弹性力学与有限元分析复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。和小变形
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
8、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
9、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
10、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
11、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
12、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
13、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
14、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
15多连体还应满足位移单值条件
16 体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为L-2MT-2；面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为 L-1MT-2 ；体力和面力符号的规定为以 沿坐标轴正向 为正，属 外 力；应力是作用于截面单位面积的力，属 内力，应力的量纲为 L-1MT-2 ，应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。
17 小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 孔附近的应力高度集中 ，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是 应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。
18利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含 结构离散化 单元分析 整体分析 三个主要步骤。
二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）（正确）
1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（√）
2、均匀性（连续性）假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（×）
3、连续性 （均匀性） 假定是指整个物体是由同一材料组成的。（×）
4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。（×）
5、如果某一问题中，，只存在平面应力分量，，，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应力问题。（√）
6、如果某一问题中，，只存在平面应变分量，，，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应变问题。（√）
7、表示应力分量与面力（体力）分量之间关系的方程为平衡微分方程。（×）
8、表示位移分量（形变）与应力分量之间关系的方程为物理方程。（×）
9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√）
10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√）
11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。（逆解法半逆解法）（×）
12、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。（×）
14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√）
15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√ ）
三、简答题
1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。
在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。
在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但
是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。
2、简述弹性力学的研究方法。
答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？
答：弹性力学中正应力用表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。 平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行 xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量σx , σy , τxy 存在，且仅为x,y 的函数。 平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 轴无变化，只有平面应变分量εx , εy , γxy 存在，且仅为x,y 的函数。
5、简述圣维南原理。
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。
答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。
7. 有限单元法求解步骤
答：（1）单元划分 （2）求单元几何参数 （3）单元刚度矩阵 （4）集成总体刚度矩阵 （5）形成结构荷载列向量 （6）引入边界条件 （7）解方程求节点位移 （8）求应力
8（8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数Φ求解，应力函数Φ必须满足哪些条件？
答：（1）相容方程：∇4Φ=0
（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，s =s σ）：⎧⎪(l σx +m τyx )s =f x ⎨⎪⎩(m σy +l τxy )s =f y (在s =s σ上)
（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。
计算题
1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积
分的应力边界条件。（板厚δ=1）
图5-1 解：在主要边界y =±h 2上，应精确满足下列边界条件：
(σ)
时， y y =-h =-qx l ，τyx ()y =-h 2=0； σy ()y =+h 2=0，τyx ()y =+h 2=-q 1 在次要边界x =0上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚δ=1
⎰(σ)-h 2+2x x =0dy =-F N ，⎰+2
-h 2(σx )x =0ydy =-M ，⎰-h 2(τxy )x =0dy =-F S +2
在次要边界x =l 上，有位移边界条件：(u )x =l =0，(v )x =l =0。这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：
⎰(σ)
⎰(τ)-h +h -h xy +h 2x x =0dy =-F N +q 1l ql 2，ql 2qlh ⎰-h (σx )x =0ydy =-M -F S l -6+2+h ，dy =-F S -x =0
2. （10分）试考察应力函数Φ=cxy ，c >0，能满足相容方程，并求出应力分量（不计
体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。 3
图5-2
3 ∂4Φ∂4Φ∂4Φ解：（1）相容条件：将Φ=cxy 代入相容方程+222+4=0，显然满足。 4∂x ∂x ∂y ∂y
∂2Φ2τ=-3cy σ=0=6cxy （2）应力分量表达式：σx =，， xy y 2∂y
h （3）边界条件：在主要边界y =±上，即上下边，面力为(σy )y =±h 2=±3chx ，2
(τxy )y =±h 2=-3ch 2 4
在次要边界x =0, x =l 上，面力的主失和主矩为
⎧+h 2
⎪⎰-h 2(σx )x =0dy =0
⎪+h 2⎪⎨⎰-h 2(σx )x =0y dy =0⎪⎪+h 2(τ)dy =-+h 3cy 2dy =-c h 3
xy x =0⎰-h 2⎪4⎩⎰-h 2
⎧+h 2(σ)dy =+h 26cly dy =0⎰-h 2⎪⎰-h x x =l
⎪+h 2+h clh 3⎪2 ⎨⎰-h (σx )x =l y dy =⎰-h 26cly dy =2⎪
+2c 3⎪+h 22()τdy =-3cy dy =-h xy ⎰⎰⎪x =0-h -h 24⎩
弹性体边界上的面力分布及在次要边界x =0, x =l 上面力的主失量和主矩如解图所示。 3图如
下
4．已知受力物体内某一点的应力分量为：σx =0，σy =2MPa ，σz =1MPa ，
τxy =1MPa ，τyz =0，τzx =2MPa ，试求经过该点的平面x +3y +z =1上的正应力。 （12分）
解：由平面方程x +3y +z =1，得其法线方向单位矢量的方向余弦为 l =1
+3+1222=1，m =3
+3+1222=3，n =1
+3+1222=1
⎡012⎤⎧l ⎫⎧1⎫⎥， {L }=⎪m ⎪=1⎪3⎪ σij =⎢120⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪n ⎪⎪1⎪⎢⎣201⎥⎦⎩⎭⎩⎭
σN ⎡012⎤⎧1⎫1T ⎥⎪3⎪1 [131]⎢=[L ][σ][L ]=120⎢⎥⎨⎬⎪⎪⎢⎣201⎥⎦⎩1⎭
⎧1⎫⎪⎪129=[573]⎨3⎬==2. 64 MPa
⎪1⎪1111⎩⎭
