重积分
⎰⎰⎰[(b -c ) x +(c -a ) y +(a -b ) z ]dv ，
Ω
其中 Ω=(x , y , z ) |x 2+y 2+z 2≤R 2,
{
x ≥0, y ≥0, z ≥0．
}
解：由积分值与积分变量无关，并且积分区域对x 、y 、z 具有轮换不变性，从而 故
⎰⎰⎰xdv =⎰⎰⎰ydv =⎰⎰⎰zdv ，
Ω
Ω
Ω
⎰⎰⎰[(b -c ) x +(c -a ) y +(a -b ) z ]dv
Ω
=(b -c ) =(b -c )
⎰⎰⎰xdv +(c -a ) ⎰⎰⎰ydv +(a -b ) ⎰⎰⎰zdv
Ω
Ω
Ω
⎰⎰⎰xdv +(c -a ) ⎰⎰⎰xdv +(a -b ) ⎰⎰⎰xdv =0．
Ω
Ω
Ω
**7．用先重后单方法计算三重积分
⎰⎰⎰
Ω
sin z d v ，其中Ω由锥面z =x 2+y 2和平面
z =π围成．
解：
⎰⎰⎰sin zdv =⎰dz ⎰⎰sin zdxdy Ω
D z
π
=
⎰
π
πz 2sin zdz =π3-4π，
这里 D z =
{(x , y )0≤x
2
+y ≤z ．
22
}
***8．设f (z ) 在[－1,1]上有连续的导函数，试证：
解：
第 12 章 （之5）（总第71次）
教学内容： §12.4.2 ~ §12.4.3 用柱面坐标，球面坐标计算三重积分
1．**（1）设Ω是由0≤z ≤
，x +y -y ≤0所确定的闭区域，试将
化成柱面坐标下的三次积分式．
解：
22
1≤z ≤2所确定的闭区域，***（2）设Ω是由x +y ≤2z ，试将I =
2
2
化成柱面坐标下的三次积分式．
解： I =
⎰
21
2π
d θ⎰r d r ⎰f (r +z ) d z +⎰0d θ⎰2r d r ⎰r 2f (r 2+z 2) d z
2
2
1
2
22π22
或 I =
⎰d z ⎰d θ⎰
2π2z
f (r 2+z 2) r d r 。
2．**（1）设Ω
是由，0≤x ≤y ≤3x 所确定的立体，试将
⎰⎰⎰
解：
Ω
f (y , z ) d v 化成球面坐标下的三次积分式．
**（2）Ω是由x 2+y 2+z 2≤2R z （R >0）所确定的立体，试将
面坐标下的三次积分式． 解：
**（3）试将柱面坐标下的三次积分
的三次积分式． 解：
3．**（1）将下列三次积分看作是由三重积分
⎰⎰⎰f (x ⋅y ) d v 化成球
Ω
化成球面坐标下
⎰⎰⎰f (x , y , z ) d v 化来，试说明，Ω是由哪些
Ω1x 2+y 2
曲面围成，并将它们化成柱面坐标和球面坐标的三次积分：
⎰-1d x ⎰--x
1-x 2
2
d y ⎰
f (x , y , z ) d z ．
解：Ω由锥面z = 柱面坐标： 球面坐标：
x 2+y 2和平面z =1围成，
⎰
⎰
2π
02π
d ϕ⎰d ρ⎰f (ρcos ϕ, ρsin ϕ, z ) ρdz ，
11
ρ
π
d ϕ⎰d θ⎰
40
sec θ
f (r sin θcos ϕ, r sin θsin ϕ, r cos θ) r 2sin θdr ．
**（2）设Ω是由
及z =0所围的闭区域，试将
分别化成
球面、柱面坐标下的三次积分式． 解：
***（3）设Ω是由x 2+y 2+z 2≤a 2,
域．试将解：
(a >0）及z ≥0所确定的有界闭区
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v 分别化成柱面及球面坐标下的三次积分式．
4．**（1）计算
2⎧(x , y , z )x 2+y 2+z 2≤2, z ≥x 2+y 2⎫． Ω=，其中z d v ⎨⎬⎰⎰⎰⎩⎭Ω
2-ρ2
解：
⎰⎰⎰z d v =⎰d ϕ⎰d ρ⎰
Ω
2
2π1
ρ
ρz 2d z
2π
=
3
这里 Ω=(x , y , z )x 2+y 2≤Z ≤
{2-x -y }(ρ, ϕ, z 0≤ϕ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ≤z ≤={
2
2
3
⎡⎤π224
=(82-4) ， ρ(2-p ) -ρd ρ⎥⎰0⎢15⎢⎥⎣⎦1
2-ρ2．
}
2222
***（2）设Ω是由曲面x +y =2ax , x +y =2az (a >0）以及z =－1所围的有界闭区域，试计
算
解：由对称性
5．**（1）计算
的部分．
解：用球面坐标
⎰⎰⎰
Ω
e
x 2+y 2+z 2
22
其中Ω是单位球x 2+y 2+z 2≤1内满足z ≥x +y dv ，
⎰⎰⎰e
Ω
x 2+y 2+z 2
dv
π0
1
=
⎰
2π
d ϕ⎰4d θ⎰e r r 2sin θdr
=π(2-2)(e -2)
z ln[1+(x 2+y 2+z 2) 2]
***（2）计算三重积分⎰⎰⎰d v ，其中Ω是上半单位球体 2222
1+(x +y +z ) Ω
0≤z ≤-x 2-y 2．
z ln[1+(x 2+y 2+z 2) 2]
解：⎰⎰⎰d v 2222
1+(x +y +z ) Ω
=
⎰
2π
π
d θ⎰
2
r 3ln(1+r 4) d ϕ⎰sin ϕcos ϕdr
01+r 4
1
=(
⎰
2π
342
r ln(1+r ) πln 2
d θ)(⎰2sin ϕcos ϕd ϕ)(⎰dr ) =． 40081+r
1
π
***（3）试将
上面的积分值． 解：
化成球面坐标下的三次积分式，并由此计算
亦可用柱面坐标解出如下：
***6．设Ω是半径为R 的球体：x +y +z ≤R ，试求积分
解：由对称性
，故
2
2
2
2
.
