摘要
本论文主要讨论点和直线的齐次坐标，齐次方程，非齐次坐标，非齐次方程及其应用.
关键词：点和直线的齐次坐标，齐次方程，非齐次坐标，非齐次方程，无穷远点，无穷远直线.
引言
我们知道，在平面内点是几何的基本元素，对于点引入坐标. 曲线是点的轨迹（在这种情况下，曲线称为点曲线），它有方程，这是点几何的观点. 在点几何里，直线是曲线的特例. 对偶地，直线也可作为几何的基本元素，采用直线作为基本元素，可以建立线几何学. 在线几何里，对于直线引入坐标，曲线是一族直线包络成的图形（在这种情况下，曲线称为线曲线）.
1. 齐次点坐标
当欧氏直线规定了方向，原点与单位线段以后，即建立了笛氏坐标系. 它使有穷远点与实数之间建立了一一对应，从而确立了欧氏直线上点的坐标的概念. 当引入无穷远点后，无穷远点没有坐标. 为了刻画无穷远点，我们引入齐次点坐标.
1.1一维齐次点坐标
x 1=x 的二数x 2定义1：设欧氏直线上有穷远点p 的笛氏坐标为x , 则满足
x 1, x 2(x 2≠0)叫做点p 的齐次（笛氏）坐标，记作p (x 1, x 2), x 称点p 的非齐次坐标. 而当x 2=0时，即(x 1,0)(x 1≠0)或(1,0)规定为这直线上无穷远点的一维齐次点坐标.
如：若(2,1)是齐次点坐标，则它的非齐次坐标(2)；反之成立.
由定义1可见：
(1)不同时等于零的任何两个数x 1, x 2在轴上确定唯一一点p (x 1, x 2)；(0,0)不能决定一个点；
(2)如果ρ≠0，则(ρx 1, ρx 2)与(x 1, x 2)决定同一点；
⎛31⎫如：点(3,1), (6,2), (-3, -1), , ⎪都表示同一点的齐次坐标. ⎝22⎭
则p (x 1, x 2)为轴上一个有穷远点，它的非齐次坐标为x =(3)如果x 2≠0，x 1； x 2
⎛3⎫如：点(3, -7)的非齐次坐标为 -⎪. ⎝7⎭
(4)如果x 1≠0, x 2=0，则p (x 1,0)或p (1,0)为轴上的无穷远点；
⎛1⎫如：任取一点p (x )，它的齐次坐标为p (x ,1)或p 1, ⎪. ⎝x ⎭
⎛1⎫当x →∞时， p →p ∞，此时 1, ⎪→(1,0). ⎝x ⎭
因此，轴上的无穷远点为点(x 1,0)或(1,0).
要特别注意，对于轴上的任何（有穷或无穷远）点，它的齐次坐标无穷多组. 又如果p (x 1, x 2) (x 2≠0)，则x =x 1叫做点p 的非齐次坐标，无穷远点没有非齐x 2
次坐标.
如果点的非齐次坐标存在，则它就是唯一的.
1.2二维齐次点坐标
在欧氏平面内建立二维笛氏(直交或斜交) 坐标，则可使平面内的有穷远点与有序实数之间建立一一对应，从而确立了平面内点的坐标的概念. 为了刻画无穷远点，我们引入二维齐次点坐标.
注意：平面上有无穷多个无穷远点. 即每个方向有唯一的一个无穷远点. 定义2：设欧氏平面内点p 的笛氏坐标为(x , y )，则满足x 1=x , x 3x 2=y 的三x 3数x 1, x 2, x 3其中(x 3≠0)叫做点p 的齐次（笛氏）坐标，记作p (x 1, x 2, x 3); 做点p 的非齐次坐标.
如：点(2,4, -1)的非齐次坐标为(-2, -4). 反之也成立.
点(1,0)的齐次坐标为(1,0,1), (-1,0, -1)......... 反之也成立.
点(3, -2)的齐次坐标为(3, -2,1), (6, -4,2)......... 反之也成立. (x , y )叫
由定义2可见，平面内一点的齐次坐标有无穷多组；以(ρx 1, ρx 2, ρx 3) （其中ρ≠0）和(x 1, x 2, x 3)为 同一的齐次坐标.
如：点(-3,4,1), (-6,8,2)......... 都表示同点的齐次坐标.
现在说明，(x 1, x 2,0)可以作为无穷远点的坐标.
设直线 y =λx +b （1）
图1 图2
当二坐标轴直角时，λ=tan θ即为直线的斜率（其中θ为斜角）. （如图1） 当二坐标轴斜角时，λ=sin θ sin ω-θ（其中θ为斜角， ω为坐标轴的交角）. （如图2）
如果在（1）里b 变动，而λ不变也就是θ不变，则（1）表示一组平行直线. 现在取（1）里一定直线l ，即λ, b 均为定值，l 上一点p 的非齐次坐标为
b 1⎫⎛. 其齐次坐标为或1, λ+, ⎪. 当p 从l 上的两个方向趋于x , λx +b x , λx +b ,1()() x x ⎭⎝
无穷远时，即当x →+∞或x →-∞时得点p 的齐次坐标的极限为(1, λ,0)即
b 1⎫⎛1, λ+, ⎪→(1, λ,0). 这是与b 无关的一组数. 因此，可以规定以λ为决定的方 x x ⎭⎝
向的无穷远点的无数组齐次坐标为(ρ, ρλ,0) (其中ρ≠0).