弹性力学与有限元分析复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。和小变形
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
8、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
9、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
10、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
11、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
12、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
13、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
14、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
15多连体还应满足位移单值条件
16 体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为L-2MT-2；面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为 L-1MT-2 ；体力和面力符号的规定为以 沿坐标轴正向 为正，属 外 力；应力是作用于截面单位面积的力，属 内力，应力的量纲为 L-1MT-2 ，应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。
17 小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 孔附近的应力高度集中 ，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是 应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。
18利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含 结构离散化 单元分析 整体分析 三个主要步骤。
二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）（正确）
1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（√）
2、均匀性（连续性）假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（×）
3、连续性 （均匀性） 假定是指整个物体是由同一材料组成的。（×）
4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。（×）
5、如果某一问题中，，只存在平面应力分量，，，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应力问题。（√）
6、如果某一问题中，，只存在平面应变分量，，，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应变问题。（√）
7、表示应力分量与面力（体力）分量之间关系的方程为平衡微分方程。（×）
8、表示位移分量（形变）与应力分量之间关系的方程为物理方程。（×）
9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√）
10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√）
11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。（逆解法半逆解法）（×）
12、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。（×）
14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√）
15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√ ）
三、简答题
1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。
在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。
在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但
是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。
2、简述弹性力学的研究方法。
答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？
答：弹性力学中正应力用表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。 平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行 xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量σx , σy , τxy 存在，且仅为x,y 的函数。 平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 轴无变化，只有平面应变分量εx , εy , γxy 存在，且仅为x,y 的函数。
5、简述圣维南原理。
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。
答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。
7. 有限单元法求解步骤
答：（1）单元划分 （2）求单元几何参数 （3）单元刚度矩阵 （4）集成总体刚度矩阵 （5）形成结构荷载列向量 （6）引入边界条件 （7）解方程求节点位移 （8）求应力
8（8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数Φ求解，应力函数Φ必须满足哪些条件？
答：（1）相容方程：∇4Φ=0
（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，s =s σ）：⎧⎪(l σx +m τyx )s =f x ⎨⎪⎩(m σy +l τxy )s =f y (在s =s σ上)
（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。
计算题
1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积
分的应力边界条件。（板厚δ=1）
图5-1 解：在主要边界y =±h 2上，应精确满足下列边界条件：
(σ)
时， y y =-h =-qx l ，τyx ()y =-h 2=0； σy ()y =+h 2=0，τyx ()y =+h 2=-q 1 在次要边界x =0上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚δ=1
⎰(σ)-h 2+2x x =0dy =-F N ，⎰+2
-h 2(σx )x =0ydy =-M ，⎰-h 2(τxy )x =0dy =-F S +2
在次要边界x =l 上，有位移边界条件：(u )x =l =0，(v )x =l =0。这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：
⎰(σ)
⎰(τ)-h +h -h xy +h 2x x =0dy =-F N +q 1l ql 2，ql 2qlh ⎰-h (σx )x =0ydy =-M -F S l -6+2+h ，dy =-F S -x =0
2. （10分）试考察应力函数Φ=cxy ，c >0，能满足相容方程，并求出应力分量（不计
体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。 3
图5-2
3 ∂4Φ∂4Φ∂4Φ解：（1）相容条件：将Φ=cxy 代入相容方程+222+4=0，显然满足。 4∂x ∂x ∂y ∂y
∂2Φ2τ=-3cy σ=0=6cxy （2）应力分量表达式：σx =，， xy y 2∂y
h （3）边界条件：在主要边界y =±上，即上下边，面力为(σy )y =±h 2=±3chx ，2
(τxy )y =±h 2=-3ch 2 4
在次要边界x =0, x =l 上，面力的主失和主矩为
⎧+h 2
⎪⎰-h 2(σx )x =0dy =0
⎪+h 2⎪⎨⎰-h 2(σx )x =0y dy =0⎪⎪+h 2(τ)dy =-+h 3cy 2dy =-c h 3
xy x =0⎰-h 2⎪4⎩⎰-h 2
⎧+h 2(σ)dy =+h 26cly dy =0⎰-h 2⎪⎰-h x x =l
⎪+h 2+h clh 3⎪2 ⎨⎰-h (σx )x =l y dy =⎰-h 26cly dy =2⎪
+2c 3⎪+h 22()τdy =-3cy dy =-h xy ⎰⎰⎪x =0-h -h 24⎩
弹性体边界上的面力分布及在次要边界x =0, x =l 上面力的主失量和主矩如解图所示。 3图如
下
4．已知受力物体内某一点的应力分量为：σx =0，σy =2MPa ，σz =1MPa ，
τxy =1MPa ，τyz =0，τzx =2MPa ，试求经过该点的平面x +3y +z =1上的正应力。 （12分）
解：由平面方程x +3y +z =1，得其法线方向单位矢量的方向余弦为 l =1
+3+1222=1，m =3
+3+1222=3，n =1
+3+1222=1
⎡012⎤⎧l ⎫⎧1⎫⎥， {L }=⎪m ⎪=1⎪3⎪ σij =⎢120⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪n ⎪⎪1⎪⎢⎣201⎥⎦⎩⎭⎩⎭
σN ⎡012⎤⎧1⎫1T ⎥⎪3⎪1 [131]⎢=[L ][σ][L ]=120⎢⎥⎨⎬⎪⎪⎢⎣201⎥⎦⎩1⎭
⎧1⎫⎪⎪129=[573]⎨3⎬==2. 64 MPa
⎪1⎪1111⎩⎭