***7．设F (t )=
，其中f (t ) 在(－∞,+∞) 上连续，求
．
解：
****8．(选做题) 利用三重积分, 计算下列立体Ω的体积: Ω 由曲面
(x 2+y 2+z 2) 2=R 2(x 2+y 2) （R >0）围成．
解：由对称性知Ω关于各坐标面对称，记Ω在第一象限的立体为V 1．
在球面坐标系下，曲面(x 2+y 2+z 2) 2=R 2(x 2+y 2) 的方程为r =R sin θ， 所以Ω的体积:
π
π
V =8V 1=8
π
⎰
2
d ϕ
⎰
20
d ϕ
⎰
R sin θ
r 2sin θdr
π
1
=4π2sin θr 3
03
⎰⎰
R sin θ
4πR 3
d θ=
3
⎰
2
sin 4θd θ
=
4πR 31π123
⋅⋅⋅=πR 34224
3
第 12 章 （之6）（总第72次）
教学内容 : §12．5 重积分的应用
1．计算下列曲面面积 **(1) 试求半球面 z =
2-x 2-y 2 被抛物面x 2+y 2=z 所截而适合z ≥x 2+y 2的一
部分曲面∑的面积S ． 解：S =
22
dS ，而 ∑在xoy 面上的投影域为D ：x +y ≤1． ∑
⎛⎫⎛⎫-x -y 2dxdy
⎪ ⎪ 面积元素为dS =1+ ． +dxdy = 2-x 2-y 2⎪ 2-x 2-y 2⎪22
2-x -y ⎝⎭⎝⎭
∴S =2
D 2π
22
dxdy 2-x 2-y 2
1
=2⎰d θ⋅⎰
rdr 2-r
2
=2⋅2π⋅(2-1) =22(2-1) π。
**(2) 平面2x +2y -z =4上被圆柱面x +y -2x =0截下的那一部分．
解：平面2x +2y -z =4被圆柱面x +y -2x =0截下的那一部分向xoy 面的投影线为：
⎨
2
22
2
⎧z =0
． 22
⎩x +y -2x =0
z =2x +2y -4, z x =2, z y =2，
∴ S =
**(3) 锥面z =解：锥面 z =
D xy
⎰⎰
+z x +z y dxdy =
22
D xy
⎰⎰3dxdy =3π．
x 2+y 2上被柱面z 2=2y 截下的那一部分． x 2+y 2 与柱面 z 2=2y 在xoy 面投影曲面为
⎧z =0⎨22
⎩x +y =2y
∴S =
⎧z =0即⎨2． 2
⎩x +(y -1)=1
2
D xy
⎰⎰
+z x +z y dxdy =
2
D xy
⎰⎰
x 2y 2
+2+2dxdy 22
x +y x +y
=
2⎰⎰dxdy =2π．
D xy
**(4) Ω由柱面x 2+y 2=9、平面4y +3z =12和4y -3z =12围成．
解：平面 4y +3z =12和4y -3z =12 截下的柱面 x +y =9 在yoz 面的投影 D 1=⎨(y , z y ≥1, z ≤4-
2
2
⎧⎩⎫44
y , z ≥y -4⎬， 33⎭
2
2
平面 4y +3z =12和4y -3z =12 与 x +y =9 相交部分在xoy 面投影是 D 2:x 2+y 2≤9． A =
⎰⎰
D 1
+x y +x z dydz +⎰⎰+z y +z x dxdy ，
D 2
2222
由对称性得 A =4
⎰
3
-3
dy ⎰
44-y 30
y 2⎛4⎫+dz +2+ -⎪dxdy 2⎰⎰9-y ⎝3⎭x 2+y 2≤9
2
=48π+30π=78π．
222222
**(5) Ω=(x , y , z )x +z ≤R , y +z ≤R ．
{}
解：解法一 z 2=R 2-x 2， ∴z =R 2-x 2，
A 1=
⎰⎰
D 1R 0
x 2
+2dxdy 2
R -x
x
=dx
⎰⎰⎰
R 0
x 2
dy 22
R -x
==
x 2
x dx 22
R -x
π
20
x =R s i θn
⎰
2
R s i n θ
R
R c o θs d θ=R 2
R c o θs
R y y 2R 22
+2dxdy =dy dx =R ． 222⎰⎰00R -y R -y
z =R -y ，A 2=⎰⎰
2
D 2
∴S =16R 2
解法二
y 2+z 2=R 2， ∴y =R 2-z 2，
R R 2-z 2S R 1
=⎰⎰d z d x =R ⎰d z ⎰d x =R 2
0016D zx R 2-z 2R 2-z 2
∴S =16R 2。
**2．求下列平面薄板D 的质量： D =(x , y )x +(y -1)≤1,
2
2
{}
μ=y +y -；
解：
m =⎰⎰μd σ=⎰⎰μd σ+⎰⎰μd σ
D
=⎰⎰(2y -1)d σ+⎰⎰1d σ
D 1
D 2
D 1D 2
1
(=⎰dx ⎰2y -1)dy +π
-1124114=+π+π=+π3223
1
1+1-x 2
**3．计算立体 Ω=(x , y , z ) |0≤z ≤1-(x 2+y 2)
的形心坐标．
{}
z
Dz
解：由对称性可知 x =y =0
z =
⎰⎰⎰
ΩΩ
zdv
=
⎰⎰⎰
1
⎰⎰⎰dv
πz (1-z ) dz ⎰1==
3
dz dxdy π(1-z ) dz ⎰⎰⎰⎰
D z 1
10
D z
dz zdxdy
1
这里 D z ={(x , y ) |0≤x 2+y 2≤1-z }．
*** 4．设Ω是球体x 2+y 2+z 2≤2Rz （R >0）在锥面 z = 试求Ω的形心坐标．
解：由对称性可知 x =y =0． 用球面坐标，有 M xy = =
x 2+y 2上方的部分，
⎰⎰⎰zdv =⎰⎰⎰r
Ω
Ω
3
sin θcos θdrd θd ϕ
⎰
2π
π
d ϕ⎰4d θ⎰
2R cos θ
r 3sin θcos θdr
74
πR ， 6
π
=8πR V =
4
⎰
40
sin θcos 5θd θ=
2
⎰⎰⎰dv =⎰⎰⎰r
Ω
Ω
sin θdrd θd ϕ
r 2sin θdr
=
⎰
2π
π
d ϕ⎰d θ⎰
40
2R cos θ
1634
πR ⎰sin θcos 3θd θ=πR 3， =
03
这里Ω=(x , y , z )x 2+y 2≤Z ≤R +R 2-x 2-y 2 =⎨(r , θ, ϕ)0≤r ≤2R cos θ, 0≤θ≤
π
{}
⎧⎩
π
⎫
, 0≤ϕ
故 Z =
M xy V
=
7
R ． 6
**5．求半径为R 质量为M 的均匀圆盘（μ=常数）关于下列各点的转动惯量： （1）圆心； （2）圆周上一点． 解：（1）建立如图示的直角坐标系．
I 0=
⎰⎰(x
D
2π0
2
+y 2μd σ=μ
)
⎰⎰(x
D
2
+y 2d σ。
)
D =μ⎰d θ⎰
R
1122MR 24
。 ρ⋅ρd ρ=μπR =πR μR =
222
2
（2）建立如图示的直角坐标系． 极坐标方程 ρ=2R sin θ，
I 0=⎰⎰x 2+y 2μd σ
D
()
=μ⎰d θ⎰
π2R sin θ
ρ2⋅ρd ρ
=μ⎰4R 4sin 4θd θ
π
φ=θ-
π
2
π⎫⎛
=μ⎰2π4R 4sin 4 φ+⎪d φ
-2⎭⎝2
π
π
=2μ
⎰
2
311334R 4c o 4s φd φ=8R 4μ⨯⨯π=μπR 4=MR 2．
42222
x 2+y 2和平面z =H 围成，试求：
***6．质量为 M 的匀质圆锥体Ω，由锥面Rz =H
（1）质心坐标； （2）关于中心轴的转动惯量；
（3）关于底直径的转动惯量． 解：设Ω的密度为μ，则μ=
123M M
．由于 V =πR H ，知 μ=， 2V 3πR H
（1）由对称性可知 x =y =0，
z =
⎰⎰⎰zdv
