初二动点问题及中考压轴题
1. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以3cm/s的速度运动．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts ． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ （2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？ （3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？
分析：
（1）四边形PQCD 为平行四边形时PD=CQ． （2）四边形PQCD 为等腰梯形时QC-PD=2CE． （3）四边形PQCD 为直角梯形时QC-PD=EC．
所有的关系式都可用含有t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可． 解答： 解：（1）∵四边形PQCD 平行为四边形 ∴PD=CQ ∴24-t=3t 解得：t=6
即当t=6时，四边形PQCD 平行为四边形．
（2）过D 作DE ⊥BC 于E 则四边形ABED 为矩形 ∴BE=AD=24cm ∴EC=BC-BE=2cm
∵四边形PQCD 为等腰梯形 ∴QC-PD=2CE
即3t-（24-t ）=4 解得：t=7（s ）
即当t=7（s ）时，四边形PQCD 为等腰梯形． （3）由题意知：QC-PD=EC时，
四边形PQCD 为直角梯形即3t-（24-t ）=2
解得：t=6.5（s ）
即当t=6.5（s ）时，四边形PQCD 为直角梯形． 点评：
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．
2. 如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E ． （1）试说明EO=FO；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形并证明你的结论；
（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论．
分析：
（1）根据CE 平分∠ACB ，MN ∥BC ，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB ，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． （3）利用已知条件及正方形的性质解答． 解答： 解：（1）∵CE 平分∠ACB ， ∴∠ACE=∠BCE ， ∵MN ∥BC ，
∴∠OEC=∠ECB ， ∴∠OEC=∠OCE ， ∴OE=OC， 同理，OC=OF， ∴OE=OF．
（2）当点O 运动到AC 中点处时，四边形AECF 是矩形． 如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF 为平行四边形， ∵CE 平分∠ACB ， ∴∠ACE= ∠ACB ， 同理，∠ACF= ∠ACG ，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG ）= ×180°=90°， ∴四边形AECF 是矩形． （3）△ABC 是直角三角形 ∵四边形AECF 是正方形， ∴AC ⊥EN ，故∠AOM=90°，
∵MN ∥BC ，
∴∠BCA=∠AOM ， ∴∠BCA=90°，
∴△ABC 是直角三角形． 点评：
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
3. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．
（1）求NC ，MC 的长（用t 的代数式表示）；
（2）当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形．
分析：
（1）依据题意易知四边形ABNQ 是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC 、AD 已知，DQ 就是t ，即解；∵AB ∥QN ，∴△CMN ∽△CAB ，∴CM ：CA=CN：CB ，（2）CB 、CN 已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM ； 四边形PCDQ 构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；
（3）可先根据QN 平分△ABC 的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t 的值．然后根据得出的t 的值，求出△MNC 的面积，即可判断出△MNC 的面积是否为△ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t 值． （4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论： ①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t 的值．
②当CM=CP时，可根据CM 和CP 的表达式以及题设的等量关系来求出t 的值．
③当MP=PC时，在直角三角形MNP 中，先用t 表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t 的值． 综上所述可得出符合条件的t 的值． 解答: 解：（1）∵AQ=3-t ∴CN=4-（3-t ）=1+t
在Rt △ABC 中，AC2=AB2+BC2=32+42 ∴AC=5
在Rt △MNC 中，cos ∠NCM=
= ，CM=
．
（2）由于四边形PCDQ 构成平行四边形 ∴PC=QD，即4-t=t 解得t=2．
（3）如果射线QN 将△ABC 的周长平分，则有： MN+NC=AM+BN+AB
即：
（1+t）+1+t= （3+4+5） 解得：t= （5分） 而MN= NC= （1+t） ∴S △MNC=
（1+t）2= （1+t）2
×4×3
当t= 时，S △MNC=（1+t）2= ≠
∴不存在某一时刻t ，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分．
（4）①当MP=MC时（如图1） 则有：NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2（1+t） 解得：t=
②当CM=CP时（如图2） 则有： （1+t）=4-t 解得：t=
③当PM=PC时（如图3） 则有：
在Rt △MNP 中，PM2=MN2+PN2 而MN= NC= （1+t）
PN=NC-PC=（1+t）-（4-t ）=2t-3
∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t ）2 解得：t1=
，t2=-1（舍去） ，t=
时，△PMC 为等腰三角形
∴当t= ，t=
点评：
此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
4. 如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由． 分析：
以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P 、N 重合且点Q 、M 不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q 、M 重合且点P 、N 不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x 的值．
以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q 只能在点M 的左侧．当点P 在点N 的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P 在点N 的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式． 如果以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形． 解答： 解：（1）当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形．
①当点P 与点N 重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）． 因为BQ+CM=x+3x=4（
-1）＜20，此时点Q 与点M 不重合． 所以x= -1符合题意．
②当点Q 与点M 重合时，由x+3x=20，得x=5． 此时DN=x2=25＞20，不符合题意． 故点Q 与点M 不能重合． 所以所求x 的值为 -1．
（2）由（1）知，点Q 只能在点M 的左侧， ①当点P 在点N 的左侧时， 由20-（x+3x）=20-（2x+x2）， 解得x1=0（舍去），x2=2．
当x=2时四边形PQMN 是平行四边形． ②当点P 在点N 的右侧时，
由20-（x+3x）=（2x+x2）-20， 解得x1=-10（舍去），x2=4．
当x=4时四边形NQMP 是平行四边形．
