题型六-条件概率的计算

6-1. (填空题)某校计科系一年级100名学生中有男生80名,来自昆明的20名学生中有男生12名,选修数学建模课的40名学生中有男生32名,求:

(1)碰到男生的情况下,不是昆明学生的概率: (2)碰到昆明学生的情况下,是一名男生的概率: (3)碰到昆明男生的概率: (4)碰到昆明学生的情况下,是一名女生的概率: (5)碰到选修数学建模课的学生的概率: (6)碰到选修数学建模课的学生的情况下,是一名女生的概率:

【分析及答案】明确有关数据,见表1-5及表1-5

设事件

A ={ 碰到男生 } B ={ 碰到昆明学生 }C ={ 碰到选修数学建模课的学生 }

(1)P (

B A )

条件概率

=

P (B A ) P (A )

古典定义

=

μ(B A ) C 6868

=1= C 8080μ(A ) μ(B A )

1-

μ(A )

古典定义

1

也可利用条件概率的性质

P (B A ) =

性质

1-P (B A )

P (AB ) P (B )

条件概率

==1-

C 112C 180

=1-

1268

= 8080

(2)P (A B )

条件概率

=

古典定义

=

μ(AB ) C 1212

=1= C 2020μ(B )

1

(3)P (A B )

古典定义

=

12μ(AB ) C 12

=1=

100C μ(Ω) 100

1

(4)P (A B )

条件概率

=

P (AB )

P (B )

古典定义

=

μ(AB ) C 1212

=1= C 8080μ(B )

1

(5)P (AC )

古典定义

=

32μ(AC ) C 32

=1=

100C μ(Ω) 100

1

(6)P (A C )

条件概率

=

P (AC )

P (C )

古典定义

=

8μ(AC ) C 8

=1= C 4040μ(C )

1

也可利用条件概率的性质

P (A C ) =

性质

1-P (C A )

条件概率

=

μ(C A ) 1-

μ(A )

古典定义

=1-

C 132C 140

=1-

328= 4040

6-2. 将一枚硬币抛两次:(1)已知第一次出现正面,求第二次也出现正面的概率

(2)已知第二次出现反面,求第一次出现正面的概率(3)已知有一次出现正面,求另一次也出现正面的概率 【解】

设事件

A i ={ 第i 次出现正面 }(i =1, 2)

1正面(第1次)1正面(第2次)

C 1正面μ(A 1A 2) C 1正面1⨯11

= ==1面(第1次)1面(第2次)

1⨯22μ(A 1) C 1正面C 2正,

反面

于是,所求事件的概率为: (1) P (

A 2A 1)

条件概率

=

P (A 1A 2) P (A 1)

P (A 1A 2) P (A 2)

条件概率

古典定义

=

(2) P (

A 1A 2)

条件概率

=

古典定义

=

μ(A 1A 2)

正面(第1次)1反面(第2次)C 1C 1⨯111反面

= ==1正面

1面(第1次)1面(第2次)

22⨯1μ(A 2) C 2正面,C 1反面

反面

(3) P [

A 1A 2A 1+A 2)]

=

P (A 1A 2) P (A 1+A 2)

古典定义

=

μ(A 1A 2)

μ(A 1+A 2)

=

正面(第1次)1正面(第2次)C 1C --乘法原理1正面1正面

C

1面(第1次)1面(第2次)

1正面1正面

C +C

1面(第1次)1面(第2次)

1正面1反面

C +C

1面(第1次)1面(第2次)

1反面1正面

C --加法原理

10,01,00} 【解法②】∵ 样本空间Ω={11,

( 样本点“10”表示基本事件“第一次出现正面,且第二次出现反面”,余者类推 )

事件

10}事件A 2={10,00}事件A 1A 2={10}事件A 1A 2={11}事件A 1+A 2={11,10,01} A 1={11,A 2A 1)

条件概率

(1) P (=

P (A 1A 2) P (A 1)

P (A 1A 2) P (A 2)

条件概率

古典定义

=

μ(A 1A 2) 1

=

2μ(A 1)

μ(A 1A 2) μ(A 2)

古典定义

(2) P (

A 1A 2)

条件概率

=

古典定义

==

1 2

](3) P [A 1A 2A 1+A 2)

=

P (A 1A 2) P (A 1+A 2)

=

μ(A 1A 2) 1

=

μ(A 1+A 2) 3

6-3. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随机取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率【分析与答案】设事件

