第二章 电阻电路的等效变换
一、教学基本要求
两个电路互为等效是指（1）两个结构参数不同的电路在端子上有相同的电压、电流关系，因而可以互相代换；（2）代换的效果是不改变外电路（或电路中未被代换的部分）中的电压、电流和功率。
电路的等效变换的条件是互相代换的两部分电路具有相同的伏安特性。等效的对象是外电路（或电路中未被代换的部分）中的电压、电流和功率。等效变换的目的是简化电路。
深刻地理解“等效变换”的思想，熟练掌握 “等效变换”的方法在电路分析中是很重要的。
本章学习的内容有：电路的等效变换概念，电阻的串联和并联，电阻的Y 形连接和∆形连接的等效变换，电压源、电流源的串联和并联，实际电源的两种模型及其等效变换，输入电阻的概念及计算。
内容重点：
电路等效的概念； 电阻的串、并联；实际电源的两种模型及其等效变换，输入电阻的概念及计算是本章学习的重点。
本章内容以第一章阐述的元件特性、基尔霍夫定律为基础，等效变换的思想和几种等效变换对所有线性电路都具有普遍意义，在后面章节中都要用到。
难点：
1. 等效变换的条件和等效变换的目的；
2. 含有受控源的一端口电阻网络的输入电阻的求解。
二、学时安排 总学时：6
§2－1 引言 1．电阻电路
仅由电源和线性电阻构成的电路称为线性电阻电路（或简称电阻电路）。 2．分析方法
（1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分析电阻电路的依据； （2）对简单电阻电路常采用等效变换的方法, 也称化简的方法。
本章着重介绍等效变换的概念。等效变换的概念在电路理论中广泛应用。所谓等效变换，是指将电路中的某部分用另一种电路结构与元件参数代替后，不影响原电路中未作变换的任何一条支路中的电压和电流。在学习中首先弄清等效变换的概念是什么？这个概念是根据什么引出的？然后再研究各种具体情况下的等效变换方法。
§2－2 电路的等效变换
1.
两端电路（网络）
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电路为二端电路(或一端口电路) 。若两端电路仅由无源元件构成，称无源两端电路。
两端电路
2. 两端电路等效的概念
无源两端电路
结构和参数完全不相同的两个两端电路B 与C ，当它们的端口具有相同的电压、电流关系(VCR),
则称B 与C 是等效的电路。
相等效的两部分电路B 与C 在电路中可以相互代换，代换前的电路和代换后的电路对任意外电路A 中的电流、电压和功率而言是等效的，即满足：
（a ）
需要明确的是：
（b ）
上述等效是用以求解A 部分电路中的电流、电压和功率，若要求图（a ）中B 部分电路的电流、电压和功率不能用图（b ）等效电路来求，因为，B 电路和C 电路对A 电路来说是等效的，但B 电路和C 电路本身是不相同的。
结论：（1）电路等效变换的条件： 两电路具有相同的VCR ；
（2）电路等效变换的对象： 未变化的外电路A 中的电压、电流和功率； （3）电路等效变换的目的： 化简电路，方便计算。
§2－3 电阻的串联、并联和串并联
1. 电阻串联( Series Connection of Resistors ) (1)电路特点
电阻串联
图示为n 个电阻的串联，设电压、电流参考方向关联，由基尔霍夫定律得电路特点：
(a) 各电阻顺序连接，根据KCL 知，各电阻中流过的电流相同； (b)
根据KVL ，电路的总电压等于各串联电阻的电压之和，即：
(2)等效电阻
把欧姆定律代入电压表示式中得：
以上式子说明图(a)多个电阻的串联电路与图(b)单个电阻的电路具有相同的VCR ，是互为等效的电路。
其中等效电阻为：
结论：
1) 电阻串联，其等效电阻等于各分电阻之和；
2) 等效电阻大于任意一个串联的分电阻。
(3)串联电阻的分压
若已知串联电阻两端的总电压，求各分电阻上的电压称分压。由图（a ）和图（b ）知：
满足：
结论：
电阻串联，各分电阻上的电压与电阻值成正比，电阻值大者分得的电压大。因此串连电阻电路可作分压电路。
例
2－1 求图示两个串联电阻上的电压。
解： 由串联电阻的分压公式得：
（注意
U 2的方向）
（４）功率
各电阻的功率为： 所以： 总功率：
从上各式得到结论：
1）电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比，即电阻值大者消耗的功率大； 2）等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和。 2. 电阻并联 (Parallel Connection) (1) 电路特点
