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E —I
光 学 仪 器 2 第 " 窑第 4 年 瓤
菲涅尔透镜 光路 的解析 计算
舭
方 法o
丁
摘 要 · 讨 论 T菲涅 尔透 镜 光 路 的解 析 计 算 , 井提 出修 正误 差 和提 高计 算 精 度 的
关调 幽 t:
1 目 富 l
.必 鲤 圭
大家知道,菲涅尔透镜 较之传统 的球 面透镜, 具有许多 突出的优 点.尤其是 光学塑料的 飞速发展,加之现代工业所提供的先 进技术.人 们可以对光学塑料实施注塑模 压或机械加工
瘟形.大批量生产 光洁 度和面形精度很高的密 纹菲涅尔 透镜 ,并 将其应用列高级放大机,照 相机,投影仪和许多 的 精密光学仪器中 . 4
粗纹菲涅尔透镜的设计计算比较简 单,读者可 阅0. '关于细纹菲涅尔透镜 , 许多文献主张 将其菲涅 尔面模 拟成轴对称高次非球面进行 光路计算 ,众 所周知 ,这种模拟必定带来原理误 差,况且,模 拟成高次非球面之后 .还必须 用迭代方法进行逐次逼近,不仅延误计 算晌间. 计算精度也受影响.在光学 自动设 计中,这 种弊端尤为突 出. 关于菲涅尔透镜光路的解析计 算,虽 已有文献述及 ,但都 忽视 了一 项不可忽略的误差}并 且没有做误差分析.本文希望 '
对 此 有 所 补益 .
2 有 关的定 与面形方 翟 2 1 菲涅尔 面 以厚度为 d . ,折射率为 n的平行平 板为 基底 ,各槽都 以此平板 的后 表面 为 共
同基 面 :
P( 1z ) JX1Y 1
基 面为 YOZ面 建 坐 标 系OXYZ,
见 图 1.
2 2 将 各槽 工作侧 面视为 圆 锥 面 的 一 部 .
- U 2
\
\
\
分,设锥 面母线与基 面夹角为 e 则 不同环 ,
槽 的 工 作 侧 面 对 应 于侧 面 角 0互 不相 同的 圆
锥 面.
A . , I a T - L
图 I
j
2 5 因 限于讨论密纹情 况, 在 光 线 追 迹 . 配将不计各槽带的宽度和 间 距 ( 约为 0 6- . " -
) .
0O 蛐 .4
不难证明.在上 述约定下 ,菲 涅尔面各 工作侧 面的面形方程是t
F( X.Y,z = ) x+( 研 /
式中.H是环带 高度,
· 目防 科技 大学23 103 湖南 长挣 0 .40 7
一H)g = tO 0
() 1
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菲涅承遗锋光路的解析计算一 壬末静
X,Y,Z是 工作侧 面上 点的坐标 由( 式 a /X =l ) F o
=· //. ) + g o / Z Z t O Y S F ~
j 光 线 与菲 涅 尔 面 交点 厦 折 射 后 的方 向
"
鲫
五
参 见 图 1.光 线 在 基 底 平 板 第一 面 的交 点 P( Y~ p 以及 其 折 射 后 方 向矢 量 q( p Y X, Z ) a, , ) 均 容 易 由一 般球 面系 统 光 线追 迹 的矢 量 方 法 计 算 . 据 此 即 可 计 算 光 线 在 菲 涅 尔 面 的 交 点 ( ,Y ) 由图 1有 : XI , .
