专题：学习能力型问题
1学习能力型问题常见的有以下几种类型：
(1)概念学习型；(2)公式学习型；(3)方法学习型． 2学习能力型问题的特点
(1)内容新
学习能力型习题中常常出现过去没有学习过的新的概念、定理、公式或方法，要求通过
自己学习以后，理解这些概念、定理、公式或方法，并且能运用它们解决有关的问题.
(2)抽象性
这里新的概念、定理、公式或方法的叙述通常比较简略，比较抽象，没有解释性和说明
性的语言，需要自己去仔细揣摩、领会和理解. 与平时在课堂里教师指导下学习新知识有很
大的区别，没有教师的讲解、举例和解说，没有许多感性的内容，比较抽象和概括，对独立
学习能力和抽象思维能力要求较高. 因此解这类问题往往感到很困难.
(3)学了就用
这里学习新知识的时间很短，要求通过阅读很快就能理解新的概念、定理、公式和方法，
并能立即运用它们解决有关的问题，不举例题，没有模仿的过程. 因此对思维的敏捷性和独
创性要求较高.
3解学习能力型习题的步骤
(1)阅读理解
首先通过阅读理解题意，理解题目所包含的新的概念、定理、公式或方法的本质：这里
分为两步：1、字面理解：要求读懂其中每一个句子的含义.2、深层理解：要求深入理解新
的概念的本质属性，分清新的定理和条件和结论，理解新的方法的关键等。
(2)运用
在理解新的概念、定理、公式或方法的基础上，运用它们解决有关的问题。
4新定义运算问题
4.1定义数对运算
例1 (1)对于任意的两个实数对(a , b ) 和(c , d ) ，规定：(a , b ) =(c , d ) ，当且仅当
a =c , b =d ；运算“⊗”为：(a , b ) ⊗(c , d ) =(ac -bd , bc +ad ) ；运算“⊕”为：
(a , b ) ⊕(c , d ) =(a +c , b +d ) ，设p , q ∈R ，若(1,2)⊗(p , q ) =(5,0)，则(1,2)⊕(p , q ) =
A. (4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,-4)
(2)( 10山东) 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a =(m , n) ，
b =(p , q) ，令a ⊙b =mq – np ，下面说法错误的是( )
A. 若a 与b 共线，则a ⊙b =0 B. a⊙b = b⊙a
C. 对任意的λ∈R ，有(λa ) ⊙b =λ(a ⊙b ) D. (a ⊙b ) 2+(a ·b ) 2=| a |2| b |2
4.2定义集合运算
例2 对于集合M , N ，定义M -N ={x |x ∈M 且x ∉N }, M ⊕N =(M -N )
(N -M ); 设A ={y |y =3x , x ∈R },B ={y |y =-(x -1) 2+2, x ∈R }，则A ⊕B =_____.
4.3定义函数运算
⎧a , a ≥b ⊗ 例3 (1)定义运算：a b=⎨, 已知函数f (x ) =2x ⊗(3-x ), 那么函数 ⎩b , a
y =f (x +1) 的大致图像是_________________.
(2)(11天津) 对实数a 和b ，定义运算“⊗”： a ⊗b =⎨⎧a , a -b ≤1, 设函数f (x )= (x 2
⎩b , a -b >1.
–2) ⊗(x –1) ，x ∈R ．若函数y =f (x ) – c的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是
A. ( –1, 1]∪(2,+∞) B. ( –2, –1]∪(1,2] C. ( –∞, –2) ∪(1,2] D.[ –2, –1]
5新定义概念问题
5.1与集合有关的新定义
例4若x ∈A , 且11∈A ，则称A 是“伙伴关系集”，在集合M={，1,2,3}的所有非空子2x
集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集”的概率为________.