Ω
M
=
⎰
2π
d ϕ⎰d ρH z ρdz
R
R H
ρ
M
122
πR H
3
=H ． =124πR H 3
2π
R
H
（2）I z =μ =
3223
=μd ϕd ρρ(x +y ) dv =μρd ρd ϕdz H ⎰⎰dz ⎰⎰⎰⎰⎰⎰
ΩΩ
R
ρ
μ
10
πHR 4=
32
R M ． 10
（3） 由x 、y 的对称性，不妨假定底直径L 平行于x 轴．则
I L =μ
⎰⎰⎰[y
Ω
2
+(z -H ) 2dv （Ω中点(x,y,z）到L 的距离平方为y 2+(z -H ) 2）
R
H H ρR R
]
=μ
⎰
2π
02π
d ϕ
⎰
d ρ
⎰
ρρ2sin 2ϕ+(z -H ) 2dz
3
[]
=μ(
⎰
sin ϕd ϕ
R 4H +
2
⎰
ρ
H dz +d ϕρH (z ρ00ρ
R R
H
⎰⎰2πR H
-H ) 2dz )
M
(3R 2+2H 2) ．
203020
***7．(选做题) 在半径为2a ，质量为M 的均匀球体内，挖去两个内切于大球又互相外切
=μ(
ππ
R 2H 3) =
的半径为a 的小球，求剩余部分关于它们的公共直径的转动惯量．
解：由题意，设大球的方程为 x 2+y 2+z 2=4a 2，两小球的方程为 x 2+y 2+(z ±a ) 2=a 2．由x 、y 的对称性，可知 I Z =8
⎰⎰⎰[x
Ω1
2
+y 2dv
π
]
π
=8
⎰
2
d ϕ
⎰
2
d θ
⎰
2a
2a cos θ
r 2sin 2θ⋅r 2sin θdr
5
=16πa =
32
a M ， 2
+y 2+(z -a ) 2≥a 2, x 2+y 2+z 2≤4a 2, x >0, y >0, z >0
这里 Ω1=
{(x , y , z )x
⎧⎩
2
}
=⎨(r , θ, ϕ2a cos θ≤r ≤2a , 0≤θ≤
π
2
, 0≤ϕ
π⎫
⎬． 2⎭
第 12 章 （之1）（总第67次）
**1．解下列各题：
(1) 若D 是以O =(0, 0), A =(1, 0), B =(0, 1) 为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意
义可得到答：
(2) 设f (t ) 为连续函数，则由平面 z =0，柱面x 2+y 2=1和曲面z
⎰⎰(1-x -y ) d x d y =___________．
D
1
6
=f 2(xy ) 所围立体的体
积可用二重积分表示为___________________________________________． 答：
(3) 设I =
x 2+y 2≤1
⎰⎰
f 2(xy ) d x d y ．
d x d y
则I 满足 ( ) 221+cos x +sin y x +y ≤1
2
≤I ≤2 (B) 2≤I ≤3
3
1
(C)D ≤I ≤ (D)-1≤I ≤0
2
(A) 答：(A)．
(4) 设I 1=
D
2
，ln(x +y ) d σI =(x +y ) d σ及I 3=⎰⎰(x +y ) d σ其中D 是由直线 2⎰⎰⎰⎰
D
D
x =0，y =0，x +y =
1
及x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为 ( ) 2
(A) I 3＜I 2＜I 1； (B) I 1＜I 2＜I 3； (C) I 1＜I 3＜I 2； (D) I 3＜I 1＜I 2．
答：（B ）．
(5) 设D :x 2+y 2≤a 2(a >0), 当a =________时，
3
⎰⎰
D
a 2-x 2-y 2dxdy =π．
3
（A ） 1； (B) 答：（B ）． **2．解下列问题：
3
； (C) 2
3
3
； (D) 4
1 ．2
x
(1) 利用二重积分性质，比较二重积分的大小：⎰⎰e
D
2
+y 2
d σ 与
⎰⎰(1+x
D
2
+y 2) d σ，其
中，D 为任一有界闭区间．
解：令 u =x 2+y 2，且f (u )=e u -(1+u )，则有f ' (u )=e u -1．
∵u ≥0，
∴ e u -1≥0, 即f ' (u )≥0， f (u ) 是增函数．
∴ f (u )-f (0)≥0 即 e u -(1+u )≥0，
x e ⎰⎰D
2
∵ f (0)=e 0-1=0， ∴e x
2
+y 2
≥1+x 2+y 2， 因此
+y 2
d σ≥⎰⎰1+x 2+y 2d σ．
D
()
(2) 利用二重积分性质，估计二重积分的值：
2222
D ={(x , y ) x +16y ≤144}． ，(1+x +y ) d σ⎰⎰
D
解：先求出目标函数f (x , y )=x 2+y 2+1在区域
⎧⎫x 2y 2
D =⎨(x , y +≤1⎬上的最小值和最大值，
169⎩⎭
由于区域D 上的点到坐标原点O =(0, 0)的距离为
x 2+y 2，
∴0≤
x 2+y 2≤42+0=4，
∴1≤f (x , y )≤17，
又因为该区域的面积为 D =π⨯3⨯4=12π， ∴ 12π≤
⎰⎰f (x , y )d σ≤17⨯12π=204π．
D
***3．试利用积分值与积分变量名称无关，解下列问题： (1)
x 2+y 2≤1
⎰⎰
x -y ) d x d y ；
解：因为I =
x 2+y 2≤1
⎰⎰
x -y ) d x d y =
y 2+x 2≤1
⎰⎰
y -x ) d y d x =-I ，所以I =0．
a e x +b e y
d x d y ． (2) ⎰⎰x y
e +e x 2≤1, y 2≤1a e x +b e y
d x d y =解：I =⎰⎰x y
e +e x 2≤1, y 2≤1
a e y +b e x
d y d x ， y x ⎰⎰e +e y 2≤1, x 2≤1
⎤1⎡a e x +b e y a e y +b e x
I =⎢⎰⎰d x d y +⎰⎰d y d x ⎥ x y y x
2⎢e +e e +e ⎥y 2≤1, x 2≤1⎣x 2≤1, y 2≤1⎦
1(a +b ) e x +(a +b ) e y a +b =d x d y =d x d y =2(a +b ) ． x y ⎰⎰⎰⎰2x 2≤1, y 2≤12x 2≤1, y 2≤1e +e
***4． 设f (x , y ) 是连续函数，试利用积分中值定理求极限
lim
1
r →0πr 2
x 2+y 2≤r 2
⎰⎰f (x , y ) d σ．
解：积分区域 D :x 2+y 2≤r 2 为有界区域，且 f (x , y ) 连续，
∴ 由积分中值定理可知：存在点(ξ, η)∈D ，使得即：
⎰⎰f (x , y )d σ=f (ξ, η)S
D
D
，
x 2+y 2≤r 2
⎰⎰
f (x , y )d σ=πr 2f (ξ, η)，
又 ∵ 当r →0时，(ξ, η)→(0, 0)，且f (x , y )在(0, 0)连续． ∴ lim
1r →0πr 2
x 2+y 2≤r 2
⎰⎰f (x , y )d σ=f (0, 0)．
第 12 章 （之2）（总第68次）
教学内容 : §12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题：
**（1）设f (x , y ) 是连续函数，则
⎰
a
20
d y a 2-y 2a 2-2ay
f (x , y )d x +
⎰
a a 2
dy ⎰
a 2-y 2
f (x , y )d y (a >0)