如：直线2x -y -1=0的无穷远点的坐标为(1,2,0).
( 2x -y -1=0⇒y =2x -1∴p ∞(1, 2,0))；
定义3：任何三个有序实数(x 1, x 2,0)(其中x 1≠0)，x 2=λ规定为λ（当二坐x 1
标轴直角时为斜角）决定的方向的无穷远点的齐次坐标.
4如：点(3, -4,0)是以λ=-为方向上的无穷远点的齐次坐标. 3
注意：对于齐次坐标(x 1, x 2, x 3)：
(1)没有以(0,0,0)为齐次坐标的点；
⎛x 1x 2⎫当时，它的非齐次坐标为x ≠02()3 , ⎪表示有穷远点；
⎝x 3x 3⎭
(3)当x 3=0时，(x 1, x 2,0)表示无穷远点，而(x 1, x 2,0) (其中x 1≠0)以λ=为方向的无穷远点； x 2x 1
(4)x 轴上的无穷远点(1,0,0)；
( x 轴的方程为y =0. ∴p ∞(1,0,0))；
（规定） (5)y 轴上的无穷远点(0, x 2,0)或(0,1,0)；
对于(x 1, x 2,0)，当x 1=0，即(0, x 2,0)或(0,1,0)在哪个方向的无穷远点无法确定. ( λ无意)
一方面平面上平行于y 轴的直线的斜率不存在，即λ不存在.
∴可以确定(0, x 2,0)或(0,1,0)表示y 轴方向上的无穷远点.
(6)点的齐次坐标是无穷多组，而它的非齐次坐标是唯一的；
1.3直线的齐次坐标方程
定义4：在齐次点坐标中，设有一条直线和一个以(x 1, x 2, x 3)为流动点的齐次坐标所构成的方程，如果此方程能够且仅能够被该直线上的点的齐次坐标所满足，则此方程叫做该直线的齐次点坐标方程. 简称齐次方程. 这时也称该直线为此方程所决定的直线.
不难证明以下定理.
定理1：设一条直线的非齐次方程为a 1x +a 2y +a 3=0 （a 12+a 22≠0）， 则此直线的齐次方程为 a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3=0 （a 12+a 22≠0） ，并且反过来也成立.
如：(1)2x -3y +4=0⇔2x 1-3x 2+4x 3=0
(2)3x 1+2x 2+4x 3=0⇔3x +2y +4=0
由于a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3=0 （ a 12+a 22≠0）不含常数项，所以它是齐次的. 另外，过原点的直线的齐次方程为
a 1x 1+a 2x 2=0(a 12+a 22≠0)
定理2：无穷远直线的齐次方程为 x 3=0.
注意：无穷远直线没有非齐次方程.
2. 齐次线坐标
2.1齐次线坐标
在齐次点坐标中，直线的齐次方程是
u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0 （1）
其中(x 1, x 2, x 3)是直线上任一点的流动坐标.
显然，方程ρu 1x 1+ρu 2x 2+ρu 3x 3=0(ρ≠0) 与（1）表示同一直线.
我们作以下定义.
定义1：直线的齐次方程中，x 1, x 2, x 3的系数u 1, u 2, u 3叫做该直线的齐次线坐标. 显然，ρu 1, ρu 2, ρu 3(ρ≠0) 也是该直线的齐次线坐标，因此一条直线的齐次线坐标有无穷多组. 为了区别于点的坐标，我们把直线u 的齐次线坐标u 1, u 2, u 3记作[u 1, u 2, u 3]或u ≡[u 1, u 2, u 3]；即[u 1, u 2, u 3]与[ρu 1, ρu 2, ρu 3](ρ≠0)表示同一直线的线坐标.
如： 2x 1-x 2+3x 3=0⇔[2, -1,3]
2x 2-x 3=0⇔[0,2, -1]
1x 12⎡1⎤-x 3=0⇔⎢,0, -1⎥ ⎣2⎦
x 3=0⇔[0,0,1].
又如：l :2x 1-x 2+3x 3=0⇒[2, -1,3], l 的方程又可写成：
4x 1-2x 2+6x 3=0⇒[4, -2,6].
定理1：一点x ≡(x 1, x 2, x 3)在一条直线u ≡[u 1, u 2, u 3]上的充要条件是
u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0 （2）
证明：因为直线u 的方程是u 1X 1+u 2X 2+u 3X 3=0, (X 1, X 2, X 3)为其上任一点的齐次坐标. 可见点x 在此直线上的充要条件即为（2）.
2.2点的方程
定义2：在齐次线坐标里，一点的方程指的是以[u 1, u 2, u 3]为流动线坐标所构成的方程，此方程能够且仅能够被通过该点直线的坐标所满足.
定理2：在齐次坐标里，一点a ≡(a 1, a 2, a 3)的方程是
反之，[u 1, u 2, u 3]构成的一次齐次方程必表示一点.
即在齐次线坐标里一点的方程是u 1, u 2, u 3的一次齐次方程.
证明：由定理1，任一条直线[u 1, u 2, u 3]通过点(a 1, a 2, a 3)的充要条件是 （3）
a 1u 1+a 2u 2+a 3u 3=0.
根据定义2 a 1u 1+a 2u 2+a 3u 3=0是点a ≡(a 1, a 2, a 3)的方程.
反之，设有方程bu 11+b 2u 2+b 3u 3=0，其中b 1, b 2, b 3不全是零，则由（3）知此
方程表示一点(b 1, b 2, b 3) .