所以当x=2或x=4时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形． （3）过点Q ，M 分别作AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ． 由于2x ＞x ，
所以点E 一定在点P 的左侧．
若以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F 一定在点N 的右侧，且PE=NF， 即2x-x=x2-3x． 解得x1=0（舍去），x2=4．
由于当x=4时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形， 所以以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形． 点评：
本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．
5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M 从点A 开始，沿边AD 向点D 运动，速度为1cm/s；点N 从点C 开始，沿边CB 向点B 运动，速度为2cm/s、点M 、N 分别从点A 、C 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？ （2）当t 为何值时，四边形MNCD 是等腰梯形？ 分析：
（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t 值；
（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可． 解答： 解：（1）∵MD ∥NC ，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD 是平行四边形；
（2）作DE ⊥BC ，垂足为E ，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t ）=12，t=9时，四边形MNCD 是等腰梯形 点评：
考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．
6. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，P 、Q 分别从点D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动，设运动时间为t （s ）． （1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系；
（2）当t 为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？
分析：
（1）若过点P 作PM ⊥BC 于M ，则四边形PDCM 为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t ； （2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt △PQM 中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t 求出；
②若BP=BQ，在Rt △PMB 中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t 求出； ③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t 求出． 解答： 解：（1）过点P 作PM ⊥BC 于M ，则四边形PDCM 为矩形． ∴PM=DC=12， ∵QB=16-t，
∴s= •QB•PM= （16-t ）×12=96-6t （0≤t≤
）．
（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况
：
①若PQ=BQ，在Rt △PMQ 中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t ）2，解得
；
②若BP=BQ，在Rt △PMB 中，PB2=（16-2t ）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t ）2+122=（16-t ）2，此方程无解，∴BP≠PQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t ）2+122得
综上所述，当
或
，t2=16（不合题意，舍去）．
时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现
象．
7. 直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O ⇒B ⇒A 运动． （1）直接写出A 、B 两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t （秒），△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；
（3）当S= 485时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 分析：
（1）分别令y=0，x=0，即可求出A 、B 的坐标； （2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q 由O 到A 的时间是8秒，点P 的速度是2，从而可求出，
当P 在线段OB 上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P 在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD ⊥OA 于点D ，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案； （3）令S= 485，求出t 的值，进而求出OD 、PD ，即可求出P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M 的坐标． 解答：
解：（1）y=0，x=0，求得A （8，0）B （0，6）， （2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．
∵点Q 由O 到A 的时间是 81=8（秒）， ∴点P 的速度是 6+108=2（单位长度/秒）． 当P 在线段OB 上运动（或O≤t≤3）时， OQ=t，OP=2t，S=t2．
当P 在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时， OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t， 如图，做PD ⊥OA 于点D ，
由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5． ∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．
（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P 在AB 上 当S= 485时，- 35t2+245t= 485 ∴t=4
∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8 AD= 82-(245)2= 325 ∴OD=8- 325= 85 ∴P （ 85， 245） M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245） 点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
动点问题及四边形难题习题
1如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；
（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；
2. 已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C 三点的坐标分
0) B (810)，，C (0，4) ，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折别为A (8，，
线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．
（1）求直线BC 的解析式；
2？ 7
（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设△OPD 的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数
（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的关系式，并指出自变量t 的取值范围；
3. 如图，已知△ABC 中，AB =AC =10厘米，BC =8厘米，点D 为AB 的中点．
（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
4. 如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F.