图示为n 个电阻的并联，设电压、电流参考方向关联，由基尔霍夫定律得电路特点：
(a) 各电阻两端分别接在一起，根据KVL 知，各电阻两端为同一电压；
(b) 根据KCL ，电路的总电流等于流过各并联电阻的电流之和，即：
(2) 等效电阻
把欧姆定律代入电流表示式中得：
G =1/R 为电导
以上式子说明图(a)多个电阻的并联电路与图(b)单个电阻的电路具有相同的VCR ，是互
为等效的电路。
其中等效电导为：
因此有：
最常用的两个电阻并联时求等效电阻的公式：
结论：
1）电阻并联，其等效电导等于各电导之和且大于分电导；
2）等效电阻之倒数等于各分电阻倒数之和，等效电阻小于任意一个并联的分电阻。 3）并联电阻的电流分配
若已知并联电阻电路的总电流，求各分电阻上的电流称分流。由图(a)
和图(b)
知：
即：
满足：
对于两电阻并联，有：
结论：电阻并联，各分电阻上的电流与电阻值成反比，电阻值大者分得的电流小。因此并连电阻电路可作分流电路。 （4） 功率
各电阻的功率为：
所以： 总功率：
从上各式得到结论：
1）电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比，即电阻值大者消耗的功率小； 2）等效电阻消耗的功率等于各并连电阻消耗功率的总和。
3. 电阻的串并联
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联的电路称电阻的串并联电路。电阻相串联的部
分具有电阻串联电路的特点，电阻相并联的部分具有电阻并联电路的特点。 例2－2 求图示电路的I 1 ,I 4 ,U 4
解：① 用分流方法做
②
用分压方法做
从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤： （1） 求出等效电阻或等效电导； （2）应用欧姆定律求出总电压或总电流；
（3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压。 因此，分析串并联电路的关键问题是判别电路的串、并联关系。 判别电路的串并联关系一般应掌握下述4点：
（1）看电路的结构特点。若两电阻是首尾相联就是串联，是首首尾尾相联就是并联。 （2）看电压电流关系。若流经两电阻的电流是同一个电流，那就是串联；若两电组上承受的是同一个电压，那就是并联。
（3）对电路作变形等效。如左边的支路可以扭到右边，上面的支路可以翻到下面，弯曲的支路可以拉直等；对电路中的短线路可以任意压缩与伸长；对多点接地可以用短路线相连。一般，如果真正是电阻串联电路的问题，都可以判别出来。
（4）找出等电位点。对于具有对称特点的电路，若能判断某两点是等电位点，则根据电路等效的概念，一是可以用短接线把等电位点联起来；二是把联接等电位点的支路断开（因支路中无电流），从而得到电阻的串并联关系。
§2－4 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换 (△—Y 变换) 1. 电阻的△ ，Y 连接
如图所示的桥形结构电路，电路中各个电阻之间既不是串联又不是并联，而是△—Y 连接结构，其中 R 1、R 3 和 R 5，R 2、R 4 和 R 5都构成如图(a)所示的△结构(也称π形电路
) ，
而R 1、R 2 和 R 5 ，R 3、R 4 和 R 5
都构成如图
(b)所示的Y 结构(也称T 形电路) 。
（a ）△形网络
△ ，Y 结构的变形：
（b ）Y 形网络
π形电路 (△ 型)
T 形电路 (Y、星 型)
图示表明：三个电阻分别接在每两个端钮之间就构成△(π)形电路 。三个电阻一端共同连接于一个结点上，而电阻的另一端接到3个不同的端钮上，就构成了Y(T)形电路。因此，
△、Y
电路为三端电路，这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效变换。2. △—Y 电路的等效变换
所谓△电路等效变换为Y 电路，就是已知△电路中的三个电阻R 12、R 23和R 31，通过变换公式求出Y 电路的三个电阻R 1、 R 2和R 3
（a ）
（b ）
根据电路的等效条件，为使图（a ）和图（b ）两电路等效，必须满足如下端口条件：