Xt 0
=
,
Y +邮 / } d Z : +d /d l Y J 导 出上 式 使 用 了前 面 的 约 定 由多元 函数 理 论 可知 ,P 点 处 菲 涅 尔 面 法
线 单 位 矢 量 N a , t ( N
aN 一c s oO
() 3
,Y )由下式 确 定 ;
,
8… Y s e 硪 N i / n
Y … Zs e N i / n
cs :l Ⅱ +B N+Y NI oI d K 日 Y
}
J
() 4
折射光线的方 向矢量 qta ,p , ) (: t 的计算过程 与一般球面系统相 同,即
() 5
cs [ 一 1 0 )1.' o I 1 Ⅱ( 一c sI/ 1]
g=n c s 一n o I /o l c s
() 6
( 7)
a n d+g ~/ , 1 ( a )n
口 . ( + 日)1 } I n B g N/ 1
Y :n v+ 7 ) n J 1 ( g N /
() 8
可见, 只要 算出光线交点 P 所在 圆锥 面的侧 面角 0 1 ,则菲涅尔面的光线追述即可完成 . 4 一面 角的计算与修 正
图 2中, 光 线 A2t 经 基 底 平 板 第一 面折 射后 的实 际光 线 . P 系
融I 一一n U 0一 i
I … 0 U
由折射 定律有
一
n·i ( sn 0+U2 = 一sn 0 ) i ( +U )
将上 式 展 开 , 两 边 (+cs ) (: o O o e 'c s
0 得 )
n· o U 2 t c s ·gO+n i snU2 =c s ·gO s n o U t i U
整 理 得
目
t e sn -n sn ) ( cs -c s ) g =( iU ·iU2/n·o U, o U
( 9)
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光
学
仪
器
9± t 9 第 第 4期 4卷
cs 2 o U =√n 一s U/ i n 代 入 ( ) 得 9式 t O=(iU, iU) ( g sn 一sn / √ 设 基 腻 平 板 等 效 空 气 层 厚度 为 E 图 1) 则 ( , U =a cg[ Y +Z}/ L—E) rt ( ] f 式中 U r t( / =a cg ~ Y}+Z L ) / Yi Z , 由( ) 决 定 ; 8式 ' 一e s ) o U
( O) 1
( ) 儿
(2 1 ) (3 I)
L,L 是 菲 涅 尔 透镜 的 技术 参数 . 公 式 ( ) (2 , ( 3 描 述 了光 线 投 射 点 P ( Y 所 在 圆 锥 面 的 工 作侧 面 角 0 0一 J , 1) 1 ) 1 Xt Z ) . 旦 确定 , 则 可按 ( ) 8 式 计 算 折 射 光 线 的 方 向矢 量 . 4 一( )
一
由( 2 式知 道,现在 问题 的关键是确定 基底 平板的等效空气层厚度 E J) . 般 讨 论 此 种计 算 方 法 的 文 献 都 用 适 于 近 轴 光 线 的 等 效 空 气 层 厚 度 e取 代 ( 2 1 )式 中 的
3
E , 我 们 认 为 这 是 不 妥 的 因 为 准 确 表 达 式 应 是 E=Kd n / 而其 中系 数 K =c s cs =n o U/ / oU/ o U2 c s ~ = i 一 但适于近轴光线的等效空气层厚度却是 . ( e= / dn
'
(4 1) (5 1) (6) 1
眦
显然 .当 U再超过～定大小时,e与 E即有明显差 异.例如,聚甲基丙烯 酸甲酯是常 用
的制 作菲涅 尔透镜 的原料( = 9 3 ,以它针对不 同的 U角计算 出系数K 列于表 1中 n 1 40 )
表 1
∞_ U
. 2 ~] 64 7 1
. 3 6 57 s7
. 5
42 8 2 61
.
2 8 g 5 81 7 5 6 6l 9 3 9 3 0
. 7 64 I3 8 . 5 55 7 0 2 . 3I 2 4
. 8 56 0 71 .∞ 7 5 7 5 .1 7 I2 0
c 皇 ∞0
五
.578 8 7 7
.44 79
8 3 1 3 9 5
.8 6 6 6
.186 8 3 2
6Z ' a4
.18 1 7 3 3 ~
.34 5 2
.
.