如： (2, -1,3)⇔2u 1-u 2+3u 3=0
(0,2, -2)⇔ 2u 2-2u 3=0
(4,0, -1)⇔4u 1-u 3=0
(0,0,2)⇔ 2u 3=0或u 3=0；
定义2的几何意义是说，在线几何里一点被看成是一束直线包络成的，这个点方程被而且只被通过它的直线的坐标所满足. 例如直线u ≡[u 1, u 2, u 3]通过点(2,1,3)当且仅当2u 1+u 2+3u 3=0. 因此由定理2知2u 1+u 2+3u 3=0就是在线坐标里点(2,1,3)的方程. 又如在线坐标里原点的方程是 u 3=0.
例1：写出直线2x 1+3x 2-x 3=0，x 轴，y 轴，无穷远直线的齐次线坐标. 解：直线2x 1+3x 2-x 3=0的齐次线坐标为[2,3, -1]. x 轴的方程为y =0，即x 2=0，所以x 轴的齐次坐标为[0,1,0].
同理，y 轴的齐次坐标为[1,0,0]. 无穷远点的齐次坐标为x 3=0，它的齐次坐标为[0,0,1]；
例2：写出点(0,1,2)，原点，x 轴上的无穷远点，y 轴上的无穷远点的方程. 解：点(0,1,2)的方程为u 2+2u 3=0. 原点(0,0,1)的方程为u 3=0. x 轴上无穷远点(1, 0, 0)的方程为u 1=0. y 轴上无穷远点(0,1, 0)的方程是u 2=0.
例3：下列各线坐标方程表示什么图形？
（1）u 3=0 （2） u 1+u 2+2u 3=0 （3）u 12-3u 1u 2+2u 22=0
解：方程（1）表示点(0,0,1). 方程（2）表示点(1,1,2).
（3） u 12-3u 1u 2+2u 22=0⇒(u 1-u 2) (u 1-2u 2)=0⇒u 1-u 2=0或u 1-2u 2=0 ∴方程（3）表示两点(1, -1,0)和(1, -2,0).
注意：方程 u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0（*）有两种意义：
（1） 当u 1, u 2, u 3常数，x 1, x 2, x 3变动时，方程（*）表示直线的方程. 如：x 1+3x 2+2x 3=0.
（2）当x 1, x 2, x 3常数，u 1, u 2, u 3变动时，方程（*）表示点的方程.
如：3u 1-2u 2+3u 3=0.
2.3非齐次线坐标
定义3：直线u ≡[u 1, u 2, u ]3的非齐次线坐标[U , V ]是由下列比值
U =u 1u , V =2
u 3u 3所规 u 3≠0.
如：直线[2,2, -1]的非齐次线坐标为[-2, -2].
由于通过原点的直线的齐次线坐标为[u 1, u 2,0]，所以通过原点的直线没有非齐次线坐标.
在u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0里，设U =u 1u x x , V =2, x =1, y =2 其中u 3x 3≠0, 则得u 3u 3x 3x 3
Ux +Vy +1=0.
根据定理1可得
定理3：点(x , y ) 在直线[U , V ]上的充要条件是Ux +Vy +1=0；在非齐次线坐标里，关于点的方程的定义与定义2完全类似. 我们有以下定理
定理4： 在非齐次线坐标里，点(x 0, y 0)如果不是原点，则它的方程是
x 0U +y 0V +1=0 （4）
反之，[U , V ]所构成的一次方程（4）必表示一点，其坐标为(x 0, y 0).
如：点(2, -1)的非齐次方程是2U -V +1=0，反之成立.
点(0,2)的非齐次方程是 2V +1=0, 反之成立.
点(3,0)的非齐次方程是 3U +1=0, 反之成立.
在点坐标的基础上，可以求点曲线的方程，即动点的轨迹方程（直线方程是它的特例）；现在引入了直线坐标，在此基础上，可以求线曲线的方程，即直线族的方程（点方程是它的特例）. 下面举说明
例4:求在两坐标轴上截距之和为常数c 的直线族方程
解:设直线 l 的非齐次线坐标为[U , V ]即l 的非齐次线方程Ux +Vy +1=0. 令l 在二两坐标轴截距为a , b ，则有a =-
所以又有-1, U b =-1，根据题设a +b =c ，V 11-=c 或-V -U =cUV 即cUV +U +V =0这就是所求的直线族方U V
程，其齐次方程为u 1u 2+u 1u 3+u 2u 3=0. (令c =1)
由例4，我们看到直线的非齐次线坐标[U , V ]的几何意义是： U 与V 分别
是直线在x 轴与y 轴截距的负倒数.
3. 齐次坐标的应用
为了简便起见, 记x ≡(x 1, x 2, x 3) , 称为点x . 记a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3=0, 称为直线α=0.
⎛a a a ⎫定理1：两点a , b 重合的充要条件是矩阵 123⎪的秩为1. ⎝b 1b 2b 3⎭
证明:两点(a 1, a 2, a 合的充要条件是b 3) )3, (b 1, b 2, 重a 1a 2a 3即==b 1b 2b 3⎛a 1a 2a 3⎫ ⎪的秩为1. ⎝b 1b 2b 3⎭
类似地有
定理1'：两直线α=0, β=0重合的充要条件是矩阵 ⎛a 1a 2a 3⎫⎪的秩为1. b b b 3⎭⎝12
x 1x 2x 3
定理2： 两个不同点a , b 连线的齐次方程是a 1a 2a 3=0. b 1b 2b 3
⎡a 2a 3a 3a 1a 1a 2⎤, , 此直线的线坐标是⎢⎥ b b b b b b ⎣233112⎦
简记为xab =0.
