2椭圆齿轮的结构设计
2.1椭圆的基本数学理论
2.1.1椭圆定义
椭圆定义：平面内到一定点距离与到一定直线距离之比为一个常数e (0
其中，该定点称为椭圆的焦点，定直线称为该焦点对应的准线，e称为椭圆的离心率。
2.1.2椭圆的方程
如图2.1所示，以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点
B 是大圆半径OA 与
小圆的交点，过点A 作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA 绕O旋转时点M 的轨迹的参数方程。
图2.1 椭圆形成示意图
解：设M点的坐标为（x,y），φ是以Ox为始边，OA为终边的正角，取φ为参数。
那么 x=ON= OA cosφ，y =NM= OB sinφ
x=acosφ∴ y=bsinφ （2.1）
以上（2.1）式即为椭圆的参数方程，其中φ称为“离心角”
对（1）式进行消参
x ayb=cosφ=sinφ ⟹ x+y=1 （2.2） ab22
以上（2.2）式即为椭圆的标准方程。
2.2齿轮的基本理论
2.2.1齿轮传动
齿轮传动是机械传动中最重要的传动之一，形式很多，应用广泛，传递的功率可达数十万千瓦，它的圆周速度和转速分别可达300m/s，100000r/min。同摩擦轮传动和带轮传动相比较，齿轮传动齿轮传动具有传动功率大，效率高，寿命长及传动平稳等特点[2]。
齿轮传动特点：
（1）效率高 在常用的机械传动中，以齿轮传动效率为最高。例如一级圆柱齿轮的传动效率可达99%。这对大功率传动十分重要，因为即使效率提高1%，也有很大的经济意义。
（2）机构紧凑 在同样的使用条件下，齿轮传动所需空间尺寸一般较小。
（3）工作可靠、寿命长 设计制造正确合理、使用维护良好的齿轮传动，工作十分可靠，寿命可长达一、二十年，这也是其他机械传动所不能比拟的。
（4）传动比稳定 传动比稳定往往是对传动性能的基本要求。齿轮传动获得广泛应用，也就是由于具有这个特点。
2.2.2圆柱齿轮结构
圆柱齿轮可分为直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮、人字齿轮、曲线齿圆柱齿轮。其中直齿圆柱齿轮简称直齿轮，其轮齿排列与轴线平行；斜齿圆柱齿轮简称斜齿轮，其轮齿与轴线斜成一个角度，沿轴线螺旋方向排列在圆柱体上；人字齿轮形如“人”字，相当于两个全等但旋向相反的两个斜齿轮拼接而成；曲线齿圆柱齿轮简称曲线齿轮，其轮齿沿轴向弯曲成弧面。
2.2.3渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸
如图2.2所示为一直齿外齿轮的一部分。
图2.2 齿轮各结构参数
齿轮上每一个用于啮合的凸起部分称为轮齿。每个轮齿都具有两个对称分布的齿廓。一个齿轮的轮齿总数成为齿数，用z表示。齿轮上相邻轮齿之间的空间称为齿槽；过所有齿顶端的园称为齿顶圆，其半径和直径分别用rn和dn表示；过所有齿槽底边的园称为齿根圆，其半径和直径分别用rt和dt表示。
在任意半径rk的圆周上，齿槽的弧线长和轮齿的弧线长分别称为该圆上的齿槽宽和齿厚，分别用ek和sk表示。沿该圆上相邻两齿的同侧齿廓见到弧线长称为该圆上的齿距，用pk表示，则有
pk=sk+ek （2.3）
由于该圆的周长为pk∙z，同时又等于π∙dk，所以得
dk=
ppkπ∙z=mk∙z （2.4） 式（2.4）中的比值πk=mk称为该圆上的模数。由上面的式子可知，一个齿
轮的不同圆周上的齿距是不同的，所以模数也是不同的。
由于式子（2.4）中包含无理数π，使计算制造和测量等比较麻烦。为了便于确定齿轮的几何尺寸，人民有意识地制订一个简单的有理数列，并在齿轮上选择一个圆，取该圆的模数在这个有理数列之中，从而使其直径为有理数。
这种人为
规定的模数称为标准模数，单位为毫米（mm）。在齿轮上，这个模数等于选定的标准模数的圆称为分度圆其半径和直径分别用r和d表示。显然，当齿轮的齿数和标准模数值选定后，其分度圆就确定了。此后即以此作为齿轮尺寸的基准。
为方便起见，将分度圆上的模数、齿厚、齿槽宽和齿距简称为模数、齿厚、齿槽宽和齿距，分别用m、s、e和p表示。根据模数的定义及式子（2.3）、（2.4）显然有
m=π （2.5）
p=s+e=m∙π （2.6）
d=π∙z=m∙z （2.7）
另一方面，齿轮在不同圆周上的压力角是不同的，基圆上的压力角为零，离基圆越远的圆，半径越大，该圆上的压力角也越大。分度圆上的压力角叫简称压力角，用α表示，且有
rb=r∙cosα （2.8）