由表看 出.当 U 3 . ≥ O 时,K
的 场 合· 因 荷琏成上 述 U角超过 3 的情况是很正常的.一般文献直接 以 e O 取代 E值 ,都没有采取修正
措施' 也未提 出误差分析, 显然 是不 晗当的. 另一 方面 ,在光路计算 目饔准确按 (4 ,( 5 式 求出E值也十 分 困 难 . 因 为 E本身 1) 1)
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菲 涅尔透 镜光 路的解斩 计 算一
王永仲
也 是U的函数. 由( 2 式可知,欲准确计算U值,必须 求解下面的超 越方程 - 1)
tU :~ Y +Z / L—d o u/ / g / ( c s ~ =丽
式 中 L 山技 术条 件挑 定j
(7 1)
Y ,Z 是光 线 投 射 点 的坐 标 . 从 数 学上 说 , 在计 算 了 光线 交 点 之后 , 可 以 用 遥次 逼 近 的迭 代 方 法 , 由 ( 7 式 求 解 U 1)
值 .但这无疑是十分麻烦的 .况且,逐次逼近的迭代方法是光路计算过程力图避免的 .为确
保 光 路 计 算精 度 , 必须 对 由近 轴 光 学 理 论 计 算 的 等 效 空 气 层 厚 度 e进 行 修 正 } 但 为 节 省 时 间
和方 便程 序设计,又不能采用求解超越方程的精确方法.于足我们想到用直接数值修正方案
进 行 尝 试 具 体 思 路 是 :
41 一 般细皱菲涅尔透镜 材料 折射率 l 约 在 1 4 1 5 之 间I其 中聚甲基丙烯 酸 甲 酯 是 . I D .7 . 0 最常 用材料, 光学性能 参数 具有 很好 的代 表性 .在 考虑修正系数 K值 髓. 可用 它作代表 . 42 根 据表 1,每蹦 1 .划分 一个 区间,取 各区间中点的修正系数 K 值 ,列 于表 2中. . 0
Ⅱl 间 区
掣
( ' 1 ' ( D . D】 ( 0 , D ] ( 0 , 0 ] ( 0 5 ' ( O , 0 ] ( D , D ] ( 0 .0 ] o .0 ] 1 '2 ' Z '3 ' 3 .4 ' 4 ' 0 ) S .6 . 6 'T . 7 '日 '
.9 0e .8 9【 .4 95 . 8 88 .0 85 . B B7 .￥ st .4 S0
( O ,D】 S .0 '
. 1 1T
其中
U =a cg ~ Y! / L— / ) . rt [/ +Z ( a n ]
( 8 1)
4 3 将 ( 2 式 改 写为 . 1)
U :a cg[ / r t ~ Y +Z L—K / ) i( da ] 定 K 代 入 ( 2 式 计 算 U值 , 结 合 ( 3 式 , 由 (1 式 求 出侧 面 角 o } 1 A) 1) 1) . .
(2 1 A)
按 光 线 与 菲 涅 尔 面的 交 点 P ( O, Yl 坐 标 , 由 ( 8 ,Z ) t )式 计 算 Uo I 据 此 由表 2确 值 因为 采 取 了修 正 措施 使 各 U 角 计 算 出 的等 效 空气 层 厚 度 明显 接 近 实 际情 况 . 毫 无 疑
问, 它使光线追迹精度提高 .又因为采 用直接数 值修正 , 回避 了用迭代 逼近求解超越 方程 咐
困难 . 5 几点 说 明
5 1 前面,我们统一用表 2的 K 值进行修正计算. 此K 值是针对 聚甲基丙烯 酸甲酯 ( 9 . n= 140 ) .9 3 计算的 .若用别种材料,或者所用光波主波长远离 D谱线波长, 则 上 述修正数值就 有 误差 .但计算表明,在常用的硬质玻璃 和光学 塑料 范围 内,准确计算的修 正系数 K值随折 射 率 大 小的 变 化 非常 平 缓 .例 如 , 针对 K9 璃 ( d .1 8 计 算可 知 , 在会 聚 角 U =7 ' 玻 i r =1 5 6 ) 0
时,其 与聚 甲基丙烯 酸甲酯相应K值的相对误差 只有 1 1 嘶,何 况U角达到 7 ( 应光 束 .1 0 对 包角为 1 0 ) 4 . 的实用场合 极少 .通常 U角不会超 过 5 . O ,此时K值相对误差 小 于 0 6 对 .嘶
此 类 工 程 问 题 而 言 , 这 种 精 度 已够 用 .
