定积分的应用及复数
一、 基础知识梳理
1.熟练掌握平面图形的面积的计算 （1） 直角坐标系下平面图形的面积
由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b（a≤b）及y=0所围成平面图形的面积A=f(x)dx； a）
⎰
ab
特别: I、若f(x)≥0, （见图1)，则其面积为 A=
⎰f(x)dx；
a
b
II.
若f(x)≤0(见图2)，则其面积为 A= -
⎰f(x)dx；
a
b
b) 由曲线y=f(x)，y=g(x)与直线x=a,x=b（a≤b）所围成平面图形面积为A=
⎰
b
a
f(x)-g(x)
特别:若曲线y=f(x)位于曲线y=g(x)的上方(见图3)，则其面积为
A=
⎰[f(x)-g(x)]dx
a
b
(2) 用定积分求平面图形的面积的步骤
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b)解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限； c)具体计算定积分，求出图形的面积。
1
2.旋转体的体积
a） 由连续曲线y=f(x), y=g(x) (f(x)≥g(x)≥0), 直线x=a, x=b（a≤b）所围图形
绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积为Vx=π
⎰
b
a
[f2(x)-g2(x)]dx
特别：由连续曲线y=f(x) (f(x)≥ 0)直线x=a, x=b（a≤b）及x轴所围图形绕x轴旋
转一周所形成的旋转体（见图7）的体积为Vx=π
3.复数的分类
⎰
b
a
f2(x)dx
⎧⎧⎧整 数⎪⎪有 理 数⎨⎪实数(b=0)⎨⎩分 数⎪⎪
复 数a+bi(a,b∈R)⎨小数) ⎩无理数(无限不循环
⎪
虚 数(a≠0)⎪虚 数(b≠0)⎧纯⎨⎪
⎩非 纯 虚 数(a=0)⎩
应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，
则a+bi=0是实数 4、复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，
（1）加法：z1+z2=（a1+a2）+（b1+b2）i； （2）减法：z1－z2=（a1－a2）+（b1－b2）i； （3）乘法：z1·z2=（a1a2－b1b2）+（a1b2+a2b1）i； （4）除法：
z1(a1a2+b1b2)+(a2b1-a1b2)i
； =22
z2a2+b2
（5）实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合复数的情况。
（6）特殊复数的运算：
① in（n为整数）的周期性运算； ② （1±i）2=±2i； ③ 若ω=－+
1
2
i，则ω3=1，1+ω+ω2=0. 2
5、共轭复数与复数的模
（1）若z=a+bi，则=a-bi，z+为实数，z-为纯虚数（b≠0）.
2
（2）复数z=a+bi的模，|a
且z⋅=|z|2=a2+b2.
注：复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。
6、复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。 二.典型例题
例1（1） 使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m＝ .
（2） 已知z=x＋yi（x，y∈R），且 2x+y+ilog2x-8=(1-log2y)i，
求z．
例2、若复数z满足z=
1+ti
t∈R），求z的对应点Z的轨迹方程． 1-ti
例3.求函数f(a)=
⎰(6x
1
2
+4ax+a2)dx的最小值。
3
π
⎧x2 (x≤0)，
例4.设f(x)=⎨试求⎰-21f(x)dx．
⎩cosx-1 (x>0)，
例5.设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f'(x)=2x+2．（1）求y=f(x)的表达式；（2）若直线
x=-t(0
二等分，求t的值．
4
定积分与导数练习题
一．选择题
1、⎰-3(2x+3+3-2x)dx的值是（ ） A 45 B 10 C 12 D 0
2、f(x)为R上的奇函数，则⎰-1f(x)dx等于（ ） A 1 B 2⎰0f(x)dx C -2⎰-1f(x)dx D 0
3．设半径为a的圆的面积为S，则
1
3
1
⎰
a
a2-x2dx= （ ）
A.S B.
111S C. S D. S 248
4在[0,2π]上曲线y=sinx与x轴所围成的图形的面积为 （ ）
⎰
2π
sinxdx； B.0； C.2sinxdx； D.2
2
⎰
π
5由y=x(x≥0), y轴及y=1所围图形的面积是 （ ）
⎰x
2
1
2
dx B.⎰(x-1)dx C.⎰(y-1)dy D.⎰(1-x2)dx
20
111
6、y=x与y=0,x=2所围图形绕x轴旋转一周所形成的立体的体积为
A.