如
△电路中用电压表示电流，Y 电路中用电流表示电压，根据KCL 和
KVL 得如下关系式：
（1）
由式(2)解得：
（3）
根据等效条件，比较式(3)与式(1)
的系数，得Y→△电路的变换条件：或
类似可得到由△→Y电路的变换条件：
或
简记方法：
2）
（
特例：若三个电阻相等(对称) ，则有：R △
=3RY
需要注意的是：
（1）△—Y 电路的等效变换属于多端子电路的等效，在应用中，除了正确使用电阻变换公式计算各电阻值外，还必须正确连接各对应端子。 （2）等效是对外部(端钮以外) 电路有效，对内不成立。 （3）等效电路与外部电路无关。
（4）等效变换用于简化电路，因此注意不要把本是串并联的问题看作△、Y 结构进行等效变换，那样会使问题的计算更复杂。
例2－3: 求图示桥T 电路中电压源中的电流，其中E ＝13V ，R ＝2kΩ。
解：利用电阻电路的D －Y 变换，把图中虚线框内的∆联接的三
个1kΩ电阻变换成Y 联接，如图(a)所示，求得等效电阻为：
所以
本题也可以把图(b)中虚线框内Y 联接的三个1kΩ电阻变换成∆ 联接，如图
(c)所示。
（b ）
（c ）
§2－5 电压源、电流源的串联和并联
电压源、电流源的串联和并联问题的分析是以电压源和电流源的定义及外特性为基础，
结合电路等效的概念进行的。 1. 理想电压源的串联和并联
（1）串联
图示为n 个电压源的串联，根据KVL 得总电压为：
注意：式中u sk 的参考方向与u s 的参考方向一致时，
u sk 在式中取“＋”号，不一致时取“－”号。
根据电路等效的概念，可以用图（b ）所示电压为Us
的单个电压源等效替代图（a ）中的n 个串联的电压源。通过电压源的串联可以得到一个高的输出电压。 （2）并联
（a ）
图示为2个电压源的并联，根据KVL 得：
（b ）
上式说明只有电压相等且极性一致的电压源才能并联, 此时并联电压源的对外特性与单个电压源一样，根据电路等效概念，可以用（b ）图的单个电压源替代（a ）图的电压源并联电路。 注意：
（1）不同值或不同极性的电压源是不允许串联的，否则违反KVL 。 （2）电压源并联时，每个电压源中的电流是不确定的。
2． 电压源与支路的串、并联等效 （1）串联
2-11
11
图(a)为2个电压源和电阻支路的串联，根据KVL 得端口电压、电流关系为：
根据电路等效的概念，图(a)电路可以用图
(b)所示电压为u s 的单个电压源和电阻为R 的单个电阻的串联组合等效替代图(a)，其中
（2）并联
图(a)为电压源和任意元件的并联，设外电路接电阻R ，根据KVL 和欧姆定律得端口电压、电流为：
即：端口电压、电流只由电压源和外电路决定，与并联的元件无关，对外特性与图(b)所示电压为u s 的单个电压源一样。因此，电压源和任意元件并联就等效为电压源。
3． 理想电流源的串联和并联 （1）并联
图为n 个电流源的并联，根据KCL 得总电流为：
注意：式中i sk 与i s 的参考方向一致时，i sk 在式中取“＋”号，不一致时取“－”号。 根据电路等效的概念，可以用图(b)所示电流为i s 的单个电流源等效替代图(a)中的n 个并联的电流源。通过电流源的并联可以得到一个大的输出电流。 （2）串联
2-12
12
图示为2个电流源的串联，根据KCL 得：
上式说明只有电流相等且输出电流方向一致的电流源才能串联, 此时串联电流源的对外特性与单个电流源一样，根据电路等效概念，可以用(b)图的单个电流源替代(a)图的电流源串联电路。
注意：（1）不同值或不同流向的电流源是不允许串联的，否则违反KCL 。 （2）电流源串联时，每个电流源上的电压是不确定的。 4． 电流源与支路的串、并联等效 1）并联
图(a)为2个电流源和电阻支路的并联，根据KCL 得端口电压、电流关系为：
上式说明图(a)电路的对外特性与图(b)所示电流为i s 的单个电流源和电阻为R 的单个电阻的并联组合一样，因此，图(a)可以用图(b)等效替代，其中
（2）串联
图(a)为电流源和任意元件的串联，设外电路接电阻R ，
根据KVL 和欧姆定律得端口电压、电流为：
即：端口电压、电流只由电流源和外电路决定，与串联的元件无关，对外特性与图(b)所示电流为i s 的单个电流源一样。因此，电流源和任意元件串联就等效为电流源。 §2－6 实际电压源和电流源的等效变换
图示为实际电压源、实际电流源的模型，它们之间可以进行等效变换。
