圆中动点问题
一、选择题
【题1】如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确．．．
的是（ C ） A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。 B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。
C、当PO⊥AC时，∠ACP=300. D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形 【答案】
【题2】如图，以M（－5,0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动
点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F两点，则EF的长（ C ） A.
等于 B.
等于 C.等于6 D.随P点位置的变化而变化
【题3】如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1
在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是0.5cm
【答案】解：∵⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，∴当两圆内切时，圆心距为1，
∵⊙O1在直线l上任意滚动，∴两圆不可能内含，∴圆心距不能小于1，故选D．
【题4】如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4cm，P为直线l上一动点，
以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是 d＞5cm或2cm≤d＜3cm ．
【答案】解：连接OP、OA，
∵⊙O的半径为4cm，1cm为半径的⊙P，⊙P与⊙O没有公共点， ∴d＞5时，两圆外离，
当两圆内切时，过点O作OD⊥AB于点D，OP′=4-1=3cm，OD=2cm， ∴以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点时，2≤d＜3， 故答案为：d＞5或2≤d＜3．
【题5】如图，在Rt△AOB中，
O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O
的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ
【答案】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ=OP﹣OQ，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，
OA=OB=
，∴OP=
2
2
2
OA·OB
=3，∴
PQ=
AB
【题6】如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中
点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 10.5 ．
【答案】当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=14．∵∠ABC是直径上的圆周角，∴∠ABC=90°，∵∠C=30°， ∴AC=7．∵点E、F分别为AC、BC的中点，∴EF=3.5， ∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5．故答案为10.5．
【题7】如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=4502 ,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O
分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为
【答案】∠ACB=60°,∠ABC=45°,那么，∠BAC=75°.∠EOF=2∠BAC=150°所以，∠OEF=∠OFE=30°
所以，EF=√3×OE,∠ABC=√3×AO所以，当直径AD最小时，EF最小;所以，EF最小时，AD与BC垂直AB=2√2，,∠ABC=45°,所以，AD=2OA=1，所以，EF最小值为√3
【题8】如图，已知⊙O是以坐标原点
O为圆心，1
为半径的圆，∠AOB=45°，点P在x轴上运动，若过点P
且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x
【答案】解：连接OD，由题意得，OD＝1，∠DOP'＝45°，∠ODP'＝90°，
故可得OP'＝
，即x的极大值为
，同理当点P在x轴左边时也有一个极值点，
≤x≤
．
此时x取得极小值，x＝－，综上可得x的范围为：－
【题9】射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动
点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，
cm为半径
的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值t=2或3≤t≤7或t=8（单位：秒）
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°， 分为三种情况：①如图1，
当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=
cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，
∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2； ②如图2，
当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，
当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切； ③如图1，
cm，cm，
当⊙P切BC于N′时，连接PN′3则PN′=
cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，
∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8； 故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．
【题10】如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、
C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E． （1）求证：OF∥BE；
（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG
（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．
【题11】如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直
线CD
上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．
（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；
（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由； （3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．
【题12】如图，△OAB中，OA = OB = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧⌒MN分别交OA，
OB于点M，N.
（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′. 求证：AP = BP′； （2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T 到OA的距离；
（3）设点Q在优弧⌒MN上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数.
【答案】（1）证明：∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80º+∠BOP.
∠BOP’=∠POP’+∠BOP=80º+∠BOP ∴∠AOP=∠BOP’又∵OA=OB，OP=OP’ ∴△AOP≌△BOP’∴AP=BP’
（2）解：连接OT，过T作TH⊥OA于点H,∵AT与⌒MN相切，∴∠ATO=90º
∴AT=
=8
∵
12⨯OA⨯TH=12⨯AT⨯OT,即11
2⨯10⨯TH=2⨯8⨯6 ∴TH=245
，即为所求的距离
（3）10º，170º【注：当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点】
【题13】如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于
点B，BP的延长线交直线l于点C.
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.
