解排列组合应用题的21种策略
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1. 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1. A , B , C , D , E 五人并排站成一排，如果A , B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ）
A 、60种 B、48种 C、36种 D、24种
解析：把A , B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，
A 4=24种，答案：D
4
.
2. 相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A 、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
解析：除甲乙外，其余5个排列数为A 55种，再用甲乙去插6个空位有A 62种，不同的排法种数是A 55A 62=3600种，选B .
3. 定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
例3. A , B , C , D , E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A , B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）
A 、24种 B、60种 C、90种 D、120种
解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即
12
A 5=60
5
种，选B .
4. 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
例4. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B、9种 C、11种 D、23种
解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .
5. 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例5. （1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A 、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
C 10C 8C 7=2520种，选C
2
1
1
.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）
A 、C C C 种 B、3C C C 种 C、C C A 种 D、
412
48
44
412
48
44
412
48
33
C 12C 8C 4
A 3
3
444
种
答案：A .
6. 全员分配问题分组法:
例6. （1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
解析：把四名学生分成3组有C 42种方法，再把三组学生分配到三所学校有A 33种，故共有C 42A 33=36种方法.
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A 、480种 B、240种 C、120种 D、96种
答案：B .
7. 名额分配问题隔板法:
例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C 96=84种. 8. 限制条件的分配问题分类法:
例8. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案A 84种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A 83方法，所以共有3A 83；③若乙参加而甲不参加同理也有3A 83种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A 82种，共有7A 82方法. 所以共有不同的派遣方法总数为
A 8+3A 8+3A 8+7A 8=4088种.
4
3
3
2
9. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.
例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A 、210种 B、300种 C、464种 D、600种
解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A 55个，
A 4A 3A 3, A 3A 3A 3, A 2A 3A 3, A 3A 3
1
1
3
1
1
3
1
1
3
1
3
个，合并总计300个, 选B .
（2）从1，2，3„，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I, 能被7整除的数的集合记做
A ={7,14, 21, 98}共有14个元素, 不能被7整除的数组成的集合记做
A ={1, 2, 3, 4, ,100}共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有
C 14，从A
2
11
中任取一个，又从A 中任取一个共有C 14C 86，两种情形共符合要求的
211
取法有C 14+C 14C 86=1295种.
（3）从1，2，3，„，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
解析：将I ={1, 2, 3 ,100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集
A ={4, 8,12, 100}；能被4除余1的数集B ={1, 5, 9, 97}，能被4除余2的数
集C ={2, 6, , 98}，能被4除余3的数集D ={3, 7,11, 99}，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从B , D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求
2112
+C 25C 25+C 25种. 的取法共有C 25
10. 交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n (A ⋃B ) =n (A ) +n (B ) -n (A ⋂B ) .
例10. 从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
n (I ) -n (A ) -n (B ) +n (A ⋂B ) =A 6-A 5-A 5+A 4=252
4
3
3
2
种.
11. 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
解析：老师在中间三个位置上选一个有A 31种，4名同学在其余4个位置上有A 44种
14
A 4=72种。. 方法；所以共有A 3
12. 多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例12. （1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A 、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A 66=720种，选C .
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A 42种，某1个
1
元素排在后半段的四个位置中选一个有A 4种，其余5个元素任排5个位置上有A 55
125
A 4A 5=5760种排法. 种，故共有A 4
13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例13. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
A 、140种 B、80种 C、70种 D、35种
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C 93-C 43-C 53=70种, 选. C
解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；
112
+C 5C 4=70台, 选C . 甲型2台乙型1台；故不同的取法有C 52C 4
14. 选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.
例14. （1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C 42种，再排：在四个盒中每次排3个有A 43种，故共有C 42A 43=144种.
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
解析：先取男女运动员各2名，有C 52C 42种，这四名运动员混和双打练习有A 22中排法，故共有C 52C 42A 22=120种.
15. 部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.
例15. （1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A 、70种 B、64种 C、58种 D、52种
解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C 84四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有
C 8-12=58个.
4
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A 、150种 B、147种 C、144种 D、141种
4解析：10个点中任取4个点共有C 10种，其中四点共面的有三种情况：①在四面
体的四个面上，每面内四点共面的情况为C 64，四个面共有4C 64个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.
44
-4C 6-3-6=141种. 所以四点不共面的情况的种数是C 10
16. 圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n 个普通排列：
a 1, a 2, a 3 , a n ; a 2, a 3, a 4, , a n , ; a n , a 1, , a n -1在圆排列中只算一种，因为旋转后可
以重合，故认为相同，n 个元素的圆排列数有单排，其它的n -1元素全排列.
n ! n
种. 因此可将某个元素固定展成
例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A 44种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式24⨯25=768种
不同站法.
说明：从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有
1m A n
m
种不同排法.
17. 可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有m n 种方法.
例17. 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案. 18. 复杂排列组合问题构造模型法:
例18. 马路上有编号为1，2，3„，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
C 5
3
种方法, 所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.
19. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19. 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
解析：从5个球中取出2个与盒子对号有C 52种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2C 52 20种.
20. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:
例20. （1）30030能被多少个不同偶数整除？
解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为
C 5+C 5+C 5+C 5+C 5+C 5=32个.
1
2
3
4
5
（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？
解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有
C 8-12=58个，所以
4
8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.
21. 利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.