可交换积分次序得___________________________．
a
a -x 答：原式=d x
⎰
a 2-x 22a
⎰f (x , y ) d y ．
**（2）设f (x , y ) 是连续函数，则二次积分
⎰
-1
d x ⎰
+x 2x +1
f (x , y ) d y （ ）
1
y -1
（A ）
⎰d y ⎰
010
1y -1
-1
f (x , y ) d x +⎰d y ⎰
12
2
y -1
-1
f (x , y ) d x ； （B ）
⎰d y ⎰
020
-1
-1
f (x , y ) d x ；
(C) 答：(C)
⎰d y ⎰
y -1
-1
f (x , y ) d x +⎰
1
d y ⎰
-y 2-1
-1
f (x , y ) d x ； (D)
⎰d y ⎰
-y 2-1
f (x , y ) d x ．
**（3）设f (x , y )是连续函数，交换二次积分
⎰
e
1
dx ⎰
ln x 0
f (x , y )dy 的积分次序的结果为
（ ）
（A ） (C) 答：(D)
⎰dy ⎰
1e 1
e ln x
f (x , y )dx ； (B) f (x , y )dx ； (D)
1
⎰dy ⎰
1
e ln x
f (x , y )dx ；
⎰dy ⎰
ln x
⎰
1
dy ⎰y f (x , y )dx ．
e
e
**（4）设f (x , y ) 是连续函数，则积分
⎰d x ⎰
x 2
f (x , y ) d y +⎰d x ⎰
1
22-x
f (x , y ) d y 可
交换积分次序为 （ ） （A ）（B ）（C ）（D ）
⎰dy ⎰f (x , y )dx +⎰dy ⎰
1
1y 22-y
02-x
f (x , y )dx ； f (x , y )dx ；
⎰
1
dy ⎰f (x , y )dx +
x 2
⎰
2
1
dy ⎰
⎰
1
01
dy ⎰
2-y y
f (x , y ) dx ； f (x , y )dx ．
2
2
⎰dy ⎰
2-x
x 2
答： (C )
**（5）设函数f (x , y )在x +y ≤1上连续，使
x 2+y 2≤1
⎰⎰f (x , y )dxdy =4⎰dx ⎰
1
-x 2
f (x , y )dy
成立的充分条件是 （ ） （A ）f (-x , y ) =f (x , y ) ， f (x , -y ) =-f (x , y ) ；
（B ）f (-x , y ) =-f (x , y ) ，f (x , -y ) =f (x , y ) ； （C ）f (-x , y ) =-f (x , y ) ，f (x , -y ) =-f (x , y ) ； （D ）f (-x , y ) =f (x , y ) ，f (x , -y ) =f (x , y ) ． 答：（D ）．
2．画出下列各题中给出的区域D ，并将二重积分化成两种不同顺序的二次积分（假定 在区域上连续）． **（1）D 由曲线xy =1, y =x , x =2
2
x
1
2
围成
2
2
解：I =⎰dx 1f (x , y )dy =1dy 1f (x , y )dx +⎰dy ⎰f (x , y )dx
1
1y
**（2）D =(x , y max (1-x , x -1)≤y ≤1解：I =
**（3） D ：x +y ≤1，x -y ≤1，x ≥0．
1
1-x
{}
1
1+y
1-y
⎰
1
dx ⎰
1
1-x
f (x , y )dy +⎰dx ⎰
1
21
x -1
f (x , y )dy =⎰dy ⎰
f (x , y )dx
0y +111-y
解：原式=dx
⎰⎰f (x , y ) dy =⎰dy ⎰
x -1
-10
f (x , y ) dx +⎰dy ⎰f (x , y ) dx ．
3．计算二次积分： **(1)
⎰dy ⎰
2
42y 2
e
x 2-2x
dx ．
解：D :2≤y ≤4,
原式= =
1
y
≤x ≤2， 变换积分次序得D *:1≤x ≤2, 2≤y ≤2x ， 2
⎰
1
2
12
e x
2
-2x
dx ⎰dy =⎰e x
2
1
2
2x 2
2
-2x
(2x -2)dx
1=1-．
e
⎰
x
e x
2
-2x
d (x 2-2x )=e x
-2x 2
1
**(2)
-1
22
dx x -x +y dy ． ⎰⎰-11
3
1122
解：原式=⎰dy ⎰x -x +y dx =⎰(1-y ) dy =．
32-1-1y
4．计算下列二重积分 **(1)
11
⎰⎰
D
d σ2-y
，其中D =(x , y x +y ≤2y ；
2
2
{}
解：原式=2
⎰
2
dy ⎰
2y -y 2
dx 2-y
=
8
2． 3
**(2) 计算二重积分
1
x
x 3e dxdy ，其中D 是第一象限中由y =x 和y =x 所围成的区域． ⎰⎰D
2
解：原式=e dx dy =(xe
x 3
⎰
x 2
1
⎰⎰
x 2
21
-x 3e x ) dx =e -1．
2
**(3) 计算二重积分
22
，其中x -y d σD ={(x , y ) 0≤y ≤1-x }． ⎰⎰D
2
解：D =(x , y )0≤y ≤1-x ⇒D :0≤y ≤1，
{}
原式=
⎰
10
1
-y dy ⎰
-y
--y
x 2dx
=⎰=
1
-y dy x 3
3
--y
11
-y (1-y -y +(1-y -y dy ⎰03
112222
=⎰(1-y )dy =-⎰(1-y )d (1-y )3030223=-(1-y )1=0
99
**(4) 计算二重积分
[]
⎰⎰x -y d σ, 其中D ={(x , y ) 0≤x ≤1, 0≤y ≤2}．
D
解：直线y =x 把区域D 分成D 1（上）、D 2（下）两个部分，
⎰⎰x -y d σ=⎰⎰(y -x )d σ+⎰⎰(x -y )d σ
D
D 1
D 2
1112
=⎰d x ⎰(y -x ) d y +⎰d x ⎰(x -y ) d y =⎰(y -x ) d x -⎰(x -y ) 2d x 0x 000202x 0
1
2
1
x
1
2x
14=⎰(x -2x +2)d x =x 3-x 2+2x =． 0330
1
2
1
**(5) 计算二重积分
2
，其中D 由直线、抛物线x =y =x -x 及其在x sin(x +y ) d σ⎰⎰
D
（0，0）点的切线围成．
2
解：抛物线y =x -x 在（0，0）处切线斜率 y ' (0) =-1，此切线方程为 y =-x ，
区域D:0≤x ≤
, -x ≤y ≤x 2-x ，
⎰⎰x sin(x +y ) d σ
D
=⎰dx ⎰
x 2-x
-x x 2-x
x sin(x +y ) dy x sin(x +y ) d (x +y )
2
=⎰dx ⎰
-x
=-
⎰
=x -x
dx [x cos(x +y )]y y =-x
=⎰
x (cos0-cos x ) dx =⎰
2
x (1-cos x 2) dx =
12
x 2
1
-sin x 22
=
π． 2
6．试利用积分区域的对称性和被积函数（关于某个单变量）的奇偶性，计算二重积分： **(1) 解：
222
{}，a ,b ,c为常数． ()D =x , y x +y ≤R ，其中 ()ax +by +c d σ⎰⎰
D
⎰⎰(ax +by +c )d σ=⎰⎰axd σ+⎰⎰byd σ+⎰⎰cd σ，
D
D
D
D
222
∵D =(x , y )x +y ≤R ，既关于y 轴对称，又关于x 轴对称．