【解析】（1）由于AB是⊙O的切线，故连半径，利用切线性质，圆半径相等，对顶角相等，余角性质，
推出AB,AC两底角相等；
（2）设圆半径为r，利用勾股定理列方程求半径，再利用三角形相似求PB
（3）先作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，再利用勾股定理计算即可
【答案】（1）AB=AC; 连接OB，则OB⊥AB，所以∠CBA+∠OBP=900,
又OP=OB，所以∠OBP=∠OPB，又∠OPB=∠CPA，又OA⊥l于点A， 所以∠PCA+∠CPA=900,故∠PCA=∠CBA，所以AB=AC （2）设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r；
∴AB2=OA2-OB2=52-r2,AC2=PC2-AP22-（5-r）2，
从而建立等量关系，r=3，∵AB=AC，∴AB2= AC2，利用相似，求出PB=4 （3）作出线段AC的垂直平分线MN，作
OD垂直于MN，
则可推出OD=
11
AC=
AB 22≤r,r≥
由题意，圆O要与直线MN有交点，所以OD=
又因为圆O与直线l相离；所以r
【点评】本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用以及勾股定理的应用等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力，考查了圆的相关知识，圆的切线是圆中的重点，也是考试常考的部分；求线段的长常用勾股定理或相似等知识解答.
【题14】如图，⊙O是△ABC外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是BC弧上一动点，过点P作BC的平行
线交AB延长线与点D.
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？说明理由.
（2）当DP是⊙O的切线时，求DP的长
.
解析：（1）根据PD//BC，可以天加辅助线由切线判定定理解题；
（2）根据勾股定理与垂径定理求出⊙O半径r，再结合△ABE∽△ADP即可.
解：（1）当P是BC中点时，DP是⊙O的切线.理由如下：
∵AB=AC，∴
又
∴PA是⊙O的直径
.
又AB=AC，∴PA⊥BC.
∵DP//BC，∴PD⊥AP.
∴DP是⊙O的切线.
（2）连接OB，设PA交BC于点E.
由垂径定理得，BE= 1BC=6. 2
在Rt△ABE中，据勾股定理，AE=
设⊙O的半径为r，则OE=8-r. AB2-BE2=2-62=8.
在Rt△OBE中，r=6+(8-r).解得r=
（3）∵DP//BC，∴∠ABE=∠D.
又∵∠1=∠1，∴△ABE≌△ADP 22225. 4875
，∴DP= 2582⨯4BEAE6=，即=DPAPDP
【题15】如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°.点P从A点出发，
的速度，沿AC向C
作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动。当P运动到C点时，P、Q都停止运动，设点P运动的时间为ts.
（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心 PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，ｔ为怎样的值时，⊙Ｐ与边ＢＣ分
别有1个公共点和2个公共点？
【解析】（1）利用菱形的性质及相似三角形的判定和性质解决此问题。
（2）直线与圆的位置关系，抓住动态问题的几个关键位置，⊙P过边BC的端点B或C时，
⊙P与边BC相切时，用时间t及点P和点Q的运动速度表示对应边的长度，利用特殊三角形
的特殊性质构造一元一次方程，进一步求出t的值，根据运动的过程找到边BC与⊙P有不同
交点个数时的t的取值范围。
【答案】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=2，∠BAC=
又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°.
连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD，OA=
∴OB=1∠DAB. 21AC 21AB=1
，∴2
运动t
秒时，，AQ=t
，∴APAC=AQAB
又∵∠PAQ=∠CAB，∴ΔPAQ∽ΔCAB
∴∠APQ=∠ACB, ∴PQ∥BC
（2）如图1，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC.
在RtΔCPM中，∠PCM=30°，∴PM=1
2
由PQ=AQ=t,
=t,解得
t=， 2
此时⊙P与边BC有一个公共点。
如图2，⊙P过点B，此时PQ=PB
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°∴ΔPQB为等边三角形，
∴QB=PQ=AQ=t, ∴t=1
∴当t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点。
如图3，⊙P过点C，此时PC=PQ,
即=t
，∴t.
