数学试题
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设集合A ={x |x ≥1}，B ={x |y =log 2(x +2)}，则B A =
A ．(-2, 1) B ．(-2, 1] C ．[-2, 1) D ．[-2, 1] 2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z =(a -2i)i 在复平面内对应的点为M ， 则“a
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列{a n }中，公比q >0，若a 2=4， 则a 1+a 2+a 3的最值情况为
A ．有最小值-4 B ．有最大值-4 C ．有最小值12 D ．有最大值12 4．由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的 正(主) 视图、侧(左)
其中四边形ABCD 是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为
A ．43 B ．3 C ．23 D ． 5．执行如图所示的程序框图，输出的S 是
1
2
C ． 1 D ．-1
A ． 0 B ．
6．下列四个命题中，正确的有
①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
2
②命题p ：“∃x 0∈R ，x 0 -x 0-1>0”的否定⌝p ：“∀x ∈R ，x 2-x -1
③用相关指数R 来刻画回归效果，若R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若a =0. 3，b =2，c =log 0. 32，则c
A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．③④
2
0. 3
22
7．把正奇数数列按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，第五个括号两个数，第六个括号三个数，„．依次划分为(1) ，(3, 5) ，
(7, 9, 11) ，(13) ，(15, 17) ，(19, 21, 23) ，(25) ，„．则第50个括号内各数之和
为
A ．396 B ．394 C ．392 D ．390 8．已知函数y =f (x ) 的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数g (x ) =f (x ) -f (x -a ) 都是其定义域上的减函数，则函数y =f (x ) 的图象可能是
A ． B ． C ． D ．
9．已知定点A (-2, 0) ，B (2, 0) , N 是圆O ：x 2+y 2=1上任意一点，点A 关于点N 的对称点为M ，线段AM 的中垂线与直线BM 相交于点P ，则点P 的轨迹是 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 10．设函数f (x ) 在区间I 上可导，若∀x 0, x ∈I , 总有f (x ) ≥f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) ，
则称y =f (x ) 为区间I 上的U 函数．
2
在下列四个函数y =x ，y =x +
1x
，y =-e ，y =cos 2x 中，在区间(-1, 0) 上为U x
函数的个数是
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：11、12、13题为必做题． 11．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A =60︒，
M 为DC 的中点，则AM ⋅AB 的值为．
第11题图 ⎧y ≤x +1
⎪
12．设x ，y 满足约束条件⎨y ≥2x -1，若目标函数z =mx +y （m >0）的最大值为35，
⎪x ≥0, y ≥0⎩
则m 的值为 ．
ln ln a =．13．设a >1，则当y =a x 与y =log a x 两个函数图象有且只有一个公共点时，
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）
1⎧
x =-t ⎪2⎪
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎨（t 为参数），以原点
⎪y =-2+3t ⎪2⎩
O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，则l 上的动点P 与C 上的动点Q 间的最短距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）
如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的圆O 交于点F ，连接CF 并延长CF 交AB 于E ．则线段BF 的长为 ．
E
B
第15题图
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分13分）
某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究. 全年级共有630名学生，男女生人数之比为11:10，现按分层抽样方 法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为
1． 6
（1）求抽取的男学生人数和女学生人数；
（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下2⨯2列联表：
①完成列联表；
②能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？
（3）若一班有5名男生被抽到，其中4人持否定态度，1人持肯定态度；二班有4名女生被抽到，其中2人持否定态度，2人持肯定态度．
现从这9人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．
解答时可参考下面临界值表：
17．（本小题满分12分）
设∆ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin(A -
（1）求角A 的大小；
（2）若a =2，求b +c 的最大值．
18．（本小题满分14分）
在四棱锥P -ABCD 中，∠ABC =∠ACD =90︒，∠BAC =∠CAD =60︒，PA ⊥面
π
6
) =cos A .
ABCD ，E 为PD 的中点，PA =2AB =4．
（1）求证：PC ⊥AE ； （2）求证：CE //面PAB ； （3）求三棱锥P -ACE 的体积V ．
A
B
D
C
第18题图
19．（本小题满分13分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，n ⋅a n +1=S n +n (n +1)，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式： （2）令T n =
S n
，n ∈N *． n 2
①当n 为何正整数值时，T n >T n +1；
②若对一切正整数n ，总有T n ≤m ，求m 的取值范围．
20．（本小题满分14分）
x 2y 2
如图，点F 是椭圆2+2=1（a >b >0）的左焦点，点A ，B 分别是椭圆的左顶
a b
1
点和上顶点，椭圆的离心率为，点C 在x 轴上，且BF ⊥BC ，过点A 作斜率为k (k >0)
2
12
的直线l 与由三点B , F ，C 确定的圆M 相交于D ，E 两点，满足MD ⋅ME =-a ．
2
（1）若∆
BOF （2）直线l 的斜率是否为定值？证明你的结论.
