球与多面体
一．知识梳理
1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。 如图1，截面图为正方形
图1
图2
图3
a EFGH 的内切圆，得R =；
2
2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得R =
2
a 。 2
正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面AA 1作截面图得，圆O 为矩形AA 1C 1C 的外接圆，易得R =A 1O =
a 。 2
2. 画出正四面体内接于正方体，正方体内接于球的直观图
二．激活思维
1. 球面上三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形，AB ＝18，BC ＝24，AC ＝
30. 且球心到该截面的距离为球的半径的一半. 求球的半径
2. 正方体的全面积是6a 2, 它的顶点都在球面上，这个球的表面积是2, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积是
（ ）A ．3π B ．4π C ．3π D ．6π
4. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1, 2,3，
则此球的表面积为.
3. 一个四面体的所有棱长都为
5. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 6.
若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
7. 在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60，E 为AB 的中点，将∆ADE
与∆BEC 分布沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）
. A.
B.
C.
D.
8已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥
BC ，
则球O 的体积等于 .
9．一个正方体的内切球与它的外接球的体积比是（ ）．
23 A ．1∶33 B ．1∶22 C ．1∶8 D ．1∶4
10. 一棱长为2a 的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。
课堂导学
目标1棱锥的内切、外接球问题
【例1】正四面体的棱长为a, 求其外接球和内切球的半径是多少？
变式拓展1
设棱锥M -ABCD 的底面是正方形，且MA =MD ，MA ⊥AB ，如果∆AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
变式拓展2
已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等
腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为
．
主视图22
1左视图
目标二、球与棱柱的组合体问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例2. 已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点在球O 1上，又知球O 2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O 1与球O 2的体积之比与表面积之比。
变式拓展
1. 如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱. 当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .
2. 正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。
【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径
目标三 球的综合问题
例三（1）[2012·辽宁卷] 已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上．若P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．
（2）[2012·课标全国卷] 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )
2322 6632（3）. (2011年高考全国卷理科11) 已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A)7π (B)9π (c)11π (D)13π
（4）. (2011年高考辽宁卷理科12) 已知球的直径SC=4，A,B 是该球球面上的两点，AB=3，
∠ASC =∠BSC =30︒，则棱锥S-ABC 的体积为（ ）
（A ）3 （B ）23 （C ）3 （D ）1
反思提升
随堂巩固练习
1. 一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是
100π208π4163π500π 3 3 3
cm 3 B. cmC. cmD. cm
3333
2. 求底面边长为1，侧棱长为2的正三棱锥的外接球的体积和内切球的表面积。
2. 三棱锥O-ABC 的三条侧棱两两垂直，且长度分别为3,4,4 ； 求它的外接球和内切球的半径
A.
3、自半径为1的球面上一点Q ，作球的三条互相垂直弦QA , QB , QC ，则
222
（ ） Q A +Q B +Q C =
(A) 4 (B) 2 (C) 1 (D)不能确定 4、两个平行平面去截半径为5的球，若截面面积分别为9π,16π，则这两个平行 平面间的距离是 （ ） (A) 1 (B) 7 (C) 3或4 (D) 1或7 5,
。高为
的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径4
为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 （A
（B
（C ）1 （D
课后作业
1. 半径为R 的球“紧贴”在墙角处，则球心到墙角顶点的距离为 （ ）
A. R B. 2R C. 3R D。 2R
2. 正四面体的外接球和内切球的体积之比是___________ ， 表面积之比是___________ .
5. 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则球面面积是（ ）
16π64π8π
B. C.4π D. 993
8. 将半径为R 的四个球，两两相切的放在桌面上固定，上面再放一个球，求上面一个球的球心到桌面的距离.
9. 在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h 的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径.
半球的半径为R ，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱长
4. 三棱锥A －BCD 的两条棱AB=CD=6, 其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径
A.
7．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ）
A．
577π B．π C．π D．π 484
例17．如图，正四棱锥P -ABCD 底面的四个顶点A , B , C , D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P -ABCD =
16
，则球O 的表面积是（ ） 3
A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π
（1）表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。
32π
, 则这个3
8. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切, 若这个球的体积是三棱柱的体积是________.