证明：设r 1x 1+r 2x 2+r 3x 3=0为所求的直线的方程. 因为直线通过两点(a 1, a 2, a 3), (b 1, b 2, b 3)， 所以ra 11+r 2a 2+r 3a 3=0rb 11+r 2b 2+r 3b 3=0
x 1x 2x 3
由上面三个式子消去r 1, r 2, r 3即得a 1a 2a 3=0.
b 1b 2b 3
类似地有
u 1u 2u 3
定理2'：两条不同直线α=0, β=0的交点的方程为a 1a 2a 3=0.
b 1b 2b 3
⎛a 2a 3a 3a 1a 1a 2⎫
, , 这点的坐标是 ⎪； b b b b b b ⎝233112⎭
⎛a 1a 2a 3⎫
⎪
定理3：三个不同点a , b , c 共线的充要条件是b 1b 2b 3=0或 b 1b 2b 3⎪秩为
c c c ⎪c 1c 2c 3⎝123⎭2．
a 1a 2a 3
证明：由定理2知通过a , b 两点的直线的齐次方程是xab =0．
因为点c 在上式所决定的直线上，而此情况的充要条件是=0即
abc =0．
因三点不同，所以其坐标所构成的方阵的秩为2．
a 1a 2a 3
定理3'：三条不同直线α=0, β=0, γ=0共点的充要条件是b 1b 2b 3=0或 c 1c 2c 3
⎛a 1a 2a 3⎫ ⎪b b b 123⎪的秩为2. c c c ⎪⎝123⎭
证明：三直线α=0, β=0, γ=0共点的充要条件是
⎧a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3=0⎪
方程组⎨b 1x 1+b 2x 2+b 3x 3=0有非零解. 所以此方程组除x 1=0, x 2=0, x 3=0外
⎪c x +c x +c x =0⎩112233
还有其它解，而此情况的充要条件是abc =0.
因三直线不同，所以其方程的系数所构成的方阵的秩为2.
定理4：以两不同已知点a , b 的连线为底的点列的点的坐标能够写作且仅能够写作la +mb （其中l , m 为不全为零的常数）.
a 1
a 2b 2
a 3b 3
=0. 所以, 根据定理3知la +mb 表
证明： 因为
b 1
la 1+mb 1la 2+mb 2la 3+mb 3
示以a , b 连线为底的点列的点的坐标.
反过来，设c 为a , b 连线上的一点，则由于三点a , b , c 共线，所以根据定理3
a 1a 2a 3
有b 1b 2b 3=0
c 1c 2c 3
因此有不全为零的数l ', m ', n ' 使l 'a i +m 'b i +n 'c i =0 (i =1,2,3) 但是n '≠0（否则将有a , b 重合），所以可以可令
l =-
l 'm '
, m =-因此n 'n '
c i =la i +mb ,2,3)（其中l , m 不全为零的常数) 即c 的坐标可以写作i (i =1
c =la +mb
例5: 求证a (1,2,-1), b (-1,1,2), c (3,0, -5)共线，并求l , m 的值，使
c i =la i +mb i
(i =1,2,3).
12
-1
2=0可知a , b , c 共线，
-5
解：由-11
30
⎧l -m =3⎪
由 ⎨2l +m =0解得l =1, m =-2.
⎪-l +2m =-5⎩
所以 c i =a i -2b i
(i =1,2,3).
推论： 三相异点a , b , c 共线的充要条件是有三个全不为零的常数p , q , r 使
pa i +qb i +rc i =0(i =1,2,3)
定理4'：以两不同已知直线α=0, β=0的交点为中心的线束的直线的方程能够写作且仅能够写作l α+m β=0（其中l , m 为不全为零的常数）.
证明: 因为
a 1b 1
a 2b 2
a 3b 3
=0
la 1+mb 1la 2+mb 2la 3+mb 3
所以，根据定理3'知l α+l β=0表示通过α=0, β=0交点的直线的方程.
反过来，与定理4类似，可以证明通过α=0, β=0的交点的任何直线的方程可以表示为l α+m β=0（其中l , m 为不全为零的常数）的形式.
推论：三相异直线α=0, β=0, γ=0共点的充要条件是有全不为零的常数
p , q , r 使p α+q β+r γ=0.
关于直线方程和线坐标，点方程和点坐标可总结如下：
直 线
x 轴
y 轴
无穷远直
线 过原点的直线
不过原点
的直线
直线方程和线坐标
方 程
线 坐 标
非齐次 齐次
齐次 非齐次y =0 x 2=0 [0,1,0] 无 x =0
x 1=0 [1,0,0] 无 无
x 3=0
[0,0,1] 无 y =kx
u [u 1, u 2,0]
1x 1+u 2x 2=0
无
U x +V y +1=0u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0
[u 1, u 2, u 3][U , V ]
说 明
u 1, u 2不同时为零
u 1, u 2不同时
为零的
U =u 1
u , 3
V =
u 2
u , u 3≠03
直
点方程和点坐标
参考文献
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[3] 梅向明，刘增贤，王汇淳，王智秋．高等几何[M]．北京：高等教育出版社
出版，1998-9（第二版） 28～39
[4] 周兴和．高等几何[M]．北京：科学技术出版社，2000-9 8～20
[5] 毛澎芬，沈世明. 射影几何[M].上海科学技术出版社，1985-8：54～62 [6] 郑崇友，王汇淳. 几何学引论（下册）[M].北京：高等教育出版社出版，2003-5
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[7] 钟集．高等几何[M]．北京：高等教育出版社出版，1983-3：10～31
摘要
本论文主要讨论点和直线的齐次坐标，齐次方程，非齐次坐标，非齐次方程及其应用.