例21. （1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？ 解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个
4点可以确定多少个不同的四边形，显然有C 10个，所以圆周上有10点，以这些点
4为端点的弦相交于圆内的交点有C 10个.
（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？
B
A
解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A 到B 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有C 74种.
排列、组合问题及对策
1、特殊优先法
对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊入手。先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例：1名老师和4名学生排成一排，若老师不排在两端，则共有多少种不同的排法？
分析：（解法1、特殊元素法）老师在中间3个位置上任选1个的选法有A 41种，然后剩余的四名学生在余下的四个位置上，排法有A 44种。由分步记数原理，所以共有A 31A 44=72 种。
（解法2、特殊位置法）先安排两端站两名学生共有A 4种方法，其余位置安排有A 33种。所以共有排法数为A 42A 33=72种。 答案：72种。 2、总体淘汰法
对于含否定词的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去。
比如上面的例题中，1名老师和4名学生共5人，其排列方法为A 55种，把老师排在队伍两端的情况A 2A 4减去。所以方法数为A 5-A 2 A4=72种。 答案：72种。 相邻问题用“捆绑法”
对于某些元素要求相邻的问题，可先将相邻的元素捆绑并看作一个元素并与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行排列。
例：3个女生与5个男生排在一起，女生必须在一起，可以有多少种不同的方法？
分析：因为3个女生必须排在一起，所以可以把她们看作一个整体，连同5个男生共6个元素，排成一排有A 66种不同的排法，同时每种排法中，女生之间又有A 33种不同的排法，利用分步记数原理，可得有A 66A 33种不同的排法。 答案：A 66A 33
3、问题用“插空法”
对于几个元素不相邻的排列问题，先将没有限制条件的元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙插入即可。
1
4
5
1
4
2
例：7人排成一排照相，若要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不同的排法？
分析：先将其余4人站好，有A 44种排法，再于4人之间及两端5个“空隙”中选3个位置将甲、乙、丙插入，有A 5种方法。由分步记数原理，这样共有A 4A 5种不同的排法。 答案：A 44A 53
2、顺序问题用“除法”
对于几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素同其余元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
例：7个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？ 分析：7个节目的全排列为A 77, 甲、乙、丙之间的顺序已定。所以有A 77∕A 33=840种。
答案：840种。 3、分排问题用“直排法”
把n 个元素排成几排的问题，若没有其它特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理。
例：15人排成两排，前排7人，后排8人，共有多少种不同的方法？ 分析：前排7人有A 157种方法，后排8人有A 88种方法，所以有A 157A 88=A1515种不同方法。其实就相当于将15个人排成一排。
答案：A 1515种 4、穷举法
当题目中的附加条件增多，结果数目不大，解决它的方法又不一般，采用穷举法有时能取得意想不到的效果。
例：三边长均为整数，最长边为8 的三角形有多少个？ 分析：另两边用字母x 、y 表示，且不妨设1≤x ≤y ≤8，x+y≥9 当 y=8时，x=1,2,„8, 有8个。 当y=7时，x=2,3„7 有6个。 当y=6时，x=3,4,5,6,有4个 当y=5时，x=4,5,有2 个。
3
4
3
所以，所求的三角形的个数为8+6+4+2=20。
答案：20个。 5、特征分析
研究有约束条件的排数问题，需紧扣题中所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。
例：由1，2，3，4，5，6这六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？
分析：6的倍数既是2的倍数，又是3的倍数。是2的倍数，个位上为2、4或6；是3 的倍数必须满足各个数字上的数字之和是3的倍数的特征。把这6个数分组（3）、（6）、（1，5）、（2，4），每组的数字和都是3的倍数，因此可分成两类讨论。第一类：由1、2、4、5、6作数码，首先从2、4、6中任选一个作为个位数字，有A 31种，然后其余4个数字在其它数字上全排列有A 44, 所以，N 1=A31A 44个，第二类：由1、2、3、4、5作数码，依上法有N 2=A21A 44个。故N=N1+N2=120个。
答案：120个。 6、对应
有些时候，一个事件与一个结果之间存在一一对应的关系。
例：在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛后，失败者退出比赛），最后产生一名冠军，需举行多少场比赛？
分析：要产生一名冠军，需要淘汰99名选手。要淘汰掉一名选手，必须举行一场比赛；反之，每场比赛恰淘汰一名选手。两者之间一一对应。故要淘汰99名选手，应举行99场比赛，从而产生一名冠军。
答案：99场。 10、消序
某些条件，使得元素位置确定。
例：有3个男生，3个女生，排成一列，高矮互不相等。要求从前到后，女生从高到矮排列，有多少种不同的排法？
分析：先从6个位置中选3个位置排男生，有A 6种不同排法。余下3个位置排女生，因要求“从高到低”所以女生的排法只有一种。故有A 6=120 种。
3
3
答案：120种。 11进住法
解决允许重复排列问题要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看成“一封信”，能重复的元素看成“信箱”。在利用乘法原理直接求解的方法称为进住法。
例：5名运动员争夺3个项目的冠军（没有并列），所以可能的结果有多少种？
分析：因为同一运动员可以同时夺得几项冠军，故运动员可以重复排列，将5名运动员看作五个信箱，3项冠军看成3封信，每封信可以投进五个信箱，有5种投递方法。由乘法原理知有5种。 答案：53种 12、探索
对情况复杂，不易发现规律的问题，要仔细分析，探索其中规律，再予以解决。
例：从1到100的自然数中，每次取出两个数，使它们的很大于100，则弥补台的取法有多少种？
分析：此题数字较多，情况不一样。需要分析摸索其规律。为方便，我们称两个加数中较小的为被加数。因1+100>100，1为被加数的只有一种。2+99>100，2+100>100，2为被加数的有两种。同理，3为被加数的有3种„„49为被加数的有49种。50为被加数的有50种。但51为被加数的只有49种„„99为被加数的只有一种。故不同的取法有（1+2+3+„„50）+（49+48+„„1）=2500种。 答案：2500种。） 13、“树图”表示法
对某些分步进行的问题，可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形表示出来。
例：四人各写出一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式有（ ）种。
A.6 B.9 C.11 D.32
3
分析：将四张贺卡分别记为A,B,C,D 。由题意，某人（不妨设为A 卡的供卡人）取卡有3种情况。因此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其它人依次取卡分步进行。为避免重复或遗漏现象，可用树状图表示。
A →D →C A →D →B A →B →C B →C →D →A C→D →A →B D→C →A →B D →A →C D →B →A C →B →A 所以共有9种不同的分配方式。 答案：B 。 14、用比例法
