击实试验数据的数值分析方法
俞文生 蒲 华2
（1 江西交通工程咨询监理中心 南昌 330008） （2 江西省交通质量监督站 南昌 330008)
1
摘 要：对于公路填方路基工程，土的最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0是路基施工质量控制的两个重要因素，是路基填土压实度的主要判定指标。规范推荐通过绘制ρd -ω曲线图的求解方法，因曲线的任意性空间较大，容易引起人为误差。为此，本文结合数值分析原理，提出了按最小二乘原则求解击实试验数据的拟合曲线，从而为理论求解最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0提供了依据。在实践运用中，将其移植到EXECL 或相关程序中，极大提高了工作效率和减少人为误差，具有一定的推广应用价值。
关键词：道路工程；数值分析；最大干密度；最佳含水量；最小二乘；曲线拟合
0 前 言
对于公路填方路基工程，土压实是最重要的工作，填方路堤的质量主要由路基土的压实度来判断的。按照公路工程施工技术规范的规定，土的最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0是路基施工质量控制的两重要因素，是路基填土压实度的主要判定指标。按照《公路土工试验规程》（JTJ051）的规定，土的最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0是根据击实试验结果，手工绘制ρd -ω曲线图，按曲线的峰值点来确定ρdm 和ω0。从各公路项目的试验结果调查分析来看，这种采用击实曲线求解的方法，往往因不同试验人员的经验、对数据的处理方法、绘制比例等，导致求解的最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0结果差异较大。这种差异主要是因为绘制ρd -ω曲线的任意性空间较大容易引起人为误差所致。针对上述击实试验数据处理存在的问题，本文结合数值分析原理，提出了按最小二乘原则确定对应试验数据的拟合曲线，从而为理论求解最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0提供了依据，并给示例进行计算。
1 数值分析原理
1.1曲线拟合原理
设在x Oy 直角坐标系中给定m +1对数据（即相应ω0和ρd 的坐标）
① i =0, 1, 2, , m 其中a =x 0
y (x ) =∑c j ϕj (x )
j =0n
(x i , y i ),
②
中寻找一曲线按照最小二乘原则去拟合击实试验数据①，用所得的拟合曲线去代替击实试验数据①所反映的函数关系。因数据①是在试验室通过击实试验测量计算所得的最佳含水量ω0和最大干密度ρdm ，一般在试验中总会带有观测误差，因此不必要求曲线y (x ) 一定要通过数据①表示的所有点。
若曲线
y (x ) =
*
n
∑c
j =0
*
j
ϕj (x )
③
使得
m ⎡n ⎡n *⎤⎤
c ϕ(x ) -y =min c j ϕj (x i ) -y i ⎥④ ⎢∑j j i ⎢∑∑∑i ⎥{c j }
i =0⎣j =0i =0⎣j =0⎦⎦m
2
2
成立，则称曲线
y *(x ) 为曲线族②中按最小二乘原则确定对于数据①的拟合曲线。
y *(x ) ，就是按条件④求出系数c *1, , n ) 。根据离散型的最佳平j (j =0,
1.2最小二乘法求拟合曲线
所谓最小二乘法求拟合曲线
6
方逼近的相关原理可知，满足条件④的拟合曲线
y *(x ) 存在且唯一，并且从法方程
⑤
A T Ac *=A T y
中求解出c
*
***T
=(c 0, c 1, , c n ) ，就得到拟合曲线③。 *
拟合曲线y (x ) 对数据①的拟合精度，用误差平方和σ来描述。
2
σ=∑[y *(x i ) -y i ]
i =0m
⑥
*
另外，当m =n 时，矩阵A 是非奇异的方阵。此时，法方程⑤成为Ac
n
满足插值条件y (x ) =∑c ϕj (x ) ∑c *j ϕj (x i ) =y i *
n
*
j
j =0
=y 。这表明，拟合曲线
j =0
(i =0, 1, , m )而成为插值曲线。
1.3基函数和阶数的确定
x j (j =0, 1, , n ) 作基数，这时，拟合曲线是n 次多项式曲线
y *(x ) =
作曲线拟合，选择基函数是至关重要的，根据击实试验ω0和ρd 的坐标点分布情况，可选择幂函数
∑c
j =0
n
*j
x j
⑦
对于多项式⑦，阶数n 的取值是关键，取得太低，拟合就粗糙；阶数n 取得太高，拟合过头，相应的法方程往往是病态的，且n 越大病态越严重。根据击实试验数据一般都是5组数据的实际情况，在下面结合算例，分别对阶数n 取2,3,4的三种情况按误差平方和σ来进行选定。
