复习专题——圆周运动
圆周运动
1．物体做匀速圆周运动的条件：
匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。
2．描述圆周运动的运动学物理量
（1）圆周运动的运动学物理量有线速度v 、角速度ω、周期T 、转速n 、向心加速度a 等。它们之间的关系大多是用半径r 联系在一起的。如：v =ω⋅r =
2πr
，T
v 24π2r 602a ==ωr =2。要注意转速n 的单位为r/min，它与周期的关系为T =。
r n T
（2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有：
v 2
a ==ω2r =v ω ，公式中的线速度v 和角速度ω均为瞬时值。
r
例题1．在图3－1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r 。b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r 。c 点和d 点分别于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 选项CD 正确。 练习
1．如图3－4所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，R A :R c =1:2，
图3－1
R A :R B =2:3。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A 、B 、C 三点的角速
度之比是 ；线速度之比是 ；向心加速度之比是 。 2．图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是（ ）。
A ．从动轮做顺时针转动 C ．从动轮的转速为
B ．从动轮做逆时针转动 D ．从动轮的转速为
r 1
n r 2r 2
n r 1
3．描述圆周运动的动力学物理量———向心力
（1）向心力来源：向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力；电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。 （2）向心力大小：根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：
v 24π2r 2
=m ωr =m 2 其中r 为圆运动半径。 F =m r T
（3）向心力的方向：总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。 （4）向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
几种常见的匀速圆周运动的实例图表
例题2. 如图所示，Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，Ａ的质量为2m ，Ｂ、Ｃ质量均为m ，Ａ、Ｂ离轴Ｒ，Ｃ离轴2Ｒ，则当圆台旋转时（设Ａ、Ｂ、Ｃ都没有滑
动），Ａ、Ｂ、Ｃ三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（ ） A. Ｃ物的向心加速度最大； B. Ｂ物的静摩擦力最小；
C. 当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动； D. 当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。 4．竖直平面内圆周运动的临界问题：
由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条件不同。
如图3－7所示，由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力，所以小球通
v 2
过最高点的临界条件是：向心力只由重力提供，即mg =m ，则有临
R
界速度v =
图3-7
gR 。只有当v ≥gR 时，小球才能通过最高点。
如图3－8所示，由于轻杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，所以小球通过最高点时合外力可以为零，即小球在最高点的最小速度可以为零。这样v =
gR 就变成了小球所受弹力方向变化的临界值，即当
gR 时，球和杆之间无相互作
v gR 时，球受向下的弹力。
图3-8
例题3. （99）如图4-4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图3中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）
A. a 处为拉力，b 处为拉力 B. a 处为拉力，b 处为推力 C. a 处为推力，b 处为拉力 D. a 处为推力，b 处为推力 练习
7. 如图3－14所示，一细圆管弯成的开口圆环，环面处于一竖直平面内。一光滑小球从开口A 处进入管内，并恰好能通过圆环的最高点。则下述说法正确的是（ ）
A. 球在最高点时对管的作用力为零
图4-4
B. 小球在最高点时对管的作用力为mg
C. 若增大小球的初速度，则在最高点时球对管的力一定增大 D. 若减小小球的初速度，则在最高点时球对管的力可能增大
例4．如图17所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO ′转动， 筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R 和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m 的小物块。求
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；
②当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。
圆周运动训练
一．由火车转弯引发的思考 1. 基本模型
1. 火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 当以v 的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B. 当以v 的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 C. 当速度大于v 时，轮缘挤压外轨 D. 当速度小于v 时，轮缘挤压外轨
2. 汽车与路面之间的动摩擦因数μ=0. 4，转弯处弯道半径为R =4m ，g 取10m /s 。 （1）若路面铺成水平的，汽车转弯时速度不能超过多大？
（2）若路面铺成外侧高内侧低的坡面，倾角为θ=5. 7︒，汽车以多大速度转弯，与路面无摩擦。 （3）若是（2）中转弯路面，最大转弯速度是多少
