6-1. (填空题)某校计科系一年级100名学生中有男生80名,来自昆明的20名学生中有男生12名,选修数学建模课的40名学生中有男生32名,求:
(1)碰到男生的情况下,不是昆明学生的概率: (2)碰到昆明学生的情况下,是一名男生的概率: (3)碰到昆明男生的概率: (4)碰到昆明学生的情况下,是一名女生的概率: (5)碰到选修数学建模课的学生的概率: (6)碰到选修数学建模课的学生的情况下,是一名女生的概率:
【分析及答案】明确有关数据,见表1-5及表1-5
设事件
A ={ 碰到男生 } B ={ 碰到昆明学生 }C ={ 碰到选修数学建模课的学生 }
(1)P (
B A )
条件概率
=
P (B A ) P (A )
古典定义
=
μ(B A ) C 6868
=1= C 8080μ(A ) μ(B A )
1-
μ(A )
古典定义
1
也可利用条件概率的性质
P (B A ) =
性质
1-P (B A )
P (AB ) P (B )
条件概率
==1-
C 112C 180
=1-
1268
= 8080
(2)P (A B )
条件概率
=
古典定义
=
μ(AB ) C 1212
=1= C 2020μ(B )
1
(3)P (A B )
古典定义
=
12μ(AB ) C 12
=1=
100C μ(Ω) 100
1
(4)P (A B )
条件概率
=
P (AB )
P (B )
古典定义
=
μ(AB ) C 1212
=1= C 8080μ(B )
1
(5)P (AC )
古典定义
=
32μ(AC ) C 32
=1=
100C μ(Ω) 100
1
(6)P (A C )
条件概率
=
P (AC )
P (C )
古典定义
=
8μ(AC ) C 8
=1= C 4040μ(C )
1
也可利用条件概率的性质
P (A C ) =
性质
1-P (C A )
条件概率
=
μ(C A ) 1-
μ(A )
古典定义
=1-
C 132C 140
=1-
328= 4040
6-2. 将一枚硬币抛两次:(1)已知第一次出现正面,求第二次也出现正面的概率
(2)已知第二次出现反面,求第一次出现正面的概率(3)已知有一次出现正面,求另一次也出现正面的概率 【解】
设事件
A i ={ 第i 次出现正面 }(i =1, 2)
1正面(第1次)1正面(第2次)
C 1正面μ(A 1A 2) C 1正面1⨯11
= ==1面(第1次)1面(第2次)
1⨯22μ(A 1) C 1正面C 2正,
反面
于是,所求事件的概率为: (1) P (
A 2A 1)
条件概率
=
P (A 1A 2) P (A 1)
P (A 1A 2) P (A 2)
条件概率
古典定义
=
(2) P (
A 1A 2)
条件概率
=
古典定义
=
μ(A 1A 2)
正面(第1次)1反面(第2次)C 1C 1⨯111反面
= ==1正面
1面(第1次)1面(第2次)
22⨯1μ(A 2) C 2正面,C 1反面
反面
(3) P [
A 1A 2A 1+A 2)]
=
P (A 1A 2) P (A 1+A 2)
古典定义
=
μ(A 1A 2)
μ(A 1+A 2)
=
正面(第1次)1正面(第2次)C 1C --乘法原理1正面1正面
C
1面(第1次)1面(第2次)
1正面1正面
C +C
1面(第1次)1面(第2次)
1正面1反面
C +C
1面(第1次)1面(第2次)
1反面1正面
C --加法原理
10,01,00} 【解法②】∵ 样本空间Ω={11,
( 样本点“10”表示基本事件“第一次出现正面,且第二次出现反面”,余者类推 )
事件
10}事件A 2={10,00}事件A 1A 2={10}事件A 1A 2={11}事件A 1+A 2={11,10,01} A 1={11,A 2A 1)
条件概率
(1) P (=
P (A 1A 2) P (A 1)
P (A 1A 2) P (A 2)
条件概率
古典定义
=
μ(A 1A 2) 1
=
2μ(A 1)
μ(A 1A 2) μ(A 2)
古典定义
(2) P (
A 1A 2)
条件概率
=
古典定义
==
1 2
](3) P [A 1A 2A 1+A 2)
=
P (A 1A 2) P (A 1+A 2)
=
μ(A 1A 2) 1
=
μ(A 1+A 2) 3
6-3. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随机取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率【分析与答案】设事件