2-13
13
实际电压源
实际电流源
由实际电压源模型得输出电压u 和输出电流I 满足关系：
由实际电流源模型得输出电压u 和输出电流I 满足关系： 比较以上两式，如令：
则实际电压源和电流源的输出特性将完全相同。因此，根据电路等效的概念，当上述两式满足时，实际电压源和电流源可以等效变换。
变换的过程为： 电压源变换为电流源：
其中
电流源变换为电压源：
其中
需要注意的是：
(1) 变换关系，即要满足上述参数间的关系，还要满足方向关系：电流源电流方向与电压源电压方向相反。
(2) 电源互换是电路等效变换的一种方法。这种等效是对电源以外部分的电路等效，对电源内部电路是不等效的。表现为：如图示
2-14
14
开路的电压源中无电流流过R i ； 开路的电流源可以有电流流过并联电导G i 。
电压源短路时，电阻中R i 有电流； 电流源短路时, 并联电导G i 中无电流。 (3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换，因为两者的定义本身是相互矛盾的，不会有相同的VCR 。
(4) 电源等效互换的方法可以推广应用，如把理想电压源与外电阻的串联等效变换成理想电流源与外电导的并联，同样可把理想电流源与外电阻的并联等效变换为电压源形式。 例2－10： 利用电源等效互换简化电路计算图示电路中的电流I 。
解：
把图中电流源和电阻的并联组合变换为电压源和电阻的串联组合(注意电压源的极性
)
从中解得：
例2－11： 利用电源等效互换计算图示电路中的电压U 。
2-15
15
解：把5Ω电阻作为外电路，10V 电压源和5Ω电阻的串联变换为2A 电流源和
5Ω电阻的并联, 6A电流源和
10V 电压源的串联等效为6A 电流源，如图所示。
则
例2－12： 把图示电路转换成一个电压源和一个电阻的串连组合。
（a ）
解：
图a 电路的转换过程如下图所示：
（b ）
图b 电路的转换过程如下图所示：
例2－13：计算图示电路中的电流I 。
2-16
16
解：利用电源等效变换，把电路依次转换为图（a ）和（b ）
（a ）
（b ）
因此
例2－14： 求图示电路中的电流
i 1
解：利用电源等效变换，把电路依次转换为图（a
）和（b
）
（a ）
（b ）
则
由KVL 得：
从中解得：
不要把受控源的控制量变换掉了。
本题的求解说明：受控源和独立源一样可以进行电源转换；但转换过程中要特别注意例2－15： 把图示电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
2-17
17
解：利用电源等效变换，把电路转换为图(a)，
根据KVL 得端口电压和电流关系为：
因此得等效电路如图(b)所示。
(a)
2-18
(b)
18
§2－7 输入电阻
1. 定义
对于一个不含独立源的一端口电路，不论内部如何复杂，其端口电压和端口电流成正比，定义这个比值为一端口电路的输入电阻（如图示）。
输入电阻：
2. 计算方法
根据输入电阻的定义，可得如下计算方法：
（1
） 如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、 并联和D —Y 变换等方法求它的等效电阻，输入电阻等于等效电阻；
（2）
对含有受控源和电阻的两端电路，应用在端口加电源的方法求输入电阻：加电压源，求得电流；或加电流源，求电压，然后计算电压和电流的比值得输入电阻，这种计算方法称为电压、电流法。 需要指出的是：
（1） 对含有独立电源的一端口电路，求输入电阻时，要先把独立源置零：电压源短路，电流源断路。
（2） 应用电压、电流法时，端口电压、电流的参考方向对两端电路来说是关联的。 例2－16： 计算下例一端口电路的输入电阻。
解：图示为一有源电阻网络，先把独立源置零：电压源短路；电流源断路，如图示得到一纯电阻电路，
应用电阻的串并联关系，求得输入电阻为：
2-19
19
例2－17：计算图示含有受控源的一端口电路的输入电阻。
解：因为电路中有受控源，求输入电阻时，先把独立源置零，然后在端口外加电压源，如图示，
由KCL 和KVL 得：
输入电阻为端口电压和电流的比值：
例2
－18： 计算图示含有受控源的一端口电路的输入电阻。
解：在电路端口外加电流源，如图示，
由图知：
由KCL 和KVL 得：
则 R in = u /i =27.5i 1/2.5 i1 = 11Ω
2-20
20