3．如图所示，小物块放在水平转盘上，随盘同步做匀速圆周运动，则下列关于物块受力情况的叙述正确的是（ ）．
A ．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用 B ．摩擦力的方向始终指向圆心O
C ．摩擦力的方向始终与线速度的方向相同
D ．静摩擦力提供使物块做匀速圆周运动的向心力
4. 冰面上的溜冰运动员所受最大静摩擦力为运动员重力的K 倍，在水平面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，其安全速度为（ ）
2
O 图10
A. v=KgR B. v≤KgR C. v≤2KgR D. v≤
gR
5. 把一个长为20cm ，劲度系数为360N ／m 的弹簧，一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50kg 的小球，当小球以时，弹簧的伸长应为（ ）
A. 5.2cm B. 5.3cm C. 5.0cm D. 5.4cm
6. 一个内壁光滑的圆锥形筒固定在水平面上，如图所示。有质量相同的小球A 和B 沿着筒
的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A 球运动的半径大于B 球运动的半径，则（ ）
A. A球的角速度必小于B 球的角速度 B. A球的线速度必小于B 球的线速度
C. A球运动的周期必大于B 球的运动的周期 D. A球对筒壁的压力必大于B 球对筒壁的压力
7. 如图所示，物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ，圆筒的半径为R 。若要物体不滑下，则圆筒转动的角速度至少为 。
8. 小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图3中的
与线速度v 、周期T 的关系。（小θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）
球的半径远小于R ）。
2. 临界条件
1. 如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物体，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）. 物体和转盘间的最大静磨擦力是其正压力的μ倍．求： （１）当转盘的角速度ω1=
360
π
r /min 的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动
μg
2r
时，细绳的拉力F T 1．
（２）当转盘的角速度ω2=
3μg
时，细绳的拉力F T 2． 2r
2. 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m=0.3kg的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m 。若A 与转盘间的最大静摩擦力为F f =2N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围。（取g =10m /s ）
2
3. 如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=30°，一条长为L 的轻绳，一端固定在顶点O 处，另一端栓着一个质量为m 的小球，小球以速率v 饶圆锥体的轴线做水平面的匀速圆周运动。
1
gl 时，求绳对小球的拉力 ⑴当v 1=
6⑵当v 2=
3
gl 时，求绳对小球的拉力 2
3. 综合应用
1．如图所示，A 、B 两球质量相等，且由轻质细杆连着，绕O 点在光滑的水平面上以相同的角速度做匀速圆周运动，OB ＝BA ，则（ ）． A. 两段杆的拉力之比：T AB ：T OB =2：1
B ．两段杆的拉力之比：T AB ：T OB ＝3：2 C ．两段杆的拉力之比：T AB ：T OB =1：2 D ．两段杆的拉力之比：T AB ：T OB =2：3 2. 如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A 、B ，相距l 0=0. 1m ，长l =1m 的柔软细线一端拴在A 上，另一端拴住一个质量为500g 的小球，小球的初始位置在AB 连线上A 的一侧，把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动，由于钉子B 的存在，使细线逐步缠在A 、B 上，若细线能承受的最大拉力F Tm =7N ，则从开始运动到细线断裂的时间为多少？
3. 如图所示，有一质量为m 的小球P 与穿过光滑水平板中央小孔O 的轻绳相连，用力拉着绳的另一端使P 在水平板上绕O 点做半径为a 的圆周运动，速率为v a 。若将绳突然放松，然后再拉住，使小球到O 点距离增大到b 。
求：
（1）小球以b 为半径做匀速圆周运动的速率 （2）小球运动由绳长为a 到绳长为b 的时间。
二．竖直平面内的完整圆周运动 1. 基本模型 1．如图所示，某轻杆一端固定一质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，以下说法中正确的是( ) A ．小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零 B ．小球过最高点时，最小速度为gR
C ．小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力
D ．小球过最低点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反
2. 质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小杯通过最高点的速度为4 m/s。求： (1)在最高点时，绳的拉力T 是多少？ (2)在最高点时水对小杯底的压力是多少？
（3）为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少
3. 下课后，小丽在运动场上荡秋千。已知小丽的质量为40 kg，每根系秋千的绳子长为4 m ，能承受的最大张力是300N 。如右图，当秋千板摆到最低点时，速度为3 m/s。（g =10m/s2，小丽看成质点处理，秋千绳、底座等不计质量）
(1)此时，小丽做圆周运动的向心力是多大？此时，小丽对底座的压力是多少？ 每根绳子受到拉力T 是多少？
(2)如果小丽到达最低点的速度为5m/s，小丽有没有生命危险？
例3：如图5所示，杆长为l ，球的质量为m ，杆连球在竖直平面内绕轴O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F