{}
又∵f (x )=ax 为奇函数，g (y )=by 也为奇函数． ∴由积分区域对称性及被积函数的奇偶性可知：
⎰⎰axd σ=0, ⎰⎰byd σ=0．
D
D
x 21+x 5+y
**(2) ⎰⎰dxdy ，其中D =(x , y )x ≤1, 0≤y ≤2． 6
1+x D
()
{}
x 21+x 5+y x 7+y x 2
解：⎰⎰dxdy =⎰⎰dxdy +⎰⎰dxdy ， 666
1+x 1+x 1+x D D D
∵D =(x , y )x ≤1, 0≤y ≤2，关于y 轴对称，
()
{}
x 7+y x 7+y
又u (x , y )=，关于x 为奇函数， ∴⎰⎰dxdy =0， 6
1+x 61+x D
2
12x x 21+x 5+y x 2
∴ ⎰⎰dxdy =⎰⎰dxdy =⎰dx ⎰dy 66-101+x 61+x 1+x D D
1
()
2x 2411 =2⎰d x =
01+x 63⎰01+x 3
2
d x 3=
4
arctan x 33
10
=
π
3
．
第 12 章（之3）（总第69次）
教学内容: §12．2．2 二重积分在极坐标系下的计算方法
1． 填空与选择
**(1) 设D ：0≤ρ≤1, 0≤θ≤ 答：
**(2) 设区域D 是x 2+y 2≤1与x 2+y 2≤2x 的公共部分，试写出
先对ρ积分的累次积分_________________．
解：记F (ρ, θ) =f (ρcos θ, ρsin θ) ρ，则
-
π
2
，根据二重积分的几何意义，则
⎰⎰
D
-ρ2ρd ρd θ=___________．
1
π． 6
⎰⎰f (x , y ) dxdy 在极坐标系下
D
π3
2cos θ
π3
1
π2
2cos θ
-
⎰πd θ⎰F (ρ, θ) d ρ+⎰πd θ⎰F (ρ, θ) d ρ+π⎰d θ⎰F (ρ, θ) d ρ．
2
-
3
3
**（3）若区域D 为(x －1) 2+y 2≤1，设F (ρ, θ) =f (ρcos θ, ρsin θ) ρ， 则二重积分
π
⎰⎰f (x , y ) d x d y 化成累次积分为 （ ）
D 2cos θ
π2cos θ
(A)d θ
⎰
⎰F (ρ, θ) d ρ ； (B) ⎰d θ⎰F (ρ, θ) d ρ；
π
-0
π2
2cos θ
π2
2cos θ
(C)
-
⎰πd θ⎰F (ρ, θ) d ρ； (D) 2⎰d θ⎰F (ρ, θ) d ρ．
2
答：（C ）．
** (4)若区域D 为x 2+y 2≤2x ，则二重积分
π
2cos θ0
22
(x +y ) x +y dxdy 化成累次积分为（ ） ⎰⎰D
(A)
⎰
2-
πd θ⎰
2
(cosθ+sin θ) 2ρcos θρd ρ；
2cos θ0
(B)
⎰
π
(cosθ+sin θ) d θ⎰
ρ3d ρ；
(C) 2⎰(cosθ+sin θ) d θ⎰
π2cos θ0
ρ3d ρ； ρ3d ρ．
π
(D)
⎰
2-
θ+sin θ) d θ⎰π(cos
2
2cos θ0
答：（D ）．
2．化下列二重积分为极坐标下的二次积分 **(1)
⎰⎰
D
f (xy ) d σ，其中 D ={(x , y ) 0≤x ≤1, x 2≤y ≤1}．
解：令x =ρcos θ, y =ρsin θ
在区域D1上ρsin θ=(ρcos θ) 2即 ρ=
s i n θc o 2s θ
(0≤θ≤
π
2
) ，
在区域D2上ρsin θ=1即
ρ=
1sin θ
π
(0≤θ≤
sin θ
π
2
) ，
π
⎰⎰
D
f (xy ) d σ=
⎰
4
d θ
⎰
cos θ
2
f (ρ2sin θcos θ) ρd ρ+
⎰⎰
2
1sin θ
π
4
f (ρ2sin θcos θ) ρd ρ．
**(2)．
⎰⎰f (x +y ) d σ，其中
D
D ={(x , y )
解：令x =ρcos θ,
2
y ≤x ≤2-y 2, 0≤y ≤1}．
y =ρsin θ，由
2
θ=(ρc o s θ) ⇒ρ= y =x ⇒ρs i n
由 x 2+y 2=2⇒ρ=2，
s i n θ
， 2
c o s θ
sin θ2
=2⇒sin θ=2cos θ， 2
cos θ
1-cos 2θ=2cos 4θ，解得：cos 2θ=
π
1π，θ=， 24
⎰⎰
D
f (x +y ) d σ=⎰4d θ⎰sin θf (ρcos θ+ρsin θ) ρd ρ．
cos 2θ
2
3． 用极坐标计算下列积分 **(1)
⎰
10
dx 4-x 24x -x
2
x 2+y 2dy ；
10
解：将二次积分
积分
⎰dx 4-x 24x -x 2
x 2+y 2dy 看作二重
⎰⎰f (x , y ) d σ化来，
D
D :0≤x ≤14x -x 2≤y ≤4-x 2，
令x =ρcos θ, y =ρsin θ，则： 4cos θ≤ρ≤2， 如图，两圆交点(x , y ) =(1, ) ，即(ρ, θ) =(2,
π
3
) ，所以
⎰
1
dx 4-x 24x -x 2
π
x +y dy =π2d θ⎰
3
22
2
4cos θ
ρ⋅ρd ρ
π
186438π64222 =π2(ρ3) 2d θ=(-c o s θ) d θ=⨯-(1-s i n θ) d s i n θ ππ4c o θs 333363333
=
ππ
464ππ641π3π3π-(sin-sin ) +⋅[s i ）-（s i ）] [1**********]8=π-+8． 99
-y 2
**(2)
⎰
2
dy ⎰
y
y
dx ．
x
⎧π⎫2⎫⎪⎪⎧2
解：D =⎨(x , y )y ≤x ≤-y , 0≤y ≤()=ρ, θ0≤ρ≤1, 0≤θ≤⎬⎨⎬，
2⎪4⎭⎪⎩⎭⎩
**4．设f (x , y ) 是连续函数，将二次积分
π
3π
4
∴
⎰
22
dy ⎰
1-y 2
y
1y π2
4． dx =⎰d θ⎰θ⋅ρd ρd θ=00x 64
π
-
⎰πd θ⎰f (ρcos θ, ρsin θ) ρd ρ+π⎰d θ⎰f (ρcos θ, ρsin θ) ρd ρ，(a >0)
2
2
2a a
化为在直角坐标系下先对y 后对x 的二次积分．
a 2-x 2
a
a 2-x 2
解：原式=
dx
f (x , y ) dy +⎰dx
f (x , y ) dy ．
-
2-⎰x
-a 2-x 2
2
a
5． 计算下列二重积分
y x ***(1)
⎰⎰
e
σ，其中
D
x 2
+y
2
d D ={(x , y ) 1≤x 2+y 2≤4, x ≤y ≤x }． 解：在极坐标变换x =ρcos θ, y =ρsin θ下，
x ≤y ≤3x ，有1≤tan θ≤3，即
π
4
≤θ≤
π
3
，
又 1≤x 2+y 2≤4， 则 1≤
ρ2≤4，即1≤ρ≤2，所以
e
arctan
y x
π
)
π
πππ
⎰⎰
x 2+y 2
d σ=π3θ2
e arctan(tanθ1
ρ
d ρ=π3e θd θ=e θ
π3=e 3-e 4．
D
4
⎰
4
4
***(2)
⎰⎰e
xy
dxdy ，其中D ={(x , y ≤xy ≤2, x ≤y ≤2x }．
D
2
解：I =
arctan 2
π
d θcos cos θ
1θsin θe
ρ2sin θρd ρ
4
cos θsin θ
=arctan 2
⎡π
⎢11e ρ2cos θsin θcos sin ⎤
4
⎢2cos θsin θ⎥⎣cos θsin θ
