§3 函数极限存在的条件
1、 叙述函数极限lim f (x ) 的归结原则, 并用它证明lim cos x 不存在. x →+∞x →+∞
解:设f (x ) 定义在[a , +∞) 上, 则lim f (x ) 存在的充要条件是:对任何数列{x n }⊂[a , +∞) , x →+∞
且lim x n =+∞, 极限lim f (x ) 都存在且相等. x →+∞x →+∞
证: 设x n =2n π, x n =2n π+'"π
2(n =1, 2, 3, ),
则显然有x n =2n π→+∞, x n =2n π+'"π
2→+∞(n →+∞),
'"cos x n =1→1, cos x n =0→0(n →+∞)
故由归结原则知lim cos x 不存在. x →+∞
2. 设f 为定义在[a , +∞) 上的递增函数, 证明存在的充要条件是f 在[a , +∞) 上有上界. 证: 必要性. 由题设lim f (x ) 存在, 记为A , 即lim f (x ) =A . x →+∞x →+∞
由局部有界性定理可得, 存在U (+∞) =(b , +∞) , 使f (x ) 在U (+∞) 上有界, 即存在M 与m , 对任给x ∈U (+∞) , 都有m ≤f (x ) ≤M (1) .
又由f (x ) 在[a , +∞) 上递增知:对任给x ∈[a , b ], 有f (x ) ≤f (b +1) ≤M (2). 由(1)(2)可得, 对任一x ∈[a , +∞) , 有f (x ) ≤M .
故f (x ) 在[a , +∞) 上有上界.
充分性 设f (x ) 在[a , +∞) 上有上界, 则由确界原理知f (x ) 在[a , +∞) 上有上确界. 设a =sup f (x ) , 则对任给正数ε, 存在x 0∈[a , +∞) ,
x ∈[a , +∞)
又因f (x ) 在[a , +∞) 上递增, 从而当x >x 0时, 有A -ε
3. (1)叙述lim f (x ) 存在的柯西准则; x →-∞
(2)正面陈述极限lim f (x ) 不存在的概念; 并用它证明lim sin x 不存在. x →-∞x →-∞
解: (1)设f (x ) 在U (-∞) 内有定义, 则lim f (x ) 存在的充分必要条件是:对任给的正数ε, 总x →-∞
存在某一正数M , 使得对任何x '
(2)设f (x ) 为定义在(-∞, a ]上的函数, 若存在正数ε0, 对任给正数M , 总存在x 1、x 2, 尽管x 1
以下用此定义证明lim sin x 不存在. x →-∞
1π, 对任给自然数n , 取x 1=-n π, x 2=-n π-, 22
1于是x 1. 2取ε0=
故lim sin x 不存在. x →-∞
4. 设f 在U 0(x 0) 内有定义, 证明:若对任何数列{x n }⊂U 0(x 0) , 且lim x n =x 0, 极限n →∞
lim f (x n ) 都存在, 则所有这些极限都相等. n →∞
证: 对任意两个满足题设条件的数列{x n }, {y n }, 设lim f (x n ) =A , lim f (y n ) =B , 下证n →∞n →∞
A =B .
考虑数列{z n }:x 1, y 1, x 2, y 2, x n , y n , , 易见{z n }⊂U 0(x 0) , 且lim z n =x 0, n →∞
则由题设lim f (z n ) 存在, 于是作为{f (z n )}的两个子列, {f (x n )}与{f (y n )}必有相同的n →∞
极限, 因而A =B .
由{x n }, {y n }的任意性知结论成立.
5. 设f 为U 0(x 0) 上的递增函数, 证明f (x 0-0) 和f (x 0+0) 都存在,
且f (x 0-0) =sup
0x ∈U -(x 0) f (x ) , f (x 0+0) =inf 0x ∈U +(x 0) f (x )
证: 仅证f (x 0-0) 的存在性及有关等式.
00因f 为U 0(x 0) 上的递增函数, 则对x *∈U +(x 0) , 及任给x ∈U -(x 0) , 有f (x ) ≤f (x *) .
由此可见f 在U 0(x 0) 上有上确界, 记A =sup f (x ) .
0x ∈U -(x 0)
0于是对任给正数ε, 都存在x 1∈U -(x 0) , 使f (x 1) >A -ε.
0记δ=x 0-x 1>0, 则当x ∈U -(x 0, δ) 时, 就有x >x 1,
0从而由f 在U -(x 0) 上递增知A +ε>f (x ) ≥f (x 1) >A -ε.