第二章 电阻电路的等效变换
一、教学基本要求
两个电路互为等效是指（1）两个结构参数不同的电路在端子上有相同的电压、电流关系，因而可以互相代换；（2）代换的效果是不改变外电路（或电路中未被代换的部分）中的电压、电流和功率。
电路的等效变换的条件是互相代换的两部分电路具有相同的伏安特性。等效的对象是外电路（或电路中未被代换的部分）中的电压、电流和功率。等效变换的目的是简化电路。
深刻地理解“等效变换”的思想，熟练掌握 “等效变换”的方法在电路分析中是很重要的。
本章学习的内容有：电路的等效变换概念，电阻的串联和并联，电阻的Y 形连接和∆形连接的等效变换，电压源、电流源的串联和并联，实际电源的两种模型及其等效变换，输入电阻的概念及计算。
内容重点：
电路等效的概念； 电阻的串、并联；实际电源的两种模型及其等效变换，输入电阻的概念及计算是本章学习的重点。
本章内容以第一章阐述的元件特性、基尔霍夫定律为基础，等效变换的思想和几种等效变换对所有线性电路都具有普遍意义，在后面章节中都要用到。
难点：
1. 等效变换的条件和等效变换的目的；
2. 含有受控源的一端口电阻网络的输入电阻的求解。
二、学时安排 总学时：6
§2－1 引言 1．电阻电路
仅由电源和线性电阻构成的电路称为线性电阻电路（或简称电阻电路）。 2．分析方法
（1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分析电阻电路的依据； （2）对简单电阻电路常采用等效变换的方法, 也称化简的方法。
本章着重介绍等效变换的概念。等效变换的概念在电路理论中广泛应用。所谓等效变换，是指将电路中的某部分用另一种电路结构与元件参数代替后，不影响原电路中未作变换的任何一条支路中的电压和电流。在学习中首先弄清等效变换的概念是什么？这个概念是根据什么引出的？然后再研究各种具体情况下的等效变换方法。
§2－2 电路的等效变换
1.
两端电路（网络）
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电路为二端电路(或一端口电路) 。若两端电路仅由无源元件构成，称无源两端电路。
两端电路
2. 两端电路等效的概念
无源两端电路
结构和参数完全不相同的两个两端电路B 与C ，当它们的端口具有相同的电压、电流关系(VCR),
则称B 与C 是等效的电路。
相等效的两部分电路B 与C 在电路中可以相互代换，代换前的电路和代换后的电路对任意外电路A 中的电流、电压和功率而言是等效的，即满足：
（a ）
需要明确的是：
（b ）
上述等效是用以求解A 部分电路中的电流、电压和功率，若要求图（a ）中B 部分电路的电流、电压和功率不能用图（b ）等效电路来求，因为，B 电路和C 电路对A 电路来说是等效的，但B 电路和C 电路本身是不相同的。
结论：（1）电路等效变换的条件： 两电路具有相同的VCR ；
（2）电路等效变换的对象： 未变化的外电路A 中的电压、电流和功率； （3）电路等效变换的目的： 化简电路，方便计算。
§2－3 电阻的串联、并联和串并联
1. 电阻串联( Series Connection of Resistors ) (1)电路特点
电阻串联
图示为n 个电阻的串联，设电压、电流参考方向关联，由基尔霍夫定律得电路特点：
(a) 各电阻顺序连接，根据KCL 知，各电阻中流过的电流相同； (b)
根据KVL ，电路的总电压等于各串联电阻的电压之和，即：
(2)等效电阻
把欧姆定律代入电压表示式中得：
以上式子说明图(a)多个电阻的串联电路与图(b)单个电阻的电路具有相同的VCR ，是互为等效的电路。
其中等效电阻为：
结论：
1) 电阻串联，其等效电阻等于各分电阻之和；
2) 等效电阻大于任意一个串联的分电阻。
(3)串联电阻的分压
若已知串联电阻两端的总电压，求各分电阻上的电压称分压。由图（a ）和图（b ）知：
满足：
结论：
电阻串联，各分电阻上的电压与电阻值成正比，电阻值大者分得的电压大。因此串连电阻电路可作分压电路。
例
2－1 求图示两个串联电阻上的电压。
解： 由串联电阻的分压公式得：
（注意
U 2的方向）
（４）功率
各电阻的功率为： 所以： 总功率：
从上各式得到结论：
1）电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比，即电阻值大者消耗的功率大； 2）等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和。 2. 电阻并联 (Parallel Connection) (1) 电路特点