A i ={ 取出的产品为i 等品 }(i =1, 2, 3)
P (A 1A 3) P (A 3)
3=A 1+A 2
P (A 1A 3)
条件概率
==
P [A 1(A 1+A 2) ]P (A 1+A 2)
A 1⊂(A 1+A 2)⇒A 1(A 1+A 2)=A 1
=
P (A 1)
P (A 1+A 2)P (A 1)
A i 两两互斥,利用加法公式
=
20.6
=≈0.6667 =
P (A 1)+P (A 2)0.6+0.33
6-6. 已知:P (A ) >0,求证:P (B A ) =1-P (B A )
【证明】∵ P (ΩA ) =1
公理 B +=Ω
⇔P [(B +B A ]=1
条件概率
⇔
P [(B +B )A ]
=1
P (A )
事件运算律
⇔
P (BA +BA )
=1
P (A )
BA 与互斥
⇔
P (BA )+P (BA )
=1
P (A )
⇔
P (BA )P (BA )
+=1
P (A ) P (A )
推广
⇔P (B A ) +P (B A ) =1∴ P (B A ) =1-P (B A )
若B 1、B 2、„ 、B n 构成一个完备事件组,且P (A ) >0,则P (B 1A ) +P (B 2A ) + +P (B n A ) =1
6-8. 两人约好于某一天早晨8时到9时之间在某地会面,并约定先到者等候另一人30分钟方可离开,已知两人会上了面,求先到者等候另一人超过20分钟的概率。 【解】设事件
A ={ 两人会上了面 }B ={ 先到者等候另一人超过20分钟 }
y -x ≤30}
Ω={(x , y ) 0≤x ≤60, 且0≤y ≤60}A ={(x , y )
B ={(x , y ) 20
( 样本点(
x , y ) -- 对应基本事件“两人到达某地的时刻分别为x 、y ” ,x 、y 的单位:8时⨯分 )
条件概率
P (B A )
1
=1
=
P (AB ) 几何定义μ(AB ) 区域A B 的面积
= =
区域A 的面积P (A ) μ(A )
112
(402-302)
=
(402-302) +(602-302) +
402-30260-30
2
2
=
7002700
=
727
=0.259259259≈0.2593
2
(602-302)
6-1. (填空题)某校计科系一年级100名学生中有男生80名,来自昆明的20名学生中有男生12名,选修数学建模课的40名学生中有男生32名,求:
(1)碰到男生的情况下,不是昆明学生的概率: (2)碰到昆明学生的情况下,是一名男生的概率: (3)碰到昆明男生的概率: (4)碰到昆明学生的情况下,是一名女生的概率: (5)碰到选修数学建模课的学生的概率: (6)碰到选修数学建模课的学生的情况下,是一名女生的概率:
【分析及答案】明确有关数据,见表1-5及表1-5
设事件
A ={ 碰到男生 } B ={ 碰到昆明学生 }C ={ 碰到选修数学建模课的学生 }
(1)P (
B A )
条件概率
=
P (B A ) P (A )
古典定义
=
μ(B A ) C 6868
=1= C 8080μ(A ) μ(B A )
1-
μ(A )
古典定义
1
也可利用条件概率的性质
P (B A ) =
性质
1-P (B A )
P (AB ) P (B )
条件概率
==1-
C 112C 180
=1-
1268
= 8080
(2)P (A B )
条件概率
=
古典定义
=
μ(AB ) C 1212
=1= C 2020μ(B )
1
(3)P (A B )
古典定义
=
12μ(AB ) C 12
=1=
100C μ(Ω) 100
1
(4)P (A B )
条件概率
=
P (AB )
P (B )
古典定义
=
μ(AB ) C 1212
=1= C 8080μ(B )
1
(5)P (AC )
古典定义
=
32μ(AC ) C 32
=1=
100C μ(Ω) 100
1
(6)P (A C )
条件概率
=
P (AC )
P (C )
古典定义
=
8μ(AC ) C 8
=1= C 4040μ(C )
1
也可利用条件概率的性质
P (A C ) =
性质
1-P (C A )
条件概率
=
μ(C A ) 1-
μ(A )
古典定义
=1-
C 132C 140
=1-
328= 4040
6-2. 将一枚硬币抛两次:(1)已知第一次出现正面,求第二次也出现正面的概率
(2)已知第二次出现反面,求第一次出现正面的概率(3)已知有一次出现正面,求另一次也出现正面的概率 【解】
设事件
A i ={ 第i 次出现正面 }(i =1, 2)