变式：定义平面点集R 2={(x , y ) |x ∈R , y ∈R }，对于集合M ⊆R ，若对2
{P ∈R 2||PP ∀P 0∈M , ∃r >0, 使得0|
①集合{(x , y ) |(x -1) 2+(y -3) 20}是开集；③开集
在全集R 上的补集仍然是开集；④两个开集的并集是开集；其中正确的所有的命题的序号
是_____.（析：类比开区间，此题很容易求解）
5.2与数列有关的新定义
2a n +1n ∈N *） 例5 若数列{a n }满足2，则称{a n }为“等方比数列”．甲：=p （p 为正常数，a n 2
数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则（ ）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(评：关键是掌握新定义数列的本质，应遵循新定义法则，借助新数列的性质，向已有的熟
悉的知识转化，即可求解，考查考生的阅读理解能力和学习的潜能.)
a 2，a 3， ，a m （m 为正整数）满足条件a 1=a m ，a 2=a m -1，„，变式：如果有穷数列a 1，
2 ，m ），我们称其为“对称数列”． a m =a 1，即a i =a m -i +1（i =1，，
b 2，b 3，b 4是等差数列，且b 1=2，b 4=11．依(Ⅰ) 设{b n }是7项的“对称数列”，其中b 1，
次写出{b n }的每一项；
c 26， ，c 49是首项为1，公比为2的等比数 (Ⅱ) 设{c n }是49项的“对称数列”，其中c 25，
列，求{c n }各项的和S ；
(评：本题关键在于准确把握“对称数列”的定义，考查的还是课本中数列的基本知识.)
5.3函数有关新定义
例6 (1)在平面直角坐标系中，若点A,B 同时满足：①点A,B 都在函数y =f (x ) 图像上；②点A,B 关于原点对称，则称点对(A,B)是函数y =f (x ) 的一个“姐妹点对”（规定(A,B)与(B,A)是同一个“姐妹点对”）. 那么函数f (x ) =⎨⎧x -4, x ≥0
⎩x -2x , x
变式：在直角坐标系中，两个不同的点A(a,b),B(-a,-b)都在函数y =h (x ) 的图像上，则称[A,B]为函数的一组“友好点”（[A,B]与[B,A]看作一组），已知定义在[0, +∞) 的函数f (x ) 满足f (x +2) =2f (x ), 且当x ∈[0, 2]时，f (x ) =s i πx ，则函数n
⎧f (x ), 0
⎩--x , -8≤x
(2)（02上海）对于函数f (x ) ，若存在x 0∈R ，使f (x 0) =x 0成立，则称x 0为f (x ) 的不动点．已知函数f (x ) =ax 2+(b +1) x +(b -1) （a ≠0）．
(Ⅰ) 当a =1，b =-2时，求函数f (x ) 的不动点；
(Ⅱ) 若对任意实数b ，函数f (x ) 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围内；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，若y =f (x ) 图像上A 、B 两点的横坐标是函数f (x ) 的不动点，且A 、B 两点关于直线y =kx +
5.4与几何有关新定义
例7对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1, y 1) 、B (x 2，y 2) ，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱. 给出下列三个命题：
①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;
②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖；
③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.
其中真命题的个数为_____.
（本题给出了一个距离的概念，有别于平时所接触的距离概念，解题关键是弄懂新定义距离的概念. 本题重在考察学生的知识迁移和探究能力. ）
变式：（10广东）设A (x 1, y 1) 、B (x 2，y 2) 时直角坐标平面内的任意两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离为ρ(A , B ) =︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱. 对于平面上给定的不同的22212a +12对称，求b 的最小值．
两点A (x 1, y 1) 、B (x 2，y 2).
(Ⅰ) 若点C (x , y ) 是平面上的点，试证明ρ(A , C ) +ρ(C , B ) ≥ρ(A , B ) ;
(Ⅱ) 在平面上是否存在点C (x , y ) 同时满足：①ρ(A , C ) +ρ(C , B ) =ρ(A , B ) ; ②ρ(A , C ) =ρ(C , B ) . 若存在，写出符合条件的点，并予以证明，若不存在说明理由.
5.5解析几何有关新定义
例8 已知两定点M (-1, 0), N (1, 0), 若某直线上存在点P ，使|PM |+|PN |=4,则该直线为“A 型直线”，给出下列直线：①y=x+1;②y =2;③y=-x+3;④y=-2x+3.其中是“A 型直线”的是_____. 变式：在平面直角坐标系中，已知两定点M (a , 0), N (-a , 0), 若某直线上有且只有一点P ，使|PM |+|PN |=10，则称直线l 为“黄金直线”，点P 为“黄金点”.
