让“合情推理”与“演绎推理”相得益彰
滕州育才中学——杜传勇
众所周知，推理是数学的基本思维方式。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理。长期以来，数学教学强调了严谨的演绎推理而忽视了生动活泼的合情推理，新一轮课程改革提出既要发展学生合情推理能力，又要发展学生初步的演绎推理能力。然而，实践中却出现了一种倾向——注重了合情推理却忽视了演绎推理。
【教学方法】探究发现法。
【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。
【教学设计】
一、实例导入，激疑引趣
1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以
升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥
（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵
县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存
最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被
誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁
界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4
米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，
也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的 ⌒ 半径（即AB所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1）
二、尝试诱导，发现定理
1．复习过渡：
①如图2(a)，弦AB将⊙O分成几部分？各部分的名称是什么？
②如图2(b)，将弦AB变成直径，⊙O被分成的两部分各叫什么？
③在图2(b)中，若将⊙O沿直径AB对折，两部分是否重合？
BBB
(a)
(b) (a)
(b) (c)
（图2）
（图3）
2．实验验证：
让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。
3．运动变换：
①如图3(a)，AB、CD是⊙O的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图3(b)，当AB⊥CD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？
③如图3(c)，当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？
4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——
AEBDCD是圆O的直径⌒ ⌒ （板书） ACBC CD弦AB,垂足为E⌒ ⌒ ADBD
5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。
三、引导探究，证明定理
1．引导证明：
猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。
①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。
2．归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．巩固定理：
在下列图形（如图4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E
（图4）
向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
数学发现靠的主要是合情推理，而数学理论的整理主要是靠演绎推理。数学教育家波利亚认为，演绎推理是确定的，可靠的；合情推理则带有一定的风险性。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。因此，教学中对二者不可偏废。数学课程标准要求“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”。也就是要求在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。事实上，合情推理与演绎推理是相辅相成的，合情推理的实质是“发现——猜想”，因而关注合情推理能力的培养有助于发展创新精神。同时，由合情推理得到的猜想常常需要证实，这就要通过演绎推理给出证明或举出反例。
让“合情推理”与“演绎推理”相得益彰
滕州育才中学——杜传勇
众所周知，推理是数学的基本思维方式。合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理。长期以来，数学教学强调了严谨的演绎推理而忽视了生动活泼的合情推理，新一轮课程改革提出既要发展学生合情推理能力，又要发展学生初步的演绎推理能力。然而，实践中却出现了一种倾向——注重了合情推理却忽视了演绎推理。
【教学方法】探究发现法。
【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。
【教学设计】
一、实例导入，激疑引趣
1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以
升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥
（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵
县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存
最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被
誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁
界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4
米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，
也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的 ⌒ 半径（即AB所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1）
二、尝试诱导，发现定理
1．复习过渡：
①如图2(a)，弦AB将⊙O分成几部分？各部分的名称是什么？
②如图2(b)，将弦AB变成直径，⊙O被分成的两部分各叫什么？
③在图2(b)中，若将⊙O沿直径AB对折，两部分是否重合？
BBB
(a)
(b) (a)
(b) (c)
（图2）
（图3）
2．实验验证：
让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。
3．运动变换：
①如图3(a)，AB、CD是⊙O的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图3(b)，当AB⊥CD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？
③如图3(c)，当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？
4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——
AEBDCD是圆O的直径⌒ ⌒ （板书） ACBC CD弦AB,垂足为E⌒ ⌒ ADBD
5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。
三、引导探究，证明定理
1．引导证明：
猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。
①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。
2．归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．巩固定理：
在下列图形（如图4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E
（图4）
向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
数学发现靠的主要是合情推理，而数学理论的整理主要是靠演绎推理。数学教育家波利亚认为，演绎推理是确定的，可靠的；合情推理则带有一定的风险性。严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。因此，教学中对二者不可偏废。数学课程标准要求“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”。也就是要求在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。事实上，合情推理与演绎推理是相辅相成的，合情推理的实质是“发现——猜想”，因而关注合情推理能力的培养有助于发展创新精神。同时，由合情推理得到的猜想常常需要证实，这就要通过演绎推理给出证明或举出反例。