43232
π B.π C.32π D. 355
7、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi（x，y∈R）是纯虚数，则（ ） A、甲是乙的充分非必要条件 B、甲是乙的必要非充分条件 C、甲是乙的充分必要条D、甲是乙的既不充分，又不必要条件 8、已知关于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有实根，则实数m应取的值是（ ）
5
111
B、m≤－ C、m= 4412
(-1)3-2+i9
、等于（ ） -6
(1+i)1+2i
A、m≥－ D、m=－
1
12
A、0 B、1 C、－1 D、i
10、设f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，则z等于（ ） A、5＋3i B、5－3i C、－5＋3i D、－5－3i 11、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一实根的条件是（ ） A、－22≤k≤22 B、k≤－22或k≥22 C、k=±22 D、k≠22
12、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为A、m＝4，n=－3 B、m=－4，n＝13 C、m＝4，n=－21 D、m=－4，n＝－5 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13、已知下列命题：
（1）在复平面中，x轴是实轴，y轴是虚轴； （2）任何两个复数不能比较大小； （3）任何数的偶次幂都是非负数； （4）若 t＋si=3－4i，则 t=3、s=－4． 其中真命题为．
14、若复数z满足z+||=－1＋2i，则z15、设z∈C，|z|=1，则|z+3+i|的最大值为16.抛物线y=-x2+2x+1与直线y=1相交形成一个闭合图形绕X轴旋转所形成的几何体的体积 三、解答题 17、设
6
12
z
是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程． z+1
18、已知复数z满足|z|＝5，且（3+ 4i）z是纯虚数，求z．
19．如图，抛物线y=x2上有一点A(a，a2)，a∈(0，过点A引1)，抛物线的切线l分别交x轴与直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于点D．（1）求切线l的方程； （2）求图中阴影部分的面积S(a)，并求a为何值时，S(a)有最小值？
7
20.已知复数z1=i(1-i)3。（1）求z1；（2）若z=1，求z-z1的最大值。
21．已知关于t的一元二次方程 t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i=0（x、y∈R），当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程．
8
1(1).解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虚数不能
⎧m2
比较大小，∴⎪,解得⎨m=0或m=3,∴m=3. ⎨m-3m=0
⎪2⎪m=3或m=1m-4m+3=0⎩⎪⎩
当m＝3时，原不等式成立．
注：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。 (2).解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程
⎧2x+y-8=0
的解法．∵ 2+ilog2x-8=(1-log2y)i，∴⎨，
⎩log2x=1-log2y
⎧x+y=3⎧x=2⎧x=1∴⎨，解得⎨或⎨, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i．
xy=2y=1y=2⎩⎩⎩
x+y
注：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键点，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）。
2.解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等．
1+ti(1+ti)21-t22t
设z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z===+i，
1-ti(1-ti)(1+ti)1+t21+t2
⎧1-t2x=⎪2⎪1+t∴ ⎨，消去参数 t，得x2＋y2= 1，且x≠－1． ⎪y=2t⎪1+t2⎩
∴ 所求z的轨迹方程为x2＋y2＝1（x≠－1）．
诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，求出|z|即可．
解：⎰f(x)dx=⎰-1f(x)dx+⎰f(x)dx=⎰-1xdx+⎰(cosx-1)dx
2
π2-1
π20
π20
1=x23
0-1
1π4π
+(sinx-x)=+1-=-．
3232
π20
解：（1）y=x2，∴y'=2x，
9
∴切线l的方程是y-a2=2a(x-a)，即2ax-y-a2=0；
（2）BD=1-，CD=2a-a2，
∴S△BCD=
11
BDCD=(a3-4a2+4a)． 24
1
a
2
11
∴S(a)=⎰x2dx-S△BCD=-(a3-4a2+4a)． 03411
∴S'(a)=-(3a2-8a+4)=-(a-2)(3a-2)．
44
1)，∴a=． 令S'(a)=0，a∈(0，
2
3
⎫⎛⎫'S(a)0．
⎝∴a=
2
时，S(a)有最小值． 3
23⎭2⎝3⎭
解：（1）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则f'(x)=2ax+b． 由已知f'(x)=2x+2，得a=1，b=2．∴f(x)=x2+2x+c． 又方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根，
∴∆=4-4c=0，即c=1．故f(x)=x2+2x+1；
（2）依题意，得⎰-1(x+2x+1)dx=⎰-t(x2+2x+1)dx，
2
-t0
⎛1⎫∴ x3+x2+x⎪⎝3⎭
-t
-1
⎛1⎫= x3+x2+x⎪⎝3⎭
-t
整理
，得
2t3-6t2+6t-1=0，即2(t-1)3+1=
0，∴t=1
10
11
定积分的应用及复数
一、 基础知识梳理
1.熟练掌握平面图形的面积的计算 （1） 直角坐标系下平面图形的面积
由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b（a≤b）及y=0所围成平面图形的面积A=f(x)dx； a）
⎰
ab
特别: I、若f(x)≥0, （见图1)，则其面积为 A=
⎰f(x)dx；
a
b
II.
