范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室
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FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio
材料力学习题详细解答
教师用书
(第5章)
2006-01-18
习题5－1 习题5－2 习题5－3 习题5－4 习题5－5 习题5－6 习题5－7 习题5－8 习题5－9 习题5－10
习题5－11
第5章 梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
5－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定?简支梁受力及Ox坐标取向如图所示.请分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的：
习题5－1图
dM
＝FQ;
dxdxdFdM （B）Q＝－q(x),＝－FQ; dxdxdFQdM
（C）q(x),＝FQ;
dxdxdFQdM（D）＝q(x),FQ; dxdx
（A）
dFQ
＝q(x),
正确答案是 B 。
5－2对于图示承受均布载荷q的简支梁,其弯矩图凹凸性与哪些因素相关?试判断下列四种答案中哪几种是正确的：
习题5－2图
正确答案是 b、c、d 。
5－3 已知图示梁的剪力图以及a、e两截面上的弯矩Ma和Me,现有下列四种答案,试分析哪一种是正确的。
(A)Mb=Ma+Aa∼b(FQ),Md=Me+Ae∼d(FQ); (B)Mb=Ma−Aa∼b(FQ),Md=Me−Ae∼d(FQ); (C)Mb=Ma+Aa∼b(FQ),Md=Me−Ae∼d(FQ); (D)Mb=Ma−Aa∼b(FQ),Md=Me+Ae∼d(FQ).
习题5－3图
上述各式中Aa∼b(FQ)为截面a、b之间剪力图的面积,以此类推。 解：根据微分关系的定积分以及a、b之间剪力图的面积为负值，有
Mb＝Ma−Aa→b(FQ)
因为d、e之间剪力图的面积为正值，所以有
Me＝Md+Ad→e(FQ)
以及
Ad→e(FQ)=Ae→d(FQ)
改写后为
Md=Me−Ae→d(FQ)
因此，正确答案是 B 。
5－4 试求图示各梁中指定截面上的剪力、弯矩值。
习题5－4图
b
FP,M=0 a+bbab
C截面－FQ=FP,M=FP
a+ba+baab
D截面－FQ=−FP,M=FP
a+ba+ba
B截面－FQ=−FP,M=0
a+b
解：题(a) A截面－FQ=题(b) A截面－FQ=
M0
,M=0 a+b
M0a
,M=M0 a+ba+bM0b
,M=M0 a+ba+bM0
,M=0 a+b
C截面－FQ
=
D截面－FQ=−
B截面－FQ=−
53572
C截面－FQ=qa,M=qa
361
B截面－FQ=−qa,M=0
3132
题(d) A截面－FQ=ql,M=−
qa
28
题(c) A截面－FQ=qa,M=0
11ql,M=−qa2 28112
D截面－FQ=ql,M=−qa
28
C截面－FQ=
B截面－FQ=0,M=0
题(e) A截面－FQ=−2FP,M=FPl
C截面－FQ=−2FP,M=0
B截面－FQ=FP,M=0
题(f) A截面－FQ=0,M=
FPl
2
C截面－FQ=0,M=
FPl 2FPl
2
D截面－FQ=−FP,M=
B截面－FQ=−FP,M=0
5－5 试写出以下各梁的剪力方程、弯矩方程。 解： 题(a)
1.FQ(x)=−
M,2lM
2.FQ(x)=−,
2lM
3.FQ(x)=−,
2lM
4.FQ(x)=−,
2l
M(x)=−
M2lM
M(x)=−
2lM
M(x)=−
2lM
M(x)=−
2l
x
(0≤x≤l)
(l≤x≤2l)
x+Mx+3Mx+2M
(2l≤x≤3l)(3l≤x≤4l)
