二面角求法
1 .定义法
即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.
例1 . 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求 二面角A-BD-C 1的正切值为.
解析：易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。
图1
B
C
A 1
PA =PD =例2. 在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒
，E,F 分别是BC,PC 的中点.
求：二面角P-AD-B 的余弦值.
解：由（1）知∠PGB 为二面角P -AD -B 的平面角，
17
A ，在Rt ∆PGA 中
，PG 2=-() 2=；在R t ∆B G 中
24
13
BG 2=12-() 2=；
24
PG 2+BG 2-PB 2在∆
PGB 中，cos ∠PGB =. =2PG ⋅BG 7
A
B
Ｓ
Ｓ
Ｓ
2 三垂线法
此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角α-l -β，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角α-l -β的平面角，故称此法为三垂线法.
A 图3
l
例3. 如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2， 求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值. 分析与略解：
作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.
过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ，
∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角. 依次可求得
AB 1=B1B=2，A 1B=，A 1E=
2，A 1F=，
22
A 1
1图4
l
A 1E 6
则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A F =3.
1
例4. 如图所示, 在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD, 点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.
(1)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.
解法一:由(1)得BD ⊥平面PAC, ∴BD ⊥AC.
又四边形ABCD 为矩形, ∴四边形ABCD 是正方形.
设AC 交BD 于O 点, ∵PC ⊥平面BDE, ∴∠BEO 即为二面角B-PC-A 的平面角. ∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=, ∴PC=
=3,
又OE===在直角三角形BEO 中,tan ∠BEO===3,∴二面角B-PC-A 的正切值为3.
例5. (2010重庆, 19, 12分) 如图, 四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA⊥底面ABCD, PA=AB=, 点E 是棱PB 的中点. (1) 若AD=
, 求二面角A-EC-D 的平面角的余弦值.
(1) 过点D 作DF ⊥CE, 交CE 于F, 过点F 作FG ⊥CE, 交AC 于G, 则∠DFG 为所求的二面角的平面角.
由(Ⅰ) 知BC ⊥平面PAB, 又AD ∥BC, 得AD ⊥平面PAB, 故AD ⊥AE, 从而DE=
=
. 在Rt △CBE 中, CE=
.
=
. 由CD=
, 所以△CDE 为等边三角形,
故F 为CE 的中点, 且DF=CD·sin =
因为AE ⊥平面PBC, 故AE ⊥CE, 又FG ⊥CE, 知FG AE, 从而FG=, 且G 点为AC 的中点.
连结DG, 则在Rt △ADG 中, DG=AC
==.
所以cos ∠DFG=
=.
3、向量法
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。①分别求出α和β的法向量m , n ，则二面角α-l -β的大小为或π—
例1. 如图所示, 在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD, 点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.
(1)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.
由(1)可知BD ⊥面PAC, ∴BD ⊥AC,
∴矩形ABCD 为正方形,
建立如图所示的坐标系A-xyz, 则
A(0,0,0),P(0,0,1),C(2,2,0),B(2,0,0).
∴=(0,0,1),=(2,2,0). 设平面PAC 的法向量为n 1=(x,y,z),
则令x=1,
∴y=-1,z=0. 即n 1=(1,-1,0).
同理求得面PBC 的一个法向量n 2=(1,0,2). ∴cos 1,n2>=
.
设二面角B-PC-A 的大小为α, 则cos α=, ∴sin α=, ∴tan α=3.
例2. (2014广东,18,13分) 如图, 四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD, ∠DPC=30,AF⊥PC 于点F,FE ∥CD, 交PD 于点E. (1)求二面角D-AF-E 的余弦值
.
(2)解法一:设AB=1,则Rt △PDC 中,CD=1,∵∠DPC=30°, ∴PC=2,PD=
, 由(1)知CF ⊥DF,
∴DF=,
∴CF=, 又FE ∥CD,
∴==, ∴DE=, 同理EF=CD=,
如图所示, 以D 为原点, 建立空间直角坐标系, 则
A(0,0,1),
E ,F ,P(,0,0),C(0,1,0).
设m=(x,y,z)是平面AEF 的法向量,
则又
∴
令x=4,得z=, 故m=(4,0,),
由(1)知平面ADF 的一个法向量为θ为锐角,
=(-,1,0), 设二面角D-AF-E 的平面角为θ, 可知
cos θ=|cos
>|===, 故二面角D-AF-E 的余弦值为.
例3. (2010天津, 19, 12分) 如图, 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, E, F分别是棱BC, CC1上的点, CF=AB=2CE, AB∶AD ∶AA 1=1∶2∶4. (1) 求二面角A 1-ED-F 的正弦值
(1) 设平面EFD 的法向量
u=(x, y, z) , 则即
不妨令x=1, 可得u=(1, 2, -1) .
由(Ⅱ) 可知, 为平面A 1ED 的一个法向量. 于是cos==. >=.
所以二面角A 1-ED-F 的正弦值为.