有些排列应用题，可以根据每个元素出现机会占整个问题的比例，从而求得问题的结果。
例：A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A 、B 可以不相邻），不同的排法有多少种？
分析：若没有限制条件，则5人的全排列有A 55=120种，而A 在B 右边与B 在A 右边各占一半，所以B 在A 右边的排列法有1∕2A 55=60种。
答案：60种。
例：从6个运动员中选出4个参加4×100 米接力赛。如果甲、乙都不能跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？
分析：若不受条件限制，则参赛方案有A 64=360种，但其中限制甲、乙两人不能跑第一棒，即跑第一棒的只能是其他的人，而这4人在第一棒中出现的可能性为4/6
故所求参赛方案有4∕6•A 6=240种。 答案：240种。
以上介绍了排列应用题的几种常见求解策略。这些策略不是彼此孤立的，而是相互依存。有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略。
在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步。首先要弄清楚：要完成的是一件什么事，完成这件事有几类方法，每类方法中，又有几个步骤。这样才会不重复、不遗漏地解决问题。 三．基本题型及方法：
4
1．相邻问题
（1）、全相邻问题，捆邦法
例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。
A ）720 B）360 C）240 D）120
说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 （2）、全不相邻问题，插空法
例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，
解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有A 74种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A 74A 66种
例4（06重庆卷) 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040 解：不同排法的种数为A 55A 62＝3600，故选B
说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
（3）．不全相邻排除法，排除处理
例5．五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解：
A 5-A 3A 3-A 2A 3或3A 2A 3A 2=72
5
3
3
2
3
2
2
2
例6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 ．解法一： ①前后各一个，有8×12×2＝192种方法 ②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法
③两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置：
乙可坐2个位置
2＋2＝4
此种情况共有4＋2＝6种方法
乙可坐1个位置 1＋1＝2
因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6＋6＝12种方法
④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右
∴ 甲左乙右总共有
10+9+8+ +2+1=
10+12
⨯10=55
种方法．同样甲、
乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192＋32＋12＋110＝346种
解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。），7号座位与8号座
2
-2(11+6) =346种 位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。），共有A 20
2、顺序一定，除法处理或分类法。
例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。 解：5面旗全排列有A 55种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有
A 5
3
3522
A A
=10
说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题, 这类问题用
缩小倍数的方法求解比较方便快捷
例8．（06湖北卷）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答）
解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有A 52+5⨯A 22＝30种不同排法。解二：
6! 4!
=30
例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（ ）
A ）210个 B）300个 C）464个 D）600个解：
12
A 5A 5=300
1
5
故选（B ）
4、多元问题，分类法
例10．(06陕西卷) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人), 其中甲和乙不同去, 甲和丙只能同去或同不去, 则不同的选派方案共有 种
解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人) ，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有C 52⋅A 44=240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有C 53⋅A 44=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有A 54=120种选法，共有600种不同的选派方案． 例11：（06全国卷I ）设集合I ={1, 2, 3, 4, 5}。选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有A ．50种 B ．49种 C．48种 D．47种
解析：若集合A 、B 中分别有一个元素，则选法种数有C 5=10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有C 5=10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有C 5=5种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有四个元素，则选法种数有C 5=1种；若集合A 中有两个元素，集合B
5
4
3
2
中有一个元素，则选法种数有C 53=10种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有两个个元素，则选法种数有C 54=5种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有C 55=1种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有C 54=5种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有C 5=1种；若集合A 中有四个元素，集合B 中有一个元素，则选法种 数有C 5=1种；总计有49种，选B.
解法二：集合A 、B 中没有相同的元素，且都不是空集，
从5个元素中选出2个元素，有C 5=10种选法，小的给A 集合，大的给B 集合；
从5个元素中选出3个元素，有C 5=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有2×10=20种方法；
从5个元素中选出4个元素，有C 5=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有3×5=15种方法；
从5个元素中选出5个元素，有C 5=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有4×1=4种方法；
总计为10+20+15+4=49种方法。选B.