若f(x)≤0(见图2)，则其面积为 A= -
⎰f(x)dx；
a
b
b) 由曲线y=f(x)，y=g(x)与直线x=a,x=b（a≤b）所围成平面图形面积为A=
⎰
b
a
f(x)-g(x)
特别:若曲线y=f(x)位于曲线y=g(x)的上方(见图3)，则其面积为
A=
⎰[f(x)-g(x)]dx
a
b
(2) 用定积分求平面图形的面积的步骤
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b)解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限； c)具体计算定积分，求出图形的面积。
1
2.旋转体的体积
a） 由连续曲线y=f(x), y=g(x) (f(x)≥g(x)≥0), 直线x=a, x=b（a≤b）所围图形
绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积为Vx=π
⎰
b
a
[f2(x)-g2(x)]dx
特别：由连续曲线y=f(x) (f(x)≥ 0)直线x=a, x=b（a≤b）及x轴所围图形绕x轴旋
转一周所形成的旋转体（见图7）的体积为Vx=π
3.复数的分类
⎰
b
a
f2(x)dx
⎧⎧⎧整 数⎪⎪有 理 数⎨⎪实数(b=0)⎨⎩分 数⎪⎪
复 数a+bi(a,b∈R)⎨小数) ⎩无理数(无限不循环
⎪
虚 数(a≠0)⎪虚 数(b≠0)⎧纯⎨⎪
⎩非 纯 虚 数(a=0)⎩
应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，
则a+bi=0是实数 4、复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，
（1）加法：z1+z2=（a1+a2）+（b1+b2）i； （2）减法：z1－z2=（a1－a2）+（b1－b2）i； （3）乘法：z1·z2=（a1a2－b1b2）+（a1b2+a2b1）i； （4）除法：
z1(a1a2+b1b2)+(a2b1-a1b2)i
； =22
z2a2+b2
（5）实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合复数的情况。
（6）特殊复数的运算：
① in（n为整数）的周期性运算； ② （1±i）2=±2i； ③ 若ω=－+
1
2
i，则ω3=1，1+ω+ω2=0. 2
5、共轭复数与复数的模
（1）若z=a+bi，则=a-bi，z+为实数，z-为纯虚数（b≠0）.
2
（2）复数z=a+bi的模，|a
且z⋅=|z|2=a2+b2.
注：复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。
6、复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。 二.典型例题
例1（1） 使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m＝ .
（2） 已知z=x＋yi（x，y∈R），且 2x+y+ilog2x-8=(1-log2y)i，
求z．
例2、若复数z满足z=
1+ti
t∈R），求z的对应点Z的轨迹方程． 1-ti
例3.求函数f(a)=
⎰(6x
1
2
+4ax+a2)dx的最小值。
3
π
⎧x2 (x≤0)，
例4.设f(x)=⎨试求⎰-21f(x)dx．
⎩cosx-1 (x>0)，
例5.设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f'(x)=2x+2．（1）求y=f(x)的表达式；（2）若直线
x=-t(0
二等分，求t的值．
4
定积分与导数练习题
一．选择题
1、⎰-3(2x+3+3-2x)dx的值是（ ） A 45 B 10 C 12 D 0
2、f(x)为R上的奇函数，则⎰-1f(x)dx等于（ ） A 1 B 2⎰0f(x)dx C -2⎰-1f(x)dx D 0
3．设半径为a的圆的面积为S，则
1
3
1
⎰
a
a2-x2dx= （ ）
A.S B.
111S C. S D. S 248
4在[0,2π]上曲线y=sinx与x轴所围成的图形的面积为 （ ）
⎰
2π
sinxdx； B.0； C.2sinxdx； D.2
2
⎰
π
5由y=x(x≥0), y轴及y=1所围图形的面积是 （ ）
⎰x
2
1
2
dx B.⎰(x-1)dx C.⎰(y-1)dy D.⎰(1-x2)dx
20
111
6、y=x与y=0,x=2所围图形绕x轴旋转一周所形成的立体的体积为
A.