从而
sin
二面角求法
1 .定义法
即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.
例1 . 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求 二面角A-BD-C 1的正切值为.
解析：易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。
图1
B
C
A 1
PA =PD =例2. 在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒
，E,F 分别是BC,PC 的中点.
求：二面角P-AD-B 的余弦值.
解：由（1）知∠PGB 为二面角P -AD -B 的平面角，
17
A ，在Rt ∆PGA 中
，PG 2=-() 2=；在R t ∆B G 中
24
13
BG 2=12-() 2=；
24
PG 2+BG 2-PB 2在∆
PGB 中，cos ∠PGB =. =2PG ⋅BG 7
A
B
Ｓ
Ｓ
Ｓ
2 三垂线法
此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角α-l -β，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角α-l -β的平面角，故称此法为三垂线法.
A 图3
l
例3. 如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2， 求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值. 分析与略解：
作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.
过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ，
∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角. 依次可求得
AB 1=B1B=2，A 1B=，A 1E=
2，A 1F=，
22
A 1
1图4
l
A 1E 6
则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A F =3.
1
例4. 如图所示, 在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD, 点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.
(1)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.
解法一:由(1)得BD ⊥平面PAC, ∴BD ⊥AC.
又四边形ABCD 为矩形, ∴四边形ABCD 是正方形.
设AC 交BD 于O 点, ∵PC ⊥平面BDE, ∴∠BEO 即为二面角B-PC-A 的平面角. ∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=, ∴PC=
=3,
又OE===在直角三角形BEO 中,tan ∠BEO===3,∴二面角B-PC-A 的正切值为3.
例5. (2010重庆, 19, 12分) 如图, 四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA⊥底面ABCD, PA=AB=, 点E 是棱PB 的中点. (1) 若AD=
, 求二面角A-EC-D 的平面角的余弦值.
(1) 过点D 作DF ⊥CE, 交CE 于F, 过点F 作FG ⊥CE, 交AC 于G, 则∠DFG 为所求的二面角的平面角.
由(Ⅰ) 知BC ⊥平面PAB, 又AD ∥BC, 得AD ⊥平面PAB, 故AD ⊥AE, 从而DE=
=
. 在Rt △CBE 中, CE=
.
=
. 由CD=
, 所以△CDE 为等边三角形,
故F 为CE 的中点, 且DF=CD·sin =
因为AE ⊥平面PBC, 故AE ⊥CE, 又FG ⊥CE, 知FG AE, 从而FG=, 且G 点为AC 的中点.
连结DG, 则在Rt △ADG 中, DG=AC
==.
所以cos ∠DFG=
=.
3、向量法
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。①分别求出α和β的法向量m , n ，则二面角α-l -β的大小为或π—
例1. 如图所示, 在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD, 点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.
(1)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.
由(1)可知BD ⊥面PAC, ∴BD ⊥AC,
∴矩形ABCD 为正方形,
建立如图所示的坐标系A-xyz, 则
A(0,0,0),P(0,0,1),C(2,2,0),B(2,0,0).
∴=(0,0,1),=(2,2,0). 设平面PAC 的法向量为n 1=(x,y,z),
则令x=1,
∴y=-1,z=0. 即n 1=(1,-1,0).
同理求得面PBC 的一个法向量n 2=(1,0,2). ∴cos 1,n2>=
.
设二面角B-PC-A 的大小为α, 则cos α=, ∴sin α=, ∴tan α=3.
例2. (2014广东,18,13分) 如图, 四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD, ∠DPC=30,AF⊥PC 于点F,FE ∥CD, 交PD 于点E. (1)求二面角D-AF-E 的余弦值
.
(2)解法一:设AB=1,则Rt △PDC 中,CD=1,∵∠DPC=30°, ∴PC=2,PD=
, 由(1)知CF ⊥DF,
∴DF=,
∴CF=, 又FE ∥CD,
∴==, ∴DE=, 同理EF=CD=,
如图所示, 以D 为原点, 建立空间直角坐标系, 则
A(0,0,1),
E ,F ,P(,0,0),C(0,1,0).
设m=(x,y,z)是平面AEF 的法向量,
则又
∴
令x=4,得z=, 故m=(4,0,),
由(1)知平面ADF 的一个法向量为θ为锐角,
=(-,1,0), 设二面角D-AF-E 的平面角为θ, 可知
cos θ=|cos
>|===, 故二面角D-AF-E 的余弦值为.
例3. (2010天津, 19, 12分) 如图, 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, E, F分别是棱BC, CC1上的点, CF=AB=2CE, AB∶AD ∶AA 1=1∶2∶4. (1) 求二面角A 1-ED-F 的正弦值
(1) 设平面EFD 的法向量
u=(x, y, z) , 则即
不妨令x=1, 可得u=(1, 2, -1) .
由(Ⅱ) 可知, 为平面A 1ED 的一个法向量. 于是cos==. >=.
所以二面角A 1-ED-F 的正弦值为.
从而
sin