⎥d θ ⎦
=arctan 2
11e 2-π
4
2cos θsin θ(e 2
-1)
d θ=e 2ln 2
6． 计算下列平面区域的面积：
*(1) 计算由抛物线y =x 2及直线y =x +2围成区域的面积．
解： ∵x 2 = x +2 即 x =－1, x =2． ∴交点为(－1,1) 与(2，4)
2
x +2
2
A=dx
dy =(x +2
=41． -⎰
1
x ⎰2-x ) dx 2-⎰1
2
**(2) D ={(ρcos ϕ, ρcos ϕ}|解：A =
1
≤ρ≤1+cos ϕ}． 2
⎰⎰d σ
D
21
π1+c o θs π⎛2⎫332 =2 ⎰d θ⎰ρd ρ-⎰d θ⎰ρd ρ⎪⎪0000⎝⎭ 57=π+。68
7． 计算下列立体体积
**(1) 利用二重积分计算由下列曲面z =x 2+y 2, y =1,z =0,y =x 2所围成的曲顶柱体的体积．
1
1
2
解： v =
-1
⎰dx ⎰(x
x 21
+y 2) dy
881
． (1-x 6)) dx =1053
=2(x 2(1-x 2) +
⎰
**(2) Ω=(x , y , z x 2+y 2≤z ≤1+-x 2-y 2． 解：V =
{}
⎰⎰(1+
D
-x 2-y 2d σ-⎰⎰x 2+y 2d σ
D
)
()
⎰⎰(1+-ρ)ρd ρ-⎰d θ⎰ρ1⎫⎛
=2π ⎰(1+-ρ)ρd ρ-⎪
4⎭⎝
=d θ
02π
1
2
2π
1
1
2
2
⋅ρd ρ
⎛51⎫7
=2π -⎪=π。
⎝64⎭6
8． 计算下列二重积分 ***(1) 解：I =
D
2222
()D =x , y y ≥0, x +y ≥1, x +y -2x ≤0． xyd σ， 其中⎰⎰
{}
⎰
1
π30
d θ⎰
2cos θ
1
ρ2sin θcos θd ρ
1π4
=⎰3sin θcos θ⋅16(cos θ)-1d θ 402
=-cos 6θ
3
π
30
1
[]
1
-sin 2θ8
π
30
=
9． 16
***(2) 计算二重积分
1≤x 2+y 2≤2x ≥, y ≥0
y -x dxdy ．
x 2+y 2≤2, y ≥x 确定的区域x 2+y 2≤2, 0≤y ≤x 确定的区域
π
2
4
2
1≤解：因为 y -x =⎪y -x , 当
⎨
1≤⎪⎩x -y , 当
π2
⎧
．
原式=(sinθ-cos θ) d θr dr +(cosθ-sin θ) d θr dr
π
1
1
4
⎰⎰
2
⎰⎰
2
71472={[-cos θ-sin θ]π+[sinθ+cos θ]04}=(-1+2+2-1) =(2-1) ．
3334
***(3) 设F (t
) =
ππ
⎧1, 0≤x ≤1, 0≤y ≤1
f (x , y )d x d y ，其中f (x , y ) =⎨，而D 是平面区域
⎩0, 其他
x +y ≤t ．求F (t ) ．
解： 设D * : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1． 由题意易知F (t ) 即为D ∩D *的面积，所以
⎧0, t ≤0⎪1
⎪t 2, 0
． F (t ) =⎨2
⎪-t +2t -1, 12⎩
1
****9．设 f (t ) 是连续函数，证明
1+x
x +y ≤1
f (x +y ) dxdy =⎰f (u ) du ．
-11
1-x
证明：
x +y ≤1
f (x +y ) dxdy =⎰dx ⎰
-1
-1-x
f (x +y ) dy +⎰dx ⎰f (x +y ) dy ．
x -1
令x + y = u， 则
1+2x
1
1
x +y ≤1
f (x +y ) dxdy =dx
-1
⎰⎰
f (u ) du +dx
u +12
-1
⎰⎰f (u ) du
2x -1
1
=
-1
⎰f (u ) du ⎰dx =⎰f (u ) du
u -12
-1
1
第 12 章 （之4）（总第70次）
教学内容： §12．3三重积分的概念与性质；§12．4．1 直角坐标系下三重积分的计算
1． 选择题 *(1) 设
Ω是由z ≥
222
及 x +y +z ≤1 所确定的区域，则用不等号表达I 1, I 2, I 3
三者大小关系是 ( )
（A ）I 1>I 2>I 3； （B ）I 1>I 3>I 2； （C ）I 2>I 1>I 3； （D ）I 3>I 2>I 1。 答：（B ）
**(2)设Ω1：x 2+y 2+z 2≤R 2，z ≥0；Ω2：x 2+y 2+z 2≤R 2，x ≥0，y ≥0，
z ≥0． 则 ( )
(A) (C)
z 99d V =4x 99d V =4
x 99d V ． (B) y 99d V ． (D)
y 99d V =4
99
z 99d V ．
(xyz ) d V ．
99
(xyz ) d V =4
答：(A)
2． 填空题 **（1）
答： I = 4π ．
***（2）设Ω为空间有界闭区域，其上各点的体密度为该点到平面Ax +By +Cz +D =0的 距离，则Ω关于直线
___________________________________________． 答：I=
的转动惯量的三重积分公式为
=___________________．
3．***（1）试将积分
分的三次积分式． 解：
化成先对x ，再对y ，最后对z 积
***（2）把下列给定区域Ω上的三重积分
⎰⎰⎰f (x , y , z ) d v 化为三次积分：Ω由曲面
Ω
z =2x 2+y 2-1和z =1-y 2围成． 解：
⎰⎰⎰
Ω
⎧⎪
f (x , y , z ) dv =⎨
⎪x 2+y 2≤1⎩
⎰⎰⎰
⎫⎪
f (x , y , z ) dv ⎬dxdy
2x 2+y 2-1⎪⎭
1-y 2
=
⎰dx ⎰
-1
1
-x 2
--x 2
dy
⎰
1-y 2
2x 2+y 2-1
f (x , y , z ) dz ．
***（3）将下列三次积分看作由三重积分
⎰⎰⎰f (x , y , z ) d v 化来，试画出其积分区域Ω，并
Ω
将其改写成先x 后y 再z 的三次积分：
⎰d x ⎰
11-x
d y
⎰
1x +y
f (x , y , z ) d z ．
解：Ω由平面z =x +y 、z =1及坐标面yoz 、xoz 所 原积分=
⎰dz ⎰⎰f (x , y , z ) dxdy =⎰dz ⎰dy ⎰
11z z -
y
f (x , y , z ) dx ．
**4．计算
⎰⎰⎰
Ω
⎧
x sin(y +z ) dv ，其中 Ω=⎨(x , y , z ) |0≤x ≤
⎩
y , 0≤z ≤
π
⎫-y ⎬． 2⎭
解：Ω 由柱面 y =x 2、平面 y +z =
π
-y
π
2
及坐标面 xoy 、yoz 所围而成．
⎰⎰⎰x sin(y +z ) dv =⎰⎰dxdy ⎰
Ω
D xy
2
x sin(y +z ) dz =
D xy
⎰⎰x cos ydxdy
π =
⎰
2
xdx
⎰
2
x
cos ydy =
2
⎰
2
1⎛1⎫2π1
x (1-sin x 2) dx = x 2+cos x 2⎪=-．
422⎝2⎭0
⎧π⎫⎪⎪2
, x ≤y ≤⎬ 这里 D xy =⎨(x , y )0≤x ≤22⎪⎪⎩⎭
***5．计算 解：
⎰0
π
d x ⎰d y ⎰sin(π-z ) 3d z ．
x y
***6．试利用积分区域Ω表达式对变量名称轮换的不变性，及被积函数的对称关系，并根 据积分与积分变量名称无关的性质计算三重积分
⎰⎰⎰[(b -c ) x +(c -a ) y +(a -b ) z ]dv ，