0可见, 当x ∈U -(x 0, δ) 时, f (x 1) -A
f (x ) 存在且f (x 0-0) =sup 因此lim -x →x 0f (x )
f (x ) 0x ∈U -(x 0) 同理可证f (x 0+0) 存在且f (x 0+0) =inf 0
x ∈U +(x 0)
6. 设D (x ) 为狄利克雷函数, x 0∈(0, 1) , 证明lim D (x ) 不存在. x →x 0证: 由第一章§3知D (x ) =⎨
取ε0=⎧1, 当x 为有理数⎩0, 当x 为无理数 1, 对任何δ>0, 由有理数与实数的稠密性可知, 在U 0(x 0, δ) 中必有有理数x '和无2
理数x ''，即x '∈U 0(x 0, δ) ，x ''∈U 0(x 0, δ) 使得D (x ') =1，D (x '') =0， 于是有D (x ') -D (x '') =1>ε0，
从而由柯西准则知lim D (x ) 不存在. x →x 0
7. 证明:若f 为周期函数且lim f (x ) =0, 则f (x ) ≡0. x →+∞
证: 假设f (x ) 不恒等于0, 则存在x 0∈(-∞, +∞) , 使f (x 0) ≠0, 又因f 为周期函数, 不妨设周期为L >0, 记a n =x 0+nL , 则a n →+∞ (n →∞), 由作法知lim f (a n ) =f (x 0) ≠0 (1) n →∞
又因lim f (x ) =0, 由归结原则有lim f (a n ) =0 (2) x →+∞n →∞
(1) 与(2)矛盾, 故f (x ) ≡0.
8. 证明定理3.9.
0f (x ) =A 的充要条件定理3.9 设函数f 在点x 0的某个右邻域U +(x 0) 有定义, 则极限lim +x →x 0
0是对任何以x 0为极限且含于U +(x 0) 的递减数列{x n }有lim f (x n ) =A . n →∞
f (x ) =A , 则对任给正数ε, 存在正数δ, 当0
有f (x ) -A
0设{x n }含于U +(x 0) 且递减趋于x 0, 则对上述正数δ, 存在N , 当n >N 时,
便有0N 时, 便有f (x n ) -A
f (x ) ≠A , 则存在某一个正数ε0, 不论正数δ多小. 总存在一点x 充分性 (反证) 假设lim +x →x 0
尽管0
0设U +(x 0) =(x 0, x 0+δ) , 则对δ1=δ, 存在一点x 1, 使0
对δ2=min{δ
22, x 1-x 0}, 存在x 2使0
一般地, 对取δn =min{δ
2n , x n -1-x 0}, 存在x n , 使得0
0由于x 0∈U +(x 0, δn ) , 故有0
2n →0 (n →∞).
n →∞0因此, lim x n =x 0. 可见x n 是以x 0为极限的递减数列, 且含于U +(x 0) , 但lim f (x n ) ≠A , n →∞
矛盾.
§3 函数极限存在的条件
1、 叙述函数极限lim f (x ) 的归结原则, 并用它证明lim cos x 不存在. x →+∞x →+∞
解:设f (x ) 定义在[a , +∞) 上, 则lim f (x ) 存在的充要条件是:对任何数列{x n }⊂[a , +∞) , x →+∞
且lim x n =+∞, 极限lim f (x ) 都存在且相等. x →+∞x →+∞
证: 设x n =2n π, x n =2n π+'"π
2(n =1, 2, 3, ),
则显然有x n =2n π→+∞, x n =2n π+'"π
2→+∞(n →+∞),
'"cos x n =1→1, cos x n =0→0(n →+∞)
故由归结原则知lim cos x 不存在. x →+∞
2. 设f 为定义在[a , +∞) 上的递增函数, 证明存在的充要条件是f 在[a , +∞) 上有上界. 证: 必要性. 由题设lim f (x ) 存在, 记为A , 即lim f (x ) =A . x →+∞x →+∞
由局部有界性定理可得, 存在U (+∞) =(b , +∞) , 使f (x ) 在U (+∞) 上有界, 即存在M 与m , 对任给x ∈U (+∞) , 都有m ≤f (x ) ≤M (1) .
又由f (x ) 在[a , +∞) 上递增知:对任给x ∈[a , b ], 有f (x ) ≤f (b +1) ≤M (2). 由(1)(2)可得, 对任一x ∈[a , +∞) , 有f (x ) ≤M .
故f (x ) 在[a , +∞) 上有上界.
充分性 设f (x ) 在[a , +∞) 上有上界, 则由确界原理知f (x ) 在[a , +∞) 上有上确界. 设a =sup f (x ) , 则对任给正数ε, 存在x 0∈[a , +∞) ,
x ∈[a , +∞)
又因f (x ) 在[a , +∞) 上递增, 从而当x >x 0时, 有A -ε
3. (1)叙述lim f (x ) 存在的柯西准则; x →-∞
(2)正面陈述极限lim f (x ) 不存在的概念; 并用它证明lim sin x 不存在. x →-∞x →-∞
解: (1)设f (x ) 在U (-∞) 内有定义, 则lim f (x ) 存在的充分必要条件是:对任给的正数ε, 总x →-∞
存在某一正数M , 使得对任何x '
(2)设f (x ) 为定义在(-∞, a ]上的函数, 若存在正数ε0, 对任给正数M , 总存在x 1、x 2, 尽管x 1
以下用此定义证明lim sin x 不存在. x →-∞
1π, 对任给自然数n , 取x 1=-n π, x 2=-n π-, 22
1于是x 1. 2取ε0=
故lim sin x 不存在. x →-∞
4. 设f 在U 0(x 0) 内有定义, 证明:若对任何数列{x n }⊂U 0(x 0) , 且lim x n =x 0, 极限n →∞
lim f (x n ) 都存在, 则所有这些极限都相等. n →∞
证: 对任意两个满足题设条件的数列{x n }, {y n }, 设lim f (x n ) =A , lim f (y n ) =B , 下证n →∞n →∞
A =B .