（1）求证：CD ∥AB ；
（2）求证：△BDE ≌△ACE ；
（3）若O 为AB 中点，求证：OF ＝
5、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足A E＋CF=a，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形．
1
BE. 2
6、如图1－4－38，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD，∠ DBC＝45 ,翻折梯形使点B 重合于点 D，折痕分别交边 AB、BC 于点F 、E ，若AD=2，BC=8，求BE 的长．
7、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．
○
(1)求证：AB CF ；
(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时， 四边形ABFC 是矩形，并说明理由．
B
A
C
E
F
D
8、如图l －4－80，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于F ，则OE=OF． （1）请证明0E=OF
（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，AG 交 EB的延长线于 G，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则仍有OE=OF．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
9已知：如图4-26所示，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，P 为BC 的延长线上一点，PE ⊥直线AB 于点E ，PF ⊥直线AC 于点F ．求证：DE ⊥DF 并且相等．
10已知：如图4-27，ABCD 为矩形，CE ⊥BD 于点E ，∠BAD 的平分线与直线CE 相交于点F ．求证：CA=CF．
11已知：如图4-56A ．，直线l 通过正方形ABCD 的顶点D 平行于对角线AC ，E 为l 上一点，EC=AC，并且EC 与边AD 相交于点F ．求证：AE=AF．
本例中，点E 与A 位于BD 同侧．如图4-56B ．，点E 与A 位于BD 异侧，直线EC 与DA 的延长线交于点F ，这时仍有AE=AF．请自己证明．
动点问题练习题
1、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其它边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒．
1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
A M
N
2、如图，在梯形ABCD
中，AD ∥BC ，AD =3，DC =5，AB =B =45︒．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．
（2）当MN ∥AB 时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．
C
3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为
(6，0) ，点B 的坐标为(4，3) ，点
C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒) ．
(1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？
(2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ (3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？
若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由．
2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．
（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？
（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．
3、如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。OA 、OB 的长分别是方程x －14x ＋48＝0的两根(OA＞OB) ，直
线BC 平分∠ABO 交x 轴于C 点，P 为BC 上一动点，P 点以每秒1个单位的速度从B 点开始沿BC 方向移动。 (1)设△APB 和△OPB 的面积分别为S 1、S 2，求S 1∶S 2的值； (2)求直线BC 的解析式；
(3)设PA －PO ＝m ，P 点的移动时间为t 。
①当0＜t ≤45时，试求出m 的取值范围；
②当t ＞45时，你认为m 的取值范围如何(只要求写出结论) ？
4、在∆ABC 中，∠C =Rt ∠, AC =4cm , BC =5cm , 点D 在BC 上，且以CD ＝3cm, 现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s的速度沿BC 向终点C 移动。过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ 。设动点运动时间为x 秒。 （1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度；
（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设∆EDQ 的面积为y (cm 2) ，求y 与月份x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）当x 为何值时，∆EDQ 为直角三角形。
2
5、在直角梯形ABCD 中，∠C =90︒，高CD =6cm （如图1）。动点P , Q 同时从点B 出发，点P 沿BA , AD , DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，两点运动时的速度都是1cm /s 。而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C 。设P , Q 同时从点B 出发，经过的时间为t (s )时，∆BPQ 的面积为y cm 2（如图2）。分别以t , y 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P 在AD 边上从A 到D 运动时，y 与t 的函数图象是图3中的线段MN 。
（1）分别求出梯形中BA , AD
的长度； （2）写出图3中M , N 两点的坐标；
()
（3）分别写出点P 在BA 边上和DC 边上运动时，y 与t 的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象。
（图1）
（图2）
6、如图1
，在平面直角坐标系中，已知点A (0，点B 在x 正半轴上，且∠ABO =30．动点P 在线段AB 上从点A 向点B
t 秒．在x 轴上取两点M ，N 作等边△PMN ． （1）求直线AB 的解析式；
（2）求等边△PMN 的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边△PMN 的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；
（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt △AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边△PMN 和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当0≤t ≤2秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（图1） （图2）
7、如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成∆AC 1D 1和
∆BC 2D 2两个三角形（如图2所示）. 将纸片∆AC 1D 1沿直线D 2B （AB ）方向平移（点A , D 1, D 2, B 始终在同一
直线上），当点D 1于点B 重合时，停止平移. 在平移过程中，C 1D 1与BC 2交于点E, AC 1与C 2D 2、BC 2分别交于点F 、P.