1
mg ，求这时小球的瞬时速度大小。 2
2. 临界条件相结合的综合应用
1. 如图所示，在光滑水平面上放一小球以某速度运动到A 点，遇到一段半径为R 的圆弧曲面AB ，然后落到水平地面的C
点，假如小球没有跟
圆弧曲线上的任何点接触，则BC 的最小距离为（ ）
A. 0 B. R C.
2R D. （2－1）R
2．一个人用一跟长1m ，只能承受35N 拉力的绳子，拴着一个质量为1Kg 的小球，在竖直面内作圆周运动，已知转轴O 离地6m ，如图所示，
（1）此人必须用多大的角速度转动小球方能使小球到达最低点时绳子拉断？
（2）绳断后，小球落地点与抛出点的水平距离多大？
3：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A 、B ，质量分别为m 1、m 2，沿环形管顺时针运动，经过最低点的速度都是v 0，当A 球运动到最低点时，B 球恰好到最高点，若要此时作用于细管的合力为零，那么m 1、m 2、R 和v 0应满足的关系是。
3. 如图所示，已知半圆形碗半径为R ，质量为M ，静止在地面上，质量为m 的滑块滑到圆弧最底端速率为v ，碗仍静止，此时地面受到碗的压力为（ ）
v 2v 2
A. mg＋m B . Mg＋mg ＋m
R R v 2
C. Mg mg D. Mg＋mg —m
R
4. 如图所示，在电风扇的叶片上距转轴为r 处固定了一个质量为m 的铁块，电扇启动后，铁块以角速度ω绕轴O 匀速转动，则电风扇对地面的最大压力和最小压力的差为多大？
复习专题——圆周运动
圆周运动
1．物体做匀速圆周运动的条件：
匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。
2．描述圆周运动的运动学物理量
（1）圆周运动的运动学物理量有线速度v 、角速度ω、周期T 、转速n 、向心加速度a 等。它们之间的关系大多是用半径r 联系在一起的。如：v =ω⋅r =
2πr
，T
v 24π2r 602a ==ωr =2。要注意转速n 的单位为r/min，它与周期的关系为T =。
r n T
（2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有：
v 2
a ==ω2r =v ω ，公式中的线速度v 和角速度ω均为瞬时值。
r
例题1．在图3－1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r 。b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r 。c 点和d 点分别于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 选项CD 正确。 练习
1．如图3－4所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，R A :R c =1:2，
图3－1
R A :R B =2:3。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A 、B 、C 三点的角速
度之比是 ；线速度之比是 ；向心加速度之比是 。 2．图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是（ ）。
A ．从动轮做顺时针转动 C ．从动轮的转速为
B ．从动轮做逆时针转动 D ．从动轮的转速为
r 1
n r 2r 2
n r 1
3．描述圆周运动的动力学物理量———向心力
（1）向心力来源：向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力；电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。 （2）向心力大小：根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：
v 24π2r 2
=m ωr =m 2 其中r 为圆运动半径。 F =m r T
（3）向心力的方向：总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。 （4）向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
几种常见的匀速圆周运动的实例图表
例题2. 如图所示，Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，Ａ的质量为2m ，Ｂ、Ｃ质量均为m ，Ａ、Ｂ离轴Ｒ，Ｃ离轴2Ｒ，则当圆台旋转时（设Ａ、Ｂ、Ｃ都没有滑
动），Ａ、Ｂ、Ｃ三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（ ） A. Ｃ物的向心加速度最大； B. Ｂ物的静摩擦力最小；
C. 当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动； D. 当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。 4．竖直平面内圆周运动的临界问题：
由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条件不同。
如图3－7所示，由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力，所以小球通
v 2
过最高点的临界条件是：向心力只由重力提供，即mg =m ，则有临
R
界速度v =
图3-7