考虑数列{z n }:x 1, y 1, x 2, y 2, x n , y n , , 易见{z n }⊂U 0(x 0) , 且lim z n =x 0, n →∞
则由题设lim f (z n ) 存在, 于是作为{f (z n )}的两个子列, {f (x n )}与{f (y n )}必有相同的n →∞
极限, 因而A =B .
由{x n }, {y n }的任意性知结论成立.
5. 设f 为U 0(x 0) 上的递增函数, 证明f (x 0-0) 和f (x 0+0) 都存在,
且f (x 0-0) =sup
0x ∈U -(x 0) f (x ) , f (x 0+0) =inf 0x ∈U +(x 0) f (x )
证: 仅证f (x 0-0) 的存在性及有关等式.
00因f 为U 0(x 0) 上的递增函数, 则对x *∈U +(x 0) , 及任给x ∈U -(x 0) , 有f (x ) ≤f (x *) .
由此可见f 在U 0(x 0) 上有上确界, 记A =sup f (x ) .
0x ∈U -(x 0)
0于是对任给正数ε, 都存在x 1∈U -(x 0) , 使f (x 1) >A -ε.
0记δ=x 0-x 1>0, 则当x ∈U -(x 0, δ) 时, 就有x >x 1,
0从而由f 在U -(x 0) 上递增知A +ε>f (x ) ≥f (x 1) >A -ε.
0可见, 当x ∈U -(x 0, δ) 时, f (x 1) -A
f (x ) 存在且f (x 0-0) =sup 因此lim -x →x 0f (x )
f (x ) 0x ∈U -(x 0) 同理可证f (x 0+0) 存在且f (x 0+0) =inf 0
x ∈U +(x 0)
6. 设D (x ) 为狄利克雷函数, x 0∈(0, 1) , 证明lim D (x ) 不存在. x →x 0证: 由第一章§3知D (x ) =⎨
取ε0=⎧1, 当x 为有理数⎩0, 当x 为无理数 1, 对任何δ>0, 由有理数与实数的稠密性可知, 在U 0(x 0, δ) 中必有有理数x '和无2
理数x ''，即x '∈U 0(x 0, δ) ，x ''∈U 0(x 0, δ) 使得D (x ') =1，D (x '') =0， 于是有D (x ') -D (x '') =1>ε0，
从而由柯西准则知lim D (x ) 不存在. x →x 0
7. 证明:若f 为周期函数且lim f (x ) =0, 则f (x ) ≡0. x →+∞
证: 假设f (x ) 不恒等于0, 则存在x 0∈(-∞, +∞) , 使f (x 0) ≠0, 又因f 为周期函数, 不妨设周期为L >0, 记a n =x 0+nL , 则a n →+∞ (n →∞), 由作法知lim f (a n ) =f (x 0) ≠0 (1) n →∞
又因lim f (x ) =0, 由归结原则有lim f (a n ) =0 (2) x →+∞n →∞
(1) 与(2)矛盾, 故f (x ) ≡0.
8. 证明定理3.9.
0f (x ) =A 的充要条件定理3.9 设函数f 在点x 0的某个右邻域U +(x 0) 有定义, 则极限lim +x →x 0
0是对任何以x 0为极限且含于U +(x 0) 的递减数列{x n }有lim f (x n ) =A . n →∞
f (x ) =A , 则对任给正数ε, 存在正数δ, 当0
有f (x ) -A
0设{x n }含于U +(x 0) 且递减趋于x 0, 则对上述正数δ, 存在N , 当n >N 时,
便有0N 时, 便有f (x n ) -A
f (x ) ≠A , 则存在某一个正数ε0, 不论正数δ多小. 总存在一点x 充分性 (反证) 假设lim +x →x 0
尽管0
0设U +(x 0) =(x 0, x 0+δ) , 则对δ1=δ, 存在一点x 1, 使0
对δ2=min{δ
22, x 1-x 0}, 存在x 2使0
一般地, 对取δn =min{δ
2n , x n -1-x 0}, 存在x n , 使得0
0由于x 0∈U +(x 0, δn ) , 故有0
2n →0 (n →∞).
n →∞0因此, lim x n =x 0. 可见x n 是以x 0为极限的递减数列, 且含于U +(x 0) , 但lim f (x n ) ≠A , n →∞
矛盾.