式（2.8）表明，当齿轮的模数m和齿数z一经确定，分度圆的大小也就确定；但是压力角α的大小可以不同，基圆的大小也随之不同，因此分度圆相同的齿轮，其齿形可能不同。这就使齿轮的设计、制造、测量和互换性有很多不便，为此，人民规定了分度圆上压力角的标准值，称为标准压力角，我国规定的标准压力角为20°。此外，为了提高齿轮的综合强度而需要增大压力角时，推荐采用25°.其他国家常用的压力角除20°外，还有15°、14.5°等。设计齿轮时，一般取标准压力角，若因特殊需要而选取其他值时，必须注明并特制加工刀具。
分度圆和节圆又原则性的区别。分度圆是一个齿轮的机会参数，每个齿轮都有一个大小确定的分度圆；而节圆则是表示一对齿轮啮合特性的圆。对于单个齿轮而言，节圆无意义；当一对齿轮啮合时，他们的节圆随中心距的变化（可分性）而变化。因此节圆和分度圆可以重合，也可以把重合。另外，分度圆压力角是一个大小确定的角，啮合角可以与之相等，也可以不相等，但啮合角与节圆压力角则是始终相等的。
分度圆吧齿轮分为两部分，介于分度圆与齿顶圆之间的部分称为顶圆，其径向高度成为齿顶高，用ℎa表示；介于分度圆与齿根圆之间的部分称为齿根，其径向高度称为齿根高，用ℎf表示；齿顶圆与齿根圆之间的径向高度成为齿全高，用pp
h表示，故有:
ℎ=ℎa+ℎf （2.9）
2.2.4渐开线标准齿轮的几何尺寸和基本参数的关系
标准齿轮具有以下三个特征：
（1）模数m和压力角α取标准值。
（2）具有标准的齿顶高和齿根高。
其中标准齿顶高和齿根高表示为：
∗ ℎa=ℎa∙m （2.10）
∗ ℎf=(ℎa+c∗)∙m （2.11）
∗∗上式中，ℎa和c∗分别称为齿顶高系数和顶隙系数。我国规定ℎa和c∗的标准值
为:
∗正常齿制：ℎa=1 c∗=0.25
∗短齿制： ℎa=0.8 c∗=0.3
∗显然，当ℎa和c∗分别取标准值时，按照式（2.10）和（2.11）计算得到的齿
顶高和齿根高为标准齿顶高和标准齿根高。
（3）分度圆上齿厚等于齿宽，即 s=e=p2=m∙π2只有同时具备上述三个特征的齿轮才是标准齿轮，否则为非标齿轮。但是需要强调的是对于任何齿轮，式（2.5）～（2.11）都是适用的。因此标准外圆柱齿轮的齿顶圆直径和齿根圆直径分别为：
∗da=d+2ℎa=m(z+2ℎa) （2.12） ∗df=d−2ℎf=m(z−2ℎa−2c∗)
综上所述，标准齿轮的几何参数决定于模数m、压力角α、齿数z、齿顶高∗系数ℎa和齿根高系数c∗，故这五个参数为标准齿轮的基本参数。
2.2.5圆的渐开线及其方程
1、圆的渐开线的定义
如图2.3所示，当一直线n-n沿着一个圆的圆周作纯滚动时，直线上任意一点K的轨迹AK称为该圆的渐开线，简称渐开线，这个圆称为基圆，其半径用rb表示，直线n-n称为渐开线的发生线，角θk(-∠AOK)称为渐开线段AK的展角。
图2.3 渐开线形成原理图
2、渐开线的性质
（1）因为发生线在基圆上作纯滚动，所以发生线在基圆上滚过的一段长度等于基圆上被滚过的一段弧长，即。
（2） 渐开线上任意一点的法线必须与其基圆相切。
（3）发生线与基圆的切点N也是渐开线在点K的曲率中心，故NK是相应的曲率半径。
（4）基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直。
（5）因为渐开线从基圆开始向外展开，故基圆以内无渐开线。
3、渐开线方程
根据渐开线的形成原理可以得出它的方程式。
如图2.3所示，点A为渐开线在基圆上的起始点，K为渐开线上任意一点，其向径用rK表示。若以此渐开线为齿轮的齿廓，当另一个齿轮的齿廓同它在点K啮合时，该齿廓在点K所受的正压力应该沿着齿廓在该点发线NK的方向。
同时
齿轮绕点O转动时，齿廓上点K速度的方向垂直于直线OK，即沿着直线mm。法线NK与mm之间所夹的锐角称为齿廓在该点压力角，记为αk。
根据渐开线的性质，由ΔOKN中的关系可得
rk=cosb
α (2.13) kr
又因为
即
θk=tanαk−αk
上式表明，展角θk随压力角αk变化而变化，故θk又称为角αk的渐开线函数，工程上用invαk表示θk，即
θk=invαk=tanαk−αk (2.14)
为了方便计算，工程中已将不同压力角的渐开线函数invαk计算出来列成表格。
综上所述，联立（2.13）、（2.14）两式即得渐开线的极坐标参数方程式为
2.3椭圆齿轮基本理论
2.3.1非圆齿轮的节曲线
1、基本概念
节曲线是一对互相啮合的齿轮在其啮合过程中实现无滑动地滚动的共扼曲线。知道一个齿轮的节曲线后，便可根据共轭关系，求出另外一个共扼齿轮的节曲线齿轮的齿顶和齿根轮廓线是其节曲线的等距线（在法线方向上等距）。在切齿过程中，刀具节线沿齿轮节曲线作无滑动的滚动。主动和从动非圆齿轮转角间的关系叫做位置函数[3]。用下式表示
φ2=F φ1 （2.16）
其中下脚标1和2分别对应于主动轮和从动轮。
传动比一主动轮回转角的函数形式确定的齿轮瞬时角速度比为
i21=ω2= 1—⌒rb αk+θk tanαk==r=αk—rbbON+θk rk=cosbαrθk=invαk=tanαk−αkk （2.15） ωdφ2dt dφ1dt=F′ φ1 （2.17）