A i ={ 取出的产品为i 等品 }(i =1, 2, 3)

P (A 1A 3) P (A 3)

3=A 1+A 2

P (A 1A 3)

条件概率

==

P [A 1(A 1+A 2) ]P (A 1+A 2)

A 1⊂(A 1+A 2)⇒A 1(A 1+A 2)=A 1

=

P (A 1)

P (A 1+A 2)P (A 1)

A i 两两互斥,利用加法公式

=

20.6

=≈0.6667 =

P (A 1)+P (A 2)0.6+0.33

6-6. 已知:P (A ) >0,求证:P (B A ) =1-P (B A )

【证明】∵ P (ΩA ) =1

公理 B +=Ω

⇔P [(B +B A ]=1

条件概率

P [(B +B )A ]

=1

P (A )

事件运算律

P (BA +BA )

=1

P (A )

BA 与互斥

P (BA )+P (BA )

=1

P (A )

P (BA )P (BA )

+=1

P (A ) P (A )

推广

⇔P (B A ) +P (B A ) =1∴ P (B A ) =1-P (B A )

若B 1、B 2、„ 、B n 构成一个完备事件组,且P (A ) >0,则P (B 1A ) +P (B 2A ) + +P (B n A ) =1

6-8. 两人约好于某一天早晨8时到9时之间在某地会面,并约定先到者等候另一人30分钟方可离开,已知两人会上了面,求先到者等候另一人超过20分钟的概率。 【解】设事件

A ={ 两人会上了面 }B ={ 先到者等候另一人超过20分钟 }

y -x ≤30}

Ω={(x , y ) 0≤x ≤60, 且0≤y ≤60}A ={(x , y )

B ={(x , y ) 20

( 样本点(

x , y ) -- 对应基本事件“两人到达某地的时刻分别为x 、y ” ,x 、y 的单位:8时⨯分 )

条件概率

P (B A )

1

=1

=

P (AB ) 几何定义μ(AB ) 区域A B 的面积

= =

区域A 的面积P (A ) μ(A )

112

(402-302)

=

(402-302) +(602-302) +

402-30260-30

2

2

=

7002700

=

727

=0.259259259≈0.2593

2

(602-302)

6-1. (填空题)某校计科系一年级100名学生中有男生80名,来自昆明的20名学生中有男生12名,选修数学建模课的40名学生中有男生32名,求:

(1)碰到男生的情况下,不是昆明学生的概率: (2)碰到昆明学生的情况下,是一名男生的概率: (3)碰到昆明男生的概率: (4)碰到昆明学生的情况下,是一名女生的概率: (5)碰到选修数学建模课的学生的概率: (6)碰到选修数学建模课的学生的情况下,是一名女生的概率:

【分析及答案】明确有关数据,见表1-5及表1-5

设事件

A ={ 碰到男生 } B ={ 碰到昆明学生 }C ={ 碰到选修数学建模课的学生 }

(1)P (

B A )

条件概率

=

P (B A ) P (A )

古典定义

=

μ(B A ) C 6868

=1= C 8080μ(A ) μ(B A )

1-

μ(A )

古典定义

1

也可利用条件概率的性质

P (B A ) =

性质

1-P (B A )

P (AB ) P (B )

条件概率

==1-

C 112C 180

=1-

1268

= 8080

(2)P (A B )

条件概率

=

古典定义

=

μ(AB ) C 1212

=1= C 2020μ(B )

1

(3)P (A B )

古典定义

=

12μ(AB ) C 12

=1=

100C μ(Ω) 100

1

(4)P (A B )

条件概率

=

P (AB )

P (B )

古典定义

=

μ(AB ) C 1212

=1= C 8080μ(B )

1

(5)P (AC )

古典定义

=

32μ(AC ) C 32

=1=

100C μ(Ω) 100

1

(6)P (A C )

条件概率

=

P (AC )

P (C )

古典定义

=

8μ(AC ) C 8

=1= C 4040μ(C )

1

也可利用条件概率的性质

P (A C ) =

性质

1-P (C A )

条件概率

=

μ(C A ) 1-

μ(A )

古典定义

=1-

C 132C 140

=1-

328= 4040

6-2. 将一枚硬币抛两次:(1)已知第一次出现正面,求第二次也出现正面的概率

(2)已知第二次出现反面,求第一次出现正面的概率(3)已知有一次出现正面,求另一次也出现正面的概率 【解】

设事件

A i ={ 第i 次出现正面 }(i =1, 2)