43232
π B.π C.32π D. 355
7、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi（x，y∈R）是纯虚数，则（ ） A、甲是乙的充分非必要条件 B、甲是乙的必要非充分条件 C、甲是乙的充分必要条D、甲是乙的既不充分，又不必要条件 8、已知关于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有实根，则实数m应取的值是（ ）
5
111
B、m≤－ C、m= 4412
(-1)3-2+i9
、等于（ ） -6
(1+i)1+2i
A、m≥－ D、m=－
1
12
A、0 B、1 C、－1 D、i
10、设f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，则z等于（ ） A、5＋3i B、5－3i C、－5＋3i D、－5－3i 11、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一实根的条件是（ ） A、－22≤k≤22 B、k≤－22或k≥22 C、k=±22 D、k≠22
12、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为A、m＝4，n=－3 B、m=－4，n＝13 C、m＝4，n=－21 D、m=－4，n＝－5 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13、已知下列命题：
（1）在复平面中，x轴是实轴，y轴是虚轴； （2）任何两个复数不能比较大小； （3）任何数的偶次幂都是非负数； （4）若 t＋si=3－4i，则 t=3、s=－4． 其中真命题为．
14、若复数z满足z+||=－1＋2i，则z15、设z∈C，|z|=1，则|z+3+i|的最大值为16.抛物线y=-x2+2x+1与直线y=1相交形成一个闭合图形绕X轴旋转所形成的几何体的体积 三、解答题 17、设
6
12
z
是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程． z+1
18、已知复数z满足|z|＝5，且（3+ 4i）z是纯虚数，求z．
19．如图，抛物线y=x2上有一点A(a，a2)，a∈(0，过点A引1)，抛物线的切线l分别交x轴与直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于点D．（1）求切线l的方程； （2）求图中阴影部分的面积S(a)，并求a为何值时，S(a)有最小值？
7
20.已知复数z1=i(1-i)3。（1）求z1；（2）若z=1，求z-z1的最大值。
21．已知关于t的一元二次方程 t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i=0（x、y∈R），当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程．
8
1(1).解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虚数不能
⎧m2
比较大小，∴⎪,解得⎨m=0或m=3,∴m=3. ⎨m-3m=0
⎪2⎪m=3或m=1m-4m+3=0⎩⎪⎩
当m＝3时，原不等式成立．
注：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。 (2).解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程
⎧2x+y-8=0
的解法．∵ 2+ilog2x-8=(1-log2y)i，∴⎨，
⎩log2x=1-log2y
⎧x+y=3⎧x=2⎧x=1∴⎨，解得⎨或⎨, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i．
xy=2y=1y=2⎩⎩⎩
x+y
注：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键点，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）。
2.解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等．
1+ti(1+ti)21-t22t
设z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z===+i，
1-ti(1-ti)(1+ti)1+t21+t2
⎧1-t2x=⎪2⎪1+t∴ ⎨，消去参数 t，得x2＋y2= 1，且x≠－1． ⎪y=2t⎪1+t2⎩
∴ 所求z的轨迹方程为x2＋y2＝1（x≠－1）．
诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，求出|z|即可．
解：⎰f(x)dx=⎰-1f(x)dx+⎰f(x)dx=⎰-1xdx+⎰(cosx-1)dx
2
π2-1
π20
π20
1=x23
0-1
1π4π
+(sinx-x)=+1-=-．
3232
π20
解：（1）y=x2，∴y'=2x，
9
∴切线l的方程是y-a2=2a(x-a)，即2ax-y-a2=0；
（2）BD=1-，CD=2a-a2，
∴S△BCD=
11
BDCD=(a3-4a2+4a)． 24
1
a
2
11
∴S(a)=⎰x2dx-S△BCD=-(a3-4a2+4a)． 03411
∴S'(a)=-(3a2-8a+4)=-(a-2)(3a-2)．
44
1)，∴a=． 令S'(a)=0，a∈(0，
2
3
⎫⎛⎫'S(a)0．
⎝∴a=
2
时，S(a)有最小值． 3
23⎭2⎝3⎭
解：（1）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则f'(x)=2ax+b． 由已知f'(x)=2x+2，得a=1，b=2．∴f(x)=x2+2x+c． 又方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根，
∴∆=4-4c=0，即c=1．故f(x)=x2+2x+1；
（2）依题意，得⎰-1(x+2x+1)dx=⎰-t(x2+2x+1)dx，
2
-t0
⎛1⎫∴ x3+x2+x⎪⎝3⎭
-t
-1
⎛1⎫= x3+x2+x⎪⎝3⎭
-t
整理
，得
2t3-6t2+6t-1=0，即2(t-1)3+1=
0，∴t=1
10
11