图示为n 个电阻的并联，设电压、电流参考方向关联，由基尔霍夫定律得电路特点：
(a) 各电阻两端分别接在一起，根据KVL 知，各电阻两端为同一电压；
(b) 根据KCL ，电路的总电流等于流过各并联电阻的电流之和，即：
(2) 等效电阻
把欧姆定律代入电流表示式中得：
G =1/R 为电导
以上式子说明图(a)多个电阻的并联电路与图(b)单个电阻的电路具有相同的VCR ，是互
为等效的电路。
其中等效电导为：
因此有：
最常用的两个电阻并联时求等效电阻的公式：
结论：
1）电阻并联，其等效电导等于各电导之和且大于分电导；
2）等效电阻之倒数等于各分电阻倒数之和，等效电阻小于任意一个并联的分电阻。 3）并联电阻的电流分配
若已知并联电阻电路的总电流，求各分电阻上的电流称分流。由图(a)
和图(b)
知：
即：
满足：
对于两电阻并联，有：
结论：电阻并联，各分电阻上的电流与电阻值成反比，电阻值大者分得的电流小。因此并连电阻电路可作分流电路。 （4） 功率
各电阻的功率为：
所以： 总功率：
从上各式得到结论：
1）电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比，即电阻值大者消耗的功率小； 2）等效电阻消耗的功率等于各并连电阻消耗功率的总和。
3. 电阻的串并联
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联的电路称电阻的串并联电路。电阻相串联的部
分具有电阻串联电路的特点，电阻相并联的部分具有电阻并联电路的特点。 例2－2 求图示电路的I 1 ,I 4 ,U 4
解：① 用分流方法做
②
用分压方法做
从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤： （1） 求出等效电阻或等效电导； （2）应用欧姆定律求出总电压或总电流；
（3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压。 因此，分析串并联电路的关键问题是判别电路的串、并联关系。 判别电路的串并联关系一般应掌握下述4点：
（1）看电路的结构特点。若两电阻是首尾相联就是串联，是首首尾尾相联就是并联。 （2）看电压电流关系。若流经两电阻的电流是同一个电流，那就是串联；若两电组上承受的是同一个电压，那就是并联。
（3）对电路作变形等效。如左边的支路可以扭到右边，上面的支路可以翻到下面，弯曲的支路可以拉直等；对电路中的短线路可以任意压缩与伸长；对多点接地可以用短路线相连。一般，如果真正是电阻串联电路的问题，都可以判别出来。
（4）找出等电位点。对于具有对称特点的电路，若能判断某两点是等电位点，则根据电路等效的概念，一是可以用短接线把等电位点联起来；二是把联接等电位点的支路断开（因支路中无电流），从而得到电阻的串并联关系。
§2－4 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换 (△—Y 变换) 1. 电阻的△ ，Y 连接
如图所示的桥形结构电路，电路中各个电阻之间既不是串联又不是并联，而是△—Y 连接结构，其中 R 1、R 3 和 R 5，R 2、R 4 和 R 5都构成如图(a)所示的△结构(也称π形电路
) ，
而R 1、R 2 和 R 5 ，R 3、R 4 和 R 5
都构成如图
(b)所示的Y 结构(也称T 形电路) 。
（a ）△形网络
△ ，Y 结构的变形：
（b ）Y 形网络
π形电路 (△ 型)
T 形电路 (Y、星 型)
图示表明：三个电阻分别接在每两个端钮之间就构成△(π)形电路 。三个电阻一端共同连接于一个结点上，而电阻的另一端接到3个不同的端钮上，就构成了Y(T)形电路。因此，
△、Y
电路为三端电路，这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效变换。2. △—Y 电路的等效变换
所谓△电路等效变换为Y 电路，就是已知△电路中的三个电阻R 12、R 23和R 31，通过变换公式求出Y 电路的三个电阻R 1、 R 2和R 3
（a ）
（b ）
根据电路的等效条件，为使图（a ）和图（b ）两电路等效，必须满足如下端口条件：