题(b)
111
1.FQ(x)=−ql−qx,M(x)=ql2−qlx−qx2
44211
2.FQ(x)=−ql,M(x)=ql(2l−x)
44
题(c)
(0≤x≤l)
(l≤x≤2l)
1
1.FQ(x)=ql−qx,M(x)=qlx+ql2−qx2
2
2.FQ(x)=0,M(x)=ql2
题(d)
(0≤x≤2l)(2l≤x≤3l)
1.FQ(x)=
5
ql−qx,4
M(x)=
2.FQ(x)=−ql+q(3l−x),
51qlx−qx242
12
M(x)=ql(3l−x)−q(3l−x)
(0≤x≤2l)(2l≤x≤3l)
2
题(e)
1.FQ(x)=qx,
M(x)=1
2
qx2
(0≤x≤l)2.FQ(x)=ql−q(x−l),
M(x)=ql⎛
⎜l⎞⎝
x−122⎟⎠−2q(x−l)
(l≤x≤2l)
题(f)
.FQ(x)=−
ql
2+qx,M(x)=−1qlx+1
qx2
22
(0≤x≤l)
2.F=−ql
Q(x)2
+q(2l−x),
M(x)=ql2(2l−x)−12
2
q(2l−x)
(l≤x≤2l)
5－6应用平衡微分,试画出图示各梁的剪力图和弯矩图,并确定FQ
max
M
max
。
习题5－5和5－6图
1
解：
习题5－6a解图 习题5－6b解图
题（a）
∑MA=0，FRB=
M
（↑） 2lM=（↓） 2l
∑Fy=0，FRA
M 2l
|M|max=2M |FQ|max=
题（b） 题（c）
习题5－6c、e解图 习题5－6d、f解图
∑MlA=0−ql2−ql⋅2
+ql⋅l+FRB⋅2l=0
FRB=
1
4
ql（↑） ∑Fy=0，F1
RA=
4
ql（↓）， M1C=FRB⋅l=
4ql⋅l=1
4
ql2（＋） MA=ql2
|F5Q|max=4
ql |M|max=ql2
∑Fy=0，FRA=ql（↑）
∑MA=0，MA=ql2
∑MD=0，ql2+ql⋅l−ql⋅−MD=0
32ql 2
|FQ|max=ql
MD= |M|max= 题（d）
32ql 2
l2
∑MB=0, FRA⋅2l−q⋅3l⋅
FRA=
1
−ql⋅l=0 2
5
ql（↑） 4
34
∑Fy=0，FRB=ql（↑）
∑MB=0，MB=∑MD=0，MD
|FQ|max= |M|max= 题（e）
q2l 2252=ql 32
5ql 4
252
ql 32
∑Fy=0，FRC = 0
3l−ql⋅l+ql⋅+MC=0 ∑MC=0，
22
MC=ql2
1
2
∑MB=0，MB=ql
2
∑Fy=0，FQB=ql
|FQ|max=ql
2
|M|max=ql 题（f）
∑MA=0，FRB=
1
1ql
2（↑）
∑Fy=0，FRA=ql（↓）
2 ∑Fy=0，−
1
ql+ql−FQB=0 2
FQB=
1ql2
∑MD=0，
1lll
ql⋅−q⋅+MD=0 2224
12
=−Mql D
812
ME=ql
8
|FQ|max= |M|max=
1ql 2
12ql 8
5－7 静定梁承受平面载荷但无集中力作用,其剪力图如图所示.若已知A端弯矩
M(A)=0,试确定梁上的载荷及梁的弯矩图,并指出梁在何处有约束,且为何种约束。
解：由FQ图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布q载荷，由A、B处FQ向上突变知，A、B处有向上集中力；又因A、B处弯矩无突变，说明A、B处为简支约束，由A、B处FQ值知
FRA = 20 kN（↑）
习题5－7图
FR
B = 40 kN（↑）
由
∑Fy=0
FRA+FRB−q×4=0
q = 15 kN/m
由FQ图D、B处为零可知，M在D、B处取极值
MD=20× MB=−
41440−15×(2=kN·m 3233
1
q×12=−7.5kN·m 2
梁上载荷及梁的弯矩图分别如图所示。
5－8 已知静定梁的剪力图和弯矩,试确定梁上的载荷及梁的支承。.