关键词：点和直线的齐次坐标，齐次方程，非齐次坐标，非齐次方程，无穷远点，无穷远直线.
引言
我们知道，在平面内点是几何的基本元素，对于点引入坐标. 曲线是点的轨迹（在这种情况下，曲线称为点曲线），它有方程，这是点几何的观点. 在点几何里，直线是曲线的特例. 对偶地，直线也可作为几何的基本元素，采用直线作为基本元素，可以建立线几何学. 在线几何里，对于直线引入坐标，曲线是一族直线包络成的图形（在这种情况下，曲线称为线曲线）.
1. 齐次点坐标
当欧氏直线规定了方向，原点与单位线段以后，即建立了笛氏坐标系. 它使有穷远点与实数之间建立了一一对应，从而确立了欧氏直线上点的坐标的概念. 当引入无穷远点后，无穷远点没有坐标. 为了刻画无穷远点，我们引入齐次点坐标.
1.1一维齐次点坐标
x 1=x 的二数x 2定义1：设欧氏直线上有穷远点p 的笛氏坐标为x , 则满足
x 1, x 2(x 2≠0)叫做点p 的齐次（笛氏）坐标，记作p (x 1, x 2), x 称点p 的非齐次坐标. 而当x 2=0时，即(x 1,0)(x 1≠0)或(1,0)规定为这直线上无穷远点的一维齐次点坐标.
如：若(2,1)是齐次点坐标，则它的非齐次坐标(2)；反之成立.
由定义1可见：
(1)不同时等于零的任何两个数x 1, x 2在轴上确定唯一一点p (x 1, x 2)；(0,0)不能决定一个点；
(2)如果ρ≠0，则(ρx 1, ρx 2)与(x 1, x 2)决定同一点；
⎛31⎫如：点(3,1), (6,2), (-3, -1), , ⎪都表示同一点的齐次坐标. ⎝22⎭
则p (x 1, x 2)为轴上一个有穷远点，它的非齐次坐标为x =(3)如果x 2≠0，x 1； x 2
⎛3⎫如：点(3, -7)的非齐次坐标为 -⎪. ⎝7⎭
(4)如果x 1≠0, x 2=0，则p (x 1,0)或p (1,0)为轴上的无穷远点；
⎛1⎫如：任取一点p (x )，它的齐次坐标为p (x ,1)或p 1, ⎪. ⎝x ⎭
⎛1⎫当x →∞时， p →p ∞，此时 1, ⎪→(1,0). ⎝x ⎭
因此，轴上的无穷远点为点(x 1,0)或(1,0).
要特别注意，对于轴上的任何（有穷或无穷远）点，它的齐次坐标无穷多组. 又如果p (x 1, x 2) (x 2≠0)，则x =x 1叫做点p 的非齐次坐标，无穷远点没有非齐x 2
次坐标.
如果点的非齐次坐标存在，则它就是唯一的.
1.2二维齐次点坐标
在欧氏平面内建立二维笛氏(直交或斜交) 坐标，则可使平面内的有穷远点与有序实数之间建立一一对应，从而确立了平面内点的坐标的概念. 为了刻画无穷远点，我们引入二维齐次点坐标.
注意：平面上有无穷多个无穷远点. 即每个方向有唯一的一个无穷远点. 定义2：设欧氏平面内点p 的笛氏坐标为(x , y )，则满足x 1=x , x 3x 2=y 的三x 3数x 1, x 2, x 3其中(x 3≠0)叫做点p 的齐次（笛氏）坐标，记作p (x 1, x 2, x 3); 做点p 的非齐次坐标.
如：点(2,4, -1)的非齐次坐标为(-2, -4). 反之也成立.
点(1,0)的齐次坐标为(1,0,1), (-1,0, -1)......... 反之也成立.
点(3, -2)的齐次坐标为(3, -2,1), (6, -4,2)......... 反之也成立. (x , y )叫
由定义2可见，平面内一点的齐次坐标有无穷多组；以(ρx 1, ρx 2, ρx 3) （其中ρ≠0）和(x 1, x 2, x 3)为 同一的齐次坐标.
如：点(-3,4,1), (-6,8,2)......... 都表示同点的齐次坐标.
现在说明，(x 1, x 2,0)可以作为无穷远点的坐标.
设直线 y =λx +b （1）
图1 图2
当二坐标轴直角时，λ=tan θ即为直线的斜率（其中θ为斜角）. （如图1） 当二坐标轴斜角时，λ=sin θ sin ω-θ（其中θ为斜角， ω为坐标轴的交角）. （如图2）
如果在（1）里b 变动，而λ不变也就是θ不变，则（1）表示一组平行直线. 现在取（1）里一定直线l ，即λ, b 均为定值，l 上一点p 的非齐次坐标为
b 1⎫⎛. 其齐次坐标为或1, λ+, ⎪. 当p 从l 上的两个方向趋于x , λx +b x , λx +b ,1()() x x ⎭⎝
无穷远时，即当x →+∞或x →-∞时得点p 的齐次坐标的极限为(1, λ,0)即
b 1⎫⎛1, λ+, ⎪→(1, λ,0). 这是与b 无关的一组数. 因此，可以规定以λ为决定的方 x x ⎭⎝
向的无穷远点的无数组齐次坐标为(ρ, ρλ,0) (其中ρ≠0).