例12（06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个
1
=4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2球，其余3个放入2号盒子，有C 4
5
5
2
3
4
5
个放入2号盒子，有C 42=6种方法；则不同的放球方法有10种，选A ．
说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。
5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。
例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？
解：设全集U={6人中任选4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=252
例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。
（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？ （2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？
例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ） A ）6种 B）9种 C）11种 D）23种
解：此题可以看成是将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将1填入2至4的3个方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它3个方格，又有3种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有3×3×1=9种填法。故选B
说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。
例16、（06湖北卷）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 。（答：78种）
说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。
6、多排问题，单排法
例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为
15335
A ） C 85C 83 B）A 2C 8C 8 C）A 8A 8 D）
A 8
8
8
解：此题分两排座可以看成是一排座，故有 A 8种座法。∴选（D ） 说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理）
例18．（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有
（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种 解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有A 73-A 43=186种，选B.
例19．（06辽宁卷）5名乒乓球队员中, 有2名老队员和3名新队员. 现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛, 则入选的3名队员中至少有一名老队员, 且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)
1223
A 2=12种排法；⨯A 3=36种【解析】两老一新时, 有C 13⨯C 2两新一老时, 有C 12C 3
排法, 即共有48种排法.
【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.
例20．(06重庆卷) 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有
（A ）３０种 （B ）９０种 （C ）１８０种 （D ）２７０种
解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有
C 5⋅C 4
A 2
21
2
=15
种方法，
再将3组分到3个班，共有15⋅A 33=90种不同的分配方案，选B.
说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除
法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。 8、部分符合条件淘汰法
例21．四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 （ ） A）150种 B）147种 C）144种 D）141种
4
解：10个点取4个点共有 C 10 种取法，其中面ABC 内的6个点中任取4
个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3
44
个，故符合条件不共面的平面有 C 10-4C 6-6-3=141
选D
说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。
9．分组问题与分配问题
①分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理
例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？
分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有C 93 种分法，再取3个不第二组，有C 63种分法，剩下3个为第三组，有C 33 种分法，由于三组之间没有顺序，故有
C 9C 6C 3
A 3
33
3
3
种分法。（2）同（1），共有C 92C 73C 44种分法，因三组个
数各不相同，故不必再除以A 33。
练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？
②分配问题： 定额分配，组合处理； 随机分配，先组后排。
例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有C 92种；再让乙选，有C 73种；剩下的给丙，有C 44种，
共有C 92C 73C 44种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有C 92. C 73. C 44. A 33种不同的分法。
例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有C 4种方法，前44
4
1
次中应有1件正品、3件次品，有
1
1
3
C 6C 3
13
种，前
次测试中的顺序有A 4种，由分步计数原理即得：C 4（C 6C 3）A 4＝576。 【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，
4
一般是先选元素（即组合）后排列
练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？C 62C 42C 22=90
2．将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？
C 10C 7C 4C 1
3!
3
3
3
1
⨯4!
例25（06湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一
个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16种 B.36种 C.42种 D.60种
解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有
C 3⋅A 4=36
1
2
，
二是在在两个城市分别投资1，1，1个项目，此时有A 43=24， 共
有C 31⋅A 42+A 43=60， 故选 （D ） 10．隔板法：隔板法及其应用技巧
在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：
例26。求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？)
分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x.y.z之值（如图）
○○○ ○○○ ○○○○
则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C 92 36 个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：
技巧一：添加球数用隔板法。
例27．求方程x+y+z=10 的非负整数解的个数。
分析：注意到x 、y 、z 可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给 x、 y、z 各一个球。这样
2
原问题就转化为求x+y+z=13 的正整数解的个数了，故解的个数为C 12=66个。
【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。 技巧二：减少球数用隔板法。
例28．将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
分析1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1
3种方法；再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有 C 13 =286
种方法。
分析2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子
3里，由例26知有 C 13 =286 种方法。
【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。 技巧三：先后插入用隔板法。
例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？
分析：记两个小品节目分别为A 、B 。先排A 节目。根据A 节目前后的歌舞节
目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有 C 51 种方法。这一
1
步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B 节目前后的节目数，同上理知有C 6
1种方法。故由乘法原理知，共有C 51C 6=30 种方法。
11．数字问题（组成无重复数字的整数）
① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。
②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。
③ 能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。④ 能被5整除的数的特征：末位数是0或5。
⑤ 能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 能被6整除的数
的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。
例30（06北京卷）在1, 2, 3, 4, 5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有
（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个
（D ）6个
解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有A 3种方3
33法（2）3个数字中有一个是奇数，有C 13A 3，故共有A 3＋C 13A 3＝24种方法，故3
选B
例31。（06天津卷）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 24 个（用数字作答）． 12．分球入盒问题
例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ ① 小球不同，盒子不同，盒子不空
解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有(
C 5C 2A
2
23
1
+
C 5C 3A
22
22
) ∙A 3
3
②小球不同，盒子不同，盒子可空 解：35种
③小球不同，盒子相同，盒子不空 解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有C
35
C 2
22
1
A
+
C 5C 3A
22
22
=25种
④小球不同，盒子相同，盒子可空
本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。共有
C 5+(C 5+C 5) +(
5
4
3
C 5C 2A
22
31
+
C 5C 3A
22
22
) =41种
⑤小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 \ 00 \ 00 ，有
C 4种方法
⑥小球相同，盒子不同，盒子可空
解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。故有C 72=21解：分步插板法。
⑦小球相同，盒子相同，盒子不空解：5个相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。 共 2种
⑧小球相同，盒子相同，盒子可空
解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0； 4，1，0；3，2，0； 3，1，1； 2，2，1。
2
解排列组合应用题的21种策略
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1. 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1. A , B , C , D , E 五人并排站成一排，如果A , B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ）
A 、60种 B、48种 C、36种 D、24种
解析：把A , B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，
A 4=24种，答案：D
4
.