解：由FQ图知，全梁有向下均布q载荷，由FQ图中A、B、C处突变，知A、B、C处有向上集中力，且
FRA = 0.3 kN（↑） FRC = 1 kN（↑） FRB = 0.3 kN（↑）
q=
0.3−(−0.5)
=0.2kN/m（↓） 4
由MA = MB = 0，可知A、B简支，由此得梁上载荷及梁的支承如图所示。
习题5－8图
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定FQ
max
M
max
习题5－9图
解：题（a）：
∑MA=0
FRB⋅2l−FP⋅l−FP⋅l=0
FRB=FP（↑）
习题5－9a的弯矩图
∑Fy=0，FAy=FP（↓）
∑Fx=0，FAx=FP（←）
弯距图如图所示，其中|M|max=2FPl，位于刚节点C截面。
题（b）：
∑Fy=0，FAy=ql（↑） ∑MA=0，FRB= ∑Fx=0，FAx
1
ql（→） 21
=ql（←） 2
习题5－9b的弯矩图
2
弯距图如图所示，其中|M|max=ql。
题（c）：
∑Fx=0，FAx=ql（←）
∑MA=0
2
ql−ql⋅
l
−FRB⋅l=0 2
FRB=
1
ql（↓） 2
1
=ql（↑） 2
习题5－9c的弯矩图
∑Fy=0，FAy
2
弯距图如图所示，其中|M|max=ql。
题（d）：
∑Fx=0，FAx=ql（←）
∑MA=0
−ql⋅ FRB=
l
−ql2+FRB⋅l=0 2
3
ql（↑） 2
32
∑Fy=0，FAy=ql（↓）
2
弯距图如图所示，其中|M|max=ql2。
习题5－9d的弯矩图
5－10 长度相同、承受同样的均布载荷q作用的梁，有图中所示的4种支承方式，如果从梁的求得考虑，请判断哪一种支承方式最合理。
习题5－10图
181
(b) Mbmax=ql2
401
(c) Mcmax=ql2
2
解：(a) Mamax=ql2
(d) Mdmax=
7
ql2 100
正确答案是 B 。
5－11 曲杆受力如图所示，试写出杆横截面上的内力方程并作内力图。 解：（a）题
FN(θ)=Fsinθ,
FQ(θ)=Fcosθ,，0≤θ≤M(θ)=−Frsinθ
π
2
习题5－11（a）
（b）题
习题5－11（b）
AC段：
FN(x)=0,FQ(x)=F, M(x)=Fx
CB段：
FN(θ)=Fsinθ,
FQ(θ)=Fcosθ, (0≤θ≤π) M(θ)=Frsinθ
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(第5章)
2006-01-18
习题5－1 习题5－2 习题5－3 习题5－4 习题5－5 习题5－6 习题5－7 习题5－8 习题5－9 习题5－10
习题5－11
第5章 梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图
5－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定?简支梁受力及Ox坐标取向如图所示.请分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的：
习题5－1图
dM
＝FQ;
dxdxdFdM （B）Q＝－q(x),＝－FQ; dxdxdFQdM
（C）q(x),＝FQ;
dxdxdFQdM（D）＝q(x),FQ; dxdx
（A）
dFQ
＝q(x),
正确答案是 B 。
5－2对于图示承受均布载荷q的简支梁,其弯矩图凹凸性与哪些因素相关?试判断下列四种答案中哪几种是正确的：
习题5－2图
正确答案是 b、c、d 。
5－3 已知图示梁的剪力图以及a、e两截面上的弯矩Ma和Me,现有下列四种答案,试分析哪一种是正确的。
(A)Mb=Ma+Aa∼b(FQ),Md=Me+Ae∼d(FQ); (B)Mb=Ma−Aa∼b(FQ),Md=Me−Ae∼d(FQ); (C)Mb=Ma+Aa∼b(FQ),Md=Me−Ae∼d(FQ); (D)Mb=Ma−Aa∼b(FQ),Md=Me+Ae∼d(FQ).