位置函数和传动比函数是非圆齿轮副的几何特性。非圆齿轮副中的主动齿轮，
无论其运动规律在时间上怎样改变，都不会影响位置函数和传动比函数的特性。在定平面内节曲线切点的轨迹叫复节曲线。实际上，复节曲线是齿轮副的瞬时回转中心在定平面中的轨迹。
2、节曲线的方程式
节曲线的计算可以分为两种情况：
（1）按给定的传动比函数i12=f φ1 计算齿轮的节曲线。设齿轮副的中心距为（a图2.4），主动轮1的转角为φ1，瞬时角速度为ω1，从动轮2的转角为φ2，瞬时角速度为ω2。在起始位置φ1=0，φ2=0。又设要求齿轮副传递的转角函数关系为
φ2=F φ1 （2.18）
则齿轮副的传动比函数i12为
i12=ω1= 2ωdφ1dt dφ2dt =f φ1 （2.19）
f φ1 =1 F′ φ1 （2.20）
图2.4 外啮合非圆齿轮副
可以证明，两齿轮在任一瞬时，总有一个相对运动速度等于零的点P，称之为瞬时传动节点(简称瞬心)。它位于联心线O1O2上，且满足条件ω1∙O1P=ω2
∙
O2P分别用r1、r2表示线段O1P、O2P，则瞬时传动比又可以表示为：
i12=ω1=r2=21ωra−r1r1 （2.21）
当瞬时传动比i12是变数时，瞬心P的位置及r1、r2是变化的。瞬心在齿轮1、2回转平面上的轨迹，称为两齿轮的瞬心线，也就是齿轮的节曲线。
由式（2.21）可得主动轮1的节曲线方程为
r1 φ1 =1+i得到从动轮2的节曲线方程为
12r2=a−r1 φ1 =1+ia12=1+f φ （2.22） 1aai
φ2=φ11 0i12dφ1= φ11 0f φ dφ1112 （2.23）
上面是以极坐标形式表示的外啮合非圆齿轮副节曲线方程。按此式计算节曲线时，两极角的计量方向与相应的回转角速度方向相反(见图2.4)。
如果给定的条件是齿轮1的节曲线方程：r1=r1 φ1 则传动比函数为
i12=f φ1 =
从动轮2的节曲线方程为
r2=a−r1 φ1
φ2= 0φ11
i12a−r1 φ1 r1 φ1 （2.24） dφ1= 0φ1r1 φ1 dφ1a−r1 φ1 （2.25）
如果齿轮2是内齿轮（图2.5），则回转角的方向相同。
图2.5内啮合非圆齿轮副
用同样的方法可以求得主、从动轮的节曲线方程
r1=i
φ2=a12=f φ−1a1 −1 （2.26） r2=a+r1 φ1 =iφ11 0i12ai1212−1dφ1= φ1r1 φ1 0a−r φ dφ111 （2.27）
(2)按要求再现的函数计算节曲线设要求非圆齿轮传动再现某个函数y=f x ，x在闭 x1，x2 内连续可导。可令主动轮1的转角φ1与自变量x成正比，从动轮2的转角与f(x)成正比，即写成
φ1=k1 x−x1 （2.28） φ2=k2 f x −f x1
则传动比为
i12=dφ1=k2dφk12f′(x) （2.29）
上面两式中的k1、k2是比例常数，f′(x)是函数f(x)对x的一阶导数。由式（2.22）、式（2.23）、式（2.28）及式（2.29），可以得到外啮合主动、从动轮1和2的节曲线方程式分别为
φ1=k1(x−x1)
r1=kak2f′(x)
1+k2f(x) （2.30）
φ2=k2 f x −f x1
r2=a−r1=kak1
1+k2f （2.31） (x)
设齿轮1的节曲线在P点的切线t的正方向(转角φ1加大的方向)，与r1的正方向夹角用μ1表示(图2.4)，则由节曲线方程r1=r1 φ1 可知
tanμ1=drr11 dφ1 （2.32）
对于传递传动比函数i12=f φ1 的非圆齿轮副，（2.22）可得
tanμ1=−i12+1
i12 （2.33）
对于再现函数y=f x 的非圆齿轮副，由式（2.30）可得
tanμ1=f′ x k1+k2f′ x
f x （2.34）
同样设计齿轮2的节曲线在P点的切线正方向(转角φ2加大的方向)，与r2正方向夹角用μ2表示，则由节曲线方程r2=r2 φ2 可知
tanμ2=dr
r2
2 dφ2
（2.35）
由式（2.23）和式（2.31）均可得到tanμ1=−tanμ2，即μ1+μ2=180°这也证明了两齿轮的曲线在P点有共同的切线。此外还可以证明两节曲线在传动过程中是作纯滚动的，在同一时间内，两节曲线切点滚过的弧长相等。 2.3.2椭圆齿轮副
椭圆齿轮是非圆齿轮中最常用的一种。当用相同的椭圆齿轮传动时，随着椭圆偏心率的不同，可得到不同的传动比变化曲线。以完成各种机构的变速传动，或作为速度和加速度调节之用。
图2.6 椭圆齿轮副
如图2.6所示，齿轮1为椭圆齿轮，与其共轭的非圆齿轮为齿轮2。设齿轮1的基础圆的半径为R、向径r1、变形距为e(也可以称为偏心量)，非圆齿轮2的向径为r2，两齿轮的中心距为2a。当非圆齿轮1转过φ1角时，非圆齿轮2转过φ2角。
椭圆齿轮的节曲线方程式为：
R1=1+ecosφ （2.36）
1
a 1−e2