Ω
其中 Ω=(x , y , z ) |x 2+y 2+z 2≤R 2,
{
x ≥0, y ≥0, z ≥0．
}
解：由积分值与积分变量无关，并且积分区域对x 、y 、z 具有轮换不变性，从而 故
⎰⎰⎰xdv =⎰⎰⎰ydv =⎰⎰⎰zdv ，
Ω
Ω
Ω
⎰⎰⎰[(b -c ) x +(c -a ) y +(a -b ) z ]dv
Ω
=(b -c ) =(b -c )
⎰⎰⎰xdv +(c -a ) ⎰⎰⎰ydv +(a -b ) ⎰⎰⎰zdv
Ω
Ω
Ω
⎰⎰⎰xdv +(c -a ) ⎰⎰⎰xdv +(a -b ) ⎰⎰⎰xdv =0．
Ω
Ω
Ω
**7．用先重后单方法计算三重积分
⎰⎰⎰
Ω
sin z d v ，其中Ω由锥面z =x 2+y 2和平面
z =π围成．
解：
⎰⎰⎰sin zdv =⎰dz ⎰⎰sin zdxdy Ω
D z
π
=
⎰
π
πz 2sin zdz =π3-4π，
这里 D z =
{(x , y )0≤x
2
+y ≤z ．
22
}
***8．设f (z ) 在[－1,1]上有连续的导函数，试证：
解：
第 12 章 （之5）（总第71次）
教学内容： §12.4.2 ~ §12.4.3 用柱面坐标，球面坐标计算三重积分
1．**（1）设Ω是由0≤z ≤
，x +y -y ≤0所确定的闭区域，试将
化成柱面坐标下的三次积分式．
解：
22
1≤z ≤2所确定的闭区域，***（2）设Ω是由x +y ≤2z ，试将I =
2
2
化成柱面坐标下的三次积分式．
解： I =
⎰
21
2π
d θ⎰r d r ⎰f (r +z ) d z +⎰0d θ⎰2r d r ⎰r 2f (r 2+z 2) d z
2
2
1
2
22π22
或 I =
⎰d z ⎰d θ⎰
2π2z
f (r 2+z 2) r d r 。
2．**（1）设Ω
是由，0≤x ≤y ≤3x 所确定的立体，试将
⎰⎰⎰
解：
Ω
f (y , z ) d v 化成球面坐标下的三次积分式．
**（2）Ω是由x 2+y 2+z 2≤2R z （R >0）所确定的立体，试将
面坐标下的三次积分式． 解：
**（3）试将柱面坐标下的三次积分
的三次积分式． 解：
3．**（1）将下列三次积分看作是由三重积分
⎰⎰⎰f (x ⋅y ) d v 化成球
Ω
化成球面坐标下
⎰⎰⎰f (x , y , z ) d v 化来，试说明，Ω是由哪些
Ω1x 2+y 2
曲面围成，并将它们化成柱面坐标和球面坐标的三次积分：
⎰-1d x ⎰--x
1-x 2
2
d y ⎰
f (x , y , z ) d z ．
解：Ω由锥面z = 柱面坐标： 球面坐标：
x 2+y 2和平面z =1围成，
⎰
⎰
2π
02π
d ϕ⎰d ρ⎰f (ρcos ϕ, ρsin ϕ, z ) ρdz ，
11
ρ
π
d ϕ⎰d θ⎰
40
sec θ
f (r sin θcos ϕ, r sin θsin ϕ, r cos θ) r 2sin θdr ．
**（2）设Ω是由
及z =0所围的闭区域，试将
分别化成
球面、柱面坐标下的三次积分式． 解：
***（3）设Ω是由x 2+y 2+z 2≤a 2,
域．试将解：
(a >0）及z ≥0所确定的有界闭区
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v 分别化成柱面及球面坐标下的三次积分式．
4．**（1）计算
2⎧(x , y , z )x 2+y 2+z 2≤2, z ≥x 2+y 2⎫． Ω=，其中z d v ⎨⎬⎰⎰⎰⎩⎭Ω
2-ρ2
解：
⎰⎰⎰z d v =⎰d ϕ⎰d ρ⎰
Ω
2
2π1
ρ
ρz 2d z
2π
=
3
这里 Ω=(x , y , z )x 2+y 2≤Z ≤
{2-x -y }(ρ, ϕ, z 0≤ϕ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ≤z ≤={
2
2
3
⎡⎤π224
=(82-4) ， ρ(2-p ) -ρd ρ⎥⎰0⎢15⎢⎥⎣⎦1
2-ρ2．
}
2222
***（2）设Ω是由曲面x +y =2ax , x +y =2az (a >0）以及z =－1所围的有界闭区域，试计
算
解：由对称性
5．**（1）计算
的部分．
解：用球面坐标
⎰⎰⎰
Ω
e
x 2+y 2+z 2
22
其中Ω是单位球x 2+y 2+z 2≤1内满足z ≥x +y dv ，
⎰⎰⎰e
Ω
x 2+y 2+z 2
dv
π0
1
=
⎰
2π
d ϕ⎰4d θ⎰e r r 2sin θdr
=π(2-2)(e -2)
z ln[1+(x 2+y 2+z 2) 2]
***（2）计算三重积分⎰⎰⎰d v ，其中Ω是上半单位球体 2222
1+(x +y +z ) Ω
0≤z ≤-x 2-y 2．
z ln[1+(x 2+y 2+z 2) 2]
解：⎰⎰⎰d v 2222
1+(x +y +z ) Ω
=
⎰
2π
π
d θ⎰
2
r 3ln(1+r 4) d ϕ⎰sin ϕcos ϕdr
01+r 4
1
=(
⎰
2π
342
r ln(1+r ) πln 2
d θ)(⎰2sin ϕcos ϕd ϕ)(⎰dr ) =． 40081+r
1
π
***（3）试将
上面的积分值． 解：
化成球面坐标下的三次积分式，并由此计算
亦可用柱面坐标解出如下：
***6．设Ω是半径为R 的球体：x +y +z ≤R ，试求积分
解：由对称性
，故
2
2
2
2
.
***7．设F (t )=
，其中f (t ) 在(－∞,+∞) 上连续，求
．
解：
****8．(选做题) 利用三重积分, 计算下列立体Ω的体积: Ω 由曲面
(x 2+y 2+z 2) 2=R 2(x 2+y 2) （R >0）围成．
解：由对称性知Ω关于各坐标面对称，记Ω在第一象限的立体为V 1．
在球面坐标系下，曲面(x 2+y 2+z 2) 2=R 2(x 2+y 2) 的方程为r =R sin θ， 所以Ω的体积:
π
π
V =8V 1=8
π
⎰
2
d ϕ
⎰
20
d ϕ
⎰
R sin θ
r 2sin θdr
π
1
=4π2sin θr 3
03
⎰⎰
R sin θ
4πR 3
d θ=
3
⎰
2
sin 4θd θ
=
4πR 31π123
⋅⋅⋅=πR 34224
3
第 12 章 （之6）（总第72次）
教学内容 : §12．5 重积分的应用
1．计算下列曲面面积 **(1) 试求半球面 z =
2-x 2-y 2 被抛物面x 2+y 2=z 所截而适合z ≥x 2+y 2的一
部分曲面∑的面积S ． 解：S =
22
dS ，而 ∑在xoy 面上的投影域为D ：x +y ≤1． ∑
⎛⎫⎛⎫-x -y 2dxdy
⎪ ⎪ 面积元素为dS =1+ ． +dxdy = 2-x 2-y 2⎪ 2-x 2-y 2⎪22
2-x -y ⎝⎭⎝⎭
∴S =2
D 2π
22
dxdy 2-x 2-y 2
1
=2⎰d θ⋅⎰
rdr 2-r
2
=2⋅2π⋅(2-1) =22(2-1) π。
**(2) 平面2x +2y -z =4上被圆柱面x +y -2x =0截下的那一部分．
解：平面2x +2y -z =4被圆柱面x +y -2x =0截下的那一部分向xoy 面的投影线为：
⎨
2
22
2
⎧z =0
． 22
⎩x +y -2x =0
z =2x +2y -4, z x =2, z y =2，