如材料 折射率 与上述 1 4 0 差 异甚大,或菲 涅尔 透镜 工作 波段远离可见光区域, 则 可 .9 3 根据实际 中值波 长的折射率计算各U角对 应的修 正系数并编入程 序 ,思路和方法 与上相 同. 52 表 2 . 足每隔 1 . O 划分一个区间 ,当实 际光线投 射点对应 的U角处 于区间端 点附 近 时,
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光
学
嫂
器
19 年第 l 期 4第 92 4卷
即 产 生 区问 误 差 为 减 小 此 项 误 差 , 我 们 把 区缩 小 , 并 采 用 非 等 间隔 方 式 划 分 区 间如 下 :
( . 1 . } ( 0 2 ( 0 2 , ( b 3 . O , 0 3 1 , 0 : 2 . 5 ] 2 , 0 ( 0 , b ] 3 . 8 5 ] ( 7. . 8 . 3 ( 5 ,7. , 3 5 ,
4 ,( 0 0 ] 4 ,4 . ; ( 2 5 ,4 J ( 5 ,4 5 ] ( 7. , 5 . J ( 0 5 . , ( 5 , 2 5 ] 4 . 5 ] 4 . 7. , 4 5 0 ] 5 , 5 ] 5 . 6 }(0 0 ] 6 ,6 } ( 5 ,7 . ( 0 .7 . , ( . O ] ( o , 8 . , ( 5 ,9 5 ] 6 . 0] 7 5 ] 75 ,8 J B . 5 ] 8 0 ]
在各区 间取其中点对 应的 K 值进行修正,计算方法 同上 .实 际计算表明在 U
5 5 上 面只讨论 了由平面和菲涅尔面组成的密 纹菲涅尔透镜,若菲涅尔透镜 第 一面不 是 平 .
面 .而是球面 .则可用球 面系统 的光线追迹方 法J计算光线与球面的交 点和 折射后的方 向, 再用前 述公式 串接对 菲涅尔面的光路计算.推而广 之,这种方法也适用于第一面是其它形面 的情 况,其区别仅在于第一面的计 算过程要分别选用各 自相应的公式.敢上 述讨论不 失一般
性.
5 4 应 该指 出 上述光路 计算方法仍只 是一种近似方 法,其误差来源 主要是: . a .计算光线交 点时略去 了环 带齿高, b 计 算 工 作侧 面 角时 不 计环 带宽度 I .
C .修 正 系 数 的 误 差 .