2. 相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A 、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
解析：除甲乙外，其余5个排列数为A 55种，再用甲乙去插6个空位有A 62种，不同的排法种数是A 55A 62=3600种，选B .
3. 定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
例3. A , B , C , D , E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A , B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）
A 、24种 B、60种 C、90种 D、120种
解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即
12
A 5=60
5
种，选B .
4. 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
例4. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B、9种 C、11种 D、23种
解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .
5. 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例5. （1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A 、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
C 10C 8C 7=2520种，选C
2
1
1
.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）
A 、C C C 种 B、3C C C 种 C、C C A 种 D、
412
48
44
412
48
44
412
48
33
C 12C 8C 4
A 3
3
444
种
答案：A .
6. 全员分配问题分组法:
例6. （1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
解析：把四名学生分成3组有C 42种方法，再把三组学生分配到三所学校有A 33种，故共有C 42A 33=36种方法.
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A 、480种 B、240种 C、120种 D、96种
答案：B .
7. 名额分配问题隔板法:
例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C 96=84种. 8. 限制条件的分配问题分类法:
例8. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案A 84种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A 83方法，所以共有3A 83；③若乙参加而甲不参加同理也有3A 83种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A 82种，共有7A 82方法. 所以共有不同的派遣方法总数为
A 8+3A 8+3A 8+7A 8=4088种.
4
3
3
2
9. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.
例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A 、210种 B、300种 C、464种 D、600种
解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A 55个，
A 4A 3A 3, A 3A 3A 3, A 2A 3A 3, A 3A 3
1
1
3
1
1
3
1
1
3
1
3
个，合并总计300个, 选B .
（2）从1，2，3„，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I, 能被7整除的数的集合记做
A ={7,14, 21, 98}共有14个元素, 不能被7整除的数组成的集合记做
A ={1, 2, 3, 4, ,100}共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有
C 14，从A
2
11
中任取一个，又从A 中任取一个共有C 14C 86，两种情形共符合要求的
211
取法有C 14+C 14C 86=1295种.
（3）从1，2，3，„，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
解析：将I ={1, 2, 3 ,100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集
A ={4, 8,12, 100}；能被4除余1的数集B ={1, 5, 9, 97}，能被4除余2的数
集C ={2, 6, , 98}，能被4除余3的数集D ={3, 7,11, 99}，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从B , D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求
2112
+C 25C 25+C 25种. 的取法共有C 25
10. 交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n (A ⋃B ) =n (A ) +n (B ) -n (A ⋂B ) .
例10. 从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
n (I ) -n (A ) -n (B ) +n (A ⋂B ) =A 6-A 5-A 5+A 4=252
4
3
3
2
种.
11. 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
解析：老师在中间三个位置上选一个有A 31种，4名同学在其余4个位置上有A 44种
14
A 4=72种。. 方法；所以共有A 3
12. 多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例12. （1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A 、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A 66=720种，选C .
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A 42种，某1个
1
元素排在后半段的四个位置中选一个有A 4种，其余5个元素任排5个位置上有A 55
125
A 4A 5=5760种排法. 种，故共有A 4
13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例13. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
A 、140种 B、80种 C、70种 D、35种
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C 93-C 43-C 53=70种, 选. C
解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；
112
+C 5C 4=70台, 选C . 甲型2台乙型1台；故不同的取法有C 52C 4
14. 选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.
例14. （1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C 42种，再排：在四个盒中每次排3个有A 43种，故共有C 42A 43=144种.
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
解析：先取男女运动员各2名，有C 52C 42种，这四名运动员混和双打练习有A 22中排法，故共有C 52C 42A 22=120种.
15. 部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.
例15. （1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A 、70种 B、64种 C、58种 D、52种
解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C 84四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有
C 8-12=58个.
4
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A 、150种 B、147种 C、144种 D、141种
4解析：10个点中任取4个点共有C 10种，其中四点共面的有三种情况：①在四面
体的四个面上，每面内四点共面的情况为C 64，四个面共有4C 64个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.
44
-4C 6-3-6=141种. 所以四点不共面的情况的种数是C 10
16. 圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n 个普通排列：
a 1, a 2, a 3 , a n ; a 2, a 3, a 4, , a n , ; a n , a 1, , a n -1在圆排列中只算一种，因为旋转后可
以重合，故认为相同，n 个元素的圆排列数有单排，其它的n -1元素全排列.
n ! n
种. 因此可将某个元素固定展成
例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A 44种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式24⨯25=768种
不同站法.
说明：从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有
1m A n
m
种不同排法.
17. 可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有m n 种方法.
例17. 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案. 18. 复杂排列组合问题构造模型法:
例18. 马路上有编号为1，2，3„，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
C 5
3
种方法, 所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.
19. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19. 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
解析：从5个球中取出2个与盒子对号有C 52种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2C 52 20种.
20. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:
例20. （1）30030能被多少个不同偶数整除？
解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为
C 5+C 5+C 5+C 5+C 5+C 5=32个.
1
2
3
4
5
（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？
解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有
C 8-12=58个，所以
4
8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.
21. 利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.
