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低阶方阵的高次幂的计算技巧
作者：田凯
来源：《教育教学论坛》2015年第25期
摘要：方阵的高次幂的计算是线性代数、矩阵理论中的常见问题。本文结合实例介绍了利用特征多项式、最小多项式计算低阶方阵的高次幂，以及简化方阵多项式的技巧。 关键词：方阵的幂;Hamilton-Cayley 定理; 特征多项式; 最小多项式
中图分类号：G642.0 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）25-0197-02 在线性代数、矩阵理论相关课程中，一类比较常见的问题是，计算方阵的幂。方阵的幂，是矩阵理论中非常简单的概念。若A 是n 阶方阵，则A 的m 次幂定义为
A ;= ;，其中m 表示任一正整数。
若方阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P 使得
其中Λ=diag（λ ;，λ ;，…，λ ;），λ ;，λ ;，…，λ ;是A 的特征值，则A 的幂是容易计算的，因为
而且Λ ;=diagλ ; ;，λ ; ;，…，λ ; ;，所以在这种情况下，我们可以写出方阵A 的任意次幂的显示表达式。若方阵A 不可对角化，尤其是当m 比较大的时候，计算A 的幂就成为一个复杂的问题。
本文介绍低阶方阵高次幂的计算技巧，希望对读者有所帮助。我们所介绍技巧的理论基础是著名的Hamilton-Cayley 定理及矩阵的最小多项式。为方便读者阅读，首先回顾相关定理、定义与重要性质。
Hamilton-Cayley定理：n 阶方阵A 的特征多项式f （λ）=det（λI-A ），则f （A ）=0。 若多项式p （λ）使得p （A ）=0，则称p （λ）为A 的化零多项式。Hamilton-Cayley 定理告诉我们，方阵A 的特征多项式总是其化零多项式，因此任意方阵A 的化零多项式总存在。方阵A 的次数最小且首项系数为1的化零多项式称为A 的最小多项式。基于此定义不难证明，A 的最小多项式能整除其所有化零多项式。因此，A 的最小多项式是其所有化零多项式的最大公因式，故最小多项式必存在且唯一。利用下面的结论，可以确定给定方阵A 的最小多项式。
定理：已知方阵A ，若B （λ）是矩阵（λI-A ）的伴随矩阵，d （λ）是B （λ）各元素的最大公因式，则方阵A 的最小多项式ψ（λ）是ψ（λ）= ;。
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低阶方阵的高次幂的计算技巧
作者：田凯
来源：《教育教学论坛》2015年第25期
摘要：方阵的高次幂的计算是线性代数、矩阵理论中的常见问题。本文结合实例介绍了利用特征多项式、最小多项式计算低阶方阵的高次幂，以及简化方阵多项式的技巧。 关键词：方阵的幂;Hamilton-Cayley 定理; 特征多项式; 最小多项式
中图分类号：G642.0 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）25-0197-02 在线性代数、矩阵理论相关课程中，一类比较常见的问题是，计算方阵的幂。方阵的幂，是矩阵理论中非常简单的概念。若A 是n 阶方阵，则A 的m 次幂定义为
A ;= ;，其中m 表示任一正整数。
若方阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P 使得
其中Λ=diag（λ ;，λ ;，…，λ ;），λ ;，λ ;，…，λ ;是A 的特征值，则A 的幂是容易计算的，因为
而且Λ ;=diagλ ; ;，λ ; ;，…，λ ; ;，所以在这种情况下，我们可以写出方阵A 的任意次幂的显示表达式。若方阵A 不可对角化，尤其是当m 比较大的时候，计算A 的幂就成为一个复杂的问题。
本文介绍低阶方阵高次幂的计算技巧，希望对读者有所帮助。我们所介绍技巧的理论基础是著名的Hamilton-Cayley 定理及矩阵的最小多项式。为方便读者阅读，首先回顾相关定理、定义与重要性质。
Hamilton-Cayley定理：n 阶方阵A 的特征多项式f （λ）=det（λI-A ），则f （A ）=0。 若多项式p （λ）使得p （A ）=0，则称p （λ）为A 的化零多项式。Hamilton-Cayley 定理告诉我们，方阵A 的特征多项式总是其化零多项式，因此任意方阵A 的化零多项式总存在。方阵A 的次数最小且首项系数为1的化零多项式称为A 的最小多项式。基于此定义不难证明，A 的最小多项式能整除其所有化零多项式。因此，A 的最小多项式是其所有化零多项式的最大公因式，故最小多项式必存在且唯一。利用下面的结论，可以确定给定方阵A 的最小多项式。
定理：已知方阵A ，若B （λ）是矩阵（λI-A ）的伴随矩阵，d （λ）是B （λ）各元素的最大公因式，则方阵A 的最小多项式ψ（λ）是ψ（λ）= ;。