前 两种属原理性 误差j 只要用这 种光路计算方法, 它们就必定 存在 好在对密纹菲 涅尔
透镜 , 它 们 的 影 响一 般 可 以不计 . 努 三 种误 差 可 处 理 得 更 小 .方 法 前 已述及 . 参 考 文 蕾
1 .袁旭 沧.光 学设计 .北 京: 科学出 较社 .1 自 .4 4 q : 8 2 .局培 森 .菲涅 尔遗镜 构安 际 象差计 算 ;光 学仪器 ,1 8 .6 1 -6 9 4 () 5
Anal i al yt c Oa o at o 时 t l ul i
n he, ~i l Pat o Olt oa h f F~ s ] Le ne ns
W a g Yo, - h g' n r z m~ g
Ab t 0 8 弛 氩 Th a er di c s s na ytc l c c l t o f t e o tc l at f e p p s u e a l i a al u a in o h p i a p h o F e a l l n . t i s ut o y o c r e t r o s n o r i e a c a in r s e e s t pont o s me wa s t o r c e r r a d t a s c l ul t o
p e i i n. r c so
Ko W o ds Fr s e el y r : e n llI s
,
Ca c uato f o ial pat ll i n o ptc h,c r e to f r o . o r c i n 0 e r r
'2 } 2 i m l Un v z , y o f e T c n l g 1 0 3 Ch u ~ a H n 4 O - to l e ~ t f De us B h oo y 4 0 7 a g h ~,
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菲涅尔透镜 光路 的解析 计算
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摘 要 · 讨 论 T菲涅 尔透 镜 光 路 的解 析 计 算 , 井提 出修 正误 差 和提 高计 算 精 度 的
关调 幽 t:
1 目 富 l
.必 鲤 圭
大家知道,菲涅尔透镜 较之传统 的球 面透镜, 具有许多 突出的优 点.尤其是 光学塑料的 飞速发展,加之现代工业所提供的先 进技术.人 们可以对光学塑料实施注塑模 压或机械加工
瘟形.大批量生产 光洁 度和面形精度很高的密 纹菲涅尔 透镜 ,并 将其应用列高级放大机,照 相机,投影仪和许多 的 精密光学仪器中 . 4
粗纹菲涅尔透镜的设计计算比较简 单,读者可 阅0. '关于细纹菲涅尔透镜 , 许多文献主张 将其菲涅 尔面模 拟成轴对称高次非球面进行 光路计算 ,众 所周知 ,这种模拟必定带来原理误 差,况且,模 拟成高次非球面之后 .还必须 用迭代方法进行逐次逼近,不仅延误计 算晌间. 计算精度也受影响.在光学 自动设 计中,这 种弊端尤为突 出. 关于菲涅尔透镜光路的解析计 算,虽 已有文献述及 ,但都 忽视 了一 项不可忽略的误差}并 且没有做误差分析.本文希望 '
对 此 有 所 补益 .
2 有 关的定 与面形方 翟 2 1 菲涅尔 面 以厚度为 d . ,折射率为 n的平行平 板为 基底 ,各槽都 以此平板 的后 表面 为 共
同基 面 :
P( 1z ) JX1Y 1
基 面为 YOZ面 建 坐 标 系OXYZ,
见 图 1.
2 2 将 各槽 工作侧 面视为 圆 锥 面 的 一 部 .
- U 2
\
\
\
分,设锥 面母线与基 面夹角为 e 则 不同环 ,
槽 的 工 作 侧 面 对 应 于侧 面 角 0互 不相 同的 圆
锥 面.
A . , I a T - L
图 I
j
2 5 因 限于讨论密纹情 况, 在 光 线 追 迹 . 配将不计各槽带的宽度和 间 距 ( 约为 0 6- . " -
) .
0O 蛐 .4
不难证明.在上 述约定下 ,菲 涅尔面各 工作侧 面的面形方程是t
F( X.Y,z = ) x+( 研 /
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一H)g = tO 0
() 1
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菲涅承遗锋光路的解析计算一 壬末静
X,Y,Z是 工作侧 面上 点的坐标 由( 式 a /X =l ) F o
=· //. ) + g o / Z Z t O Y S F ~
j 光 线 与菲 涅 尔 面 交点 厦 折 射 后 的方 向
"
鲫
五
参 见 图 1.光 线 在 基 底 平 板 第一 面 的交 点 P( Y~ p 以及 其 折 射 后 方 向矢 量 q( p Y X, Z ) a, , ) 均 容 易 由一 般球 面系 统 光 线追 迹 的矢 量 方 法 计 算 . 据 此 即 可 计 算 光 线 在 菲 涅 尔 面 的 交 点 ( ,Y ) 由图 1有 : XI , .