式中
φ1——向径的极角； a——椭圆的长半轴；
e——椭圆的对称中心到焦点的距离； b——椭圆的短半轴
R1+R2=2a
即：
R2=
椭圆齿轮传动比函数为：
a 1+2ecos∅1+e2
1+ecos∅1
（2.37）
′′i12=
2ecosθ11−e2
（2.38）
图2.7 传动角变化曲线
由上式可知：当θ1=0°，360°时，传动比有最大值，i21max=1−e，当θ1=180°时，传动比有最小值，i2min=1+e传动比随主动轮传动角θ1的变化规律如图2.7所示。
当主动轮1的角速度ω1为常数时，从动轮2的最大角速度ω2max与最小角速度ω2min之比为:τ≤1/3由此可见，椭圆齿轮的离心率e越大，τ值也越大，则传动比的变化也剧烈。在一般的设计中，常取τ≤1/3，可使运动平滑无突跳。若主动齿轮以等角速度ω1回转且ω1为已知时，则很容易求得从动轮的瞬时角速度：
dφ2dt
1−e
1+e
=ω11+2ecosφ
1−e2
1+e
（2.39）
当φ1=0时，从动轮的瞬时角速度最小
dφ2dt
min =ω1
a−ca+c
（2.40）
当φ1=180°时，从动齿轮的瞬时角速度最大
dφ2dt
max =ω1
a+ca−c
（2.41）
最大角速度和最小角速度交替出现，设K为最大和最小角速度之比，则：
a−c通常取k≤5,就可保证构件运动平滑而无“跳动”。设计椭圆齿轮时，通常根据机器的结构特点选取中心距A＝2a,在满足某一速比K时，则短半轴可由下式求出：
b=
1+k 212ak 4
（2.43）
在大多数情况下，K值不超过4。这样的椭圆齿轮节曲线形状不会太扁平，其周长近似于 a+b π。因此椭圆齿轮的齿数等于直径为(a +b)的圆齿轮齿数：
z=
式中m——齿轮的模数
一对共轭的椭圆齿轮中，每一个椭圆齿轮的齿数均为奇数。因此，计算出齿数后，应选取相近的奇数。同时要准确的计算椭圆节曲线的全场S，使其等于整数倍齿距，即s=πmz。 2.4椭圆齿轮的结构设计 2.4.1结构设计
由包装机原技术参数如下，每次包装机刀辊需切削的透明纸长度为169.3mm，包装速度为800包/min，即刀辊转速n1=800r/min
则透明纸输送速度为 V输送=169.3×800=135440mm/min 产品正常工作时要求 V裁切≥V输送 原机型采用圆柱齿轮，则 V裁切=Dπn1≥135440 则D≥
135440πn1a+bm
（2.44）
=53.89mm
改装型设备采用椭圆齿轮传动，裁切时刀辊被加速到最大速度范围，而且切刀被安装在很小的斜面内，可按最高速度计算
n1=800mm/min n2=imax×n1=1−ε×n1
ε=a
椭圆齿轮传动的最大和最小角速度之比为K，且
c
1+ε
a−c 若选取不同的K值来分析他对刀辊上的切刀旋转直径的影响，即如表2.1所示[4]。
表2.1 K值分析表
实践证明，当K≤5时，椭圆齿轮节曲线形状不太扁平，可以保证机构运动平滑而无“跳动”，使传动平稳，故在大多数情况下，取K≤5。在保证刀辊强度、刚度的情况下，应尽可能减小刀辊直径,这样可大幅减小转动惯量，减小机器在高速工作时由于速度的变化所产生的惯性冲击和振动。为了突出使用椭圆齿轮的优越性,故选取K=5。由于原结构上圆齿轮副的中心距为56mm，所以椭圆齿轮的长轴a=28mm根据齿轮强度需要，我们选取模数m = 2。
在设计椭圆齿轮时，要准确地计算椭圆节曲线的全长L，使其相等或成整数倍齿距，即
L=4a 0 1−εsin∅d∅=mπz （2.45）
式中，a=28mm，e=0.381966，m=2 解得L=169.2402054mm，z=26.9354
当采用椭圆齿轮传动的时候，其齿数Z 一般设计成奇数，在长轴一端做一个轮齿，它的另一端就恰好是一个齿槽，而且齿轮副的两个椭圆齿轮完全一样，加工调整比较方便，故取z=27。
确定齿数后，通过上面的公式（2.45）就可以精确地计算椭圆齿轮的偏心率ε。
解得e=0.37286
又因为e=a，所以c=a∙e=10.4401 此时， b=
=25.9808mm, K= a−c =4.7921≤5 满足要求
a+c2
c
π
则刀辊旋转直径可以限制在 D≥24.6176 2.4.2验算
1、为了防止椭圆齿轮在加工时产生齿形根切现象，不产生根切的最大模数为：
mmax=
2a 1−ε3
17
=2.8362
改型设计中椭圆齿轮模数为m=2，故满足要求。
2、为了保证椭圆齿轮的传动性能，防止压力角过大可能产生的自锁，一般要求最大压力角αmax≤65°
在改进型设计中椭圆齿轮最大和最小压力角分别计算如下
αmax
π
=arctan − +α0−=41.8921°
e
αmin=arctan
+α0−2=−1.8921°
π
上式中α0为齿条刀具压力角，一般取α0=20° 有以上计算结果可知，该齿轮副使可行的。
所以可得椭圆齿轮参数如表2.2所示。
表2.2 椭圆齿轮参数