gR 。只有当v ≥gR 时，小球才能通过最高点。
如图3－8所示，由于轻杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，所以小球通过最高点时合外力可以为零，即小球在最高点的最小速度可以为零。这样v =
gR 就变成了小球所受弹力方向变化的临界值，即当
gR 时，球和杆之间无相互作
v gR 时，球受向下的弹力。
图3-8
例题3. （99）如图4-4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图3中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）
A. a 处为拉力，b 处为拉力 B. a 处为拉力，b 处为推力 C. a 处为推力，b 处为拉力 D. a 处为推力，b 处为推力 练习
7. 如图3－14所示，一细圆管弯成的开口圆环，环面处于一竖直平面内。一光滑小球从开口A 处进入管内，并恰好能通过圆环的最高点。则下述说法正确的是（ ）
A. 球在最高点时对管的作用力为零
图4-4
B. 小球在最高点时对管的作用力为mg
C. 若增大小球的初速度，则在最高点时球对管的力一定增大 D. 若减小小球的初速度，则在最高点时球对管的力可能增大
例4．如图17所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO ′转动， 筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R 和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m 的小物块。求
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；
②当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。
圆周运动训练
一．由火车转弯引发的思考 1. 基本模型
1. 火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 当以v 的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B. 当以v 的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 C. 当速度大于v 时，轮缘挤压外轨 D. 当速度小于v 时，轮缘挤压外轨
2. 汽车与路面之间的动摩擦因数μ=0. 4，转弯处弯道半径为R =4m ，g 取10m /s 。 （1）若路面铺成水平的，汽车转弯时速度不能超过多大？
（2）若路面铺成外侧高内侧低的坡面，倾角为θ=5. 7︒，汽车以多大速度转弯，与路面无摩擦。 （3）若是（2）中转弯路面，最大转弯速度是多少
3．如图所示，小物块放在水平转盘上，随盘同步做匀速圆周运动，则下列关于物块受力情况的叙述正确的是（ ）．
A ．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用 B ．摩擦力的方向始终指向圆心O
C ．摩擦力的方向始终与线速度的方向相同
D ．静摩擦力提供使物块做匀速圆周运动的向心力
4. 冰面上的溜冰运动员所受最大静摩擦力为运动员重力的K 倍，在水平面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，其安全速度为（ ）
2
O 图10
A. v=KgR B. v≤KgR C. v≤2KgR D. v≤
gR
5. 把一个长为20cm ，劲度系数为360N ／m 的弹簧，一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50kg 的小球，当小球以时，弹簧的伸长应为（ ）
A. 5.2cm B. 5.3cm C. 5.0cm D. 5.4cm
6. 一个内壁光滑的圆锥形筒固定在水平面上，如图所示。有质量相同的小球A 和B 沿着筒
的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A 球运动的半径大于B 球运动的半径，则（ ）
A. A球的角速度必小于B 球的角速度 B. A球的线速度必小于B 球的线速度
C. A球运动的周期必大于B 球的运动的周期 D. A球对筒壁的压力必大于B 球对筒壁的压力
7. 如图所示，物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ，圆筒的半径为R 。若要物体不滑下，则圆筒转动的角速度至少为 。
8. 小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图3中的
与线速度v 、周期T 的关系。（小θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）
球的半径远小于R ）。
2. 临界条件
1. 如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物体，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）. 物体和转盘间的最大静磨擦力是其正压力的μ倍．求： （１）当转盘的角速度ω1=
360
π
r /min 的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动
μg
2r
时，细绳的拉力F T 1．
（２）当转盘的角速度ω2=
3μg