Xt 0
=
,
Y +邮 / } d Z : +d /d l Y J 导 出上 式 使 用 了前 面 的 约 定 由多元 函数 理 论 可知 ,P 点 处 菲 涅 尔 面 法
线 单 位 矢 量 N a , t ( N
aN 一c s oO
() 3
,Y )由下式 确 定 ;
,
8… Y s e 硪 N i / n
Y … Zs e N i / n
cs :l Ⅱ +B N+Y NI oI d K 日 Y
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() 4
折射光线的方 向矢量 qta ,p , ) (: t 的计算过程 与一般球面系统相 同,即
() 5
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g=n c s 一n o I /o l c s
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Y :n v+ 7 ) n J 1 ( g N /
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可见, 只要 算出光线交点 P 所在 圆锥 面的侧 面角 0 1 ,则菲涅尔面的光线追述即可完成 . 4 一面 角的计算与修 正
图 2中, 光 线 A2t 经 基 底 平 板 第一 面折 射后 的实 际光 线 . P 系
融I 一一n U 0一 i
I … 0 U
由折射 定律有
一
n·i ( sn 0+U2 = 一sn 0 ) i ( +U )
将上 式 展 开 , 两 边 (+cs ) (: o O o e 'c s
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n· o U 2 t c s ·gO+n i snU2 =c s ·gO s n o U t i U
整 理 得
目
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( 9)
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cs 2 o U =√n 一s U/ i n 代 入 ( ) 得 9式 t O=(iU, iU) ( g sn 一sn / √ 设 基 腻 平 板 等 效 空 气 层 厚度 为 E 图 1) 则 ( , U =a cg[ Y +Z}/ L—E) rt ( ] f 式中 U r t( / =a cg ~ Y}+Z L ) / Yi Z , 由( ) 决 定 ; 8式 ' 一e s ) o U
( O) 1
( ) 儿
(2 1 ) (3 I)
L,L 是 菲 涅 尔 透镜 的 技术 参数 . 公 式 ( ) (2 , ( 3 描 述 了光 线 投 射 点 P ( Y 所 在 圆 锥 面 的 工 作侧 面 角 0 0一 J , 1) 1 ) 1 Xt Z ) . 旦 确定 , 则 可按 ( ) 8 式 计 算 折 射 光 线 的 方 向矢 量 . 4 一( )
一
由( 2 式知 道,现在 问题 的关键是确定 基底 平板的等效空气层厚度 E J) . 般 讨 论 此 种计 算 方 法 的 文 献 都 用 适 于 近 轴 光 线 的 等 效 空 气 层 厚 度 e取 代 ( 2 1 )式 中 的
3
E , 我 们 认 为 这 是 不 妥 的 因 为 准 确 表 达 式 应 是 E=Kd n / 而其 中系 数 K =c s cs =n o U/ / oU/ o U2 c s ~ = i 一 但适于近轴光线的等效空气层厚度却是 . ( e= / dn
'
(4 1) (5 1) (6) 1
眦
显然 .当 U再超过～定大小时,e与 E即有明显差 异.例如,聚甲基丙烯 酸甲酯是常 用
的制 作菲涅 尔透镜 的原料( = 9 3 ,以它针对不 同的 U角计算 出系数K 列于表 1中 n 1 40 )
表 1
∞_ U
. 2 ~] 64 7 1
. 3 6 57 s7
. 5
42 8 2 61
.
2 8 g 5 81 7 5 6 6l 9 3 9 3 0
. 7 64 I3 8 . 5 55 7 0 2 . 3I 2 4
. 8 56 0 71 .∞ 7 5 7 5 .1 7 I2 0
c 皇 ∞0
五
.578 8 7 7
.44 79
8 3 1 3 9 5
.8 6 6 6
.186 8 3 2
6Z ' a4
.18 1 7 3 3 ~
.34 5 2
.
.