2椭圆齿轮的结构设计
2.1椭圆的基本数学理论
2.1.1椭圆定义
椭圆定义：平面内到一定点距离与到一定直线距离之比为一个常数e (0
其中，该定点称为椭圆的焦点，定直线称为该焦点对应的准线，e称为椭圆的离心率。
2.1.2椭圆的方程
如图2.1所示，以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点
B 是大圆半径OA 与
小圆的交点，过点A 作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA 绕O旋转时点M 的轨迹的参数方程。
图2.1 椭圆形成示意图
解：设M点的坐标为（x,y），φ是以Ox为始边，OA为终边的正角，取φ为参数。
那么 x=ON= OA cosφ，y =NM= OB sinφ
x=acosφ∴ y=bsinφ （2.1）
以上（2.1）式即为椭圆的参数方程，其中φ称为“离心角”
对（1）式进行消参
x ayb=cosφ=sinφ ⟹ x+y=1 （2.2） ab22
以上（2.2）式即为椭圆的标准方程。
2.2齿轮的基本理论
2.2.1齿轮传动
齿轮传动是机械传动中最重要的传动之一，形式很多，应用广泛，传递的功率可达数十万千瓦，它的圆周速度和转速分别可达300m/s，100000r/min。同摩擦轮传动和带轮传动相比较，齿轮传动齿轮传动具有传动功率大，效率高，寿命长及传动平稳等特点[2]。
齿轮传动特点：
（1）效率高 在常用的机械传动中，以齿轮传动效率为最高。例如一级圆柱齿轮的传动效率可达99%。这对大功率传动十分重要，因为即使效率提高1%，也有很大的经济意义。
（2）机构紧凑 在同样的使用条件下，齿轮传动所需空间尺寸一般较小。
（3）工作可靠、寿命长 设计制造正确合理、使用维护良好的齿轮传动，工作十分可靠，寿命可长达一、二十年，这也是其他机械传动所不能比拟的。
（4）传动比稳定 传动比稳定往往是对传动性能的基本要求。齿轮传动获得广泛应用，也就是由于具有这个特点。
2.2.2圆柱齿轮结构
圆柱齿轮可分为直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮、人字齿轮、曲线齿圆柱齿轮。其中直齿圆柱齿轮简称直齿轮，其轮齿排列与轴线平行；斜齿圆柱齿轮简称斜齿轮，其轮齿与轴线斜成一个角度，沿轴线螺旋方向排列在圆柱体上；人字齿轮形如“人”字，相当于两个全等但旋向相反的两个斜齿轮拼接而成；曲线齿圆柱齿轮简称曲线齿轮，其轮齿沿轴向弯曲成弧面。
2.2.3渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸
如图2.2所示为一直齿外齿轮的一部分。
图2.2 齿轮各结构参数
齿轮上每一个用于啮合的凸起部分称为轮齿。每个轮齿都具有两个对称分布的齿廓。一个齿轮的轮齿总数成为齿数，用z表示。齿轮上相邻轮齿之间的空间称为齿槽；过所有齿顶端的园称为齿顶圆，其半径和直径分别用rn和dn表示；过所有齿槽底边的园称为齿根圆，其半径和直径分别用rt和dt表示。
在任意半径rk的圆周上，齿槽的弧线长和轮齿的弧线长分别称为该圆上的齿槽宽和齿厚，分别用ek和sk表示。沿该圆上相邻两齿的同侧齿廓见到弧线长称为该圆上的齿距，用pk表示，则有
pk=sk+ek （2.3）
由于该圆的周长为pk∙z，同时又等于π∙dk，所以得
dk=
ppkπ∙z=mk∙z （2.4） 式（2.4）中的比值πk=mk称为该圆上的模数。由上面的式子可知，一个齿
轮的不同圆周上的齿距是不同的，所以模数也是不同的。
由于式子（2.4）中包含无理数π，使计算制造和测量等比较麻烦。为了便于确定齿轮的几何尺寸，人民有意识地制订一个简单的有理数列，并在齿轮上选择一个圆，取该圆的模数在这个有理数列之中，从而使其直径为有理数。
这种人为
规定的模数称为标准模数，单位为毫米（mm）。在齿轮上，这个模数等于选定的标准模数的圆称为分度圆其半径和直径分别用r和d表示。显然，当齿轮的齿数和标准模数值选定后，其分度圆就确定了。此后即以此作为齿轮尺寸的基准。
为方便起见，将分度圆上的模数、齿厚、齿槽宽和齿距简称为模数、齿厚、齿槽宽和齿距，分别用m、s、e和p表示。根据模数的定义及式子（2.3）、（2.4）显然有
m=π （2.5）
p=s+e=m∙π （2.6）
d=π∙z=m∙z （2.7）
另一方面，齿轮在不同圆周上的压力角是不同的，基圆上的压力角为零，离基圆越远的圆，半径越大，该圆上的压力角也越大。分度圆上的压力角叫简称压力角，用α表示，且有
rb=r∙cosα （2.8）