如：直线2x -y -1=0的无穷远点的坐标为(1,2,0).
( 2x -y -1=0⇒y =2x -1∴p ∞(1, 2,0))；
定义3：任何三个有序实数(x 1, x 2,0)(其中x 1≠0)，x 2=λ规定为λ（当二坐x 1
标轴直角时为斜角）决定的方向的无穷远点的齐次坐标.
4如：点(3, -4,0)是以λ=-为方向上的无穷远点的齐次坐标. 3
注意：对于齐次坐标(x 1, x 2, x 3)：
(1)没有以(0,0,0)为齐次坐标的点；
⎛x 1x 2⎫当时，它的非齐次坐标为x ≠02()3 , ⎪表示有穷远点；
⎝x 3x 3⎭
(3)当x 3=0时，(x 1, x 2,0)表示无穷远点，而(x 1, x 2,0) (其中x 1≠0)以λ=为方向的无穷远点； x 2x 1
(4)x 轴上的无穷远点(1,0,0)；
( x 轴的方程为y =0. ∴p ∞(1,0,0))；
（规定） (5)y 轴上的无穷远点(0, x 2,0)或(0,1,0)；
对于(x 1, x 2,0)，当x 1=0，即(0, x 2,0)或(0,1,0)在哪个方向的无穷远点无法确定. ( λ无意)
一方面平面上平行于y 轴的直线的斜率不存在，即λ不存在.
∴可以确定(0, x 2,0)或(0,1,0)表示y 轴方向上的无穷远点.
(6)点的齐次坐标是无穷多组，而它的非齐次坐标是唯一的；
1.3直线的齐次坐标方程
定义4：在齐次点坐标中，设有一条直线和一个以(x 1, x 2, x 3)为流动点的齐次坐标所构成的方程，如果此方程能够且仅能够被该直线上的点的齐次坐标所满足，则此方程叫做该直线的齐次点坐标方程. 简称齐次方程. 这时也称该直线为此方程所决定的直线.
不难证明以下定理.
定理1：设一条直线的非齐次方程为a 1x +a 2y +a 3=0 （a 12+a 22≠0）， 则此直线的齐次方程为 a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3=0 （a 12+a 22≠0） ，并且反过来也成立.
如：(1)2x -3y +4=0⇔2x 1-3x 2+4x 3=0
(2)3x 1+2x 2+4x 3=0⇔3x +2y +4=0
由于a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3=0 （ a 12+a 22≠0）不含常数项，所以它是齐次的. 另外，过原点的直线的齐次方程为
a 1x 1+a 2x 2=0(a 12+a 22≠0)
定理2：无穷远直线的齐次方程为 x 3=0.
注意：无穷远直线没有非齐次方程.
2. 齐次线坐标
2.1齐次线坐标
在齐次点坐标中，直线的齐次方程是
u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0 （1）
其中(x 1, x 2, x 3)是直线上任一点的流动坐标.
显然，方程ρu 1x 1+ρu 2x 2+ρu 3x 3=0(ρ≠0) 与（1）表示同一直线.
我们作以下定义.
定义1：直线的齐次方程中，x 1, x 2, x 3的系数u 1, u 2, u 3叫做该直线的齐次线坐标. 显然，ρu 1, ρu 2, ρu 3(ρ≠0) 也是该直线的齐次线坐标，因此一条直线的齐次线坐标有无穷多组. 为了区别于点的坐标，我们把直线u 的齐次线坐标u 1, u 2, u 3记作[u 1, u 2, u 3]或u ≡[u 1, u 2, u 3]；即[u 1, u 2, u 3]与[ρu 1, ρu 2, ρu 3](ρ≠0)表示同一直线的线坐标.
如： 2x 1-x 2+3x 3=0⇔[2, -1,3]
2x 2-x 3=0⇔[0,2, -1]
1x 12⎡1⎤-x 3=0⇔⎢,0, -1⎥ ⎣2⎦
x 3=0⇔[0,0,1].
又如：l :2x 1-x 2+3x 3=0⇒[2, -1,3], l 的方程又可写成：
4x 1-2x 2+6x 3=0⇒[4, -2,6].
定理1：一点x ≡(x 1, x 2, x 3)在一条直线u ≡[u 1, u 2, u 3]上的充要条件是
u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0 （2）
证明：因为直线u 的方程是u 1X 1+u 2X 2+u 3X 3=0, (X 1, X 2, X 3)为其上任一点的齐次坐标. 可见点x 在此直线上的充要条件即为（2）.
2.2点的方程
定义2：在齐次线坐标里，一点的方程指的是以[u 1, u 2, u 3]为流动线坐标所构成的方程，此方程能够且仅能够被通过该点直线的坐标所满足.
定理2：在齐次坐标里，一点a ≡(a 1, a 2, a 3)的方程是
反之，[u 1, u 2, u 3]构成的一次齐次方程必表示一点.
即在齐次线坐标里一点的方程是u 1, u 2, u 3的一次齐次方程.
证明：由定理1，任一条直线[u 1, u 2, u 3]通过点(a 1, a 2, a 3)的充要条件是 （3）
a 1u 1+a 2u 2+a 3u 3=0.