习题5－3图
上述各式中Aa∼b(FQ)为截面a、b之间剪力图的面积,以此类推。 解：根据微分关系的定积分以及a、b之间剪力图的面积为负值，有
Mb＝Ma−Aa→b(FQ)
因为d、e之间剪力图的面积为正值，所以有
Me＝Md+Ad→e(FQ)
以及
Ad→e(FQ)=Ae→d(FQ)
改写后为
Md=Me−Ae→d(FQ)
因此，正确答案是 B 。
5－4 试求图示各梁中指定截面上的剪力、弯矩值。
习题5－4图
b
FP,M=0 a+bbab
C截面－FQ=FP,M=FP
a+ba+baab
D截面－FQ=−FP,M=FP
a+ba+ba
B截面－FQ=−FP,M=0
a+b
解：题(a) A截面－FQ=题(b) A截面－FQ=
M0
,M=0 a+b
M0a
,M=M0 a+ba+bM0b
,M=M0 a+ba+bM0
,M=0 a+b
C截面－FQ
=
D截面－FQ=−
B截面－FQ=−
53572
C截面－FQ=qa,M=qa
361
B截面－FQ=−qa,M=0
3132
题(d) A截面－FQ=ql,M=−
qa
28
题(c) A截面－FQ=qa,M=0
11ql,M=−qa2 28112
D截面－FQ=ql,M=−qa
28
C截面－FQ=
B截面－FQ=0,M=0
题(e) A截面－FQ=−2FP,M=FPl
C截面－FQ=−2FP,M=0
B截面－FQ=FP,M=0
题(f) A截面－FQ=0,M=
FPl
2
C截面－FQ=0,M=
FPl 2FPl
2
D截面－FQ=−FP,M=
B截面－FQ=−FP,M=0
5－5 试写出以下各梁的剪力方程、弯矩方程。 解： 题(a)
1.FQ(x)=−
M,2lM
2.FQ(x)=−,
2lM
3.FQ(x)=−,
2lM
4.FQ(x)=−,
2l
M(x)=−
M2lM
M(x)=−
2lM
M(x)=−
2lM
M(x)=−
2l
x
(0≤x≤l)
(l≤x≤2l)
x+Mx+3Mx+2M
(2l≤x≤3l)(3l≤x≤4l)
题(b)
111
1.FQ(x)=−ql−qx,M(x)=ql2−qlx−qx2
44211
2.FQ(x)=−ql,M(x)=ql(2l−x)
44
题(c)
(0≤x≤l)
(l≤x≤2l)
1
1.FQ(x)=ql−qx,M(x)=qlx+ql2−qx2
2
2.FQ(x)=0,M(x)=ql2
题(d)
(0≤x≤2l)(2l≤x≤3l)
1.FQ(x)=
5
ql−qx,4
M(x)=
2.FQ(x)=−ql+q(3l−x),
51qlx−qx242
12
M(x)=ql(3l−x)−q(3l−x)
(0≤x≤2l)(2l≤x≤3l)
2
题(e)
1.FQ(x)=qx,
M(x)=1
2
qx2
(0≤x≤l)2.FQ(x)=ql−q(x−l),
M(x)=ql⎛
⎜l⎞⎝
x−122⎟⎠−2q(x−l)
(l≤x≤2l)
题(f)
.FQ(x)=−
ql
2+qx,M(x)=−1qlx+1
qx2
22
(0≤x≤l)
2.F=−ql
Q(x)2
+q(2l−x),
M(x)=ql2(2l−x)−12
2
q(2l−x)
(l≤x≤2l)
5－6应用平衡微分,试画出图示各梁的剪力图和弯矩图,并确定FQ
max
M
max
。
习题5－5和5－6图
1
解：
习题5－6a解图 习题5－6b解图
题（a）
∑MA=0，FRB=
M
（↑） 2lM=（↓） 2l
∑Fy=0，FRA
M 2l
|M|max=2M |FQ|max=
题（b） 题（c）
习题5－6c、e解图 习题5－6d、f解图
∑MlA=0−ql2−ql⋅2
+ql⋅l+FRB⋅2l=0
FRB=
1
4
ql（↑） ∑Fy=0，F1
RA=
4
ql（↓）， M1C=FRB⋅l=
4ql⋅l=1
4
ql2（＋） MA=ql2
|F5Q|max=4
ql |M|max=ql2
∑Fy=0，FRA=ql（↑）
∑MA=0，MA=ql2
∑MD=0，ql2+ql⋅l−ql⋅−MD=0
32ql 2
|FQ|max=ql
MD= |M|max= 题（d）
32ql 2
l2
∑MB=0, FRA⋅2l−q⋅3l⋅
FRA=
1
−ql⋅l=0 2
5
ql（↑） 4
34
∑Fy=0，FRB=ql（↑）