（1）当∆AC 1D 1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D 1E 与D 2F 的数量关系，并证明你的猜想； （2）设平移距离D 2D 1为x ，∆AC 1D 1与∆BC 2D 2重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值；使得重叠部分的面积等于原∆ABC 面积的说明理由.
1
？若不存在，请4
C 1C 2C
2
A B A B D D 1D 212 图
1
图3 图
2
8. 梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3厘米/秒的速度向B 点运动。
已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t 秒，问：
（1）t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？
（2）在某个时刻，四边形PQCD 可能是菱形吗？为什么？ （3）t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形？
（4）t 为何值时，四边形PQCD 是等腰梯形？
9. 如右图，在矩形ABCD 中，AB=20cm，BC=4cm，点
P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4cm/s的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边1cm/s的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时 出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动 时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？
10、 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD =BC =5cm , AB =12 cm,CD =6cm , 点P 从A 开始沿AB 边
向B 以每秒3cm 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t 秒。 （1）求证：当t =
3
时，四边形APQD 是平行四边形； 2
（2）PQ 是否可能平分对角线BD ？若能，求出当t 为何值时PQ 平分BD ；若不能，请说明理由； （3）若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形，求t 的值。
B
P
11. 如图所示，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过O 作直线MN//BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于F 。
（1）求让：EO =FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。
AE 6
（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，且=∠B 的大小。
BC 2
A
M F N
B C D
12. 如图，矩形ABCD 中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ’处，求重叠部分⊿AFC 的面积.
13. 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动。
（1）试判断四边形PQEF 是正方形并证明。
（2）PE 是否总过某一定点，并说明理由。
（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时，
P
其面积最小，最大？各是多少？
E
初二动点问题及中考压轴题
1. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以3cm/s的速度运动．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts ． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ （2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？ （3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？
分析：
（1）四边形PQCD 为平行四边形时PD=CQ． （2）四边形PQCD 为等腰梯形时QC-PD=2CE． （3）四边形PQCD 为直角梯形时QC-PD=EC．
所有的关系式都可用含有t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可． 解答： 解：（1）∵四边形PQCD 平行为四边形 ∴PD=CQ ∴24-t=3t 解得：t=6
即当t=6时，四边形PQCD 平行为四边形．
（2）过D 作DE ⊥BC 于E 则四边形ABED 为矩形 ∴BE=AD=24cm ∴EC=BC-BE=2cm
∵四边形PQCD 为等腰梯形 ∴QC-PD=2CE
即3t-（24-t ）=4 解得：t=7（s ）
即当t=7（s ）时，四边形PQCD 为等腰梯形． （3）由题意知：QC-PD=EC时，
四边形PQCD 为直角梯形即3t-（24-t ）=2
解得：t=6.5（s ）
即当t=6.5（s ）时，四边形PQCD 为直角梯形． 点评：
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．
2. 如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E ． （1）试说明EO=FO；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形并证明你的结论；
（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论．
分析：
（1）根据CE 平分∠ACB ，MN ∥BC ，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB ，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． （3）利用已知条件及正方形的性质解答． 解答： 解：（1）∵CE 平分∠ACB ， ∴∠ACE=∠BCE ， ∵MN ∥BC ，
∴∠OEC=∠ECB ， ∴∠OEC=∠OCE ， ∴OE=OC， 同理，OC=OF， ∴OE=OF．
（2）当点O 运动到AC 中点处时，四边形AECF 是矩形． 如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF 为平行四边形， ∵CE 平分∠ACB ， ∴∠ACE= ∠ACB ， 同理，∠ACF= ∠ACG ，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG ）= ×180°=90°， ∴四边形AECF 是矩形． （3）△ABC 是直角三角形 ∵四边形AECF 是正方形， ∴AC ⊥EN ，故∠AOM=90°，
∵MN ∥BC ，
∴∠BCA=∠AOM ， ∴∠BCA=90°，
∴△ABC 是直角三角形． 点评：
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
3. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．
（1）求NC ，MC 的长（用t 的代数式表示）；
（2）当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形．
分析：
（1）依据题意易知四边形ABNQ 是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC 、AD 已知，DQ 就是t ，即解；∵AB ∥QN ，∴△CMN ∽△CAB ，∴CM ：CA=CN：CB ，（2）CB 、CN 已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM ； 四边形PCDQ 构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；