时，细绳的拉力F T 2． 2r
2. 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m=0.3kg的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m 。若A 与转盘间的最大静摩擦力为F f =2N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围。（取g =10m /s ）
2
3. 如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=30°，一条长为L 的轻绳，一端固定在顶点O 处，另一端栓着一个质量为m 的小球，小球以速率v 饶圆锥体的轴线做水平面的匀速圆周运动。
1
gl 时，求绳对小球的拉力 ⑴当v 1=
6⑵当v 2=
3
gl 时，求绳对小球的拉力 2
3. 综合应用
1．如图所示，A 、B 两球质量相等，且由轻质细杆连着，绕O 点在光滑的水平面上以相同的角速度做匀速圆周运动，OB ＝BA ，则（ ）． A. 两段杆的拉力之比：T AB ：T OB =2：1
B ．两段杆的拉力之比：T AB ：T OB ＝3：2 C ．两段杆的拉力之比：T AB ：T OB =1：2 D ．两段杆的拉力之比：T AB ：T OB =2：3 2. 如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A 、B ，相距l 0=0. 1m ，长l =1m 的柔软细线一端拴在A 上，另一端拴住一个质量为500g 的小球，小球的初始位置在AB 连线上A 的一侧，把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动，由于钉子B 的存在，使细线逐步缠在A 、B 上，若细线能承受的最大拉力F Tm =7N ，则从开始运动到细线断裂的时间为多少？
3. 如图所示，有一质量为m 的小球P 与穿过光滑水平板中央小孔O 的轻绳相连，用力拉着绳的另一端使P 在水平板上绕O 点做半径为a 的圆周运动，速率为v a 。若将绳突然放松，然后再拉住，使小球到O 点距离增大到b 。
求：
（1）小球以b 为半径做匀速圆周运动的速率 （2）小球运动由绳长为a 到绳长为b 的时间。
二．竖直平面内的完整圆周运动 1. 基本模型 1．如图所示，某轻杆一端固定一质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，以下说法中正确的是( ) A ．小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零 B ．小球过最高点时，最小速度为gR
C ．小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力
D ．小球过最低点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反
2. 质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小杯通过最高点的速度为4 m/s。求： (1)在最高点时，绳的拉力T 是多少？ (2)在最高点时水对小杯底的压力是多少？
（3）为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少
3. 下课后，小丽在运动场上荡秋千。已知小丽的质量为40 kg，每根系秋千的绳子长为4 m ，能承受的最大张力是300N 。如右图，当秋千板摆到最低点时，速度为3 m/s。（g =10m/s2，小丽看成质点处理，秋千绳、底座等不计质量）
(1)此时，小丽做圆周运动的向心力是多大？此时，小丽对底座的压力是多少？ 每根绳子受到拉力T 是多少？
(2)如果小丽到达最低点的速度为5m/s，小丽有没有生命危险？
例3：如图5所示，杆长为l ，球的质量为m ，杆连球在竖直平面内绕轴O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F
1
mg ，求这时小球的瞬时速度大小。 2
2. 临界条件相结合的综合应用
1. 如图所示，在光滑水平面上放一小球以某速度运动到A 点，遇到一段半径为R 的圆弧曲面AB ，然后落到水平地面的C
点，假如小球没有跟
圆弧曲线上的任何点接触，则BC 的最小距离为（ ）
A. 0 B. R C.
2R D. （2－1）R
2．一个人用一跟长1m ，只能承受35N 拉力的绳子，拴着一个质量为1Kg 的小球，在竖直面内作圆周运动，已知转轴O 离地6m ，如图所示，
（1）此人必须用多大的角速度转动小球方能使小球到达最低点时绳子拉断？
（2）绳断后，小球落地点与抛出点的水平距离多大？
3：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A 、B ，质量分别为m 1、m 2，沿环形管顺时针运动，经过最低点的速度都是v 0，当A 球运动到最低点时，B 球恰好到最高点，若要此时作用于细管的合力为零，那么m 1、m 2、R 和v 0应满足的关系是。
3. 如图所示，已知半圆形碗半径为R ，质量为M ，静止在地面上，质量为m 的滑块滑到圆弧最底端速率为v ，碗仍静止，此时地面受到碗的压力为（ ）
v 2v 2
A. mg＋m B . Mg＋mg ＋m
R R v 2
C. Mg mg D. Mg＋mg —m
R
4. 如图所示，在电风扇的叶片上距转轴为r 处固定了一个质量为m 的铁块，电扇启动后，铁块以角速度ω绕轴O 匀速转动，则电风扇对地面的最大压力和最小压力的差为多大？