第一章 质点力学 之§1.8 动量、动量矩定理与守恒
物理与光电工程学院 JLUOLED
与基本守恒律 1. 动量定理与动量守恒律
§1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒律
一、动量定理与动量守恒律
v v 1. 动量: 定义： p = mv
物理学中一个非常重要的物理量。在机械运动的范围 内，质点间运动的传递通过动量的交换来实现。
2. 动量定理 变形并积分
v v d dp v F = ( mv ) = dt dt
v v ⇒ dp = Fdt
动量定理的微分形式
v t2 v v v v v p2 − p1 = mv2 − mv1 = ∫ F dt = I
t1
v v dp F= dt
⇒
∫
p2
p1
dp = ∫
t2
t1
v Fdt
动量定理的积分形式
I : 力对质点的冲量， 是一个矢量。
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动量守恒
3. 动量守恒 v v v (1) 若 F = 0, 则 p = mv = C
即：如果质点受到的合外力等于零， 则其动量守恒。常数由初值确定。
v v d dp v F = ( mv ) = dt dt
& mx = c1 & 分量形式： my = c2 & mz = c3
(2) 某一方向的动量分量守恒
v 若 F ≠ 0, 但 Fx = 0, 则 dpx / dt = 0, 即 p x = C
即：如果质点在某方向上受到的合外力为0, 则该方向上的动量守恒。
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二、力矩与动量矩
1. 力矩 (矢量) ★ 力对空间某一点 A 的力矩:
θ
F r A z
Fx Fz Fy
v v v M = r ×F
v v 大小：M = r × F = rF sin θ
方向：右手螺旋法则
★ 力对空间某一轴线的力矩: (矢量沿轴的投影) 力矩的分量形式
L
O
v v v M = r ×F = x
v i
v j
v k
r y
y Fy
z Fz
x F
v v v = ( yFz − zFy )i + ( zFx − xFz ) j + ( xFy − yFx )k v v F 对 L 轴的力矩：M z = xFy − yFx = ρ × Fρ
Fx
ρ
Fρ
即：力沿轴上一点的力矩在该轴上的投影。或者 力在平面上的投影 对该点在轴上的垂直投影点的力矩大小。 物理与光电工程学院 JLUOLED
(动量矩)
2. 动量矩
(矢量)
1).对 O 点的动量矩 v v v v v v J = r × mv = m( yv z − zv y )i + m( zv x − xv z ) j + m( xv y − yv x )k 2).对 轴的动量矩 对 x 轴的动量矩：m ( y vz − z vy ) 对 y 轴的动量矩：m ( z vx − x vz ) 对 z 轴的动量矩：m ( x vy − y vx ) 3. 推广：矢量矩 注意：动量矩对 点、对轴两者之 间的关系。
v 矢量 A 对任意一点 O 的矢量矩为： v v v MA = r × A
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例：
质量为1kg的质点在某一时刻的位置矢量为 速度为 Jz =
r r r r v = 3i + 2 j − k
r r r r r = i + 2 j + 3k
m,
m/s,则该质点在此时对Z轴的动量矩
－4
kg.m2/s。
对 z 轴的动量矩：m ( x vy - y vx )
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3. 动量矩定理与动量 矩守恒律
v v ⎛ d 2r ⎞ v v d r v 由矢量得矢量用×乘 m 2 = F ⇒ m⎜ r × 2 ⎟ = r × F ⎜ dt dt ⎟ ⎠ ⎝ v v v v d 2 r d ⎛ v dr ⎞ dr dr d v v r × 2 = ⎜r × ⎟ − × = (r × v ) dt dt ⎝ dt ⎠ dt dt dt
2
三、动量矩定理与动量矩守恒律 1. 动量矩定理 ( 出发点：牛顿第二运动定律 )
对点
d v v v v (r × mv ) = r × F dt
v v dJ =M dt
动量矩定理的 微分形式
& & 对轴 投影式： d [m( yz − zy )] / dt = yFz − zFy & & d [m( zx − xz )] / dt = zFx − xFz & & d [m( xy − yx )] / dt = xFy − yFx v v t2 v dJ = Mdt ⇒ J 2 − J 1 = ∫ Mdt
t1
2. 冲量矩
冲量矩
3. 动量矩守恒律
∫
t2 t1
v Mdt
若 M = 0, 则 J 为守恒量。 若 M ≠ 0 而 Mx = 0 则 Jx 为守恒量
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例题
例1：质点所受的力恒通过某一个定点，则质点必在一平面上运动 （如地球绕太阳运动，卫星绕地球运动等）。试证明之。
[解]
由于力恒通过一个定点，那么力对该定点的力矩: v M = r×F ≡0 由动量矩守恒律知，该质点对该定点的动量矩守恒，即 v v v r × mv = C 其分量式为：
F
& & m( yz − zy ) = C1 & & m( zx − xz ) = C2 & & m( xy − yx ) = C3
×x ×y ×z
& & m( xyz − xzy ) = C1 x & & m( yzx − xyz ) = C2 y & & m( xzy − yzx ) = C3 z
(三个方程相加)
经过固定点的平面方程
C1 x + C2 y + C3 z = 0
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[例2] 用动量矩定理导出单摆的运动微分方程。 [解] 设单摆的摆锤质量为m，轻绳长度为l，悬挂在固 定点o，建立如图所示的坐标系。
→
M
→
o
φ
→
J T
y
z
→
→
v
A
x
mg φ
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单摆受力为 重力
m g = mg i
→
→
→
绳中的拉力 对o点力矩为
T = −T cos φ i − T sin φ j
→
→
→
→
→
M = r× F
→
→
→
i
= oA× (m g + T)
→ → →
j l sin φ − T sin φ
k 0 0
=
l cos φ mg − T cos φ
= − mgl sin φ k
→
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第一章 质点力学 之§1.8 动量、动量矩定理与守恒