（3）可先根据QN 平分△ABC 的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t 的值．然后根据得出的t 的值，求出△MNC 的面积，即可判断出△MNC 的面积是否为△ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t 值． （4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论： ①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t 的值．
②当CM=CP时，可根据CM 和CP 的表达式以及题设的等量关系来求出t 的值．
③当MP=PC时，在直角三角形MNP 中，先用t 表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t 的值． 综上所述可得出符合条件的t 的值． 解答: 解：（1）∵AQ=3-t ∴CN=4-（3-t ）=1+t
在Rt △ABC 中，AC2=AB2+BC2=32+42 ∴AC=5
在Rt △MNC 中，cos ∠NCM=
= ，CM=
．
（2）由于四边形PCDQ 构成平行四边形 ∴PC=QD，即4-t=t 解得t=2．
（3）如果射线QN 将△ABC 的周长平分，则有： MN+NC=AM+BN+AB
即：
（1+t）+1+t= （3+4+5） 解得：t= （5分） 而MN= NC= （1+t） ∴S △MNC=
（1+t）2= （1+t）2
×4×3
当t= 时，S △MNC=（1+t）2= ≠
∴不存在某一时刻t ，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分．
（4）①当MP=MC时（如图1） 则有：NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2（1+t） 解得：t=
②当CM=CP时（如图2） 则有： （1+t）=4-t 解得：t=
③当PM=PC时（如图3） 则有：
在Rt △MNP 中，PM2=MN2+PN2 而MN= NC= （1+t）
PN=NC-PC=（1+t）-（4-t ）=2t-3
∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t ）2 解得：t1=
，t2=-1（舍去） ，t=
时，△PMC 为等腰三角形
∴当t= ，t=
点评：
此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
4. 如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由． 分析：
以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P 、N 重合且点Q 、M 不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q 、M 重合且点P 、N 不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x 的值．
以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q 只能在点M 的左侧．当点P 在点N 的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P 在点N 的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式． 如果以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形． 解答： 解：（1）当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形．
①当点P 与点N 重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）． 因为BQ+CM=x+3x=4（
-1）＜20，此时点Q 与点M 不重合． 所以x= -1符合题意．
②当点Q 与点M 重合时，由x+3x=20，得x=5． 此时DN=x2=25＞20，不符合题意． 故点Q 与点M 不能重合． 所以所求x 的值为 -1．
（2）由（1）知，点Q 只能在点M 的左侧， ①当点P 在点N 的左侧时， 由20-（x+3x）=20-（2x+x2）， 解得x1=0（舍去），x2=2．
当x=2时四边形PQMN 是平行四边形． ②当点P 在点N 的右侧时，
由20-（x+3x）=（2x+x2）-20， 解得x1=-10（舍去），x2=4．
当x=4时四边形NQMP 是平行四边形．
所以当x=2或x=4时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形． （3）过点Q ，M 分别作AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ． 由于2x ＞x ，
所以点E 一定在点P 的左侧．
若以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F 一定在点N 的右侧，且PE=NF， 即2x-x=x2-3x． 解得x1=0（舍去），x2=4．
由于当x=4时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形， 所以以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形． 点评：
本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．
5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M 从点A 开始，沿边AD 向点D 运动，速度为1cm/s；点N 从点C 开始，沿边CB 向点B 运动，速度为2cm/s、点M 、N 分别从点A 、C 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？ （2）当t 为何值时，四边形MNCD 是等腰梯形？ 分析：
（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t 值；
（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可． 解答： 解：（1）∵MD ∥NC ，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD 是平行四边形；
（2）作DE ⊥BC ，垂足为E ，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t ）=12，t=9时，四边形MNCD 是等腰梯形 点评：
考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．
6. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，P 、Q 分别从点D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动，设运动时间为t （s ）． （1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系；
（2）当t 为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？
分析：
（1）若过点P 作PM ⊥BC 于M ，则四边形PDCM 为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t ； （2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt △PQM 中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t 求出；
②若BP=BQ，在Rt △PMB 中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t 求出； ③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t 求出． 解答： 解：（1）过点P 作PM ⊥BC 于M ，则四边形PDCM 为矩形． ∴PM=DC=12， ∵QB=16-t，
∴s= •QB•PM= （16-t ）×12=96-6t （0≤t≤
）．
（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况
：
①若PQ=BQ，在Rt △PMQ 中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t ）2，解得
；
②若BP=BQ，在Rt △PMB 中，PB2=（16-2t ）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t ）2+122=（16-t ）2，此方程无解，∴BP≠PQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t ）2+122得