如
△电路中用电压表示电流，Y 电路中用电流表示电压，根据KCL 和
KVL 得如下关系式：
（1）
由式(2)解得：
（3）
根据等效条件，比较式(3)与式(1)
的系数，得Y→△电路的变换条件：或
类似可得到由△→Y电路的变换条件：
或
简记方法：
2）
（
特例：若三个电阻相等(对称) ，则有：R △
=3RY
需要注意的是：
（1）△—Y 电路的等效变换属于多端子电路的等效，在应用中，除了正确使用电阻变换公式计算各电阻值外，还必须正确连接各对应端子。 （2）等效是对外部(端钮以外) 电路有效，对内不成立。 （3）等效电路与外部电路无关。
（4）等效变换用于简化电路，因此注意不要把本是串并联的问题看作△、Y 结构进行等效变换，那样会使问题的计算更复杂。
例2－3: 求图示桥T 电路中电压源中的电流，其中E ＝13V ，R ＝2kΩ。
解：利用电阻电路的D －Y 变换，把图中虚线框内的∆联接的三
个1kΩ电阻变换成Y 联接，如图(a)所示，求得等效电阻为：
所以
本题也可以把图(b)中虚线框内Y 联接的三个1kΩ电阻变换成∆ 联接，如图
(c)所示。
（b ）
（c ）
§2－5 电压源、电流源的串联和并联
电压源、电流源的串联和并联问题的分析是以电压源和电流源的定义及外特性为基础，
结合电路等效的概念进行的。 1. 理想电压源的串联和并联
（1）串联
图示为n 个电压源的串联，根据KVL 得总电压为：
注意：式中u sk 的参考方向与u s 的参考方向一致时，
u sk 在式中取“＋”号，不一致时取“－”号。
根据电路等效的概念，可以用图（b ）所示电压为Us
的单个电压源等效替代图（a ）中的n 个串联的电压源。通过电压源的串联可以得到一个高的输出电压。 （2）并联
（a ）
图示为2个电压源的并联，根据KVL 得：
（b ）
上式说明只有电压相等且极性一致的电压源才能并联, 此时并联电压源的对外特性与单个电压源一样，根据电路等效概念，可以用（b ）图的单个电压源替代（a ）图的电压源并联电路。 注意：
（1）不同值或不同极性的电压源是不允许串联的，否则违反KVL 。 （2）电压源并联时，每个电压源中的电流是不确定的。
2． 电压源与支路的串、并联等效 （1）串联
2-11
11
图(a)为2个电压源和电阻支路的串联，根据KVL 得端口电压、电流关系为：
根据电路等效的概念，图(a)电路可以用图
(b)所示电压为u s 的单个电压源和电阻为R 的单个电阻的串联组合等效替代图(a)，其中
（2）并联
图(a)为电压源和任意元件的并联，设外电路接电阻R ，根据KVL 和欧姆定律得端口电压、电流为：
即：端口电压、电流只由电压源和外电路决定，与并联的元件无关，对外特性与图(b)所示电压为u s 的单个电压源一样。因此，电压源和任意元件并联就等效为电压源。
3． 理想电流源的串联和并联 （1）并联
图为n 个电流源的并联，根据KCL 得总电流为：
注意：式中i sk 与i s 的参考方向一致时，i sk 在式中取“＋”号，不一致时取“－”号。 根据电路等效的概念，可以用图(b)所示电流为i s 的单个电流源等效替代图(a)中的n 个并联的电流源。通过电流源的并联可以得到一个大的输出电流。 （2）串联
2-12
12
图示为2个电流源的串联，根据KCL 得：
上式说明只有电流相等且输出电流方向一致的电流源才能串联, 此时串联电流源的对外特性与单个电流源一样，根据电路等效概念，可以用(b)图的单个电流源替代(a)图的电流源串联电路。
注意：（1）不同值或不同流向的电流源是不允许串联的，否则违反KCL 。 （2）电流源串联时，每个电流源上的电压是不确定的。 4． 电流源与支路的串、并联等效 1）并联
图(a)为2个电流源和电阻支路的并联，根据KCL 得端口电压、电流关系为：
上式说明图(a)电路的对外特性与图(b)所示电流为i s 的单个电流源和电阻为R 的单个电阻的并联组合一样，因此，图(a)可以用图(b)等效替代，其中
（2）串联
图(a)为电流源和任意元件的串联，设外电路接电阻R ，
根据KVL 和欧姆定律得端口电压、电流为：
即：端口电压、电流只由电流源和外电路决定，与串联的元件无关，对外特性与图(b)所示电流为i s 的单个电流源一样。因此，电流源和任意元件串联就等效为电流源。 §2－6 实际电压源和电流源的等效变换
图示为实际电压源、实际电流源的模型，它们之间可以进行等效变换。