2 算例
本算例采用《公路土工试验规程》(JTJ051-93)中击实试验表16.0.5的试验数据，具体如下表1：
2.1不同阶数多项式的求解
（1）取n=2时的情况 当n=2时，拟合曲线为
ρd =c 0+c 1ω+c 2ω2
则：
⎡1⎢1⎢A =⎢1
⎢⎢1⎢⎣1
T
⑧
8. 110. 2
13. 015. 819. 0
65. 61⎤
104. 04⎥⎥
169. 00⎥
⎥
249. 64⎥361⎥⎦
法方程A
Ac *=A T y 的解为
c 0=1.08675，c 1=0.09573，c 2=-0.00315
所求二次多项式为
ρd =1.08675＋0.09573ω－0.00315ω
误差平方和σ2=0.001224
（2）取n=3时的情况 当n=3时，拟合曲线为
2
ρd =c 0+c 1ω+c 2ω2++c 3ω3
则：
⎡1
⎢1⎢A =⎢1
⎢⎢1⎢⎣1
8. 110. 2
13. 015. 819. 0
65. 61104. 04169. 00249. 64361. 00
531. 441⎤
1061. 208⎥⎥
3197. 000⎥
⎥
3944. 312⎥6859. 000⎥⎦
⑨
7
法方程A
T
Ac *=A T y 的解为
c 0=2.05971,c 1=-0.14171,c 2=0.01517
c 3=-0.00045
所求三次多项式为
ρd =2.05971-0.14171ω＋0.01517ω
误差平方和σ3=0.000094
(3)取n=4时的情况
2
-0.00045ω
3
当n=4，即m=n，此时，拟合曲线就成为了插值曲线。所求得的四次多项式为
ρd =3.67316-0.67299ω＋0.07857ω-0.00370ω＋0.00006ω
2
3
4
误差平方和σ4=0
2.2多项式阶数的选定
根据上述求解的不同阶数的多项，绘制出相应的拟合曲线图如下图1。
图1 不同阶次多项式的拟合曲线图
从上图1可以看出，当n=2时，所拟合的曲线误差较大，误差平方和σ2=0.001224，不宜采用；当n=4时，所拟合的曲线变成了插值曲线，σ4=0，但取四次多项作拟合曲线时，计算工作量很大，求解ρdm 和ω0值相当麻烦，且对实际运用没有太大的意义；当n=3时，所拟合的曲线误差很小，σ3=0.000094，足够能满足击实试验的精度需求，且从下面的分析可知，方便解ρdm 和ω0值，故拟定三次多项式作拟合曲线。
2.3
ρdm 和ω0的求解
从所求的三次多项式和试验曲线图可知，拟合曲线在[ωmin , ωmax ]区间存在着最大值，并可根据函数极值
'原理求解出拟合曲线的最大值。令ρd
ω1, 2=
2c 2±
'=c 1+2c 2ω+3c 3ω2=0，则： =0，即ρd
(2c 2) 2-4⨯3c 3⨯c 1
-2⨯3c 3
求出ω1, ω2后，判断其是否都在[ωmin , ωmax ]区间，从图1和函数的极值原理可知，试验数据正常情况下，至少有一个（一般也只有一个）ω满足要求。若只有一个满足，则该值即为最佳含水量ω0，即可代入式⑨中求出最大干密度
ρdm
ρdm ；若二个都满足，则可代入式⑨，求出相应的ρd 1, ρd 2，则最大干密度
=max (ρd 1, ρd 2)，最大干密度ρdm 对应的含水量即为最佳含水量ω0。一般ω1, ω2都在[ωmin , ωmax ]
按上述方法，求解出不同阶次多项式拟合曲线的最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0如下表2。
区间内的概率很小。
(下转第16页)
从上表可以看出，采用三次多项式拟合曲线求解出的最大干密度dm 和最佳含水量ω0与试验规程中作图求解的结果基本一致。
3 结 语
通过数值分析求解击实试验数据的拟合曲线，为理论求解最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0提供了依据。根据试验数据采用理论求解最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0改变了作图求解的任意性，减少了人为误差，并通过对误差平方和的分析可知，采用三次多项式曲线足够能满足试验精度的要求。在实践运用中，我们可将其求解过程移植到EXECL 或相关程序中，输入击实试验的基础数据后，自动计算出最大干密度ρdm 和最佳含水量
6
0，并可绘制出相应的曲线图，简单易行，可视性好，易于掌握和判别，极大地提高了工作效率和减少人为
误差，具有一定的推广应用价值。
参考文献：
[1] 颜庆津. 数值分析[M].北京:北京航空航天大学出版社,1999,12.
[2]交通部公路科学研究所, 公路土工试验规程JTJ051-93[S].北京:人民交通出版社,1997. [3] 路桥集团第二公路工程局, 公路施工手册路基[M].
北京:人民交通出版社,2003,1.