如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。
已知过球面上A , B , C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB =BC =CA =2，求球的表面积。
. 矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B-AC-D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 求半径为R 的球O 的内接正三棱锥S-ABC 的体积的最大值。
9. 已知倒立的圆锥形容器的轴截面是一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半经为r 的一个球，此时，水面恰好与球相切，求取出球后水面的高度。
例3. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面（如图），则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ） A ．
2 2
B ．
3 2
C ．2
D ．3
球与多面体
一．知识梳理
1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。 如图1，截面图为正方形
图1
图2
图3
a EFGH 的内切圆，得R =；
2
2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得R =
2
a 。 2
正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面AA 1作截面图得，圆O 为矩形AA 1C 1C 的外接圆，易得R =A 1O =
a 。 2
2. 画出正四面体内接于正方体，正方体内接于球的直观图
二．激活思维
1. 球面上三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形，AB ＝18，BC ＝24，AC ＝
30. 且球心到该截面的距离为球的半径的一半. 求球的半径
2. 正方体的全面积是6a 2, 它的顶点都在球面上，这个球的表面积是2, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积是
（ ）A ．3π B ．4π C ．3π D ．6π
4. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1, 2,3，
则此球的表面积为.
3. 一个四面体的所有棱长都为
5. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 6.
若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
7. 在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60，E 为AB 的中点，将∆ADE
与∆BEC 分布沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）
. A.
B.
C.
D.
8已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥
BC ，
则球O 的体积等于 .
9．一个正方体的内切球与它的外接球的体积比是（ ）．
23 A ．1∶33 B ．1∶22 C ．1∶8 D ．1∶4
10. 一棱长为2a 的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。
课堂导学
目标1棱锥的内切、外接球问题
【例1】正四面体的棱长为a, 求其外接球和内切球的半径是多少？
变式拓展1
设棱锥M -ABCD 的底面是正方形，且MA =MD ，MA ⊥AB ，如果∆AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
变式拓展2
已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等
腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为
．
主视图22
1左视图
目标二、球与棱柱的组合体问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例2. 已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点在球O 1上，又知球O 2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O 1与球O 2的体积之比与表面积之比。
变式拓展
1. 如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱. 当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .
2. 正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。
【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径
目标三 球的综合问题
例三（1）[2012·辽宁卷] 已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上．若P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．
（2）[2012·课标全国卷] 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )
2322 6632（3）. (2011年高考全国卷理科11) 已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A)7π (B)9π (c)11π (D)13π
（4）. (2011年高考辽宁卷理科12) 已知球的直径SC=4，A,B 是该球球面上的两点，AB=3，
∠ASC =∠BSC =30︒，则棱锥S-ABC 的体积为（ ）
（A ）3 （B ）23 （C ）3 （D ）1
反思提升
随堂巩固练习
1. 一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是
100π208π4163π500π 3 3 3
cm 3 B. cmC. cmD. cm
3333
2. 求底面边长为1，侧棱长为2的正三棱锥的外接球的体积和内切球的表面积。
2. 三棱锥O-ABC 的三条侧棱两两垂直，且长度分别为3,4,4 ； 求它的外接球和内切球的半径
A.
3、自半径为1的球面上一点Q ，作球的三条互相垂直弦QA , QB , QC ，则
222
（ ） Q A +Q B +Q C =
(A) 4 (B) 2 (C) 1 (D)不能确定 4、两个平行平面去截半径为5的球，若截面面积分别为9π,16π，则这两个平行 平面间的距离是 （ ） (A) 1 (B) 7 (C) 3或4 (D) 1或7 5,
。高为
的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径4
为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 （A
（B
（C ）1 （D
课后作业
1. 半径为R 的球“紧贴”在墙角处，则球心到墙角顶点的距离为 （ ）
A. R B. 2R C. 3R D。 2R
2. 正四面体的外接球和内切球的体积之比是___________ ， 表面积之比是___________ .
5. 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则球面面积是（ ）
16π64π8π
B. C.4π D. 993
8. 将半径为R 的四个球，两两相切的放在桌面上固定，上面再放一个球，求上面一个球的球心到桌面的距离.
9. 在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h 的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径.
半球的半径为R ，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱长
4. 三棱锥A －BCD 的两条棱AB=CD=6, 其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径
A.
7．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ）
A．
577π B．π C．π D．π 484
例17．如图，正四棱锥P -ABCD 底面的四个顶点A , B , C , D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P -ABCD =
16
，则球O 的表面积是（ ） 3
A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π
（1）表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。
32π
, 则这个3
8. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切, 若这个球的体积是三棱柱的体积是________.
如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。
已知过球面上A , B , C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB =BC =CA =2，求球的表面积。
. 矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B-AC-D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 求半径为R 的球O 的内接正三棱锥S-ABC 的体积的最大值。
9. 已知倒立的圆锥形容器的轴截面是一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半经为r 的一个球，此时，水面恰好与球相切，求取出球后水面的高度。
例3. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面（如图），则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ） A ．
2 2
B ．
3 2
C ．2
D ．3