1正面(第1次)1正面(第2次)
C 1正面μ(A 1A 2) C 1正面1⨯11
= ==1面(第1次)1面(第2次)
1⨯22μ(A 1) C 1正面C 2正,
反面
于是,所求事件的概率为: (1) P (
A 2A 1)
条件概率
=
P (A 1A 2) P (A 1)
P (A 1A 2) P (A 2)
条件概率
古典定义
=
(2) P (
A 1A 2)
条件概率
=
古典定义
=
μ(A 1A 2)
正面(第1次)1反面(第2次)C 1C 1⨯111反面
= ==1正面
1面(第1次)1面(第2次)
22⨯1μ(A 2) C 2正面,C 1反面
反面
(3) P [
A 1A 2A 1+A 2)]
=
P (A 1A 2) P (A 1+A 2)
古典定义
=
μ(A 1A 2)
μ(A 1+A 2)
=
正面(第1次)1正面(第2次)C 1C --乘法原理1正面1正面
C
1面(第1次)1面(第2次)
1正面1正面
C +C
1面(第1次)1面(第2次)
1正面1反面
C +C
1面(第1次)1面(第2次)
1反面1正面
C --加法原理
10,01,00} 【解法②】∵ 样本空间Ω={11,
( 样本点“10”表示基本事件“第一次出现正面,且第二次出现反面”,余者类推 )
事件
10}事件A 2={10,00}事件A 1A 2={10}事件A 1A 2={11}事件A 1+A 2={11,10,01} A 1={11,A 2A 1)
条件概率
(1) P (=
P (A 1A 2) P (A 1)
P (A 1A 2) P (A 2)
条件概率
古典定义
=
μ(A 1A 2) 1
=
2μ(A 1)
μ(A 1A 2) μ(A 2)
古典定义
(2) P (
A 1A 2)
条件概率
=
古典定义
==
1 2
](3) P [A 1A 2A 1+A 2)
=
P (A 1A 2) P (A 1+A 2)
=
μ(A 1A 2) 1
=
μ(A 1+A 2) 3
6-3. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随机取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率【分析与答案】设事件
A i ={ 取出的产品为i 等品 }(i =1, 2, 3)
P (A 1A 3) P (A 3)
3=A 1+A 2
P (A 1A 3)
条件概率
==
P [A 1(A 1+A 2) ]P (A 1+A 2)
A 1⊂(A 1+A 2)⇒A 1(A 1+A 2)=A 1
=
P (A 1)
P (A 1+A 2)P (A 1)
A i 两两互斥,利用加法公式
=
20.6
=≈0.6667 =
P (A 1)+P (A 2)0.6+0.33
6-6. 已知:P (A ) >0,求证:P (B A ) =1-P (B A )
【证明】∵ P (ΩA ) =1
公理 B +=Ω
⇔P [(B +B A ]=1
条件概率
⇔
P [(B +B )A ]
=1
P (A )
事件运算律
⇔
P (BA +BA )
=1
P (A )
BA 与互斥
⇔
P (BA )+P (BA )
=1
P (A )
⇔
P (BA )P (BA )
+=1
P (A ) P (A )
推广
⇔P (B A ) +P (B A ) =1∴ P (B A ) =1-P (B A )
若B 1、B 2、„ 、B n 构成一个完备事件组,且P (A ) >0,则P (B 1A ) +P (B 2A ) + +P (B n A ) =1
6-8. 两人约好于某一天早晨8时到9时之间在某地会面,并约定先到者等候另一人30分钟方可离开,已知两人会上了面,求先到者等候另一人超过20分钟的概率。 【解】设事件
A ={ 两人会上了面 }B ={ 先到者等候另一人超过20分钟 }
y -x ≤30}
Ω={(x , y ) 0≤x ≤60, 且0≤y ≤60}A ={(x , y )
B ={(x , y ) 20
( 样本点(
x , y ) -- 对应基本事件“两人到达某地的时刻分别为x 、y ” ,x 、y 的单位:8时⨯分 )
条件概率
P (B A )
1
=1
=
P (AB ) 几何定义μ(AB ) 区域A B 的面积
= =
区域A 的面积P (A ) μ(A )
112
(402-302)
=
(402-302) +(602-302) +
402-30260-30
2
2
=
7002700
=
727
=0.259259259≈0.2593
2
(602-302)