例21. （1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？ 解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个
4点可以确定多少个不同的四边形，显然有C 10个，所以圆周上有10点，以这些点
4为端点的弦相交于圆内的交点有C 10个.
（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？
B
A
解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A 到B 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有C 74种.
排列、组合问题及对策
1、特殊优先法
对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊入手。先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例：1名老师和4名学生排成一排，若老师不排在两端，则共有多少种不同的排法？
分析：（解法1、特殊元素法）老师在中间3个位置上任选1个的选法有A 41种，然后剩余的四名学生在余下的四个位置上，排法有A 44种。由分步记数原理，所以共有A 31A 44=72 种。
（解法2、特殊位置法）先安排两端站两名学生共有A 4种方法，其余位置安排有A 33种。所以共有排法数为A 42A 33=72种。 答案：72种。 2、总体淘汰法
对于含否定词的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去。
比如上面的例题中，1名老师和4名学生共5人，其排列方法为A 55种，把老师排在队伍两端的情况A 2A 4减去。所以方法数为A 5-A 2 A4=72种。 答案：72种。 相邻问题用“捆绑法”
对于某些元素要求相邻的问题，可先将相邻的元素捆绑并看作一个元素并与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行排列。
例：3个女生与5个男生排在一起，女生必须在一起，可以有多少种不同的方法？
分析：因为3个女生必须排在一起，所以可以把她们看作一个整体，连同5个男生共6个元素，排成一排有A 66种不同的排法，同时每种排法中，女生之间又有A 33种不同的排法，利用分步记数原理，可得有A 66A 33种不同的排法。 答案：A 66A 33
3、问题用“插空法”
对于几个元素不相邻的排列问题，先将没有限制条件的元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙插入即可。
1
4
5
1
4
2
例：7人排成一排照相，若要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不同的排法？
分析：先将其余4人站好，有A 44种排法，再于4人之间及两端5个“空隙”中选3个位置将甲、乙、丙插入，有A 5种方法。由分步记数原理，这样共有A 4A 5种不同的排法。 答案：A 44A 53
2、顺序问题用“除法”
对于几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素同其余元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
例：7个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？ 分析：7个节目的全排列为A 77, 甲、乙、丙之间的顺序已定。所以有A 77∕A 33=840种。
答案：840种。 3、分排问题用“直排法”
把n 个元素排成几排的问题，若没有其它特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理。
例：15人排成两排，前排7人，后排8人，共有多少种不同的方法？ 分析：前排7人有A 157种方法，后排8人有A 88种方法，所以有A 157A 88=A1515种不同方法。其实就相当于将15个人排成一排。
答案：A 1515种 4、穷举法
当题目中的附加条件增多，结果数目不大，解决它的方法又不一般，采用穷举法有时能取得意想不到的效果。
例：三边长均为整数，最长边为8 的三角形有多少个？ 分析：另两边用字母x 、y 表示，且不妨设1≤x ≤y ≤8，x+y≥9 当 y=8时，x=1,2,„8, 有8个。 当y=7时，x=2,3„7 有6个。 当y=6时，x=3,4,5,6,有4个 当y=5时，x=4,5,有2 个。
3
4
3
所以，所求的三角形的个数为8+6+4+2=20。
答案：20个。 5、特征分析
研究有约束条件的排数问题，需紧扣题中所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。
例：由1，2，3，4，5，6这六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？
分析：6的倍数既是2的倍数，又是3的倍数。是2的倍数，个位上为2、4或6；是3 的倍数必须满足各个数字上的数字之和是3的倍数的特征。把这6个数分组（3）、（6）、（1，5）、（2，4），每组的数字和都是3的倍数，因此可分成两类讨论。第一类：由1、2、4、5、6作数码，首先从2、4、6中任选一个作为个位数字，有A 31种，然后其余4个数字在其它数字上全排列有A 44, 所以，N 1=A31A 44个，第二类：由1、2、3、4、5作数码，依上法有N 2=A21A 44个。故N=N1+N2=120个。
答案：120个。 6、对应
有些时候，一个事件与一个结果之间存在一一对应的关系。
例：在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛后，失败者退出比赛），最后产生一名冠军，需举行多少场比赛？
分析：要产生一名冠军，需要淘汰99名选手。要淘汰掉一名选手，必须举行一场比赛；反之，每场比赛恰淘汰一名选手。两者之间一一对应。故要淘汰99名选手，应举行99场比赛，从而产生一名冠军。
答案：99场。 10、消序
某些条件，使得元素位置确定。
例：有3个男生，3个女生，排成一列，高矮互不相等。要求从前到后，女生从高到矮排列，有多少种不同的排法？
分析：先从6个位置中选3个位置排男生，有A 6种不同排法。余下3个位置排女生，因要求“从高到低”所以女生的排法只有一种。故有A 6=120 种。
3
3
答案：120种。 11进住法
解决允许重复排列问题要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看成“一封信”，能重复的元素看成“信箱”。在利用乘法原理直接求解的方法称为进住法。
例：5名运动员争夺3个项目的冠军（没有并列），所以可能的结果有多少种？
分析：因为同一运动员可以同时夺得几项冠军，故运动员可以重复排列，将5名运动员看作五个信箱，3项冠军看成3封信，每封信可以投进五个信箱，有5种投递方法。由乘法原理知有5种。 答案：53种 12、探索
对情况复杂，不易发现规律的问题，要仔细分析，探索其中规律，再予以解决。
例：从1到100的自然数中，每次取出两个数，使它们的很大于100，则弥补台的取法有多少种？
分析：此题数字较多，情况不一样。需要分析摸索其规律。为方便，我们称两个加数中较小的为被加数。因1+100>100，1为被加数的只有一种。2+99>100，2+100>100，2为被加数的有两种。同理，3为被加数的有3种„„49为被加数的有49种。50为被加数的有50种。但51为被加数的只有49种„„99为被加数的只有一种。故不同的取法有（1+2+3+„„50）+（49+48+„„1）=2500种。 答案：2500种。） 13、“树图”表示法
对某些分步进行的问题，可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形表示出来。
例：四人各写出一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式有（ ）种。
A.6 B.9 C.11 D.32
3
分析：将四张贺卡分别记为A,B,C,D 。由题意，某人（不妨设为A 卡的供卡人）取卡有3种情况。因此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其它人依次取卡分步进行。为避免重复或遗漏现象，可用树状图表示。
A →D →C A →D →B A →B →C B →C →D →A C→D →A →B D→C →A →B D →A →C D →B →A C →B →A 所以共有9种不同的分配方式。 答案：B 。 14、用比例法