由表看 出.当 U 3 . ≥ O 时,K
的 场 合· 因 荷琏成上 述 U角超过 3 的情况是很正常的.一般文献直接 以 e O 取代 E值 ,都没有采取修正
措施' 也未提 出误差分析, 显然 是不 晗当的. 另一 方面 ,在光路计算 目饔准确按 (4 ,( 5 式 求出E值也十 分 困 难 . 因 为 E本身 1) 1)
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王永仲
也 是U的函数. 由( 2 式可知,欲准确计算U值,必须 求解下面的超 越方程 - 1)
tU :~ Y +Z / L—d o u/ / g / ( c s ~ =丽
式 中 L 山技 术条 件挑 定j
(7 1)
Y ,Z 是光 线 投 射 点 的坐 标 . 从 数 学上 说 , 在计 算 了 光线 交 点 之后 , 可 以 用 遥次 逼 近 的迭 代 方 法 , 由 ( 7 式 求 解 U 1)
值 .但这无疑是十分麻烦的 .况且,逐次逼近的迭代方法是光路计算过程力图避免的 .为确
保 光 路 计 算精 度 , 必须 对 由近 轴 光 学 理 论 计 算 的 等 效 空 气 层 厚 度 e进 行 修 正 } 但 为 节 省 时 间
和方 便程 序设计,又不能采用求解超越方程的精确方法.于足我们想到用直接数值修正方案
进 行 尝 试 具 体 思 路 是 :
41 一 般细皱菲涅尔透镜 材料 折射率 l 约 在 1 4 1 5 之 间I其 中聚甲基丙烯 酸 甲 酯 是 . I D .7 . 0 最常 用材料, 光学性能 参数 具有 很好 的代 表性 .在 考虑修正系数 K值 髓. 可用 它作代表 . 42 根 据表 1,每蹦 1 .划分 一个 区间,取 各区间中点的修正系数 K 值 ,列 于表 2中. . 0
Ⅱl 间 区
掣
( ' 1 ' ( D . D】 ( 0 , D ] ( 0 , 0 ] ( 0 5 ' ( O , 0 ] ( D , D ] ( 0 .0 ] o .0 ] 1 '2 ' Z '3 ' 3 .4 ' 4 ' 0 ) S .6 . 6 'T . 7 '日 '
.9 0e .8 9【 .4 95 . 8 88 .0 85 . B B7 .￥ st .4 S0
( O ,D】 S .0 '
. 1 1T
其中
U =a cg ~ Y! / L— / ) . rt [/ +Z ( a n ]
( 8 1)
4 3 将 ( 2 式 改 写为 . 1)
U :a cg[ / r t ~ Y +Z L—K / ) i( da ] 定 K 代 入 ( 2 式 计 算 U值 , 结 合 ( 3 式 , 由 (1 式 求 出侧 面 角 o } 1 A) 1) 1) . .
(2 1 A)
按 光 线 与 菲 涅 尔 面的 交 点 P ( O, Yl 坐 标 , 由 ( 8 ,Z ) t )式 计 算 Uo I 据 此 由表 2确 值 因为 采 取 了修 正 措施 使 各 U 角 计 算 出 的等 效 空气 层 厚 度 明显 接 近 实 际情 况 . 毫 无 疑
问, 它使光线追迹精度提高 .又因为采 用直接数 值修正 , 回避 了用迭代 逼近求解超越 方程 咐
困难 . 5 几点 说 明
5 1 前面,我们统一用表 2的 K 值进行修正计算. 此K 值是针对 聚甲基丙烯 酸甲酯 ( 9 . n= 140 ) .9 3 计算的 .若用别种材料,或者所用光波主波长远离 D谱线波长, 则 上 述修正数值就 有 误差 .但计算表明,在常用的硬质玻璃 和光学 塑料 范围 内,准确计算的修 正系数 K值随折 射 率 大 小的 变 化 非常 平 缓 .例 如 , 针对 K9 璃 ( d .1 8 计 算可 知 , 在会 聚 角 U =7 ' 玻 i r =1 5 6 ) 0
时,其 与聚 甲基丙烯 酸甲酯相应K值的相对误差 只有 1 1 嘶,何 况U角达到 7 ( 应光 束 .1 0 对 包角为 1 0 ) 4 . 的实用场合 极少 .通常 U角不会超 过 5 . O ,此时K值相对误差 小 于 0 6 对 .嘶
此 类 工 程 问 题 而 言 , 这 种 精 度 已够 用 .