综上所述，当
或
，t2=16（不合题意，舍去）．
时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现
象．
7. 直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O ⇒B ⇒A 运动． （1）直接写出A 、B 两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t （秒），△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；
（3）当S= 485时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 分析：
（1）分别令y=0，x=0，即可求出A 、B 的坐标； （2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q 由O 到A 的时间是8秒，点P 的速度是2，从而可求出，
当P 在线段OB 上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P 在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD ⊥OA 于点D ，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案； （3）令S= 485，求出t 的值，进而求出OD 、PD ，即可求出P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M 的坐标． 解答：
解：（1）y=0，x=0，求得A （8，0）B （0，6）， （2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．
∵点Q 由O 到A 的时间是 81=8（秒）， ∴点P 的速度是 6+108=2（单位长度/秒）． 当P 在线段OB 上运动（或O≤t≤3）时， OQ=t，OP=2t，S=t2．
当P 在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时， OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t， 如图，做PD ⊥OA 于点D ，
由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5． ∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．
（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P 在AB 上 当S= 485时，- 35t2+245t= 485 ∴t=4
∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8 AD= 82-(245)2= 325 ∴OD=8- 325= 85 ∴P （ 85， 245） M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245） 点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
动点问题及四边形难题习题
1如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；
（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；
2. 已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C 三点的坐标分
0) B (810)，，C (0，4) ，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折别为A (8，，
线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．
（1）求直线BC 的解析式；
2？ 7
（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设△OPD 的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数
（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的关系式，并指出自变量t 的取值范围；
3. 如图，已知△ABC 中，AB =AC =10厘米，BC =8厘米，点D 为AB 的中点．
（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
4. 如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F.
（1）求证：CD ∥AB ；
（2）求证：△BDE ≌△ACE ；
（3）若O 为AB 中点，求证：OF ＝
5、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足A E＋CF=a，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形．
1
BE. 2
6、如图1－4－38，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD，∠ DBC＝45 ,翻折梯形使点B 重合于点 D，折痕分别交边 AB、BC 于点F 、E ，若AD=2，BC=8，求BE 的长．
7、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．
○
(1)求证：AB CF ；
(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时， 四边形ABFC 是矩形，并说明理由．
B
A
C
E
F
D
8、如图l －4－80，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于F ，则OE=OF． （1）请证明0E=OF
（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，AG 交 EB的延长线于 G，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则仍有OE=OF．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
9已知：如图4-26所示，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，P 为BC 的延长线上一点，PE ⊥直线AB 于点E ，PF ⊥直线AC 于点F ．求证：DE ⊥DF 并且相等．
10已知：如图4-27，ABCD 为矩形，CE ⊥BD 于点E ，∠BAD 的平分线与直线CE 相交于点F ．求证：CA=CF．
11已知：如图4-56A ．，直线l 通过正方形ABCD 的顶点D 平行于对角线AC ，E 为l 上一点，EC=AC，并且EC 与边AD 相交于点F ．求证：AE=AF．
本例中，点E 与A 位于BD 同侧．如图4-56B ．，点E 与A 位于BD 异侧，直线EC 与DA 的延长线交于点F ，这时仍有AE=AF．请自己证明．
动点问题练习题
1、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其它边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒．
1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
A M
N
2、如图，在梯形ABCD
中，AD ∥BC ，AD =3，DC =5，AB =B =45︒．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．
（2）当MN ∥AB 时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．
C
3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为
(6，0) ，点B 的坐标为(4，3) ，点
C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒) ．
(1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？