∴当1
当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，
此时⊙P与边BC有1个公共点。
综上所述：当
t=
或1
个公共点；当t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点。
圆中动点问题
一、选择题
【题1】如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确．．．
的是（ C ） A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。 B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。
C、当PO⊥AC时，∠ACP=300. D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形 【答案】
【题2】如图，以M（－5,0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动
点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F两点，则EF的长（ C ） A.
等于 B.
等于 C.等于6 D.随P点位置的变化而变化
【题3】如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1
在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是0.5cm
【答案】解：∵⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，∴当两圆内切时，圆心距为1，
∵⊙O1在直线l上任意滚动，∴两圆不可能内含，∴圆心距不能小于1，故选D．
【题4】如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4cm，P为直线l上一动点，
以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是 d＞5cm或2cm≤d＜3cm ．
【答案】解：连接OP、OA，
∵⊙O的半径为4cm，1cm为半径的⊙P，⊙P与⊙O没有公共点， ∴d＞5时，两圆外离，
当两圆内切时，过点O作OD⊥AB于点D，OP′=4-1=3cm，OD=2cm， ∴以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点时，2≤d＜3， 故答案为：d＞5或2≤d＜3．
【题5】如图，在Rt△AOB中，
O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O
的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ
【答案】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ=OP﹣OQ，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，
OA=OB=
，∴OP=
2
2
2
OA·OB
=3，∴
PQ=
AB
【题6】如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中
点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 10.5 ．
【答案】当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=14．∵∠ABC是直径上的圆周角，∴∠ABC=90°，∵∠C=30°， ∴AC=7．∵点E、F分别为AC、BC的中点，∴EF=3.5， ∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5．故答案为10.5．
【题7】如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=4502 ,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O
分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为
【答案】∠ACB=60°,∠ABC=45°,那么，∠BAC=75°.∠EOF=2∠BAC=150°所以，∠OEF=∠OFE=30°
所以，EF=√3×OE,∠ABC=√3×AO所以，当直径AD最小时，EF最小;所以，EF最小时，AD与BC垂直AB=2√2，,∠ABC=45°,所以，AD=2OA=1，所以，EF最小值为√3
【题8】如图，已知⊙O是以坐标原点
O为圆心，1
为半径的圆，∠AOB=45°，点P在x轴上运动，若过点P
且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x
【答案】解：连接OD，由题意得，OD＝1，∠DOP'＝45°，∠ODP'＝90°，
故可得OP'＝
，即x的极大值为
，同理当点P在x轴左边时也有一个极值点，
≤x≤
．
此时x取得极小值，x＝－，综上可得x的范围为：－
【题9】射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动
点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，
cm为半径
的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值t=2或3≤t≤7或t=8（单位：秒）
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°， 分为三种情况：①如图1，
当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=
cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，
∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2； ②如图2，
当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，
当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切； ③如图1，
cm，cm，
当⊙P切BC于N′时，连接PN′3则PN′=
cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，
∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8； 故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．
【题10】如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、
C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E． （1）求证：OF∥BE；
（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG
（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．
【题11】如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直
线CD
上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．
（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；
（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由； （3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．
【题12】如图，△OAB中，OA = OB = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧⌒MN分别交OA，
OB于点M，N.
（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′. 求证：AP = BP′； （2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T 到OA的距离；
（3）设点Q在优弧⌒MN上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数.
【答案】（1）证明：∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80º+∠BOP.
∠BOP’=∠POP’+∠BOP=80º+∠BOP ∴∠AOP=∠BOP’又∵OA=OB，OP=OP’ ∴△AOP≌△BOP’∴AP=BP’
（2）解：连接OT，过T作TH⊥OA于点H,∵AT与⌒MN相切，∴∠ATO=90º
∴AT=
=8
∵
12⨯OA⨯TH=12⨯AT⨯OT,即11
2⨯10⨯TH=2⨯8⨯6 ∴TH=245
，即为所求的距离
（3）10º，170º【注：当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点】
【题13】如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于
点B，BP的延长线交直线l于点C.
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.
