"三法"证明线面平行

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“三法”证明线面平行

作者:辛军元韩秀梅

来源:《中学教学参考·理科版》2014年第09期

平行关系是几何中一种常见的位置关系,其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种,是高中数学的必修内容,它既与线线平行相关,又与面面平行有一定的联系,是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中,有一半的试卷涉及线面平行的证明,下面以题为例研究线面平行的证明方法,寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理,即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行,即证线线平行,经常应用到的结论有:(1)三角形的中位线平行于第三边;(2)同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行;(3)垂直于同一直线的两条直线平行;(4)平行四边形的对边相等且平行;(5)如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线,所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评:本题中要证BE∥面PAD,可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行,根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时,若根据判断定理不容易证明,可考虑通过证明面面平行,达到证明线面平行的目的.

点评:要证明BM∥平面AEF,在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行,但根据条件易证明PM∥平面AEF,PB∥平面AEF.从而得到面面平行,根据面面平行的性质,易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知,如果直线与平面的法向量垂直,且直线在平面外,则直线与平面平行,当题目中的条件有利于建立直角坐标系,且用以上两种方法不易证明时,可考虑建立直角坐标系,利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

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“三法”证明线面平行

作者:辛军元韩秀梅

来源:《中学教学参考·理科版》2014年第09期

平行关系是几何中一种常见的位置关系,其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种,是高中数学的必修内容,它既与线线平行相关,又与面面平行有一定的联系,是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中,有一半的试卷涉及线面平行的证明,下面以题为例研究线面平行的证明方法,寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理,即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行,即证线线平行,经常应用到的结论有:(1)三角形的中位线平行于第三边;(2)同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行;(3)垂直于同一直线的两条直线平行;(4)平行四边形的对边相等且平行;(5)如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线,所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评:本题中要证BE∥面PAD,可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行,根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时,若根据判断定理不容易证明,可考虑通过证明面面平行,达到证明线面平行的目的.

点评:要证明BM∥平面AEF,在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行,但根据条件易证明PM∥平面AEF,PB∥平面AEF.从而得到面面平行,根据面面平行的性质,易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知,如果直线与平面的法向量垂直,且直线在平面外,则直线与平面平行,当题目中的条件有利于建立直角坐标系,且用以上两种方法不易证明时,可考虑建立直角坐标系,利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.


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