根据定义2 a 1u 1+a 2u 2+a 3u 3=0是点a ≡(a 1, a 2, a 3)的方程.
反之，设有方程bu 11+b 2u 2+b 3u 3=0，其中b 1, b 2, b 3不全是零，则由（3）知此
方程表示一点(b 1, b 2, b 3) .
如： (2, -1,3)⇔2u 1-u 2+3u 3=0
(0,2, -2)⇔ 2u 2-2u 3=0
(4,0, -1)⇔4u 1-u 3=0
(0,0,2)⇔ 2u 3=0或u 3=0；
定义2的几何意义是说，在线几何里一点被看成是一束直线包络成的，这个点方程被而且只被通过它的直线的坐标所满足. 例如直线u ≡[u 1, u 2, u 3]通过点(2,1,3)当且仅当2u 1+u 2+3u 3=0. 因此由定理2知2u 1+u 2+3u 3=0就是在线坐标里点(2,1,3)的方程. 又如在线坐标里原点的方程是 u 3=0.
例1：写出直线2x 1+3x 2-x 3=0，x 轴，y 轴，无穷远直线的齐次线坐标. 解：直线2x 1+3x 2-x 3=0的齐次线坐标为[2,3, -1]. x 轴的方程为y =0，即x 2=0，所以x 轴的齐次坐标为[0,1,0].
同理，y 轴的齐次坐标为[1,0,0]. 无穷远点的齐次坐标为x 3=0，它的齐次坐标为[0,0,1]；
例2：写出点(0,1,2)，原点，x 轴上的无穷远点，y 轴上的无穷远点的方程. 解：点(0,1,2)的方程为u 2+2u 3=0. 原点(0,0,1)的方程为u 3=0. x 轴上无穷远点(1, 0, 0)的方程为u 1=0. y 轴上无穷远点(0,1, 0)的方程是u 2=0.
例3：下列各线坐标方程表示什么图形？
（1）u 3=0 （2） u 1+u 2+2u 3=0 （3）u 12-3u 1u 2+2u 22=0
解：方程（1）表示点(0,0,1). 方程（2）表示点(1,1,2).
（3） u 12-3u 1u 2+2u 22=0⇒(u 1-u 2) (u 1-2u 2)=0⇒u 1-u 2=0或u 1-2u 2=0 ∴方程（3）表示两点(1, -1,0)和(1, -2,0).
注意：方程 u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0（*）有两种意义：
（1） 当u 1, u 2, u 3常数，x 1, x 2, x 3变动时，方程（*）表示直线的方程. 如：x 1+3x 2+2x 3=0.
（2）当x 1, x 2, x 3常数，u 1, u 2, u 3变动时，方程（*）表示点的方程.
如：3u 1-2u 2+3u 3=0.
2.3非齐次线坐标
定义3：直线u ≡[u 1, u 2, u ]3的非齐次线坐标[U , V ]是由下列比值
U =u 1u , V =2
u 3u 3所规 u 3≠0.
如：直线[2,2, -1]的非齐次线坐标为[-2, -2].
由于通过原点的直线的齐次线坐标为[u 1, u 2,0]，所以通过原点的直线没有非齐次线坐标.
在u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0里，设U =u 1u x x , V =2, x =1, y =2 其中u 3x 3≠0, 则得u 3u 3x 3x 3
Ux +Vy +1=0.
根据定理1可得
定理3：点(x , y ) 在直线[U , V ]上的充要条件是Ux +Vy +1=0；在非齐次线坐标里，关于点的方程的定义与定义2完全类似. 我们有以下定理
定理4： 在非齐次线坐标里，点(x 0, y 0)如果不是原点，则它的方程是
x 0U +y 0V +1=0 （4）
反之，[U , V ]所构成的一次方程（4）必表示一点，其坐标为(x 0, y 0).
如：点(2, -1)的非齐次方程是2U -V +1=0，反之成立.
点(0,2)的非齐次方程是 2V +1=0, 反之成立.
点(3,0)的非齐次方程是 3U +1=0, 反之成立.
在点坐标的基础上，可以求点曲线的方程，即动点的轨迹方程（直线方程是它的特例）；现在引入了直线坐标，在此基础上，可以求线曲线的方程，即直线族的方程（点方程是它的特例）. 下面举说明
例4:求在两坐标轴上截距之和为常数c 的直线族方程
解:设直线 l 的非齐次线坐标为[U , V ]即l 的非齐次线方程Ux +Vy +1=0. 令l 在二两坐标轴截距为a , b ，则有a =-
所以又有-1, U b =-1，根据题设a +b =c ，V 11-=c 或-V -U =cUV 即cUV +U +V =0这就是所求的直线族方U V
程，其齐次方程为u 1u 2+u 1u 3+u 2u 3=0. (令c =1)
由例4，我们看到直线的非齐次线坐标[U , V ]的几何意义是： U 与V 分别
是直线在x 轴与y 轴截距的负倒数.
3. 齐次坐标的应用
为了简便起见, 记x ≡(x 1, x 2, x 3) , 称为点x . 记a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3=0, 称为直线α=0.