【解析】（1）由于AB是⊙O的切线，故连半径，利用切线性质，圆半径相等，对顶角相等，余角性质，
推出AB,AC两底角相等；
（2）设圆半径为r，利用勾股定理列方程求半径，再利用三角形相似求PB
（3）先作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，再利用勾股定理计算即可
【答案】（1）AB=AC; 连接OB，则OB⊥AB，所以∠CBA+∠OBP=900,
又OP=OB，所以∠OBP=∠OPB，又∠OPB=∠CPA，又OA⊥l于点A， 所以∠PCA+∠CPA=900,故∠PCA=∠CBA，所以AB=AC （2）设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r；
∴AB2=OA2-OB2=52-r2,AC2=PC2-AP22-（5-r）2，
从而建立等量关系，r=3，∵AB=AC，∴AB2= AC2，利用相似，求出PB=4 （3）作出线段AC的垂直平分线MN，作
OD垂直于MN，
则可推出OD=
11
AC=
AB 22≤r,r≥
由题意，圆O要与直线MN有交点，所以OD=
又因为圆O与直线l相离；所以r
【点评】本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用以及勾股定理的应用等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力，考查了圆的相关知识，圆的切线是圆中的重点，也是考试常考的部分；求线段的长常用勾股定理或相似等知识解答.
【题14】如图，⊙O是△ABC外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是BC弧上一动点，过点P作BC的平行
线交AB延长线与点D.
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？说明理由.
（2）当DP是⊙O的切线时，求DP的长
.
解析：（1）根据PD//BC，可以天加辅助线由切线判定定理解题；
（2）根据勾股定理与垂径定理求出⊙O半径r，再结合△ABE∽△ADP即可.
解：（1）当P是BC中点时，DP是⊙O的切线.理由如下：
∵AB=AC，∴
又
∴PA是⊙O的直径
.
又AB=AC，∴PA⊥BC.
∵DP//BC，∴PD⊥AP.
∴DP是⊙O的切线.
（2）连接OB，设PA交BC于点E.
由垂径定理得，BE= 1BC=6. 2
在Rt△ABE中，据勾股定理，AE=
设⊙O的半径为r，则OE=8-r. AB2-BE2=2-62=8.
在Rt△OBE中，r=6+(8-r).解得r=
（3）∵DP//BC，∴∠ABE=∠D.
又∵∠1=∠1，∴△ABE≌△ADP 22225. 4875
，∴DP= 2582⨯4BEAE6=，即=DPAPDP
【题15】如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°.点P从A点出发，
的速度，沿AC向C
作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动。当P运动到C点时，P、Q都停止运动，设点P运动的时间为ts.
（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心 PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，ｔ为怎样的值时，⊙Ｐ与边ＢＣ分
别有1个公共点和2个公共点？
【解析】（1）利用菱形的性质及相似三角形的判定和性质解决此问题。
（2）直线与圆的位置关系，抓住动态问题的几个关键位置，⊙P过边BC的端点B或C时，
⊙P与边BC相切时，用时间t及点P和点Q的运动速度表示对应边的长度，利用特殊三角形
的特殊性质构造一元一次方程，进一步求出t的值，根据运动的过程找到边BC与⊙P有不同
交点个数时的t的取值范围。
【答案】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=2，∠BAC=
又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°.
连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD，OA=
∴OB=1∠DAB. 21AC 21AB=1
，∴2
运动t
秒时，，AQ=t
，∴APAC=AQAB
又∵∠PAQ=∠CAB，∴ΔPAQ∽ΔCAB
∴∠APQ=∠ACB, ∴PQ∥BC
（2）如图1，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC.
在RtΔCPM中，∠PCM=30°，∴PM=1
2
由PQ=AQ=t,
=t,解得
t=， 2
此时⊙P与边BC有一个公共点。
如图2，⊙P过点B，此时PQ=PB
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°∴ΔPQB为等边三角形，
∴QB=PQ=AQ=t, ∴t=1
∴当t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点。
如图3，⊙P过点C，此时PC=PQ,
即=t
，∴t.
∴当1
当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，
此时⊙P与边BC有1个公共点。
综上所述：当
t=
或1
个公共点；当t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点。