∑MB=0，MB=∑MD=0，MD
|FQ|max= |M|max= 题（e）
q2l 2252=ql 32
5ql 4
252
ql 32
∑Fy=0，FRC = 0
3l−ql⋅l+ql⋅+MC=0 ∑MC=0，
22
MC=ql2
1
2
∑MB=0，MB=ql
2
∑Fy=0，FQB=ql
|FQ|max=ql
2
|M|max=ql 题（f）
∑MA=0，FRB=
1
1ql
2（↑）
∑Fy=0，FRA=ql（↓）
2 ∑Fy=0，−
1
ql+ql−FQB=0 2
FQB=
1ql2
∑MD=0，
1lll
ql⋅−q⋅+MD=0 2224
12
=−Mql D
812
ME=ql
8
|FQ|max= |M|max=
1ql 2
12ql 8
5－7 静定梁承受平面载荷但无集中力作用,其剪力图如图所示.若已知A端弯矩
M(A)=0,试确定梁上的载荷及梁的弯矩图,并指出梁在何处有约束,且为何种约束。
解：由FQ图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布q载荷，由A、B处FQ向上突变知，A、B处有向上集中力；又因A、B处弯矩无突变，说明A、B处为简支约束，由A、B处FQ值知
FRA = 20 kN（↑）
习题5－7图
FR
B = 40 kN（↑）
由
∑Fy=0
FRA+FRB−q×4=0
q = 15 kN/m
由FQ图D、B处为零可知，M在D、B处取极值
MD=20× MB=−
41440−15×(2=kN·m 3233
1
q×12=−7.5kN·m 2
梁上载荷及梁的弯矩图分别如图所示。
5－8 已知静定梁的剪力图和弯矩,试确定梁上的载荷及梁的支承。.
解：由FQ图知，全梁有向下均布q载荷，由FQ图中A、B、C处突变，知A、B、C处有向上集中力，且
FRA = 0.3 kN（↑） FRC = 1 kN（↑） FRB = 0.3 kN（↑）
q=
0.3−(−0.5)
=0.2kN/m（↓） 4
由MA = MB = 0，可知A、B简支，由此得梁上载荷及梁的支承如图所示。
习题5－8图
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定FQ
max
M
max
习题5－9图
解：题（a）：
∑MA=0
FRB⋅2l−FP⋅l−FP⋅l=0
FRB=FP（↑）
习题5－9a的弯矩图
∑Fy=0，FAy=FP（↓）
∑Fx=0，FAx=FP（←）
弯距图如图所示，其中|M|max=2FPl，位于刚节点C截面。
题（b）：
∑Fy=0，FAy=ql（↑） ∑MA=0，FRB= ∑Fx=0，FAx
1
ql（→） 21
=ql（←） 2
习题5－9b的弯矩图
2
弯距图如图所示，其中|M|max=ql。
题（c）：
∑Fx=0，FAx=ql（←）
∑MA=0
2
ql−ql⋅
l
−FRB⋅l=0 2
FRB=
1
ql（↓） 2
1
=ql（↑） 2
习题5－9c的弯矩图
∑Fy=0，FAy
2
弯距图如图所示，其中|M|max=ql。
题（d）：
∑Fx=0，FAx=ql（←）
∑MA=0
−ql⋅ FRB=
l
−ql2+FRB⋅l=0 2
3
ql（↑） 2
32
∑Fy=0，FAy=ql（↓）
2
弯距图如图所示，其中|M|max=ql2。
习题5－9d的弯矩图
5－10 长度相同、承受同样的均布载荷q作用的梁，有图中所示的4种支承方式，如果从梁的求得考虑，请判断哪一种支承方式最合理。
习题5－10图
181
(b) Mbmax=ql2
401
(c) Mcmax=ql2
2
解：(a) Mamax=ql2
(d) Mdmax=
7
ql2 100
正确答案是 B 。
5－11 曲杆受力如图所示，试写出杆横截面上的内力方程并作内力图。 解：（a）题
FN(θ)=Fsinθ,
FQ(θ)=Fcosθ,，0≤θ≤M(θ)=−Frsinθ
π
2
习题5－11（a）
（b）题
习题5－11（b）
AC段：
FN(x)=0,FQ(x)=F, M(x)=Fx
CB段：
FN(θ)=Fsinθ,
FQ(θ)=Fcosθ, (0≤θ≤π) M(θ)=Frsinθ
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