21．（本小题满分14分）
第20题图
a (x -1)
（a ∈R ，a ≠0），g (x ) =x 2+x ． x +1
a (x -1)
⋅g (x ) 的单调区间, 并确定其零点个数； （1）求函数h (x ) =a ln x -
x +1
已知函数f (x ) =ln x -
（2）若f (x ) 在其定义域内单调递增，求a 的取值范围； （3）证明不等式
1111+++ +
数学试题
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设集合A ={x |x ≥1}，B ={x |y =log 2(x +2)}，则B A =
A ．(-2, 1) B ．(-2, 1] C ．[-2, 1) D ．[-2, 1] 2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z =(a -2i)i 在复平面内对应的点为M ， 则“a
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列{a n }中，公比q >0，若a 2=4， 则a 1+a 2+a 3的最值情况为
A ．有最小值-4 B ．有最大值-4 C ．有最小值12 D ．有最大值12 4．由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的 正(主) 视图、侧(左)
其中四边形ABCD 是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为
A ．43 B ．3 C ．23 D ． 5．执行如图所示的程序框图，输出的S 是
1
2
C ． 1 D ．-1
A ． 0 B ．
6．下列四个命题中，正确的有
①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
2
②命题p ：“∃x 0∈R ，x 0 -x 0-1>0”的否定⌝p ：“∀x ∈R ，x 2-x -1
③用相关指数R 来刻画回归效果，若R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若a =0. 3，b =2，c =log 0. 32，则c
A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．③④
2
0. 3
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7．把正奇数数列按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，第五个括号两个数，第六个括号三个数，„．依次划分为(1) ，(3, 5) ，
(7, 9, 11) ，(13) ，(15, 17) ，(19, 21, 23) ，(25) ，„．则第50个括号内各数之和
为
A ．396 B ．394 C ．392 D ．390 8．已知函数y =f (x ) 的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数g (x ) =f (x ) -f (x -a ) 都是其定义域上的减函数，则函数y =f (x ) 的图象可能是
A ． B ． C ． D ．
9．已知定点A (-2, 0) ，B (2, 0) , N 是圆O ：x 2+y 2=1上任意一点，点A 关于点N 的对称点为M ，线段AM 的中垂线与直线BM 相交于点P ，则点P 的轨迹是 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 10．设函数f (x ) 在区间I 上可导，若∀x 0, x ∈I , 总有f (x ) ≥f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) ，
则称y =f (x ) 为区间I 上的U 函数．
2
在下列四个函数y =x ，y =x +
1x
，y =-e ，y =cos 2x 中，在区间(-1, 0) 上为U x
函数的个数是
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：11、12、13题为必做题． 11．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A =60︒，
M 为DC 的中点，则AM ⋅AB 的值为．
第11题图 ⎧y ≤x +1
⎪
12．设x ，y 满足约束条件⎨y ≥2x -1，若目标函数z =mx +y （m >0）的最大值为35，
⎪x ≥0, y ≥0⎩
则m 的值为 ．
ln ln a =．13．设a >1，则当y =a x 与y =log a x 两个函数图象有且只有一个公共点时，
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）
1⎧
x =-t ⎪2⎪
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎨（t 为参数），以原点
⎪y =-2+3t ⎪2⎩
O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，则l 上的动点P 与C 上的动点Q 间的最短距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）
如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的圆O 交于点F ，连接CF 并延长CF 交AB 于E ．则线段BF 的长为 ．
E
B
第15题图
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分13分）
某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究. 全年级共有630名学生，男女生人数之比为11:10，现按分层抽样方 法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为
1． 6
（1）求抽取的男学生人数和女学生人数；
（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下2⨯2列联表：
①完成列联表；
②能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？
（3）若一班有5名男生被抽到，其中4人持否定态度，1人持肯定态度；二班有4名女生被抽到，其中2人持否定态度，2人持肯定态度．
现从这9人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．
解答时可参考下面临界值表：
17．（本小题满分12分）
设∆ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin(A -
（1）求角A 的大小；
（2）若a =2，求b +c 的最大值．
18．（本小题满分14分）
在四棱锥P -ABCD 中，∠ABC =∠ACD =90︒，∠BAC =∠CAD =60︒，PA ⊥面
π
6
) =cos A .
ABCD ，E 为PD 的中点，PA =2AB =4．
（1）求证：PC ⊥AE ； （2）求证：CE //面PAB ； （3）求三棱锥P -ACE 的体积V ．
A
B
D
C
第18题图
19．（本小题满分13分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，n ⋅a n +1=S n +n (n +1)，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式： （2）令T n =
S n
，n ∈N *． n 2
①当n 为何正整数值时，T n >T n +1；
②若对一切正整数n ，总有T n ≤m ，求m 的取值范围．
20．（本小题满分14分）
x 2y 2
如图，点F 是椭圆2+2=1（a >b >0）的左焦点，点A ，B 分别是椭圆的左顶
a b
1
点和上顶点，椭圆的离心率为，点C 在x 轴上，且BF ⊥BC ，过点A 作斜率为k (k >0)
2
12
的直线l 与由三点B , F ，C 确定的圆M 相交于D ，E 两点，满足MD ⋅ME =-a ．
2
（1）若∆
BOF （2）直线l 的斜率是否为定值？证明你的结论.
21．（本小题满分14分）
第20题图
a (x -1)
（a ∈R ，a ≠0），g (x ) =x 2+x ． x +1
a (x -1)
⋅g (x ) 的单调区间, 并确定其零点个数； （1）求函数h (x ) =a ln x -
x +1
已知函数f (x ) =ln x -
（2）若f (x ) 在其定义域内单调递增，求a 的取值范围； （3）证明不等式
1111+++ +