2-13
13
实际电压源
实际电流源
由实际电压源模型得输出电压u 和输出电流I 满足关系：
由实际电流源模型得输出电压u 和输出电流I 满足关系： 比较以上两式，如令：
则实际电压源和电流源的输出特性将完全相同。因此，根据电路等效的概念，当上述两式满足时，实际电压源和电流源可以等效变换。
变换的过程为： 电压源变换为电流源：
其中
电流源变换为电压源：
其中
需要注意的是：
(1) 变换关系，即要满足上述参数间的关系，还要满足方向关系：电流源电流方向与电压源电压方向相反。
(2) 电源互换是电路等效变换的一种方法。这种等效是对电源以外部分的电路等效，对电源内部电路是不等效的。表现为：如图示
2-14
14
开路的电压源中无电流流过R i ； 开路的电流源可以有电流流过并联电导G i 。
电压源短路时，电阻中R i 有电流； 电流源短路时, 并联电导G i 中无电流。 (3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换，因为两者的定义本身是相互矛盾的，不会有相同的VCR 。
(4) 电源等效互换的方法可以推广应用，如把理想电压源与外电阻的串联等效变换成理想电流源与外电导的并联，同样可把理想电流源与外电阻的并联等效变换为电压源形式。 例2－10： 利用电源等效互换简化电路计算图示电路中的电流I 。
解：
把图中电流源和电阻的并联组合变换为电压源和电阻的串联组合(注意电压源的极性
)
从中解得：
例2－11： 利用电源等效互换计算图示电路中的电压U 。
2-15
15
解：把5Ω电阻作为外电路，10V 电压源和5Ω电阻的串联变换为2A 电流源和
5Ω电阻的并联, 6A电流源和
10V 电压源的串联等效为6A 电流源，如图所示。
则
例2－12： 把图示电路转换成一个电压源和一个电阻的串连组合。
（a ）
解：
图a 电路的转换过程如下图所示：
（b ）
图b 电路的转换过程如下图所示：
例2－13：计算图示电路中的电流I 。
2-16
16
解：利用电源等效变换，把电路依次转换为图（a ）和（b ）
（a ）
（b ）
因此
例2－14： 求图示电路中的电流
i 1
解：利用电源等效变换，把电路依次转换为图（a
）和（b
）
（a ）
（b ）
则
由KVL 得：
从中解得：
不要把受控源的控制量变换掉了。
本题的求解说明：受控源和独立源一样可以进行电源转换；但转换过程中要特别注意例2－15： 把图示电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
2-17
17
解：利用电源等效变换，把电路转换为图(a)，
根据KVL 得端口电压和电流关系为：
因此得等效电路如图(b)所示。
(a)
2-18
(b)
18
§2－7 输入电阻
1. 定义
对于一个不含独立源的一端口电路，不论内部如何复杂，其端口电压和端口电流成正比，定义这个比值为一端口电路的输入电阻（如图示）。
输入电阻：
2. 计算方法
根据输入电阻的定义，可得如下计算方法：
（1
） 如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、 并联和D —Y 变换等方法求它的等效电阻，输入电阻等于等效电阻；
（2）
对含有受控源和电阻的两端电路，应用在端口加电源的方法求输入电阻：加电压源，求得电流；或加电流源，求电压，然后计算电压和电流的比值得输入电阻，这种计算方法称为电压、电流法。 需要指出的是：
（1） 对含有独立电源的一端口电路，求输入电阻时，要先把独立源置零：电压源短路，电流源断路。
（2） 应用电压、电流法时，端口电压、电流的参考方向对两端电路来说是关联的。 例2－16： 计算下例一端口电路的输入电阻。
解：图示为一有源电阻网络，先把独立源置零：电压源短路；电流源断路，如图示得到一纯电阻电路，
应用电阻的串并联关系，求得输入电阻为：
2-19
19
例2－17：计算图示含有受控源的一端口电路的输入电阻。
解：因为电路中有受控源，求输入电阻时，先把独立源置零，然后在端口外加电压源，如图示，
由KCL 和KVL 得：
输入电阻为端口电压和电流的比值：
例2
－18： 计算图示含有受控源的一端口电路的输入电阻。
解：在电路端口外加电流源，如图示，
由图知：
由KCL 和KVL 得：
则 R in = u /i =27.5i 1/2.5 i1 = 11Ω
2-20
20