∴ S =
**(3) 锥面z =解：锥面 z =
D xy
⎰⎰
+z x +z y dxdy =
22
D xy
⎰⎰3dxdy =3π．
x 2+y 2上被柱面z 2=2y 截下的那一部分． x 2+y 2 与柱面 z 2=2y 在xoy 面投影曲面为
⎧z =0⎨22
⎩x +y =2y
∴S =
⎧z =0即⎨2． 2
⎩x +(y -1)=1
2
D xy
⎰⎰
+z x +z y dxdy =
2
D xy
⎰⎰
x 2y 2
+2+2dxdy 22
x +y x +y
=
2⎰⎰dxdy =2π．
D xy
**(4) Ω由柱面x 2+y 2=9、平面4y +3z =12和4y -3z =12围成．
解：平面 4y +3z =12和4y -3z =12 截下的柱面 x +y =9 在yoz 面的投影 D 1=⎨(y , z y ≥1, z ≤4-
2
2
⎧⎩⎫44
y , z ≥y -4⎬， 33⎭
2
2
平面 4y +3z =12和4y -3z =12 与 x +y =9 相交部分在xoy 面投影是 D 2:x 2+y 2≤9． A =
⎰⎰
D 1
+x y +x z dydz +⎰⎰+z y +z x dxdy ，
D 2
2222
由对称性得 A =4
⎰
3
-3
dy ⎰
44-y 30
y 2⎛4⎫+dz +2+ -⎪dxdy 2⎰⎰9-y ⎝3⎭x 2+y 2≤9
2
=48π+30π=78π．
222222
**(5) Ω=(x , y , z )x +z ≤R , y +z ≤R ．
{}
解：解法一 z 2=R 2-x 2， ∴z =R 2-x 2，
A 1=
⎰⎰
D 1R 0
x 2
+2dxdy 2
R -x
x
=dx
⎰⎰⎰
R 0
x 2
dy 22
R -x
==
x 2
x dx 22
R -x
π
20
x =R s i θn
⎰
2
R s i n θ
R
R c o θs d θ=R 2
R c o θs
R y y 2R 22
+2dxdy =dy dx =R ． 222⎰⎰00R -y R -y
z =R -y ，A 2=⎰⎰
2
D 2
∴S =16R 2
解法二
y 2+z 2=R 2， ∴y =R 2-z 2，
R R 2-z 2S R 1
=⎰⎰d z d x =R ⎰d z ⎰d x =R 2
0016D zx R 2-z 2R 2-z 2
∴S =16R 2。
**2．求下列平面薄板D 的质量： D =(x , y )x +(y -1)≤1,
2
2
{}
μ=y +y -；
解：
m =⎰⎰μd σ=⎰⎰μd σ+⎰⎰μd σ
D
=⎰⎰(2y -1)d σ+⎰⎰1d σ
D 1
D 2
D 1D 2
1
(=⎰dx ⎰2y -1)dy +π
-1124114=+π+π=+π3223
1
1+1-x 2
**3．计算立体 Ω=(x , y , z ) |0≤z ≤1-(x 2+y 2)
的形心坐标．
{}
z
Dz
解：由对称性可知 x =y =0
z =
⎰⎰⎰
ΩΩ
zdv
=
⎰⎰⎰
1
⎰⎰⎰dv
πz (1-z ) dz ⎰1==
3
dz dxdy π(1-z ) dz ⎰⎰⎰⎰
D z 1
10
D z
dz zdxdy
1
这里 D z ={(x , y ) |0≤x 2+y 2≤1-z }．
*** 4．设Ω是球体x 2+y 2+z 2≤2Rz （R >0）在锥面 z = 试求Ω的形心坐标．
解：由对称性可知 x =y =0． 用球面坐标，有 M xy = =
x 2+y 2上方的部分，
⎰⎰⎰zdv =⎰⎰⎰r
Ω
Ω
3
sin θcos θdrd θd ϕ
⎰
2π
π
d ϕ⎰4d θ⎰
2R cos θ
r 3sin θcos θdr
74
πR ， 6
π
=8πR V =
4
⎰
40
sin θcos 5θd θ=
2
⎰⎰⎰dv =⎰⎰⎰r
Ω
Ω
sin θdrd θd ϕ
r 2sin θdr
=
⎰
2π
π
d ϕ⎰d θ⎰
40
2R cos θ
1634
πR ⎰sin θcos 3θd θ=πR 3， =
03
这里Ω=(x , y , z )x 2+y 2≤Z ≤R +R 2-x 2-y 2 =⎨(r , θ, ϕ)0≤r ≤2R cos θ, 0≤θ≤
π
{}
⎧⎩
π
⎫
, 0≤ϕ
故 Z =
M xy V
=
7
R ． 6
**5．求半径为R 质量为M 的均匀圆盘（μ=常数）关于下列各点的转动惯量： （1）圆心； （2）圆周上一点． 解：（1）建立如图示的直角坐标系．
I 0=
⎰⎰(x
D
2π0
2
+y 2μd σ=μ
)
⎰⎰(x
D
2
+y 2d σ。
)
D =μ⎰d θ⎰
R
1122MR 24
。 ρ⋅ρd ρ=μπR =πR μR =
222
2
（2）建立如图示的直角坐标系． 极坐标方程 ρ=2R sin θ，
I 0=⎰⎰x 2+y 2μd σ
D
()
=μ⎰d θ⎰
π2R sin θ
ρ2⋅ρd ρ
=μ⎰4R 4sin 4θd θ
π
φ=θ-
π
2
π⎫⎛
=μ⎰2π4R 4sin 4 φ+⎪d φ
-2⎭⎝2
π
π
=2μ
⎰
2
311334R 4c o 4s φd φ=8R 4μ⨯⨯π=μπR 4=MR 2．
42222
x 2+y 2和平面z =H 围成，试求：
***6．质量为 M 的匀质圆锥体Ω，由锥面Rz =H
（1）质心坐标； （2）关于中心轴的转动惯量；
（3）关于底直径的转动惯量． 解：设Ω的密度为μ，则μ=
123M M
．由于 V =πR H ，知 μ=， 2V 3πR H
（1）由对称性可知 x =y =0，
z =
⎰⎰⎰zdv
Ω
M
=
⎰
2π
d ϕ⎰d ρH z ρdz
R
R H
ρ
M
122
πR H
3
=H ． =124πR H 3
2π
R
H
（2）I z =μ =
3223
=μd ϕd ρρ(x +y ) dv =μρd ρd ϕdz H ⎰⎰dz ⎰⎰⎰⎰⎰⎰
ΩΩ
R
ρ
μ
10
πHR 4=
32
R M ． 10
（3） 由x 、y 的对称性，不妨假定底直径L 平行于x 轴．则
I L =μ
⎰⎰⎰[y
Ω
2
+(z -H ) 2dv （Ω中点(x,y,z）到L 的距离平方为y 2+(z -H ) 2）
R
H H ρR R
]
=μ
⎰
2π
02π
d ϕ
⎰
d ρ
⎰
ρρ2sin 2ϕ+(z -H ) 2dz
3
[]
=μ(
⎰
sin ϕd ϕ
R 4H +
2
⎰
ρ
H dz +d ϕρH (z ρ00ρ
R R
H
⎰⎰2πR H
-H ) 2dz )
M
(3R 2+2H 2) ．
203020
***7．(选做题) 在半径为2a ，质量为M 的均匀球体内，挖去两个内切于大球又互相外切
=μ(
ππ
R 2H 3) =
的半径为a 的小球，求剩余部分关于它们的公共直径的转动惯量．
解：由题意，设大球的方程为 x 2+y 2+z 2=4a 2，两小球的方程为 x 2+y 2+(z ±a ) 2=a 2．由x 、y 的对称性，可知 I Z =8
⎰⎰⎰[x
Ω1
2
+y 2dv
π
]
π
=8
⎰
2
d ϕ
⎰
2
d θ
⎰
2a
2a cos θ
r 2sin 2θ⋅r 2sin θdr
5
=16πa =
32
a M ， 2
+y 2+(z -a ) 2≥a 2, x 2+y 2+z 2≤4a 2, x >0, y >0, z >0
这里 Ω1=
{(x , y , z )x
⎧⎩
2
}
=⎨(r , θ, ϕ2a cos θ≤r ≤2a , 0≤θ≤
π
2
, 0≤ϕ
π⎫
⎬． 2⎭