如材料 折射率 与上述 1 4 0 差 异甚大,或菲 涅尔 透镜 工作 波段远离可见光区域, 则 可 .9 3 根据实际 中值波 长的折射率计算各U角对 应的修 正系数并编入程 序 ,思路和方法 与上相 同. 52 表 2 . 足每隔 1 . O 划分一个区间 ,当实 际光线投 射点对应 的U角处 于区间端 点附 近 时,
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光
学
嫂
器
19 年第 l 期 4第 92 4卷
即 产 生 区问 误 差 为 减 小 此 项 误 差 , 我 们 把 区缩 小 , 并 采 用 非 等 间隔 方 式 划 分 区 间如 下 :
( . 1 . } ( 0 2 ( 0 2 , ( b 3 . O , 0 3 1 , 0 : 2 . 5 ] 2 , 0 ( 0 , b ] 3 . 8 5 ] ( 7. . 8 . 3 ( 5 ,7. , 3 5 ,
4 ,( 0 0 ] 4 ,4 . ; ( 2 5 ,4 J ( 5 ,4 5 ] ( 7. , 5 . J ( 0 5 . , ( 5 , 2 5 ] 4 . 5 ] 4 . 7. , 4 5 0 ] 5 , 5 ] 5 . 6 }(0 0 ] 6 ,6 } ( 5 ,7 . ( 0 .7 . , ( . O ] ( o , 8 . , ( 5 ,9 5 ] 6 . 0] 7 5 ] 75 ,8 J B . 5 ] 8 0 ]
在各区 间取其中点对 应的 K 值进行修正,计算方法 同上 .实 际计算表明在 U
5 5 上 面只讨论 了由平面和菲涅尔面组成的密 纹菲涅尔透镜,若菲涅尔透镜 第 一面不 是 平 .
面 .而是球面 .则可用球 面系统 的光线追迹方 法J计算光线与球面的交 点和 折射后的方 向, 再用前 述公式 串接对 菲涅尔面的光路计算.推而广 之,这种方法也适用于第一面是其它形面 的情 况,其区别仅在于第一面的计 算过程要分别选用各 自相应的公式.敢上 述讨论不 失一般
性.
5 4 应 该指 出 上述光路 计算方法仍只 是一种近似方 法,其误差来源 主要是: . a .计算光线交 点时略去 了环 带齿高, b 计 算 工 作侧 面 角时 不 计环 带宽度 I .
C .修 正 系 数 的 误 差 .
前 两种属原理性 误差j 只要用这 种光路计算方法, 它们就必定 存在 好在对密纹菲 涅尔
透镜 , 它 们 的 影 响一 般 可 以不计 . 努 三 种误 差 可 处 理 得 更 小 .方 法 前 已述及 . 参 考 文 蕾
1 .袁旭 沧.光 学设计 .北 京: 科学出 较社 .1 自 .4 4 q : 8 2 .局培 森 .菲涅 尔遗镜 构安 际 象差计 算 ;光 学仪器 ,1 8 .6 1 -6 9 4 () 5
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Ab t 0 8 弛 氩 Th a er di c s s na ytc l c c l t o f t e o tc l at f e p p s u e a l i a al u a in o h p i a p h o F e a l l n . t i s ut o y o c r e t r o s n o r i e a c a in r s e e s t pont o s me wa s t o r c e r r a d t a s c l ul t o
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