式（2.8）表明，当齿轮的模数m和齿数z一经确定，分度圆的大小也就确定；但是压力角α的大小可以不同，基圆的大小也随之不同，因此分度圆相同的齿轮，其齿形可能不同。这就使齿轮的设计、制造、测量和互换性有很多不便，为此，人民规定了分度圆上压力角的标准值，称为标准压力角，我国规定的标准压力角为20°。此外，为了提高齿轮的综合强度而需要增大压力角时，推荐采用25°.其他国家常用的压力角除20°外，还有15°、14.5°等。设计齿轮时，一般取标准压力角，若因特殊需要而选取其他值时，必须注明并特制加工刀具。
分度圆和节圆又原则性的区别。分度圆是一个齿轮的机会参数，每个齿轮都有一个大小确定的分度圆；而节圆则是表示一对齿轮啮合特性的圆。对于单个齿轮而言，节圆无意义；当一对齿轮啮合时，他们的节圆随中心距的变化（可分性）而变化。因此节圆和分度圆可以重合，也可以把重合。另外，分度圆压力角是一个大小确定的角，啮合角可以与之相等，也可以不相等，但啮合角与节圆压力角则是始终相等的。
分度圆吧齿轮分为两部分，介于分度圆与齿顶圆之间的部分称为顶圆，其径向高度成为齿顶高，用ℎa表示；介于分度圆与齿根圆之间的部分称为齿根，其径向高度称为齿根高，用ℎf表示；齿顶圆与齿根圆之间的径向高度成为齿全高，用pp
h表示，故有:
ℎ=ℎa+ℎf （2.9）
2.2.4渐开线标准齿轮的几何尺寸和基本参数的关系
标准齿轮具有以下三个特征：
（1）模数m和压力角α取标准值。
（2）具有标准的齿顶高和齿根高。
其中标准齿顶高和齿根高表示为：
∗ ℎa=ℎa∙m （2.10）
∗ ℎf=(ℎa+c∗)∙m （2.11）
∗∗上式中，ℎa和c∗分别称为齿顶高系数和顶隙系数。我国规定ℎa和c∗的标准值
为:
∗正常齿制：ℎa=1 c∗=0.25
∗短齿制： ℎa=0.8 c∗=0.3
∗显然，当ℎa和c∗分别取标准值时，按照式（2.10）和（2.11）计算得到的齿
顶高和齿根高为标准齿顶高和标准齿根高。
（3）分度圆上齿厚等于齿宽，即 s=e=p2=m∙π2只有同时具备上述三个特征的齿轮才是标准齿轮，否则为非标齿轮。但是需要强调的是对于任何齿轮，式（2.5）～（2.11）都是适用的。因此标准外圆柱齿轮的齿顶圆直径和齿根圆直径分别为：
∗da=d+2ℎa=m(z+2ℎa) （2.12） ∗df=d−2ℎf=m(z−2ℎa−2c∗)
综上所述，标准齿轮的几何参数决定于模数m、压力角α、齿数z、齿顶高∗系数ℎa和齿根高系数c∗，故这五个参数为标准齿轮的基本参数。
2.2.5圆的渐开线及其方程
1、圆的渐开线的定义
如图2.3所示，当一直线n-n沿着一个圆的圆周作纯滚动时，直线上任意一点K的轨迹AK称为该圆的渐开线，简称渐开线，这个圆称为基圆，其半径用rb表示，直线n-n称为渐开线的发生线，角θk(-∠AOK)称为渐开线段AK的展角。
图2.3 渐开线形成原理图
2、渐开线的性质
（1）因为发生线在基圆上作纯滚动，所以发生线在基圆上滚过的一段长度等于基圆上被滚过的一段弧长，即。
（2） 渐开线上任意一点的法线必须与其基圆相切。
（3）发生线与基圆的切点N也是渐开线在点K的曲率中心，故NK是相应的曲率半径。
（4）基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直。
（5）因为渐开线从基圆开始向外展开，故基圆以内无渐开线。
3、渐开线方程
根据渐开线的形成原理可以得出它的方程式。
如图2.3所示，点A为渐开线在基圆上的起始点，K为渐开线上任意一点，其向径用rK表示。若以此渐开线为齿轮的齿廓，当另一个齿轮的齿廓同它在点K啮合时，该齿廓在点K所受的正压力应该沿着齿廓在该点发线NK的方向。
同时
齿轮绕点O转动时，齿廓上点K速度的方向垂直于直线OK，即沿着直线mm。法线NK与mm之间所夹的锐角称为齿廓在该点压力角，记为αk。
根据渐开线的性质，由ΔOKN中的关系可得
rk=cosb
α (2.13) kr
又因为
即
θk=tanαk−αk
上式表明，展角θk随压力角αk变化而变化，故θk又称为角αk的渐开线函数，工程上用invαk表示θk，即
θk=invαk=tanαk−αk (2.14)
为了方便计算，工程中已将不同压力角的渐开线函数invαk计算出来列成表格。
综上所述，联立（2.13）、（2.14）两式即得渐开线的极坐标参数方程式为
2.3椭圆齿轮基本理论
2.3.1非圆齿轮的节曲线
1、基本概念
节曲线是一对互相啮合的齿轮在其啮合过程中实现无滑动地滚动的共扼曲线。知道一个齿轮的节曲线后，便可根据共轭关系，求出另外一个共扼齿轮的节曲线齿轮的齿顶和齿根轮廓线是其节曲线的等距线（在法线方向上等距）。在切齿过程中，刀具节线沿齿轮节曲线作无滑动的滚动。主动和从动非圆齿轮转角间的关系叫做位置函数[3]。用下式表示
φ2=F φ1 （2.16）
其中下脚标1和2分别对应于主动轮和从动轮。
传动比一主动轮回转角的函数形式确定的齿轮瞬时角速度比为
i21=ω2= 1—⌒rb αk+θk tanαk==r=αk—rbbON+θk rk=cosbαrθk=invαk=tanαk−αkk （2.15） ωdφ2dt dφ1dt=F′ φ1 （2.17）