有些排列应用题，可以根据每个元素出现机会占整个问题的比例，从而求得问题的结果。
例：A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A 、B 可以不相邻），不同的排法有多少种？
分析：若没有限制条件，则5人的全排列有A 55=120种，而A 在B 右边与B 在A 右边各占一半，所以B 在A 右边的排列法有1∕2A 55=60种。
答案：60种。
例：从6个运动员中选出4个参加4×100 米接力赛。如果甲、乙都不能跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？
分析：若不受条件限制，则参赛方案有A 64=360种，但其中限制甲、乙两人不能跑第一棒，即跑第一棒的只能是其他的人，而这4人在第一棒中出现的可能性为4/6
故所求参赛方案有4∕6•A 6=240种。 答案：240种。
以上介绍了排列应用题的几种常见求解策略。这些策略不是彼此孤立的，而是相互依存。有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略。
在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步。首先要弄清楚：要完成的是一件什么事，完成这件事有几类方法，每类方法中，又有几个步骤。这样才会不重复、不遗漏地解决问题。 三．基本题型及方法：
4
1．相邻问题
（1）、全相邻问题，捆邦法
例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。
A ）720 B）360 C）240 D）120
说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 （2）、全不相邻问题，插空法
例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，
解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有A 74种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A 74A 66种
例4（06重庆卷) 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040 解：不同排法的种数为A 55A 62＝3600，故选B
说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
（3）．不全相邻排除法，排除处理
例5．五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解：
A 5-A 3A 3-A 2A 3或3A 2A 3A 2=72
5
3
3
2
3
2
2
2
例6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 ．解法一： ①前后各一个，有8×12×2＝192种方法 ②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法
③两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置：
乙可坐2个位置
2＋2＝4
此种情况共有4＋2＝6种方法
乙可坐1个位置 1＋1＝2
因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6＋6＝12种方法
④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右
∴ 甲左乙右总共有
10+9+8+ +2+1=
10+12
⨯10=55
种方法．同样甲、
乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192＋32＋12＋110＝346种
解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。），7号座位与8号座
2
-2(11+6) =346种 位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。），共有A 20
2、顺序一定，除法处理或分类法。
例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。 解：5面旗全排列有A 55种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有
A 5
3
3522
A A
=10
说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题, 这类问题用
缩小倍数的方法求解比较方便快捷
例8．（06湖北卷）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答）
解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有A 52+5⨯A 22＝30种不同排法。解二：
6! 4!
=30
例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（ ）
A ）210个 B）300个 C）464个 D）600个解：
12
A 5A 5=300
1
5
故选（B ）
4、多元问题，分类法
例10．(06陕西卷) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人), 其中甲和乙不同去, 甲和丙只能同去或同不去, 则不同的选派方案共有 种
解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人) ，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有C 52⋅A 44=240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有C 53⋅A 44=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有A 54=120种选法，共有600种不同的选派方案． 例11：（06全国卷I ）设集合I ={1, 2, 3, 4, 5}。选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有A ．50种 B ．49种 C．48种 D．47种
解析：若集合A 、B 中分别有一个元素，则选法种数有C 5=10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有C 5=10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有C 5=5种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有四个元素，则选法种数有C 5=1种；若集合A 中有两个元素，集合B
5
4
3
2
中有一个元素，则选法种数有C 53=10种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有两个个元素，则选法种数有C 54=5种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有C 55=1种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有C 54=5种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有C 5=1种；若集合A 中有四个元素，集合B 中有一个元素，则选法种 数有C 5=1种；总计有49种，选B.
解法二：集合A 、B 中没有相同的元素，且都不是空集，
从5个元素中选出2个元素，有C 5=10种选法，小的给A 集合，大的给B 集合；
从5个元素中选出3个元素，有C 5=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有2×10=20种方法；
从5个元素中选出4个元素，有C 5=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有3×5=15种方法；
从5个元素中选出5个元素，有C 5=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有4×1=4种方法；
总计为10+20+15+4=49种方法。选B.