⎛a a a ⎫定理1：两点a , b 重合的充要条件是矩阵 123⎪的秩为1. ⎝b 1b 2b 3⎭
证明:两点(a 1, a 2, a 合的充要条件是b 3) )3, (b 1, b 2, 重a 1a 2a 3即==b 1b 2b 3⎛a 1a 2a 3⎫ ⎪的秩为1. ⎝b 1b 2b 3⎭
类似地有
定理1'：两直线α=0, β=0重合的充要条件是矩阵 ⎛a 1a 2a 3⎫⎪的秩为1. b b b 3⎭⎝12
x 1x 2x 3
定理2： 两个不同点a , b 连线的齐次方程是a 1a 2a 3=0. b 1b 2b 3
⎡a 2a 3a 3a 1a 1a 2⎤, , 此直线的线坐标是⎢⎥ b b b b b b ⎣233112⎦
简记为xab =0.
证明：设r 1x 1+r 2x 2+r 3x 3=0为所求的直线的方程. 因为直线通过两点(a 1, a 2, a 3), (b 1, b 2, b 3)， 所以ra 11+r 2a 2+r 3a 3=0rb 11+r 2b 2+r 3b 3=0
x 1x 2x 3
由上面三个式子消去r 1, r 2, r 3即得a 1a 2a 3=0.
b 1b 2b 3
类似地有
u 1u 2u 3
定理2'：两条不同直线α=0, β=0的交点的方程为a 1a 2a 3=0.
b 1b 2b 3
⎛a 2a 3a 3a 1a 1a 2⎫
, , 这点的坐标是 ⎪； b b b b b b ⎝233112⎭
⎛a 1a 2a 3⎫
⎪
定理3：三个不同点a , b , c 共线的充要条件是b 1b 2b 3=0或 b 1b 2b 3⎪秩为
c c c ⎪c 1c 2c 3⎝123⎭2．
a 1a 2a 3
证明：由定理2知通过a , b 两点的直线的齐次方程是xab =0．
因为点c 在上式所决定的直线上，而此情况的充要条件是=0即
abc =0．
因三点不同，所以其坐标所构成的方阵的秩为2．
a 1a 2a 3
定理3'：三条不同直线α=0, β=0, γ=0共点的充要条件是b 1b 2b 3=0或 c 1c 2c 3
⎛a 1a 2a 3⎫ ⎪b b b 123⎪的秩为2. c c c ⎪⎝123⎭
证明：三直线α=0, β=0, γ=0共点的充要条件是
⎧a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3=0⎪
方程组⎨b 1x 1+b 2x 2+b 3x 3=0有非零解. 所以此方程组除x 1=0, x 2=0, x 3=0外
⎪c x +c x +c x =0⎩112233
还有其它解，而此情况的充要条件是abc =0.
因三直线不同，所以其方程的系数所构成的方阵的秩为2.
定理4：以两不同已知点a , b 的连线为底的点列的点的坐标能够写作且仅能够写作la +mb （其中l , m 为不全为零的常数）.
a 1
a 2b 2
a 3b 3
=0. 所以, 根据定理3知la +mb 表
证明： 因为
b 1
la 1+mb 1la 2+mb 2la 3+mb 3
示以a , b 连线为底的点列的点的坐标.
反过来，设c 为a , b 连线上的一点，则由于三点a , b , c 共线，所以根据定理3
a 1a 2a 3
有b 1b 2b 3=0
c 1c 2c 3
因此有不全为零的数l ', m ', n ' 使l 'a i +m 'b i +n 'c i =0 (i =1,2,3) 但是n '≠0（否则将有a , b 重合），所以可以可令
l =-
l 'm '
, m =-因此n 'n '
c i =la i +mb ,2,3)（其中l , m 不全为零的常数) 即c 的坐标可以写作i (i =1
c =la +mb
例5: 求证a (1,2,-1), b (-1,1,2), c (3,0, -5)共线，并求l , m 的值，使
c i =la i +mb i
(i =1,2,3).
12
-1
2=0可知a , b , c 共线，
-5
解：由-11
30
⎧l -m =3⎪
由 ⎨2l +m =0解得l =1, m =-2.
⎪-l +2m =-5⎩
所以 c i =a i -2b i
(i =1,2,3).
推论： 三相异点a , b , c 共线的充要条件是有三个全不为零的常数p , q , r 使
pa i +qb i +rc i =0(i =1,2,3)
定理4'：以两不同已知直线α=0, β=0的交点为中心的线束的直线的方程能够写作且仅能够写作l α+m β=0（其中l , m 为不全为零的常数）.
证明: 因为
a 1b 1
a 2b 2
a 3b 3
=0
la 1+mb 1la 2+mb 2la 3+mb 3
所以，根据定理3'知l α+l β=0表示通过α=0, β=0交点的直线的方程.
反过来，与定理4类似，可以证明通过α=0, β=0的交点的任何直线的方程可以表示为l α+m β=0（其中l , m 为不全为零的常数）的形式.
推论：三相异直线α=0, β=0, γ=0共点的充要条件是有全不为零的常数
p , q , r 使p α+q β+r γ=0.
关于直线方程和线坐标，点方程和点坐标可总结如下：
直 线
x 轴
y 轴
无穷远直
线 过原点的直线
不过原点
的直线
直线方程和线坐标
方 程
线 坐 标
非齐次 齐次
齐次 非齐次y =0 x 2=0 [0,1,0] 无 x =0
x 1=0 [1,0,0] 无 无
x 3=0
[0,0,1] 无 y =kx
u [u 1, u 2,0]
1x 1+u 2x 2=0
无
U x +V y +1=0u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0
[u 1, u 2, u 3][U , V ]
说 明
u 1, u 2不同时为零
u 1, u 2不同时
为零的
U =u 1
u , 3
V =
u 2
u , u 3≠03
直
点方程和点坐标
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