位置函数和传动比函数是非圆齿轮副的几何特性。非圆齿轮副中的主动齿轮，
无论其运动规律在时间上怎样改变，都不会影响位置函数和传动比函数的特性。在定平面内节曲线切点的轨迹叫复节曲线。实际上，复节曲线是齿轮副的瞬时回转中心在定平面中的轨迹。
2、节曲线的方程式
节曲线的计算可以分为两种情况：
（1）按给定的传动比函数i12=f φ1 计算齿轮的节曲线。设齿轮副的中心距为（a图2.4），主动轮1的转角为φ1，瞬时角速度为ω1，从动轮2的转角为φ2，瞬时角速度为ω2。在起始位置φ1=0，φ2=0。又设要求齿轮副传递的转角函数关系为
φ2=F φ1 （2.18）
则齿轮副的传动比函数i12为
i12=ω1= 2ωdφ1dt dφ2dt =f φ1 （2.19）
f φ1 =1 F′ φ1 （2.20）
图2.4 外啮合非圆齿轮副
可以证明，两齿轮在任一瞬时，总有一个相对运动速度等于零的点P，称之为瞬时传动节点(简称瞬心)。它位于联心线O1O2上，且满足条件ω1∙O1P=ω2
∙
O2P分别用r1、r2表示线段O1P、O2P，则瞬时传动比又可以表示为：
i12=ω1=r2=21ωra−r1r1 （2.21）
当瞬时传动比i12是变数时，瞬心P的位置及r1、r2是变化的。瞬心在齿轮1、2回转平面上的轨迹，称为两齿轮的瞬心线，也就是齿轮的节曲线。
由式（2.21）可得主动轮1的节曲线方程为
r1 φ1 =1+i得到从动轮2的节曲线方程为
12r2=a−r1 φ1 =1+ia12=1+f φ （2.22） 1aai
φ2=φ11 0i12dφ1= φ11 0f φ dφ1112 （2.23）
上面是以极坐标形式表示的外啮合非圆齿轮副节曲线方程。按此式计算节曲线时，两极角的计量方向与相应的回转角速度方向相反(见图2.4)。
如果给定的条件是齿轮1的节曲线方程：r1=r1 φ1 则传动比函数为
i12=f φ1 =
从动轮2的节曲线方程为
r2=a−r1 φ1
φ2= 0φ11
i12a−r1 φ1 r1 φ1 （2.24） dφ1= 0φ1r1 φ1 dφ1a−r1 φ1 （2.25）
如果齿轮2是内齿轮（图2.5），则回转角的方向相同。
图2.5内啮合非圆齿轮副
用同样的方法可以求得主、从动轮的节曲线方程
r1=i
φ2=a12=f φ−1a1 −1 （2.26） r2=a+r1 φ1 =iφ11 0i12ai1212−1dφ1= φ1r1 φ1 0a−r φ dφ111 （2.27）
(2)按要求再现的函数计算节曲线设要求非圆齿轮传动再现某个函数y=f x ，x在闭 x1，x2 内连续可导。可令主动轮1的转角φ1与自变量x成正比，从动轮2的转角与f(x)成正比，即写成
φ1=k1 x−x1 （2.28） φ2=k2 f x −f x1
则传动比为
i12=dφ1=k2dφk12f′(x) （2.29）
上面两式中的k1、k2是比例常数，f′(x)是函数f(x)对x的一阶导数。由式（2.22）、式（2.23）、式（2.28）及式（2.29），可以得到外啮合主动、从动轮1和2的节曲线方程式分别为
φ1=k1(x−x1)
r1=kak2f′(x)
1+k2f(x) （2.30）
φ2=k2 f x −f x1
r2=a−r1=kak1
1+k2f （2.31） (x)
设齿轮1的节曲线在P点的切线t的正方向(转角φ1加大的方向)，与r1的正方向夹角用μ1表示(图2.4)，则由节曲线方程r1=r1 φ1 可知
tanμ1=drr11 dφ1 （2.32）
对于传递传动比函数i12=f φ1 的非圆齿轮副，（2.22）可得
tanμ1=−i12+1
i12 （2.33）
对于再现函数y=f x 的非圆齿轮副，由式（2.30）可得
tanμ1=f′ x k1+k2f′ x
f x （2.34）
同样设计齿轮2的节曲线在P点的切线正方向(转角φ2加大的方向)，与r2正方向夹角用μ2表示，则由节曲线方程r2=r2 φ2 可知
tanμ2=dr
r2
2 dφ2
（2.35）
由式（2.23）和式（2.31）均可得到tanμ1=−tanμ2，即μ1+μ2=180°这也证明了两齿轮的曲线在P点有共同的切线。此外还可以证明两节曲线在传动过程中是作纯滚动的，在同一时间内，两节曲线切点滚过的弧长相等。 2.3.2椭圆齿轮副
椭圆齿轮是非圆齿轮中最常用的一种。当用相同的椭圆齿轮传动时，随着椭圆偏心率的不同，可得到不同的传动比变化曲线。以完成各种机构的变速传动，或作为速度和加速度调节之用。
图2.6 椭圆齿轮副
如图2.6所示，齿轮1为椭圆齿轮，与其共轭的非圆齿轮为齿轮2。设齿轮1的基础圆的半径为R、向径r1、变形距为e(也可以称为偏心量)，非圆齿轮2的向径为r2，两齿轮的中心距为2a。当非圆齿轮1转过φ1角时，非圆齿轮2转过φ2角。
椭圆齿轮的节曲线方程式为：
R1=1+ecosφ （2.36）
1
a 1−e2