7
击实试验数据的数值分析方法
俞文生 蒲 华2
（1 江西交通工程咨询监理中心 南昌 330008） （2 江西省交通质量监督站 南昌 330008)
1
摘 要：对于公路填方路基工程，土的最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0是路基施工质量控制的两个重要因素，是路基填土压实度的主要判定指标。规范推荐通过绘制ρd -ω曲线图的求解方法，因曲线的任意性空间较大，容易引起人为误差。为此，本文结合数值分析原理，提出了按最小二乘原则求解击实试验数据的拟合曲线，从而为理论求解最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0提供了依据。在实践运用中，将其移植到EXECL 或相关程序中，极大提高了工作效率和减少人为误差，具有一定的推广应用价值。
关键词：道路工程；数值分析；最大干密度；最佳含水量；最小二乘；曲线拟合
0 前 言
对于公路填方路基工程，土压实是最重要的工作，填方路堤的质量主要由路基土的压实度来判断的。按照公路工程施工技术规范的规定，土的最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0是路基施工质量控制的两重要因素，是路基填土压实度的主要判定指标。按照《公路土工试验规程》（JTJ051）的规定，土的最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0是根据击实试验结果，手工绘制ρd -ω曲线图，按曲线的峰值点来确定ρdm 和ω0。从各公路项目的试验结果调查分析来看，这种采用击实曲线求解的方法，往往因不同试验人员的经验、对数据的处理方法、绘制比例等，导致求解的最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0结果差异较大。这种差异主要是因为绘制ρd -ω曲线的任意性空间较大容易引起人为误差所致。针对上述击实试验数据处理存在的问题，本文结合数值分析原理，提出了按最小二乘原则确定对应试验数据的拟合曲线，从而为理论求解最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0提供了依据，并给示例进行计算。
1 数值分析原理
1.1曲线拟合原理
设在x Oy 直角坐标系中给定m +1对数据（即相应ω0和ρd 的坐标）
① i =0, 1, 2, , m 其中a =x 0
y (x ) =∑c j ϕj (x )
j =0n
(x i , y i ),
②
中寻找一曲线按照最小二乘原则去拟合击实试验数据①，用所得的拟合曲线去代替击实试验数据①所反映的函数关系。因数据①是在试验室通过击实试验测量计算所得的最佳含水量ω0和最大干密度ρdm ，一般在试验中总会带有观测误差，因此不必要求曲线y (x ) 一定要通过数据①表示的所有点。
若曲线
y (x ) =
*
n
∑c
j =0
*
j
ϕj (x )
③
使得
m ⎡n ⎡n *⎤⎤
c ϕ(x ) -y =min c j ϕj (x i ) -y i ⎥④ ⎢∑j j i ⎢∑∑∑i ⎥{c j }
i =0⎣j =0i =0⎣j =0⎦⎦m
2
2
成立，则称曲线
y *(x ) 为曲线族②中按最小二乘原则确定对于数据①的拟合曲线。
y *(x ) ，就是按条件④求出系数c *1, , n ) 。根据离散型的最佳平j (j =0,
1.2最小二乘法求拟合曲线
所谓最小二乘法求拟合曲线
6
方逼近的相关原理可知，满足条件④的拟合曲线
y *(x ) 存在且唯一，并且从法方程
⑤
A T Ac *=A T y
中求解出c
*
***T
=(c 0, c 1, , c n ) ，就得到拟合曲线③。 *
拟合曲线y (x ) 对数据①的拟合精度，用误差平方和σ来描述。
2
σ=∑[y *(x i ) -y i ]
i =0m
⑥
*
另外，当m =n 时，矩阵A 是非奇异的方阵。此时，法方程⑤成为Ac
n
满足插值条件y (x ) =∑c ϕj (x ) ∑c *j ϕj (x i ) =y i *
n
*
j
j =0
=y 。这表明，拟合曲线
j =0
(i =0, 1, , m )而成为插值曲线。
1.3基函数和阶数的确定
x j (j =0, 1, , n ) 作基数，这时，拟合曲线是n 次多项式曲线
y *(x ) =
作曲线拟合，选择基函数是至关重要的，根据击实试验ω0和ρd 的坐标点分布情况，可选择幂函数
∑c
j =0
n
*j
x j
⑦
对于多项式⑦，阶数n 的取值是关键，取得太低，拟合就粗糙；阶数n 取得太高，拟合过头，相应的法方程往往是病态的，且n 越大病态越严重。根据击实试验数据一般都是5组数据的实际情况，在下面结合算例，分别对阶数n 取2,3,4的三种情况按误差平方和σ来进行选定。
2 算例