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与基本守恒律 1. 动量定理与动量守恒律
§1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒律
一、动量定理与动量守恒律
v v 1. 动量: 定义： p = mv
物理学中一个非常重要的物理量。在机械运动的范围 内，质点间运动的传递通过动量的交换来实现。
2. 动量定理 变形并积分
v v d dp v F = ( mv ) = dt dt
v v ⇒ dp = Fdt
动量定理的微分形式
v t2 v v v v v p2 − p1 = mv2 − mv1 = ∫ F dt = I
t1
v v dp F= dt
⇒
∫
p2
p1
dp = ∫
t2
t1
v Fdt
动量定理的积分形式
I : 力对质点的冲量， 是一个矢量。
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动量守恒
3. 动量守恒 v v v (1) 若 F = 0, 则 p = mv = C
即：如果质点受到的合外力等于零， 则其动量守恒。常数由初值确定。
v v d dp v F = ( mv ) = dt dt
& mx = c1 & 分量形式： my = c2 & mz = c3
(2) 某一方向的动量分量守恒
v 若 F ≠ 0, 但 Fx = 0, 则 dpx / dt = 0, 即 p x = C
即：如果质点在某方向上受到的合外力为0, 则该方向上的动量守恒。
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二、力矩与动量矩
1. 力矩 (矢量) ★ 力对空间某一点 A 的力矩:
θ
F r A z
Fx Fz Fy
v v v M = r ×F
v v 大小：M = r × F = rF sin θ
方向：右手螺旋法则
★ 力对空间某一轴线的力矩: (矢量沿轴的投影) 力矩的分量形式
L
O
v v v M = r ×F = x
v i
v j
v k
r y
y Fy
z Fz
x F
v v v = ( yFz − zFy )i + ( zFx − xFz ) j + ( xFy − yFx )k v v F 对 L 轴的力矩：M z = xFy − yFx = ρ × Fρ
Fx
ρ
Fρ
即：力沿轴上一点的力矩在该轴上的投影。或者 力在平面上的投影 对该点在轴上的垂直投影点的力矩大小。 物理与光电工程学院 JLUOLED
(动量矩)
2. 动量矩
(矢量)
1).对 O 点的动量矩 v v v v v v J = r × mv = m( yv z − zv y )i + m( zv x − xv z ) j + m( xv y − yv x )k 2).对 轴的动量矩 对 x 轴的动量矩：m ( y vz − z vy ) 对 y 轴的动量矩：m ( z vx − x vz ) 对 z 轴的动量矩：m ( x vy − y vx ) 3. 推广：矢量矩 注意：动量矩对 点、对轴两者之 间的关系。
v 矢量 A 对任意一点 O 的矢量矩为： v v v MA = r × A
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例：
质量为1kg的质点在某一时刻的位置矢量为 速度为 Jz =
r r r r v = 3i + 2 j − k
r r r r r = i + 2 j + 3k
m,
m/s,则该质点在此时对Z轴的动量矩
－4
kg.m2/s。
对 z 轴的动量矩：m ( x vy - y vx )
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3. 动量矩定理与动量 矩守恒律
v v ⎛ d 2r ⎞ v v d r v 由矢量得矢量用×乘 m 2 = F ⇒ m⎜ r × 2 ⎟ = r × F ⎜ dt dt ⎟ ⎠ ⎝ v v v v d 2 r d ⎛ v dr ⎞ dr dr d v v r × 2 = ⎜r × ⎟ − × = (r × v ) dt dt ⎝ dt ⎠ dt dt dt
2
三、动量矩定理与动量矩守恒律 1. 动量矩定理 ( 出发点：牛顿第二运动定律 )
对点
d v v v v (r × mv ) = r × F dt
v v dJ =M dt
动量矩定理的 微分形式
& & 对轴 投影式： d [m( yz − zy )] / dt = yFz − zFy & & d [m( zx − xz )] / dt = zFx − xFz & & d [m( xy − yx )] / dt = xFy − yFx v v t2 v dJ = Mdt ⇒ J 2 − J 1 = ∫ Mdt
t1
2. 冲量矩
冲量矩
3. 动量矩守恒律
∫
t2 t1
v Mdt
若 M = 0, 则 J 为守恒量。 若 M ≠ 0 而 Mx = 0 则 Jx 为守恒量
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例题
例1：质点所受的力恒通过某一个定点，则质点必在一平面上运动 （如地球绕太阳运动，卫星绕地球运动等）。试证明之。
[解]
由于力恒通过一个定点，那么力对该定点的力矩: v M = r×F ≡0 由动量矩守恒律知，该质点对该定点的动量矩守恒，即 v v v r × mv = C 其分量式为：
F
& & m( yz − zy ) = C1 & & m( zx − xz ) = C2 & & m( xy − yx ) = C3
×x ×y ×z
& & m( xyz − xzy ) = C1 x & & m( yzx − xyz ) = C2 y & & m( xzy − yzx ) = C3 z
(三个方程相加)
经过固定点的平面方程
C1 x + C2 y + C3 z = 0
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[例2] 用动量矩定理导出单摆的运动微分方程。 [解] 设单摆的摆锤质量为m，轻绳长度为l，悬挂在固 定点o，建立如图所示的坐标系。
→
M
→
o
φ
→
J T
y
z
→
→
v
A
x
mg φ
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单摆受力为 重力
m g = mg i
→
→
→
绳中的拉力 对o点力矩为
T = −T cos φ i − T sin φ j
→
→
→
→
→
M = r× F
→
→
→
i
= oA× (m g + T)
→ → →
j l sin φ − T sin φ
k 0 0
=
l cos φ mg − T cos φ
= − mgl sin φ k
→
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