式中
φ1——向径的极角； a——椭圆的长半轴；
e——椭圆的对称中心到焦点的距离； b——椭圆的短半轴
R1+R2=2a
即：
R2=
椭圆齿轮传动比函数为：
a 1+2ecos∅1+e2
1+ecos∅1
（2.37）
′′i12=
2ecosθ11−e2
（2.38）
图2.7 传动角变化曲线
由上式可知：当θ1=0°，360°时，传动比有最大值，i21max=1−e，当θ1=180°时，传动比有最小值，i2min=1+e传动比随主动轮传动角θ1的变化规律如图2.7所示。
当主动轮1的角速度ω1为常数时，从动轮2的最大角速度ω2max与最小角速度ω2min之比为:τ≤1/3由此可见，椭圆齿轮的离心率e越大，τ值也越大，则传动比的变化也剧烈。在一般的设计中，常取τ≤1/3，可使运动平滑无突跳。若主动齿轮以等角速度ω1回转且ω1为已知时，则很容易求得从动轮的瞬时角速度：
dφ2dt
1−e
1+e
=ω11+2ecosφ
1−e2
1+e
（2.39）
当φ1=0时，从动轮的瞬时角速度最小
dφ2dt
min =ω1
a−ca+c
（2.40）
当φ1=180°时，从动齿轮的瞬时角速度最大
dφ2dt
max =ω1
a+ca−c
（2.41）
最大角速度和最小角速度交替出现，设K为最大和最小角速度之比，则：
a−c通常取k≤5,就可保证构件运动平滑而无“跳动”。设计椭圆齿轮时，通常根据机器的结构特点选取中心距A＝2a,在满足某一速比K时，则短半轴可由下式求出：
b=
1+k 212ak 4
（2.43）
在大多数情况下，K值不超过4。这样的椭圆齿轮节曲线形状不会太扁平，其周长近似于 a+b π。因此椭圆齿轮的齿数等于直径为(a +b)的圆齿轮齿数：
z=
式中m——齿轮的模数
一对共轭的椭圆齿轮中，每一个椭圆齿轮的齿数均为奇数。因此，计算出齿数后，应选取相近的奇数。同时要准确的计算椭圆节曲线的全场S，使其等于整数倍齿距，即s=πmz。 2.4椭圆齿轮的结构设计 2.4.1结构设计
由包装机原技术参数如下，每次包装机刀辊需切削的透明纸长度为169.3mm，包装速度为800包/min，即刀辊转速n1=800r/min
则透明纸输送速度为 V输送=169.3×800=135440mm/min 产品正常工作时要求 V裁切≥V输送 原机型采用圆柱齿轮，则 V裁切=Dπn1≥135440 则D≥
135440πn1a+bm
（2.44）
=53.89mm
改装型设备采用椭圆齿轮传动，裁切时刀辊被加速到最大速度范围，而且切刀被安装在很小的斜面内，可按最高速度计算
n1=800mm/min n2=imax×n1=1−ε×n1
ε=a
椭圆齿轮传动的最大和最小角速度之比为K，且
c
1+ε
a−c 若选取不同的K值来分析他对刀辊上的切刀旋转直径的影响，即如表2.1所示[4]。
表2.1 K值分析表
实践证明，当K≤5时，椭圆齿轮节曲线形状不太扁平，可以保证机构运动平滑而无“跳动”，使传动平稳，故在大多数情况下，取K≤5。在保证刀辊强度、刚度的情况下，应尽可能减小刀辊直径,这样可大幅减小转动惯量，减小机器在高速工作时由于速度的变化所产生的惯性冲击和振动。为了突出使用椭圆齿轮的优越性,故选取K=5。由于原结构上圆齿轮副的中心距为56mm，所以椭圆齿轮的长轴a=28mm根据齿轮强度需要，我们选取模数m = 2。
在设计椭圆齿轮时，要准确地计算椭圆节曲线的全长L，使其相等或成整数倍齿距，即
L=4a 0 1−εsin∅d∅=mπz （2.45）
式中，a=28mm，e=0.381966，m=2 解得L=169.2402054mm，z=26.9354
当采用椭圆齿轮传动的时候，其齿数Z 一般设计成奇数，在长轴一端做一个轮齿，它的另一端就恰好是一个齿槽，而且齿轮副的两个椭圆齿轮完全一样，加工调整比较方便，故取z=27。
确定齿数后，通过上面的公式（2.45）就可以精确地计算椭圆齿轮的偏心率ε。
解得e=0.37286
又因为e=a，所以c=a∙e=10.4401 此时， b=
=25.9808mm, K= a−c =4.7921≤5 满足要求
a+c2
c
π
则刀辊旋转直径可以限制在 D≥24.6176 2.4.2验算
1、为了防止椭圆齿轮在加工时产生齿形根切现象，不产生根切的最大模数为：
mmax=
2a 1−ε3
17
=2.8362
改型设计中椭圆齿轮模数为m=2，故满足要求。
2、为了保证椭圆齿轮的传动性能，防止压力角过大可能产生的自锁，一般要求最大压力角αmax≤65°
在改进型设计中椭圆齿轮最大和最小压力角分别计算如下
αmax
π
=arctan − +α0−=41.8921°
e
αmin=arctan
+α0−2=−1.8921°
π
上式中α0为齿条刀具压力角，一般取α0=20° 有以上计算结果可知，该齿轮副使可行的。
所以可得椭圆齿轮参数如表2.2所示。
表2.2 椭圆齿轮参数