1正面(第1次)1正面(第2次)

C 1正面μ(A 1A 2) C 1正面1⨯11

= ==1面(第1次)1面(第2次)

1⨯22μ(A 1) C 1正面C 2正,

反面

于是,所求事件的概率为: (1) P (

A 2A 1)

条件概率

=

P (A 1A 2) P (A 1)

P (A 1A 2) P (A 2)

条件概率

古典定义

=

(2) P (

A 1A 2)

条件概率

=

古典定义

=

μ(A 1A 2)

正面(第1次)1反面(第2次)C 1C 1⨯111反面

= ==1正面

1面(第1次)1面(第2次)

22⨯1μ(A 2) C 2正面,C 1反面

反面

(3) P [

A 1A 2A 1+A 2)]

=

P (A 1A 2) P (A 1+A 2)

古典定义

=

μ(A 1A 2)

μ(A 1+A 2)

=

正面(第1次)1正面(第2次)C 1C --乘法原理1正面1正面

C

1面(第1次)1面(第2次)

1正面1正面

C +C

1面(第1次)1面(第2次)

1正面1反面

C +C

1面(第1次)1面(第2次)

1反面1正面

C --加法原理

10,01,00} 【解法②】∵ 样本空间Ω={11,

( 样本点“10”表示基本事件“第一次出现正面,且第二次出现反面”,余者类推 )

事件

10}事件A 2={10,00}事件A 1A 2={10}事件A 1A 2={11}事件A 1+A 2={11,10,01} A 1={11,A 2A 1)

条件概率

(1) P (=

P (A 1A 2) P (A 1)

P (A 1A 2) P (A 2)

条件概率

古典定义

=

μ(A 1A 2) 1

=

2μ(A 1)

μ(A 1A 2) μ(A 2)

古典定义

(2) P (

A 1A 2)

条件概率

=

古典定义

==

1 2

](3) P [A 1A 2A 1+A 2)

=

P (A 1A 2) P (A 1+A 2)

=

μ(A 1A 2) 1

=

μ(A 1+A 2) 3

6-3. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随机取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率【分析与答案】设事件

A i ={ 取出的产品为i 等品 }(i =1, 2, 3)

P (A 1A 3) P (A 3)

3=A 1+A 2

P (A 1A 3)

条件概率

==

P [A 1(A 1+A 2) ]P (A 1+A 2)

A 1⊂(A 1+A 2)⇒A 1(A 1+A 2)=A 1

=

P (A 1)

P (A 1+A 2)P (A 1)

A i 两两互斥,利用加法公式

=

20.6

=≈0.6667 =

P (A 1)+P (A 2)0.6+0.33

6-6. 已知:P (A ) >0,求证:P (B A ) =1-P (B A )

【证明】∵ P (ΩA ) =1

公理 B +=Ω

⇔P [(B +B A ]=1

条件概率

P [(B +B )A ]

=1

P (A )

事件运算律

P (BA +BA )

=1

P (A )

BA 与互斥

P (BA )+P (BA )

=1

P (A )

P (BA )P (BA )

+=1

P (A ) P (A )

推广

⇔P (B A ) +P (B A ) =1∴ P (B A ) =1-P (B A )

若B 1、B 2、„ 、B n 构成一个完备事件组,且P (A ) >0,则P (B 1A ) +P (B 2A ) + +P (B n A ) =1

6-8. 两人约好于某一天早晨8时到9时之间在某地会面,并约定先到者等候另一人30分钟方可离开,已知两人会上了面,求先到者等候另一人超过20分钟的概率。 【解】设事件

A ={ 两人会上了面 }B ={ 先到者等候另一人超过20分钟 }

y -x ≤30}

Ω={(x , y ) 0≤x ≤60, 且0≤y ≤60}A ={(x , y )

B ={(x , y ) 20

( 样本点(

x , y ) -- 对应基本事件“两人到达某地的时刻分别为x 、y ” ,x 、y 的单位:8时⨯分 )

条件概率

P (B A )

1

=1

=

P (AB ) 几何定义μ(AB ) 区域A B 的面积

= =

区域A 的面积P (A ) μ(A )

112

(402-302)

=

(402-302) +(602-302) +

402-30260-30

2

2

=

7002700

=

727

=0.259259259≈0.2593

2

(602-302)


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