知识点42渐近线的分类与求法

学科：高等数学

第三章 微分中值定理及导数的应用

知识点42 渐近线的分类与求法

相关概念、公式定理或结论定义 **● 定理 **● 结论 **

●

考频：3

知识点42 配套习题

例42.1(难度系数0.2) 当x0时,曲线yxsin（ ）.

(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线，也有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线

1x

sin

11

sin

，limylim1，所以yxsin1的水平渐近线是

xxxxx

1

x

解析：yxsin

y1.

铅直渐近线表示x趋于某值时，y趋于无穷大，显然不存在这样的点.故选(A).

解：选(A).

比招：各类渐近线的理解

渐近线仅三类：铅直渐近线，水平渐近线，斜渐近线.渐近线的代数意义就是相关的两个变量中有且仅有一个是无穷大：

水平渐近线ya：x（或x，或x）时，ya；

铅直渐近线xb：xb（或xb，或xb）时，y（对应无穷间断点）；

斜渐近线yaxb：x（或x，或x）时，yaxb.

1

例42.2(难度系数0.4) 曲线yxe（ ）.

(A)仅有水平渐近线 (B)既有垂直又有水平渐近线(C)仅有垂直渐近线 (D)既有垂直又有斜渐近线

t

1e解析：令t,limxexlim,所以曲线有一条垂直渐近线x0.又因为

ttxx0

1

2

x1

1f(x)xexalimlim1，blim[f(x)ax]lim(xexx)limx20，从而曲线

xxxxxxxx

1

有一条斜渐近线yx，故选(D).

解：选(D).

x41

例42.3(难度系数0.4) 曲线y2arctan的渐近线有( ).

x1x

(A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条

x41

解析：2arctan有三个间断点，其中x1为无穷间断点，则曲线有两条

x1x

铅直渐近线，而x0不是无穷间断点.

x41

arctan2f(x)x31x2alimlimlim2lim21，

xxxx1xxx1xx

143

xarctanxx4

x1blim[f(x)ax]lim2arctanxlim

xxx1xx21x

o(

111112x4o(x3xx4o(x

x3xxlimlimlim22xxxx1x1

1

)3

23x012

x

则yaxb即yx是曲线的斜渐近线.所以曲线共有3条渐近线，故选(B).

解：选(B).

e3x

例42.4(难度系数0.2) 曲线y的渐近线为（ ）.

3x

(A)y0 (B)y0和x3 (C)不存在 (D)x3

e3x

解析：由于limylim0，所以y0是所给曲线的一条水平渐近线；再

xx3x

由

e3x

limylim可知x3是曲线的一条铅直渐近线，所以(B)正确而(C)不正确x3x33x

，此外(A) 和(D)均只给出了一条渐近线，不够完备，故答案应选(B).

解：选(B).

x3

例42.5(难度系数0.4) 曲线y的渐近线方程为 .

(x1)2x3x3

解析：limf(x)lim没有水平渐近线；，y

xx(x1)2(x1)2x3

x2

limf(x)lim，故有垂直渐近线x1；yxex1x1(x1)2

x32x2xf(x)x2

xlim2，alimlim1，blim[f(x)x]lim

x0x0(x1)2x0(x1)2xx(x1)2x

1

x3

故y有斜渐近线yx2.2

(x1)

解：x1，yx2.

例42.6(难度系数0.4) 求曲线y(2x1)e的斜渐近线方程.解析：通过alim

x

1x

f(x)

，blim[f(x)ax]，求解斜渐近线yaxb.

xx

解：设所求斜渐近线方程为yaxb，则alim

1

x

令t

1x

(2x1)exx

11

令txx

lim(2t)et2，

t0

1

2(et1)t

blim[(2x1)e2x]lim[e]1，故曲线y(2x1)ex的斜渐近线方程xt0t

为y2x1.

例42.7(难度系数0.4) 求y

1ex1e

2

x2

的渐近线.

解析：根据水平、垂直、斜渐近线的求解方法进行渐近线求解.解：lim

1ex1e

2

2

x

x2

1, limex1ex1

2

22

1ex1e

2

x

x2

1，则y1为水平渐近线.

lim

x0

1ex1ex

2

lim

x0

，则x0为铅直渐近线.

y1ex

alimlim0，所以无斜渐近线.x2xxx

x(1e)

例42.8(难度系数0.6) 求曲线y22xyx10的渐近线.

解析：将曲线方程由隐函数变为显函数，按照渐近线的求解方法进行运算即可.

解：

yxyx

，我们不妨先讨论

yx

渐近线，而对yx的

讨论完全与之相同.

x

limxlim

xlim

x

1

1



limlim，则无水平渐

xx11

1



2x

x近线；

x

limxlim



xlim

x1lim，

x2

故y是一条水平渐近线；很显然，不存在铅直渐近线；

因为alim2，

x12

blimx2xlim

x





x

1

xlim，x2

故斜渐近线为y2x.

lim

xx1

2

alim

0，无斜渐近线

.