例12（06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个
1
=4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2球，其余3个放入2号盒子，有C 4
5
5
2
3
4
5
个放入2号盒子，有C 42=6种方法；则不同的放球方法有10种，选A ．
说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。
5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。
例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？
解：设全集U={6人中任选4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=252
例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。
（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？ （2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？
例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ） A ）6种 B）9种 C）11种 D）23种
解：此题可以看成是将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将1填入2至4的3个方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它3个方格，又有3种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有3×3×1=9种填法。故选B
说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。
例16、（06湖北卷）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 。（答：78种）
说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。
6、多排问题，单排法
例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为
15335
A ） C 85C 83 B）A 2C 8C 8 C）A 8A 8 D）
A 8
8
8
解：此题分两排座可以看成是一排座，故有 A 8种座法。∴选（D ） 说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理）
例18．（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有
（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种 解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有A 73-A 43=186种，选B.
例19．（06辽宁卷）5名乒乓球队员中, 有2名老队员和3名新队员. 现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛, 则入选的3名队员中至少有一名老队员, 且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)
1223
A 2=12种排法；⨯A 3=36种【解析】两老一新时, 有C 13⨯C 2两新一老时, 有C 12C 3
排法, 即共有48种排法.
【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.
例20．(06重庆卷) 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有
（A ）３０种 （B ）９０种 （C ）１８０种 （D ）２７０种
解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有
C 5⋅C 4
A 2
21
2
=15
种方法，
再将3组分到3个班，共有15⋅A 33=90种不同的分配方案，选B.
说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除
法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。 8、部分符合条件淘汰法
例21．四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 （ ） A）150种 B）147种 C）144种 D）141种
4
解：10个点取4个点共有 C 10 种取法，其中面ABC 内的6个点中任取4
个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3
44
个，故符合条件不共面的平面有 C 10-4C 6-6-3=141
选D
说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。
9．分组问题与分配问题
①分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理
例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？
分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有C 93 种分法，再取3个不第二组，有C 63种分法，剩下3个为第三组，有C 33 种分法，由于三组之间没有顺序，故有
C 9C 6C 3
A 3
33
3
3
种分法。（2）同（1），共有C 92C 73C 44种分法，因三组个
数各不相同，故不必再除以A 33。
练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？
②分配问题： 定额分配，组合处理； 随机分配，先组后排。
例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有C 92种；再让乙选，有C 73种；剩下的给丙，有C 44种，
共有C 92C 73C 44种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有C 92. C 73. C 44. A 33种不同的分法。
例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有C 4种方法，前44
4
1
次中应有1件正品、3件次品，有
1
1
3
C 6C 3
13
种，前
次测试中的顺序有A 4种，由分步计数原理即得：C 4（C 6C 3）A 4＝576。 【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，
4
一般是先选元素（即组合）后排列
练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？C 62C 42C 22=90
2．将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？
C 10C 7C 4C 1
3!
3
3
3
1
⨯4!
例25（06湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一
个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16种 B.36种 C.42种 D.60种
解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有
C 3⋅A 4=36
1
2
，
二是在在两个城市分别投资1，1，1个项目，此时有A 43=24， 共
有C 31⋅A 42+A 43=60， 故选 （D ） 10．隔板法：隔板法及其应用技巧
在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：
例26。求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？)
分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x.y.z之值（如图）
○○○ ○○○ ○○○○
则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C 92 36 个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：
技巧一：添加球数用隔板法。
例27．求方程x+y+z=10 的非负整数解的个数。
分析：注意到x 、y 、z 可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给 x、 y、z 各一个球。这样
2
原问题就转化为求x+y+z=13 的正整数解的个数了，故解的个数为C 12=66个。
【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。 技巧二：减少球数用隔板法。
例28．将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
分析1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1
3种方法；再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有 C 13 =286
种方法。
分析2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子
3里，由例26知有 C 13 =286 种方法。
【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。 技巧三：先后插入用隔板法。
例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？
分析：记两个小品节目分别为A 、B 。先排A 节目。根据A 节目前后的歌舞节
目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有 C 51 种方法。这一
1
步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B 节目前后的节目数，同上理知有C 6
1种方法。故由乘法原理知，共有C 51C 6=30 种方法。
11．数字问题（组成无重复数字的整数）
① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。
②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。
③ 能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。④ 能被5整除的数的特征：末位数是0或5。
⑤ 能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 能被6整除的数
的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。
例30（06北京卷）在1, 2, 3, 4, 5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有
（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个
（D ）6个
解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有A 3种方3
33法（2）3个数字中有一个是奇数，有C 13A 3，故共有A 3＋C 13A 3＝24种方法，故3
选B
例31。（06天津卷）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 24 个（用数字作答）． 12．分球入盒问题
例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ ① 小球不同，盒子不同，盒子不空
解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有(
C 5C 2A
2
23
1
+
C 5C 3A
22
22
) ∙A 3
3
②小球不同，盒子不同，盒子可空 解：35种
③小球不同，盒子相同，盒子不空 解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有C
35
C 2
22
1
A
+
C 5C 3A
22
22
=25种
④小球不同，盒子相同，盒子可空
本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。共有
C 5+(C 5+C 5) +(
5
4
3
C 5C 2A
22
31
+
C 5C 3A
22
22
) =41种
⑤小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 \ 00 \ 00 ，有
C 4种方法
⑥小球相同，盒子不同，盒子可空
解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。故有C 72=21解：分步插板法。
⑦小球相同，盒子相同，盒子不空解：5个相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。 共 2种
⑧小球相同，盒子相同，盒子可空
解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0； 4，1，0；3，2，0； 3，1，1； 2，2，1。
2