(2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ (3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？
若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由．
2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．
（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？
（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．
3、如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。OA 、OB 的长分别是方程x －14x ＋48＝0的两根(OA＞OB) ，直
线BC 平分∠ABO 交x 轴于C 点，P 为BC 上一动点，P 点以每秒1个单位的速度从B 点开始沿BC 方向移动。 (1)设△APB 和△OPB 的面积分别为S 1、S 2，求S 1∶S 2的值； (2)求直线BC 的解析式；
(3)设PA －PO ＝m ，P 点的移动时间为t 。
①当0＜t ≤45时，试求出m 的取值范围；
②当t ＞45时，你认为m 的取值范围如何(只要求写出结论) ？
4、在∆ABC 中，∠C =Rt ∠, AC =4cm , BC =5cm , 点D 在BC 上，且以CD ＝3cm, 现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s的速度沿BC 向终点C 移动。过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ 。设动点运动时间为x 秒。 （1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度；
（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设∆EDQ 的面积为y (cm 2) ，求y 与月份x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）当x 为何值时，∆EDQ 为直角三角形。
2
5、在直角梯形ABCD 中，∠C =90︒，高CD =6cm （如图1）。动点P , Q 同时从点B 出发，点P 沿BA , AD , DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，两点运动时的速度都是1cm /s 。而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C 。设P , Q 同时从点B 出发，经过的时间为t (s )时，∆BPQ 的面积为y cm 2（如图2）。分别以t , y 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P 在AD 边上从A 到D 运动时，y 与t 的函数图象是图3中的线段MN 。
（1）分别求出梯形中BA , AD
的长度； （2）写出图3中M , N 两点的坐标；
()
（3）分别写出点P 在BA 边上和DC 边上运动时，y 与t 的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象。
（图1）
（图2）
6、如图1
，在平面直角坐标系中，已知点A (0，点B 在x 正半轴上，且∠ABO =30．动点P 在线段AB 上从点A 向点B
t 秒．在x 轴上取两点M ，N 作等边△PMN ． （1）求直线AB 的解析式；
（2）求等边△PMN 的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边△PMN 的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；
（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt △AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边△PMN 和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当0≤t ≤2秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（图1） （图2）
7、如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成∆AC 1D 1和
∆BC 2D 2两个三角形（如图2所示）. 将纸片∆AC 1D 1沿直线D 2B （AB ）方向平移（点A , D 1, D 2, B 始终在同一
直线上），当点D 1于点B 重合时，停止平移. 在平移过程中，C 1D 1与BC 2交于点E, AC 1与C 2D 2、BC 2分别交于点F 、P.
（1）当∆AC 1D 1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D 1E 与D 2F 的数量关系，并证明你的猜想； （2）设平移距离D 2D 1为x ，∆AC 1D 1与∆BC 2D 2重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值；使得重叠部分的面积等于原∆ABC 面积的说明理由.
1
？若不存在，请4
C 1C 2C
2
A B A B D D 1D 212 图
1
图3 图
2
8. 梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3厘米/秒的速度向B 点运动。
已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t 秒，问：
（1）t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？
（2）在某个时刻，四边形PQCD 可能是菱形吗？为什么？ （3）t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形？
（4）t 为何值时，四边形PQCD 是等腰梯形？
9. 如右图，在矩形ABCD 中，AB=20cm，BC=4cm，点
P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4cm/s的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边1cm/s的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时 出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动 时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？
10、 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD =BC =5cm , AB =12 cm,CD =6cm , 点P 从A 开始沿AB 边
向B 以每秒3cm 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t 秒。 （1）求证：当t =
3
时，四边形APQD 是平行四边形； 2
（2）PQ 是否可能平分对角线BD ？若能，求出当t 为何值时PQ 平分BD ；若不能，请说明理由； （3）若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形，求t 的值。
B
P
11. 如图所示，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过O 作直线MN//BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于F 。
（1）求让：EO =FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。
AE 6
（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，且=∠B 的大小。
BC 2
A
M F N
B C D
12. 如图，矩形ABCD 中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ’处，求重叠部分⊿AFC 的面积.
13. 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动。
（1）试判断四边形PQEF 是正方形并证明。
（2）PE 是否总过某一定点，并说明理由。
（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时，
P
其面积最小，最大？各是多少？
E