(Ⅰ) 当a=时，点Q (, 3) 能否成为“黄金点”？若能求出“黄金直线”的方程，若不能说明理由.
(Ⅱ) 当a 满足什么条件时，“黄金点”P 的轨迹是圆？此时“黄金直线”具有什么特征？ 6总结
学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识. 而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注. 我国著名的数学家华罗庚先生认为，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃. 在这里正是应用到了“从厚到薄”.而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题.
【课后训练】
1. 定义平面向量之间的一种运算“Θ”如下，对任意的=(m , n ), =(p , q ) 令52a b =mq -np ，下列说法错误的是（） A. 若与共线，则=0 B. =
C. 对任意的λ∈R , 有(λ) Θ=λ() D. () 2+(⋅) 2=||2||2
2. 给定集合A ，若对于任意a , b ∈A ，有a +b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下五个结论：
①集合A={-4，-2,0,2,4}为闭集合.
②正整数集是闭集合.
③集合A={n|n=3k，k ∈Z }是闭集合.
④若A 1, A 2是闭集合，则A 1 A 2为闭集合.
⑤若A 1, A 2是闭集合，且A 1∈R , A 2∈R ，则∃c ∈R , 使得c ∈. （A 1 A 2）
其中正确的结论序号是（ ）
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③⑤
3. 定义在[a , b ]上的连续函数y =f (x ) ，如果∃ξ∈[a , b ]，使得f (a ) -f (b ) =f `(ξ)(b -a ) ，则称ξ为区间，下列函数： [a , b ]上的“中值点”
2①f (x ) =3x +2 ②f (x ) =x -x +1 ③f (x ) =ln(x +1) ④f (x ) =(x -) 中，1
23
“中值点”在区间[0,1]上多于1个的函数序号为_____.
专题：学习能力型问题
1学习能力型问题常见的有以下几种类型：
(1)概念学习型；(2)公式学习型；(3)方法学习型． 2学习能力型问题的特点
(1)内容新
学习能力型习题中常常出现过去没有学习过的新的概念、定理、公式或方法，要求通过
自己学习以后，理解这些概念、定理、公式或方法，并且能运用它们解决有关的问题.
(2)抽象性
这里新的概念、定理、公式或方法的叙述通常比较简略，比较抽象，没有解释性和说明
性的语言，需要自己去仔细揣摩、领会和理解. 与平时在课堂里教师指导下学习新知识有很
大的区别，没有教师的讲解、举例和解说，没有许多感性的内容，比较抽象和概括，对独立
学习能力和抽象思维能力要求较高. 因此解这类问题往往感到很困难.
(3)学了就用
这里学习新知识的时间很短，要求通过阅读很快就能理解新的概念、定理、公式和方法，
并能立即运用它们解决有关的问题，不举例题，没有模仿的过程. 因此对思维的敏捷性和独
创性要求较高.
3解学习能力型习题的步骤
(1)阅读理解
首先通过阅读理解题意，理解题目所包含的新的概念、定理、公式或方法的本质：这里
分为两步：1、字面理解：要求读懂其中每一个句子的含义.2、深层理解：要求深入理解新
的概念的本质属性，分清新的定理和条件和结论，理解新的方法的关键等。
(2)运用
在理解新的概念、定理、公式或方法的基础上，运用它们解决有关的问题。
4新定义运算问题
4.1定义数对运算
例1 (1)对于任意的两个实数对(a , b ) 和(c , d ) ，规定：(a , b ) =(c , d ) ，当且仅当
a =c , b =d ；运算“⊗”为：(a , b ) ⊗(c , d ) =(ac -bd , bc +ad ) ；运算“⊕”为：
(a , b ) ⊕(c , d ) =(a +c , b +d ) ，设p , q ∈R ，若(1,2)⊗(p , q ) =(5,0)，则(1,2)⊕(p , q ) =
A. (4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,-4)
(2)( 10山东) 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a =(m , n) ，
b =(p , q) ，令a ⊙b =mq – np ，下面说法错误的是( )
A. 若a 与b 共线，则a ⊙b =0 B. a⊙b = b⊙a
C. 对任意的λ∈R ，有(λa ) ⊙b =λ(a ⊙b ) D. (a ⊙b ) 2+(a ·b ) 2=| a |2| b |2
4.2定义集合运算
例2 对于集合M , N ，定义M -N ={x |x ∈M 且x ∉N }, M ⊕N =(M -N )
(N -M ); 设A ={y |y =3x , x ∈R },B ={y |y =-(x -1) 2+2, x ∈R }，则A ⊕B =_____.