本算例采用《公路土工试验规程》(JTJ051-93)中击实试验表16.0.5的试验数据，具体如下表1：
2.1不同阶数多项式的求解
（1）取n=2时的情况 当n=2时，拟合曲线为
ρd =c 0+c 1ω+c 2ω2
则：
⎡1⎢1⎢A =⎢1
⎢⎢1⎢⎣1
T
⑧
8. 110. 2
13. 015. 819. 0
65. 61⎤
104. 04⎥⎥
169. 00⎥
⎥
249. 64⎥361⎥⎦
法方程A
Ac *=A T y 的解为
c 0=1.08675，c 1=0.09573，c 2=-0.00315
所求二次多项式为
ρd =1.08675＋0.09573ω－0.00315ω
误差平方和σ2=0.001224
（2）取n=3时的情况 当n=3时，拟合曲线为
2
ρd =c 0+c 1ω+c 2ω2++c 3ω3
则：
⎡1
⎢1⎢A =⎢1
⎢⎢1⎢⎣1
8. 110. 2
13. 015. 819. 0
65. 61104. 04169. 00249. 64361. 00
531. 441⎤
1061. 208⎥⎥
3197. 000⎥
⎥
3944. 312⎥6859. 000⎥⎦
⑨
7
法方程A
T
Ac *=A T y 的解为
c 0=2.05971,c 1=-0.14171,c 2=0.01517
c 3=-0.00045
所求三次多项式为
ρd =2.05971-0.14171ω＋0.01517ω
误差平方和σ3=0.000094
(3)取n=4时的情况
2
-0.00045ω
3
当n=4，即m=n，此时，拟合曲线就成为了插值曲线。所求得的四次多项式为
ρd =3.67316-0.67299ω＋0.07857ω-0.00370ω＋0.00006ω
2
3
4
误差平方和σ4=0
2.2多项式阶数的选定
根据上述求解的不同阶数的多项，绘制出相应的拟合曲线图如下图1。
图1 不同阶次多项式的拟合曲线图
从上图1可以看出，当n=2时，所拟合的曲线误差较大，误差平方和σ2=0.001224，不宜采用；当n=4时，所拟合的曲线变成了插值曲线，σ4=0，但取四次多项作拟合曲线时，计算工作量很大，求解ρdm 和ω0值相当麻烦，且对实际运用没有太大的意义；当n=3时，所拟合的曲线误差很小，σ3=0.000094，足够能满足击实试验的精度需求，且从下面的分析可知，方便解ρdm 和ω0值，故拟定三次多项式作拟合曲线。
2.3
ρdm 和ω0的求解
从所求的三次多项式和试验曲线图可知，拟合曲线在[ωmin , ωmax ]区间存在着最大值，并可根据函数极值
'原理求解出拟合曲线的最大值。令ρd
ω1, 2=
2c 2±
'=c 1+2c 2ω+3c 3ω2=0，则： =0，即ρd
(2c 2) 2-4⨯3c 3⨯c 1
-2⨯3c 3
求出ω1, ω2后，判断其是否都在[ωmin , ωmax ]区间，从图1和函数的极值原理可知，试验数据正常情况下，至少有一个（一般也只有一个）ω满足要求。若只有一个满足，则该值即为最佳含水量ω0，即可代入式⑨中求出最大干密度
ρdm
ρdm ；若二个都满足，则可代入式⑨，求出相应的ρd 1, ρd 2，则最大干密度
=max (ρd 1, ρd 2)，最大干密度ρdm 对应的含水量即为最佳含水量ω0。一般ω1, ω2都在[ωmin , ωmax ]
按上述方法，求解出不同阶次多项式拟合曲线的最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0如下表2。
区间内的概率很小。
(下转第16页)
从上表可以看出，采用三次多项式拟合曲线求解出的最大干密度dm 和最佳含水量ω0与试验规程中作图求解的结果基本一致。
3 结 语
通过数值分析求解击实试验数据的拟合曲线，为理论求解最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0提供了依据。根据试验数据采用理论求解最大干密度ρdm 和最佳含水量ω0改变了作图求解的任意性，减少了人为误差，并通过对误差平方和的分析可知，采用三次多项式曲线足够能满足试验精度的要求。在实践运用中，我们可将其求解过程移植到EXECL 或相关程序中，输入击实试验的基础数据后，自动计算出最大干密度ρdm 和最佳含水量
6
0，并可绘制出相应的曲线图，简单易行，可视性好，易于掌握和判别，极大地提高了工作效率和减少人为
误差，具有一定的推广应用价值。
参考文献：
[1] 颜庆津. 数值分析[M].北京:北京航空航天大学出版社,1999,12.
[2]交通部公路科学研究所, 公路土工试验规程JTJ051-93[S].北京:人民交通出版社,1997. [3] 路桥集团第二公路工程局, 公路施工手册路基[M].
北京:人民交通出版社,2003,1.
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