对于yx，同样讨论

有：

x时渐近线为y2x

11

，x时渐近线为y，故原曲线有两条渐近线.22

学科：高等数学

第三章 微分中值定理及导数的应用

知识点42 渐近线的分类与求法

相关概念、公式定理或结论定义 **● 定理 **● 结论 **

●

考频：3

知识点42 配套习题

例42.1(难度系数0.2) 当x0时,曲线yxsin（ ）.

(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线，也有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线

1x

sin

11

sin

，limylim1，所以yxsin1的水平渐近线是

xxxxx

1

x

解析：yxsin

y1.

铅直渐近线表示x趋于某值时，y趋于无穷大，显然不存在这样的点.故选(A).

解：选(A).

比招：各类渐近线的理解

渐近线仅三类：铅直渐近线，水平渐近线，斜渐近线.渐近线的代数意义就是相关的两个变量中有且仅有一个是无穷大：

水平渐近线ya：x（或x，或x）时，ya；

铅直渐近线xb：xb（或xb，或xb）时，y（对应无穷间断点）；

斜渐近线yaxb：x（或x，或x）时，yaxb.

1

例42.2(难度系数0.4) 曲线yxe（ ）.

(A)仅有水平渐近线 (B)既有垂直又有水平渐近线(C)仅有垂直渐近线 (D)既有垂直又有斜渐近线

t

1e解析：令t,limxexlim,所以曲线有一条垂直渐近线x0.又因为

ttxx0

1

2

x1

1f(x)xexalimlim1，blim[f(x)ax]lim(xexx)limx20，从而曲线

xxxxxxxx

1

有一条斜渐近线yx，故选(D).

解：选(D).

x41

例42.3(难度系数0.4) 曲线y2arctan的渐近线有( ).

x1x

(A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条

x41

解析：2arctan有三个间断点，其中x1为无穷间断点，则曲线有两条

x1x

铅直渐近线，而x0不是无穷间断点.

x41

arctan2f(x)x31x2alimlimlim2lim21，

xxxx1xxx1xx

143

xarctanxx4

x1blim[f(x)ax]lim2arctanxlim

xxx1xx21x

o(

111112x4o(x3xx4o(x

x3xxlimlimlim22xxxx1x1

1

)3

23x012

x

则yaxb即yx是曲线的斜渐近线.所以曲线共有3条渐近线，故选(B).

解：选(B).

e3x

例42.4(难度系数0.2) 曲线y的渐近线为（ ）.

3x

(A)y0 (B)y0和x3 (C)不存在 (D)x3

e3x

解析：由于limylim0，所以y0是所给曲线的一条水平渐近线；再

xx3x

由

e3x

limylim可知x3是曲线的一条铅直渐近线，所以(B)正确而(C)不正确x3x33x

，此外(A) 和(D)均只给出了一条渐近线，不够完备，故答案应选(B).

解：选(B).

x3

例42.5(难度系数0.4) 曲线y的渐近线方程为 .

(x1)2x3x3

解析：limf(x)lim没有水平渐近线；，y

xx(x1)2(x1)2x3

x2

limf(x)lim，故有垂直渐近线x1；yxex1x1(x1)2

x32x2xf(x)x2

xlim2，alimlim1，blim[f(x)x]lim

x0x0(x1)2x0(x1)2xx(x1)2x

1

x3

故y有斜渐近线yx2.2

(x1)

解：x1，yx2.

例42.6(难度系数0.4) 求曲线y(2x1)e的斜渐近线方程.解析：通过alim

x

1x

f(x)

，blim[f(x)ax]，求解斜渐近线yaxb.

xx

解：设所求斜渐近线方程为yaxb，则alim

1

x

令t

1x

(2x1)exx

11

令txx

lim(2t)et2，

t0

1

2(et1)t

blim[(2x1)e2x]lim[e]1，故曲线y(2x1)ex的斜渐近线方程xt0t

为y2x1.

例42.7(难度系数0.4) 求y

1ex1e

2

x2

的渐近线.

解析：根据水平、垂直、斜渐近线的求解方法进行渐近线求解.解：lim

1ex1e

2

2

x

x2

1, limex1ex1

2

22

1ex1e

2

x

x2

1，则y1为水平渐近线.

lim

x0

1ex1ex

2

lim

x0

，则x0为铅直渐近线.

y1ex

alimlim0，所以无斜渐近线.x2xxx

x(1e)

例42.8(难度系数0.6) 求曲线y22xyx10的渐近线.

解析：将曲线方程由隐函数变为显函数，按照渐近线的求解方法进行运算即可.

解：

yxyx

，我们不妨先讨论

yx

渐近线，而对yx的

讨论完全与之相同.

x

limxlim

xlim

x

1

1



limlim，则无水平渐

xx11

1



2x

x近线；

x

limxlim



xlim

x1lim，

x2

故y是一条水平渐近线；很显然，不存在铅直渐近线；

因为alim2，

x12

blimx2xlim

x





x

1

xlim，x2

故斜渐近线为y2x.

lim

xx1

2

alim

0，无斜渐近线

.

对于yx，同样讨论

有：

x时渐近线为y2x

11

，x时渐近线为y，故原曲线有两条渐近线.22