4.3定义函数运算
⎧a , a ≥b ⊗ 例3 (1)定义运算：a b=⎨, 已知函数f (x ) =2x ⊗(3-x ), 那么函数 ⎩b , a
y =f (x +1) 的大致图像是_________________.
(2)(11天津) 对实数a 和b ，定义运算“⊗”： a ⊗b =⎨⎧a , a -b ≤1, 设函数f (x )= (x 2
⎩b , a -b >1.
–2) ⊗(x –1) ，x ∈R ．若函数y =f (x ) – c的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是
A. ( –1, 1]∪(2,+∞) B. ( –2, –1]∪(1,2] C. ( –∞, –2) ∪(1,2] D.[ –2, –1]
5新定义概念问题
5.1与集合有关的新定义
例4若x ∈A , 且11∈A ，则称A 是“伙伴关系集”，在集合M={，1,2,3}的所有非空子2x
集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集”的概率为________.
变式：定义平面点集R 2={(x , y ) |x ∈R , y ∈R }，对于集合M ⊆R ，若对2
{P ∈R 2||PP ∀P 0∈M , ∃r >0, 使得0|
①集合{(x , y ) |(x -1) 2+(y -3) 20}是开集；③开集
在全集R 上的补集仍然是开集；④两个开集的并集是开集；其中正确的所有的命题的序号
是_____.（析：类比开区间，此题很容易求解）
5.2与数列有关的新定义
2a n +1n ∈N *） 例5 若数列{a n }满足2，则称{a n }为“等方比数列”．甲：=p （p 为正常数，a n 2
数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则（ ）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(评：关键是掌握新定义数列的本质，应遵循新定义法则，借助新数列的性质，向已有的熟
悉的知识转化，即可求解，考查考生的阅读理解能力和学习的潜能.)
a 2，a 3， ，a m （m 为正整数）满足条件a 1=a m ，a 2=a m -1，„，变式：如果有穷数列a 1，
2 ，m ），我们称其为“对称数列”． a m =a 1，即a i =a m -i +1（i =1，，
b 2，b 3，b 4是等差数列，且b 1=2，b 4=11．依(Ⅰ) 设{b n }是7项的“对称数列”，其中b 1，
次写出{b n }的每一项；
c 26， ，c 49是首项为1，公比为2的等比数 (Ⅱ) 设{c n }是49项的“对称数列”，其中c 25，
列，求{c n }各项的和S ；
(评：本题关键在于准确把握“对称数列”的定义，考查的还是课本中数列的基本知识.)
5.3函数有关新定义
例6 (1)在平面直角坐标系中，若点A,B 同时满足：①点A,B 都在函数y =f (x ) 图像上；②点A,B 关于原点对称，则称点对(A,B)是函数y =f (x ) 的一个“姐妹点对”（规定(A,B)与(B,A)是同一个“姐妹点对”）. 那么函数f (x ) =⎨⎧x -4, x ≥0
⎩x -2x , x
变式：在直角坐标系中，两个不同的点A(a,b),B(-a,-b)都在函数y =h (x ) 的图像上，则称[A,B]为函数的一组“友好点”（[A,B]与[B,A]看作一组），已知定义在[0, +∞) 的函数f (x ) 满足f (x +2) =2f (x ), 且当x ∈[0, 2]时，f (x ) =s i πx ，则函数n
⎧f (x ), 0
⎩--x , -8≤x
(2)（02上海）对于函数f (x ) ，若存在x 0∈R ，使f (x 0) =x 0成立，则称x 0为f (x ) 的不动点．已知函数f (x ) =ax 2+(b +1) x +(b -1) （a ≠0）．
(Ⅰ) 当a =1，b =-2时，求函数f (x ) 的不动点；
(Ⅱ) 若对任意实数b ，函数f (x ) 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围内；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，若y =f (x ) 图像上A 、B 两点的横坐标是函数f (x ) 的不动点，且A 、B 两点关于直线y =kx +
5.4与几何有关新定义
例7对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1, y 1) 、B (x 2，y 2) ，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱. 给出下列三个命题：
①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;
②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖；
③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.
其中真命题的个数为_____.
（本题给出了一个距离的概念，有别于平时所接触的距离概念，解题关键是弄懂新定义距离的概念. 本题重在考察学生的知识迁移和探究能力. ）
变式：（10广东）设A (x 1, y 1) 、B (x 2，y 2) 时直角坐标平面内的任意两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离为ρ(A , B ) =︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱. 对于平面上给定的不同的22212a +12对称，求b 的最小值．
两点A (x 1, y 1) 、B (x 2，y 2).
(Ⅰ) 若点C (x , y ) 是平面上的点，试证明ρ(A , C ) +ρ(C , B ) ≥ρ(A , B ) ;
(Ⅱ) 在平面上是否存在点C (x , y ) 同时满足：①ρ(A , C ) +ρ(C , B ) =ρ(A , B ) ; ②ρ(A , C ) =ρ(C , B ) . 若存在，写出符合条件的点，并予以证明，若不存在说明理由.
5.5解析几何有关新定义
例8 已知两定点M (-1, 0), N (1, 0), 若某直线上存在点P ，使|PM |+|PN |=4,则该直线为“A 型直线”，给出下列直线：①y=x+1;②y =2;③y=-x+3;④y=-2x+3.其中是“A 型直线”的是_____. 变式：在平面直角坐标系中，已知两定点M (a , 0), N (-a , 0), 若某直线上有且只有一点P ，使|PM |+|PN |=10，则称直线l 为“黄金直线”，点P 为“黄金点”.
(Ⅰ) 当a=时，点Q (, 3) 能否成为“黄金点”？若能求出“黄金直线”的方程，若不能说明理由.
(Ⅱ) 当a 满足什么条件时，“黄金点”P 的轨迹是圆？此时“黄金直线”具有什么特征？ 6总结
学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识. 而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注. 我国著名的数学家华罗庚先生认为，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃. 在这里正是应用到了“从厚到薄”.而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题.
【课后训练】
1. 定义平面向量之间的一种运算“Θ”如下，对任意的=(m , n ), =(p , q ) 令52a b =mq -np ，下列说法错误的是（） A. 若与共线，则=0 B. =
C. 对任意的λ∈R , 有(λ) Θ=λ() D. () 2+(⋅) 2=||2||2
2. 给定集合A ，若对于任意a , b ∈A ，有a +b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下五个结论：
①集合A={-4，-2,0,2,4}为闭集合.
②正整数集是闭集合.
③集合A={n|n=3k，k ∈Z }是闭集合.
④若A 1, A 2是闭集合，则A 1 A 2为闭集合.
⑤若A 1, A 2是闭集合，且A 1∈R , A 2∈R ，则∃c ∈R , 使得c ∈. （A 1 A 2）
其中正确的结论序号是（ ）
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③⑤
3. 定义在[a , b ]上的连续函数y =f (x ) ，如果∃ξ∈[a , b ]，使得f (a ) -f (b ) =f `(ξ)(b -a ) ，则称ξ为区间，下列函数： [a , b ]上的“中值点”
2①f (x ) =3x +2 ②f (x ) =x -x +1 ③f (x ) =ln(x +1) ④f (x ) =(x -) 中，1
23
“中值点”在区间[0,1]上多于1个的函数序号为_____.